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  • LaTex 三角函数-正体

    2021-03-26 01:43:36
    三角函数正、斜体 \cos -- cos --

    三角函数正、斜体

    \cos  -- \cos

    cos -- cos

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  • ✪提示:如果文中数字/公式显示较大,请点击右上角中"刷新"即可恢复正常▌第10 章反函数和反三角函数▌10.1 导数和反函数第一章就回顾了反函数(Inverse function)的基本知识, 可以快速地再看下, 请点击[这里]....

    这里也衷心感谢 @Mr.C 同学协助转成将此系列原文档中公式转成 LaTeX 格式. ✪提示: 如果文中数字/公式显示较大, 请点击右上角中"刷新"即可恢复正常

    ▌第10 章反函数和反三角函数▌10.1 导数和反函数第一章就回顾了反函数(Inverse function)的基本知识, 可以快速地再看下, 请点击[这里]. 现在讨论导数和反函数之间的两个联系.10.1.1 使用导数证明反函数存在如果一个可导函数 53439522d5c60338c09ddee944c5ef5b.png , 它的导数总是正的, 那么该函数一定是递增函数, 且满足水平线检验. 没有水平线会与 a6186abd5d6e23c3f8e42cd8a0a34c1f.png 相交两次. 由于 53439522d5c60338c09ddee944c5ef5b.png 满足水平线检验, 所以我们知道 53439522d5c60338c09ddee944c5ef5b.png 有反函数.

    be7ada9fc6ddfeed2a8262f57554b8ef.png

    d61c0e518586b54cf1ecd4cd00a0769f.png

    函数上只有一个点使得 70d86ff2e1d72b6bbd7fd678bc3e6c69.png, 这样仍然有反函数.

    4db86fe8451b14675582ac65f7077c12.png

    10.1.2 导数和反函数:可能出现的问题函数的导数可以偶尔是 f019d62fa1396f86440165fff1ae5558.png, 而该函数仍然有反函数. 但下图中函数没有通过水平检验, 在 e2a9e127566d5fff7433a54242851afe.png 和该函数有无数次相交(红色线段标识出), 故不存在反函数.

    55179e1b05c6e071c7cf77b08f91911d.png

    一般来说当函数有不连续点或垂直渐近线时, 上面导数和反函数的方法也不再适用了.10.1.3 求反函数的导数知道函数 53439522d5c60338c09ddee944c5ef5b.png 有反函数, 我们通常称之为 a4dc8baa6370446f9d8a1d6a6cb7de1d.png , 该反函数的导数就是原函数的导数的倒数.如果 45a3d69648a521b27c9e64fa3b7aa5a6.png, 则 49b55840d2716c7a5db9a05a6f3a462c.png.如果一个函数, 它有反函数, 并且原函数在点 4eba47b1125649ffc8587212f7efaa97.png 处的斜率为 f019d62fa1396f86440165fff1ae5558.png, 则其反函数在点 1240c3697f73bc5990217d99a42a8452.png 处的斜率将会是无限的.

    3157133362f2aaaa7a142c441a87cd08.png

    ▌10.2 反三角函数

    5bea59599811cf765b6427f56755a8ab.png

    将 a957e6d3539729dea2b0cb84cbc2f9ad.png 定义域限制为区间 89a618e0d7b61f7548843c05ff92eab4.png, 则它满足水平线检验, 故它有反函数45a3d69648a521b27c9e64fa3b7aa5a6.png, 写成 13e84cba4e5fb523ed0d0c73954990a1.png 或 656d41bac861b1760f3902010b13f408.png .

    ab09e8b9fcc4a749ad1177902173bf28.gif

    10.2.2 反余弦函数

    7b7223adc06e5a290be6f0ace80a3339.png

    e6f4eae7059f210a5eea3d035d7cb5c9.png, 其中 b63104c18663e628d6b4faf327fe21a4.png.2320e28723c3134dbc44d71461f076a8.png 既不是偶函数, 也不是奇函数; 其定义域为 fd6f0226b94781a38c032781477b0e34.png, 值域为 de9581a580c1b79386bc63647aceaa57.png.10.2.3 反正切函数

    f7bb5eb50e7e3625a5a558b519a6ec7d.png

    10.3 反双曲函数要记住, 所有这些导数公式只有当 x 在相关函数本身的定义域内时才成立!

    a746f1870432489031c97ea9bf0eb59b.png

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  • VINS-Mono / VINS-Fusion中triangulatePoint()函数通过三角化求解空间点坐标,代码所体现的数学描述不是很直观,查找资料,发现参考文献[1]对这个问题进行详细解释,记录笔记以备忘。1. VINS-Mon...

    a268d39362fc20cd21a36a45a1396e60.png

    摘要

    多视几何中,相机在两个位置观测到同一个空间点,希望通过两次相机位姿和图像观测点坐标求得三维空间点坐标,我们称这个过程为三角化(Triangulate),如图1。

    VINS-Mono / VINS-Fusion中triangulatePoint()函数通过三角化求解空间点坐标,代码所体现的数学描述不是很直观,查找资料,发现参考文献[1]对这个问题进行详细解释,记录笔记以备忘。

