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  • 多目标函数优化

    千次阅读 2020-03-23 18:09:24
    多目标函数优化 1.定义 所谓优化就是在某种确定规定下,使得个体的性能最优。多目标优化,多于一个的数值目标在给定区域上的最优化问题称为多目标优化。 2.解及解的形式 求解多目标优化问题的过程就是寻找Pareto最优...

    多目标函数优化
    在这里插入图片描述
    1.定义
    所谓优化就是在某种确定规定下,使得个体的性能最优。多目标优化,多于一个的数值目标在给定区域上的最优化问题称为多目标优化。
    2.解及解的形式
    求解多目标优化问题的过程就是寻找Pareto最优解(非劣解、有效解)的过程。即在多目标优化中对某些子目标的优化不能影响到其它子目标的优化而容许的整个多目标的最优解。所谓多目标优化问题的最优解就是指Pareto最优解,且不再包含其他最优解。
    3. 求解方法
    3.1 产生式方法
    如果没有先验知识,只能采用产生式方法来检验所有的非支配可选解。需要作者从整个Pareto解中做选择来进行必要的价值判断。
    3.2基于偏好的方法
    基于偏好的方法试图得到妥协解或偏好解。基于偏好的方法能够用正式和有结构的方式来清晰表达其偏好。
    (1)权重和方法:权重可以理解为目标之间相对重要性或价值,或者对目标的偏好。
    (2)效用函数法:效用函数是偏好结果的一种数学表示方法,它将目标空间的点影射为实数,数越大表明对该点偏好程度越高
    (3)妥协函数法:寻找与理想点最接近的解
    3.3约束法
    4.适应度分配方法
    4.1 权重和方法:
    权重可以理解为目标之间相对重要性或价值,或者对目标的偏好。
    (优点:通过算中和求得的全局最优解对应Pareto前端的一个解;局部最优解对应局部Pareto最优解;通过改变权值可以搜索到所有凸Pareto解)
    (缺点:不能处理非凸的Pareto;很难找到均匀分布的Pareto解)
    4.2矢量评价法(VEGA)
    循环过程中根据多个目标选出若干下一代中的优秀个体(即子种群),然后将整个种群打乱并执行交叉变异,目的在于不同种群之间进行信息交流,它保护了单个目标上的最优个体的生存,同时为那些多于一个目标上好于平均值的个体提供合理被选择概率。
    优点:简单,适合寻找Pareto front 的端点),
    (缺点:很难处理非凸问题)
    4.3 Pareto等级法:
    根据占优划分等级,对个体适应度的分配策略。
    (优点:可以快速找到Pareto前端,有效保护种群多样性)
    (缺点:非支配排序的时间复杂度很大;不支持精英策略;需要自己指定共享参数)
    4.4贪婪保护法(SPEA)
    在外部群体中对占优解进行排序;个体适应度与外部群体比它性能优的个体数目相关,使用Pareto支配关系保持种群多样性,使用聚类方法减少非支配集。
    (优点:可处理任意的目标函数,可产生解的分布,确定了一种无需参数的共享方法)
    (缺点:因为确定了一个外部解集,故计算量大)
    5.解的评价指标
    5.1多目标优化算法的评级指标通常有以下几项:逼近性GD(Generational Distance)、均匀性SP(Spacing)、宽广性EX、最优解数目ER(Error Ratio)、收敛性度量值γγ和多样性度量值ΔΔ。
    (1) 逼近性GD用来描述算法所获得的非劣最优解与Pareto前端的距离
    - 希望算法找到的Pareto 前端与实际的Pareto 前端的距离应尽可能的接近;
    (2)均匀性SP用来描述非劣解在Pareto前端上的分布范围。
    - 希望找到的Pareto 最优解具有较好的分布(如均匀分布、正态分布);
    (3)宽广性EX用来描述非劣最优解的分布范围。
    - 希望所找到的Pareto 前端的分布范围尽可能的宽广,即尽可能的覆盖每个子目标函数的可能取值范围
    (4)收敛性度量值γγ用来衡量一组已知的Pareto最优解集的收敛范围。
    (5)多样性度量值ΔΔ用来衡量Pareto前端的分布。
    5.2 性能的比较
    (1)- 直接比较法:
    它比较了两个非支配集AA 和BB 直接使用标量测度R(A,B)R(A,B),其中描述了A 比B 好多少。如:AA, BB。计算R(A,B)R(A,B)。
    优点:与独立比较相比,计算量低,不需要知道任何帕累托集;
    缺点:如果两套不同的基数和/或集合的分布是不均匀的,那么C 的度量提供了不可靠的结果。
    (2) - 间接比较法:
    它选择一个参考集,比较两个非支配集与这个参考集,然后比较结果。如:AA, BB。中间变量为Pareto,分别和他进行对比。
    优点:易于理解、计算量低;
    缺点:需要知道Pareto 前端,:度量只适用于有限数量的帕累托最优解。
    (3)- 独立比较法:
    它是衡量某些独立的属性的每个设置,并比较了这两种测量结果。如:S(A)S(A),和S(B)S(B),再比较它们。
    优点:没有必要知道帕累托或其他参考点使用、它是独立的、意义直观;
    缺点:需要非常大的计算量,这使得它完全适合于目标或大非大量支配集。

