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  • 求一些函数对称性,周期性的常见结论及其证明方法
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    2021-01-14 07:58:43

    1。 f(1+x)=f(1-x),f(2+x)=f(2-x),函数奇偶性?

    周期函数是指函数值随自变量的变化而呈周期性变化,正弦、余弦函数都是周期函数。表达式是f(x+T)=f(x)(x取任意值),如果一个函数能找到满足这一条件的T,那么这个函数就叫做周期函数,周期为T。

    f(1+x)=f(1-x) (1+x)+(1-x)=2 也就是说在这个函数中如果两个自变量的平均值为1,则它们的函数值相等,也就是此函数关于x=1对称。

    同理,f(2+x)=f(2-x),(2+x)+(2-x)=4 也就是说在这个函数中如果两个自变量的平均值为2,则它们的函数值相等,也就是此函数关于x=2对称。

    如果一个函数同时具备两个对称轴,那么,相临的轴的间距就是函数的半个周期,你可以对照正弦、余弦函数的图像发现这个规律。

    这样,本题的函数周期为2,那么函数必然还关于x=0对称,所以函数是偶函数。

    2。 两个三角函数如不能化为同名函数怎样判断周期性?

    根据定义或者画图象,不过画图象比较麻烦,一般选择用定义

    我来举个例子

    f(x)=|sinx|+|2cosx|的周期

    我们可以才用定义f(x+T)=f(x)来检验

    f(x+2π)=f(x)

    f(x+π)=|-sinx|+|-2cosx|=f(x)

    f(x+π/2)=|cosx|+|2sinx|不等于f(x)

    容易看出最小正周期为π

    周期函数的周期问题是十分复杂的。

    如果,两个函数不能够化成一个函数,一般的可以证明"如果两个函数的周期是可公度的,那么,不同周期的两个函数的和,差,积,商的周期是这两个周期的共同的整数倍。如果这俩函数的周期不可公度的,那么,它们的和,差,积,商不是周期函数。"

    而对待周期相同的两个函数只能具体地分别对待。

    例如:

    y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2。T=π

    y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2。T=π

    y3=y1+y2=1。T是任意实数,但是没有最小正周期。

    y4=sinx/cosx=tanx,T=π。

    y5=sin18x+cos15x。

    T=2π/3=120度是T1=π/9=20度和T2=2π/15=24度的"公倍数"。

    y6=sin2x+sinπx。T1=π和T2=2是不可公度的,因此此函数不是周期函数。

    3。 设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,对任意的x1,x2属于[0,0。

    5],都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2)。证明f(x)是周期函数?

    对于任意x,由偶函数知f(x)=f(-x);又由图像关于x=1对称,所以f(-x)=f(x+2)=f(x)。由此即证明了f(x)是周期函数。

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    excel函数对称性常见公式 16种常见的COUNTIF函数公式设置,前天刚学习了一个excel的新技术,叫“excel函数对称性常见公式”授课老师对我们说,这一技术的专业全称为“excel函数对称性常见公式 16种常见的COUNTIF函数公式设置”今天宝宝把这个技术分享给大家,不用谢哦~

    1、返回包含值12的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,12)

    2、返回包含负值的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,"<0")

    3、返回不等于0的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,"<>0")

    4、返回大于5的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,">5")

    5、返回等于单元格B1中内容的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,B1)

    6、返回大于单元格B1中内容的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,">"&B1)

    7、返回包含文本内容的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,"*")

    8、返回包含三个字符内容的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,"???")

    9、返回内容为单词“GOOD”(不区分大小写)的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,"GOOD")

    10、返回在文本中任何位置包含单词“GOOD”(不区分大小写)的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,"*GOOD*")

    11、返回内容以单词“AB”(不区分大小写)开头的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,"AB*")

    12、返回包含当前日期的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,TODAY())

    13、返回大于平均值的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,">"&AVERAGE(A:A))

    14、返回不等于空值和错误值的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,"<>")

    15、返回包含值为3或-3的单元格数量

    =SUM(COUNTIF(A:A,{3,-3}))

    16、返回包含逻辑值为TRUE的单元格数量

    =COUNTIF(A:A,TRUE)

    以上就是excel函数对称性常见公式 16种常见的COUNTIF函数公式设置全部内容了,希望大家看完有所启发,对自己的工作生活有所帮助,想要了解更多跟excel函数对称性常见公式 16种常见的COUNTIF函数公式设置请关注我们优词网!