    1. VINS-Mono中相关代码

    void FeatureManager::triangulatePoint(Eigen::Matrix<double, 3, 4> &Pose0, Eigen::Matrix<double, 3, 4> &Pose1,
                            Eigen::Vector2d &point0, Eigen::Vector2d &point1, Eigen::Vector3d &point_3d)
    {
        Eigen::Matrix4d design_matrix = Eigen::Matrix4d::Zero();
        design_matrix.row(0) = point0[0] * Pose0.row(2) - Pose0.row(0);
        design_matrix.row(1) = point0[1] * Pose0.row(2) - Pose0.row(1);
        design_matrix.row(2) = point1[0] * Pose1.row(2) - Pose1.row(0);
        design_matrix.row(3) = point1[1] * Pose1.row(2) - Pose1.row(1);
        Eigen::Vector4d triangulated_point;
        triangulated_point =
                  design_matrix.jacobiSvd(Eigen::ComputeFullV).matrixV().rightCols<1>();
        point_3d(0) = triangulated_point(0) / triangulated_point(3);
        point_3d(1) = triangulated_point(1) / triangulated_point(3);
        point_3d(2) = triangulated_point(2) / triangulated_point(3);
    }

    efd33c0e3e96073d949f5ae523064705.png

    2. 数学推导

    先介绍一个重要的向量叉乘向矩阵运算转换的性质[4],

    其中,

    表示向量
    对应的反对称矩阵(skew-symmetric matrix)。

    对于,

    为三维空间点在世界坐标系下的齐次坐标
    为世界坐标系到相机坐标系的变换
    为归一化平面坐标,
    为深度值,有:

    借助式(2-1)展开,有:

    其中:

    第一行

    ,第二行
    ,再相加,即可得到第三行,因此,其线性相关,保留前两行即可,有
    因此,已知一个归一化平面坐标
    和变换
    ,可以构建两个关于
    的线性方程组。有两个以上的图像观测,即可求出

    上述方程没有非零解,使用SVD求最小二乘解,解可能不满足齐次坐标形式(第四个元素为1),因此,

    求得空间点坐标,但是这个解几何意义不明确[1],属于代数最小误差解。不等价于最小重投影误差,也不是最小化3D点距离误差。详细解释参考[1]中PPT。

    3. 扩展

    在VINS-Mono中给出了归一化平面坐标

    , 如果只是给出像素坐标
    ,并且已知相机内参
    ,求解3D点坐标方式类似。

    其中,

    的形式与式(2-3)的形式一致,同理可以得到式(2-4)的方程。

    4. 总结

    在多视几何的公式推导中,多次使用"共线向量叉乘等于0"的性质,将等式的某一项置为0,式(2-2)中应用了该性质,在本质矩阵推导中,也应用了该性质,如本质矩阵的前两步推导:

    在多视几何公式推导中,另一个常用的性质是"互相垂直的两个向量点乘为零",在此不再展开。

    参考文献

    [1] Lecture 7.2 Triangulation https://www.uio.no/studier/emner/matnat/its/UNIK4690/v16/forelesninger/lecture_7_2-triangulation.pdf

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    Latex公式编辑教程

    • 参数都是斜体
    • 上标------x的20次方编辑: x^{20}
    • 下标------水的化学式的编辑: text{H}_2text{O}
    • 排列数: text{C}^2_7
    • log数: log_3 5 空格5
    • 三角函数 sin({x}^2)
    • 希腊字母:deltaDelta
    • 乘法: 3times4=12
    • 分数:dfrac {20}{3}
    • 开根号:h=sqrt{dfrac{2h}{g}}

    小练习

    1. 质能方程:E=mc^2
    1. 余弦定理:costext{A}=dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
    2. 牛顿第二定律:a=dfrac {d^2x}{dt^2}
    1. 积分:int^a_bx^2dx

    进阶操作

    1. 矩阵:
    %斜杆必须在数字的后边。一行结束两个斜杆
    %方括号矩阵:bmatrix 圆括号矩阵:pmatrix 行列式:vmatrix 矩阵的范数:Vmatrix
    begin{bmatrix}
    1&2& 3
    4& 5&6
    7& 8&9
    end{bmatrix}
    


    2. 多个公式:
    begin{matrix}
    sin2x=2sin{x}cos{x}
    sin(x)^2+cos(x)^2=1
    end{matrix}
    


    3. 几何学:
    overline{U}
    angle ABC
    triangle ABC
    text{A}bottext{B}
    

    1. 集合
    Acup B
    Mcap N
    overline{U}
    

    小的东西

    partial 偏导数

    forall 任意

    exists 存在

    infty 无穷大

    sum 求和

    sim 相似

    overset{x=t}{=}

    tag(1) 给公式标号

    公式居中

    lim 极限

    to 箭头

    in 属于 notin 不属于

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