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  • 拉格朗日函数优化

    千次阅读 2019-04-16 17:04:37
    等式约束最优化 可以写为: 引入拉格朗日乘子()把问题转换成拉格朗日函数 因为对于任何可行解,有,所以有 ,也就是,。 求解。对分别求的偏导数为零,得到方程组求解极值点,然后从极值点挑出最值点。...

    等式约束最优化

    可以写为:

    引入拉格朗日乘子(\lambda _i\ne 0)把问题转换成拉格朗日函数


    L(x,\lambda)=\left[  f(x) +\sum_{i=1}^{n}\lambda_ih_i(x) \right]

    因为对于任何可行解,有h_i(x)=0,所以有

    f(x)=L(x,\lambda ),也就是,minf(x)=minL(x,\lambda )

     

    求解。对L(x,\lambda)分别求x,\lambda的偏导数为零,得到方程组求解极值点,然后从极值点挑出最值点。

     

    x的偏导为零,使得目标函数和约束函数的法向量共线(梯度共线)。为什么梯度共线能求到极值?

     

    绿线标出的是约束g(x,y)=c的点的轨迹。蓝线是f(x,y)的等高线,箭头是各个点的梯度。

     

    从图上可以看到,蓝线(f(x,y)=d_1)与绿线相交,意味着肯定还存在其它的等高线(f(x,y)=d_2)在该条等高线的内部或者外部,使得新的等高线与目标函数的交点的值更大或者更小。所以当取到极值时,蓝线与绿线相切,而切点的梯度共线。

    不等式约束最优化

    可以写为:

    引入拉格朗日乘子(\mu  _i\geq 0),定义上述问题的拉格朗日量(Lagrangian)如下

    L(x,\mu )=\left[  f(x) +\sum_{i=1}^{m}\mu _ig_i(x) \right]

    同时定义拉格朗日对偶函数(Lagrange dual function) 如下:

    F(\mu )=inf_x L(x,\mu )=inf_x \left[ f(x)+\sum_{i=1}^{m}\mu _ig_i(x) \right]

    一般情况下,L(x,\mu )是能取到最小值的,所以F(\mu )=inf_x L(x,\mu )=min_x L(x,\mu )

    求解。当强对偶性成立时,通过KKT条件求解极值点,然后从极值点挑出最值点。

     

     

    第一个条件使得目标函数和约束函数的法向量共线(梯度共线)。

     

     

    最后一个条件称为互补松弛条件(Complementary Slackness Condition)。通过引入这个条件,增加了m个等式约束,使得等式的数量跟变量一样。


    更一般地,我们把等式约束也加进来,优化问题可以写为:

     

    KKT条件为

     

    如果没有“不等式”约束条件,即 m=0,KKT条件就是拉格朗日乘数法中极值点满足的方程组。所以KKT条件是拉格朗日乘数法的推广,拉格朗日乘数法是KKT条件的特例。

    注意到:

    1. KKT条件是强对偶性的必要条件,强对偶性下KKT条件才成立
    2. 一般仅用KKT条件来验证找到的解
    3. 当目标函数和约束都是线性时,优化问题为我们熟悉的线性规划(LP)
    4. 在线性规划里,\lambda ,\mu表示的是对应约束的影子价格

     

    4,KKT与强对偶性

    这里讨论只有不等式约束,并且强对偶性的情况

    由强对偶性,有f(x)=max_\mu L(x,\mu ),也就是,min_xf(x)=min_x max_\mu  L(x,\mu )

     

    原问题目标函数为f(x)=max_\mu L(x,\mu ),对应的对偶函数为F(\mu) =min_x L(x,\mu )

    由强对偶性,我们有min_x f(x)= max_\mu F(\mu ),也就是min_x max_\mu  L(x,\mu ) = max_\mu min_x   L(x,\mu )

    为什么强对偶下可以得到KKT条件?

    首先看梯度共线。

    x^*表示原问题取得最优值的解,也就是f(x^*)=min_x f(x)=min_x max_\mu  L(x,\mu )。由强对偶性,可得max_\mu min_x   L(x,\mu )=min_x max_\mu  L(x,\mu )=f(x^*)。也就是说,min_x   L(x,\mu )x=x^*处取得极值,也就是,偏导数为零。

    然后看互补松弛条件。

     

    x=x^*时,有max_\mu min_x   L(x,\mu )=max_\mu\left[  f(x^*) +\sum_{i=1}^{m}\mu _ig_i(x^*) \right]=f(x^*)+max_\mu\left[ \sum_{i=1}^{m}\mu _ig_i(x^*) \right]=f(x^*)

    也就是,max_\mu\left[ \sum_{i=1}^{m}\mu _ig_i(x^*) \right]=0,也就是\mu _ig_i(x^*)=0,\forall i=1,...,m

    5,拉格朗日函数与对偶性

    对于不等式约束,

    一般的,由\mu \geq 0,g_i(x)\leq 0,有f(x)\geq max_\mu L(x,\mu )。所以min_xf(x)\geq min_x max_\mu  L(x,\mu )

    而根据拉格朗日对偶函数,有对偶问题为max_\mu F(\mu )=max_\mu min_x L(x,\mu )。由因为对偶问题是凸优化(Slater条件也满足),根据对偶问题的强对偶性,有max_\mu F(\mu )=max_\mu min_x L(x,\mu )= min_x max_\mu L(x,\mu )

     

    所以,有min_xf(x)\geq min_x max_\mu  L(x,\mu )=max_\mu min_x L(x,\mu )=max_\mu F(\mu )。这就是原问题的对偶性。

    当原问题有强对偶性时,由min_xf(x)=max_\mu F(\mu ),有min_xf(x)= min_x max_\mu  L(x,\mu )

     

    6,参考

    无约束最优化方法 - Orisun - 博客园 

    拉格朗日乘子法和KKT条件 - Orisun - 博客园
    【整理】深入理解拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和KKT条件
    KKT conditions深入理解拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和KKT条件优化问题中的对偶性理论

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  • 蚁群算法解决多峰函数优化问题

    千次阅读 2020-03-28 03:23:43
    多峰函数优化问题在实际应用中大量存在,多峰函数是指有多个极值点的函数,这些极值点可能相同,也可能不同。 二、蚁群问题解决函数多峰寻优问题思想         以一维函数y=...

    一、多峰优化问题概述
            多峰函数优化问题在实际应用中大量存在,多峰函数是指有多个极值点的函数,这些极值点可能相同,也可能不同。
    二、蚁群问题解决函数多峰寻优问题思想
            以一维函数y=f(x)的极小值寻优为例,对函数多峰值寻优进行研究。若为函数极大值寻优,可以将问题转化成y=-f(x)的极小值寻优,所求的极大值为y=-f(x)的极小值的相反数。
    蚁群算法基本思想如下:
            为方便起见,不妨设函数y=f(x)的定义域为[a,b]。首先将[a,b]划分成若干个长度相等的小区间,这些小区间记为{I1,I2…In},区间Ii的中点记为x。设与区间Ii相邻的区间为I(i+1)(或者I(i-1)),假设Ii和I(i+1)之间有一条虚拟的边e(Ii,I(i+1)),该边的权重(虚拟距离)和f(xi)-f(x(i+1))的大小有关,f(xi)-f(x(i+1))越大,蚂蚁从区间Ii转移到区间I(i+1)的可能性就越大。蚂蚁从区间Ii转移到区间l(i+1)后,要留下信息素,所留信息素的大小是一个与f(xi)-f(x(i+1))有关的量,区间I(i+1)的信息素越多,就越吸引相邻区间蚂蚁向其转移。
            蚂蚁经过许多次转移之后,有的区间含有许多蚂蚁,而有的区间则不含蚂蚁。那些含有蚂蚁的区间正是包含极值点的区间,不含蚂蚁的区间,不大可能包含极值点。取出包含蚂蚁的区间,并将它们重新细化,重复上述搜索过程,直到细化后的区间足够小。最后,蚂蚁都停留在了极值点附近,蚂蚁所在的区间的中点位置正是极值点的位置。
    三、具体实现步骤
    1.蚁群初始分布
            首先将问题的定义域[a,b]进行n等分,等分后的各区间长度为β=(b-a)/n各区间记为{I1,I2,…In},其中Ii(i=1…n)表示第i个区间,则
                                             11=[a+(i-1)β,a+iβ]
    式中a+(i-1)β、a+iβ分别为区间Ii的左、右端点。区间I1的中点位置记为xi,则
                                                     xi=a+(i-1/2)β
            初始时刻,在每个区间的中点位置放置一只蚂蚁,记这n只蚂蚁为a1,a2…an,,蚂蚁a1位于区间I1的中点位置x1。每一个位置xi对应一个函数值f(xi)。ti(t)表示t时刻子区间Ii上的信息量,在初始时刻各子区间的信息量相等,设ti(0)=const(const为正常数)。初始化各子区间的信息素增量△ti=0,(i=1…n)。
    在这里插入图片描述
    2.蚁群转移规则
             不妨用neighbor(Ii)表示与区间Ii邻近的区间集合,则对于一维函数
    在这里插入图片描述
    位于区间Ii的蚂蚁向其邻近区间Ij进行转移,假设Ii和Ij之间有一条虚拟的边e(li,Ij),该边的权重为|f(xi)-f(xj)|,则启发函数nij=|f(xi)-f(xj)|
    设蚂蚁ak当前处于区间Ii,若f(xi)-f(xj)>0,蚂蚁ak就可以转移到其邻近区间Ij;否则,蚂蚁不向其转移。设用allowedk:表示蚂蚁ak(k=1…n)下一步可以转移的子区间的集合。
            用pij(t)表示第t次循环蚂蚁ak从子区间I1转移到子区间Ij的概率,模仿基本蚁群算法,定义蚂蚁ak的转移概率如下:
    在这里插入图片描述式中,a为信息启发式因子,β为期望启发式因子。tj为子区间Ij的信息量,如果蚂蚁ak依概率从子区间Ii转移到了子区间Ij,那么蚂蚁ak当前所在的子区间就为Ij。

    3.信息素更新
             如果蚂蚁ak依概率从子区间Ii转移到了子区间Ij,那么蚂蚁ak就会在区间Ij留下信息素,所留信息素的量用△tjf(t)表示,则
    在这里插入图片描述
    式中,C1是一个正常数。f(xi)-f(xj)越大,蚂蚁ak留下的信息素就越多,就越吸引其他蚂蚁向区间Ij转移。
            所有转移到区间Ij的蚂蚁都要留下相应的信息素,假设在第t次循环,有q只蚂蚁转移到了区Ij,记这q只蚂蚁为aj1,aj2.,ajq,,它们留在区间Ij的信息素总和为△tj(t),则
    在这里插入图片描述
    式中,p为信息素挥发系数,因此1-p是信息素残留因子。
    4.缩小蚁群搜索空间
            函数值较小的区间含有的信息素会较多,更容易吸引蚂蚁向其转移。经过一些循环,当所有蚂蚁都停止转移的时候,蚁群分布就会出现这样的特点:所有蚂蚁都分布在极值点较小的区间,而其他区间则没有蚂蚁,即含有蚂蚁的区间包含极小值点。取出这些包含蚂蚁的区间,并将这些区间重新细化,在下一次循环时,让蚁群在这些区间重新搜索极小值点。如此循环下去,蚁群的搜索范围就会越来越小,当细化后的区间足够小的时候,所有蚂蚁就会停留在极值点附近,蚂蚁所停留的区间的中点位置就是极值点的位置。
    在这里插入图片描述四、算法实现
    Step1(初始化)将问题的定义域[a,b]进行n等分,设等分后的各区间的长度为β,停止门限为e。在每个区间的中部放置一只蚂蚁,初始化各区间的初始信息量ti(0),信息素增量△ti=0。
    Step2 While(β>e)
    {
    Step2.1:所有蚂蚁根据式(3-1)进行邻近区间转移。
    Step2.2:根据式(3-2)、(3-3)、(3-4)进行信息素更新。
    Step2.3:当所有蚂蚁都不再进行邻近区间转移时,更新蚁群的搜索范围,即只将蚁群最终聚集的区间进行细化(设细化后的区间个数为nl)。计算细化后的区间长度,并将其赋值给β。
    }

    ***Step3***结果输出。蚂蚁最终聚集的子区间就是含极值点的子区间,该子区间中间位置即为极值点位置。
    值得注意的是,如果x是多维变量,将向量的每一维变量看作一个区间,进行等分。这些各自等分的区间结合起来就构成了一些小空间,在这些等分空间的中间位置各放置一只蚂蚁,重复上述搜索过程进行搜索,这个多维空间的所有极值点就会被找到。
    五、实例
    (ps:matlab代码不是很熟悉就直接用了大佬的代码
    源代码链接:https://blog.csdn.net/weixin_43267645/article/details/103763344)

    function value = fun_value(point) %求函数值的函数
       value=(point(1)+2*point(2)-7)^2+(2*point(1)+point(2)-5)^2;
    end
    
    function main
    count1=1;
    D=zeros(3,length(-200:10)^2);%第一行为函数值,第二三行为坐标
    n=length(-200:10);
    t=length(-200:10)^2;
    for x=-10:200
        for y=-200:10
            D(1,count1)=fun_value([x,y])+4;
            D(2,count1)=x;
            D(3,count1)=y;
            count1=count1+1;
        end
    end
    
    m = 100;                              % 蚂蚁数量
    alpha = 1.5;                           % 信息素重要程度因子
    beta = 0.8;                            % 启发函数重要程度因子
    rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
    Q = 140;                               % 信息素释放增强系数
    Eta = 1./D(1,:);                          % 启发函数
    Tau = ones(1,t);                     % 信息素矩阵
    Table = zeros(1,m);                  % 函数值记录表,每一行代表一个蚂蚁走过的路径
    iter = 1;                            % 迭代次数初值
    iter_max = 20;           % 最大迭代次数    
    target_index1=zeros(1,m);     %存放每个蚂蚁到达的点的坐标
    Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最小函数值
    Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代平均函数值 
     
    % V. 迭代寻找最佳路径
    while iter <= iter_max
        for i=1:m  % 逐个蚂蚁路径选择
            P=zeros(1,t);
            for k=1:t % 逐个点选择
                
                P(k) = Tau(k)^alpha* Eta(k)^beta;
            end
            p= P/sum(P);% 计算选取某一个点概率
                Pc = cumsum(p);     
                target_index = find(Pc>= rand); %轮盘赌法
                target = D(1,target_index(1)); 
                target_index1(i)=target_index(1);
                Table(i)=target;           
        end                                                                    
        Length_best(iter)=target  
         % 更新信息素
          Delta_Tau = zeros(1,t);
          % 逐个蚂蚁计算
          for i = 1:m   
                  Delta_Tau(target_index1(i)) = Delta_Tau(target_index1(i)) + Q/Table(i);
          end
          Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
        Table=zeros(1,m);
        iter=iter+1
    end
    c=1:iter_max;
     Length_best(end)
     plot(c,Length_best,'-')
     end
    
    

    运行效果:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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  • 粒子群算法(PSO)解决函数优化问题

    万次阅读 2019-03-22 22:27:00
    粒子群算法(PSO)解决函数优化问题 本文转载自:http://wenku.baidu.com/link?url=E6F5Nv6kW5nOQ2BD3mm4q5ld22o_pLQ48jPD-9N4q_1Sh-lJOrWVCo1Bc9SYB514goOOpXQJrk5sqTyzvrVthvnhXWqBnwzAMl4S8Miveka### 目录 ...

    粒子群算法(PSO)解决函数优化问题


    本文转载自:http://wenku.baidu.com/link?url=E6F5Nv6kW5nOQ2BD3mm4q5ld22o_pLQ48jPD-9N4q_1Sh-lJOrWVCo1Bc9SYB514goOOpXQJrk5sqTyzvrVthvnhXWqBnwzAMl4S8Miveka###


     

    目录

    粒子群算法(PSO)解决函数优化问题

     

    引言

    一、 问题描述

    1.1 连续函数求最大值问题

    二、算法设计

    2.1算法流程框图

    2.2 算法实现

    2.3 参数选择

    三、程序设计

    四、 结果与分析

    4.1 实验结果

    4.2 分析

    五、总结


    引言

        本文主要利用粒子群算法解决连续函数的最小值问题,粒子群优化是一种新兴的基于群体智能的启发式全局搜索算法,粒子群优化算法通过粒子间的竞争和协作以实现在复杂搜索空间中寻找全局最优点。它具有易理解、易实现、全局搜索能力强等特点,倍受科学与工程领域的广泛关注,已经成为发展最快的智能优化算法之一。本文介绍了粒子群优化算法的基本原理,分析了其特点,并将其应用于函数优化问题求解。

        求函数最优值问题,对此问题,传统的优化技术很容易陷入局部最优解,求得全局优化解的概率不高,可靠性低;为此,建立尽可能大概率的求解全局优化解算法是求解函数优化的一个重要问题。本文采用粒子群算法来解决这类问题。

    一、 问题描述

    1.1 连续函数求最大值问题

        本文主要选取一个三维函数,利用matlab编写粒子群算法程序来求解,以验证遗传算法在解决函数优化问题中的有效性。本文选取的函数为:f=x(1).^2+x(2).^2+x(3).^2,求它的最小值。

    1.2 粒子群算法

        PSO从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。PSO 中,每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只鸟,称之为粒子。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适值( fitness value) ,每个粒子还有一个速度决定它们飞翔的方向和距离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。

        PSO初始化为一群随机粒子(随机解),然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中,粒子通过跟踪两个极值来更新自己;第一个就是粒子本身所找到的最优解,这个解称为个体极值;另一个极值是整个种群目前找到的最优解,这个极值是全局极值。另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分作为粒子的邻居,那么在所有邻居中的极值就是局部极值。

        假设在一个 维的目标搜索空间中,有 个粒子组成一个群落,其中第 个粒子表示为一个 维的向量

     , 。

    第 个粒子的“飞行 ”速度也是一个 维的向量,记为

     , 。

    第 个粒子迄今为止搜索到的最优位置称为个体极值,记为

     , 。

    整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为全局极值,记为

     

    在找到这两个最优值时,粒子根据如下的公式(1.1)和( 1.2)来更新自己的速度和位置:

                (1.1)

                            (1. 2)

    其中: 和 为学习因子,也称加速常数(acceleration constant), 和 为[0,1]范围内的均匀随机数。式(1.1)右边由三部分组成,第一部分为“惯性(inertia)”或“动量(momentum)”部分,反映了粒子的运动“习惯(habit)”,代表粒子有维持自己先前速度的趋势;第二部分为“认知(cognition)”部分,反映了粒子对自身历史经验的记忆(memory)或回忆(remembrance),代表粒子有向自身历史最佳位置逼近的趋势;第三部分为“社会(social)”部分,反映了粒子间协同合作与知识共享的群体历史经验。      

    二、算法设计

         这部分内容主要是针对本文主要研究问题的类型确定粒子群算法具体实现过程和一些参数的选择。

    2.1算法流程框图

                          图1 粒子群算法流程图

    2.2 算法实现

    算法的流程如下:

    ① 初始化粒子群,包括群体规模 ,每个粒子的位置 和速度 

    ② 计算每个粒子的适应度值 ;

    ③ 对每个粒子,用它的适应度值 和个体极值 比较,如果  ,则用 替换掉 ;

    ④ 对每个粒子,用它的适应度值 和全局极值 比较,如果 则用 替 ;

    ⑤ 根据公式(1.1),(1.2)更新粒子的速度 和位置  ;

    ⑥ 如果满足结束条件(误差足够好或到达最大循环次数)退出,否则返回②。

    2.3 参数选择

            本算法中主要的参数变量为 (惯性权值),  , (加速因子),N (种群数),M (迭代次数),D (粒子维数)。

    (1)种群规模

    通常,种群太小则不能提供足够的采样点,以致算法性能很差;种群太大尽管可以增加优化信息,阻止早熟收敛的发生,但无疑会增加计算量,造成收敛时间太长,表现为收敛速度缓慢。种群规模一般设为100~1000。本文选择种群规模为100。

    (2)最大迭代次数

    迭代次数越多能保证解的收敛性,但是影响运算速度,本文选1000次。

    (3)惯性权值

    惯性权重 表示在多大程度上保留原来的速度。 较大,全局收敛能力强,局部收敛能力弱; 较小,局部收敛能力强,全局收敛能力弱。本文选0.6。

    (4)加速因子

    加速常数 和 分别用于控制粒子指向自身或邻域最佳位置的运动。文献[20]建议 ,并通常取 。本文也取 。

    (5)粒子维数

        本文中粒子维数取决于待优化函数的维数,例如本文取3。

        需要说明的是,本文的程序允许改变这些参数,因为本文编写的程序参照matlab工具箱,留给用户解决这类问题一个接口函数,上述的各个参数正是接口函数的参数,因此允许改变。另外对于 和c也可采用变参数法,即随迭代次数增加,利用经验公式使它们动态调整,本文采用固定值。

    三、程序设计

        程序主要由两个m文件组成,pso.m是遗传算法接口文件,fitness.m是待求解的问题函数,只需要修改fitness.m里的目标函数就可实现不同问题的解。

    (1)pso.m文件

    function [xm,fv] = PSO(fitness,N,c1,c2,w,M,D)

    %fitness-是要优化的目标函数,N-种群数,c1,c2-学习因子,w-惯性权重,M-迭代次数,D-粒子维数。

    format long;

    %初始化种群

    for i=1:N

        for j=1:D

            x(i,j)=randn;  %随机初始化位子

            v(i,j)=randn;  %随机初始化速度

        end

    end

    %先计算各个粒子的适应度,并初始化pi-粒子个体极值和pg-全局极值

    for i=1:N

       p(i)=fitness(x(i,:));

       y(i,:)=x(i,:);

    end

    pg = x(N,:);             %pg为全局极值

    for i=1:(N-1)

        if fitness(x(i,:))<fitness(pg)

            pg=x(i,:);

        end

    end

    %进入粒子群算法主要循环

    for t=1:M

        for i=1:N

            v(i,:)=w*v(i,:)+c1*rand*(y(i,:)-x(i,:))+c2*rand*(pg-x(i,:));

            x(i,:)=x(i,:)+v(i,:);

            if fitness(x(i,:))<p(i)

                p(i)=fitness(x(i,:));

                y(i,:)=x(i,:);

            end

            if p(i)<fitness(pg)

                pg=y(i,:);

            end

        end

     Pbest(t)=fitness(pg);

    end

    xm = pg';

    fv = fitness(pg);

    (2)目标函数fitness.m文件

    function f=fitness(x)

    f=x(1).^2+x(2).^2+x(3).^2 ;

    end

    需要说明的是,针对不同的函数优化,只需要改变目标函数就可以。

    (3)在命令行输入或建立调用m文件

         在命令行先后输入[xm,fv] = PSO(@fitness,100,2,2,0.6,1000,3),或建立包涵该语句的m文件,运行即可得到结果。

    四、 结果与分析

    4.1 实验结果

    (1)对于目标函数f=x(1).^2+x(2).^2+x(3).^2 优化结果如下:

       xm =1.0e-162 *

       0.556163077454623

       0.937292023592359

       0.146573921409127

    fv =0 , fv是最优值,xm为最优值对应的自变量值。

    4.2 分析

        通过对实验结果和已知最小值比较可知,该算法能有效解决这类问题,需要特别指出的是xm的取值只是近似值,另外,本文的粒子群算法程序只是实现粒子群算法的基本功能,该算法还有待进一步改进。

    五、总结

        本文利用粒子群算法思想,通过编写matlab程序,对一个三维连续函数进行优化得到了较好的仿真结果,证明粒子群算法在解决这类问题的可行性。另外,在编写本文的工作过程中,提高了自己对粒子群算法的理解和应用能力。为今后利用智能算法撰写论文或进行科学研究打下了很好地基础。

     

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