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  • 函数对称性

    万次阅读 2020-12-24 11:10:11
    函数对称性:y=f(|x|)是偶函数,它关于y轴...函数对称性公式推导1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4...

    函数的对称性:y=f(|x|)是偶函数,它关于y轴对称,y=|f(x)|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,但无法判断是否具备对称性。例如,y=|lnx|没有对称性,而y=|sinx|却有对称性。

    函数的对称性公式推导

    1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2

    如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.

    对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X=b/2a

    原函数与反函数的对称轴是y=x.

    而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数,它的对称轴就不仅仅是X=90还有…(2n+!)90度等等.因为他的定义为R.

    f(x)=|X|他的对称轴则是X=0,

    还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了.

    如f(x-3)=x-3。令t=x-3,则f(t)=t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X=3(记住平移是左加右减的形式,如本题的X-3说明向由移)

    2,至于周期性首先也的从一般形式说起f(x)=f(x+T)

    注意此公式里面的X都是同号,而不象对称方程一正一负.此区别也是判断对称性还是周期性的关键.

    同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数,余弦函数正切函数等.当然它们的最小周期分别是2π,2π,π,当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期.如f(x)=sinX,T=2π(T=2π/W)

    但是如果是f(x)=|sinx|的话它的周期就是T=π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了,由图不难看出起最小对称周T=π.

    y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2

    y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2

    上面的2个方程T=π(T=2π/W)

    而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程,如果他们的周期相同,则它的周期还是相同的周期.如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T=π所以它的周期为T=π

    而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数.如

    y=sin3πx+cos2πx,T1=2/3,T2=1则T=2/3

    对称函数

    在对称函数中,函数的输出值不随输入变数的排列而改变。从函数的形式中可以看出若输入变数排列后,方程式不会改变。例如对于一个球体.若φ为其方位角,θ为其天顶角,r为半径,则大圆距离可以表示为

    根据上述的距离公式,可以看出一些对称性,在以下变换下,距离不变:

    天顶角各加某特定角度。

    其方位角对调、天顶角对调,或是两者都对调。

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  • 高中函数对称性总结

    千次阅读 2020-12-24 11:10:10
    一、对称性的概念及常见函数对称性1、对称性的概念函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。中心对称:如果一个...

    一、对称性的概念及常见函数的对称性

    1、对称性的概念

    函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。

    中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。

    2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)

    常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

    一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

    二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为x=-b/(2a)。

    反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴。

    指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。

    对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。

    幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。

    正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0)是它的对称中心,x=kπ+π/2是它的对称轴。

    正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。

    余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,(kπ+π/2,0)是它的对称中心。

    正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中(kπ/2,0)是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)。

    对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴,例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5),我在教学时总是问学生:你可看见过老师将“√”两边画得一样齐?学生们立刻明白并记忆深刻。

    三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

    绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。

    二、函数的对称性猜测

    1、具体函数特殊的对称性猜测

    一个函数一般是不会关于x轴的

    这是由函数定义决定的,因为一个x不会对应两个y的值。但我们在此略微引申,一个曲线是可能关于x轴对称的。

    例1判断曲线y^2=4x的对称性。

    函数关于y轴对称

    例2判断函数y=cos(sin(x))的对称性。

    函数关于原点对称

    例3判断函数y=(x^3)×sinx的对称性。

    函数关于y=x对称

    例4判断函数y=1/x的对称性。

    函数关于y=-x对称

    例5判断函数y=-4/x的对称性。

    总结:设(x,y)为原曲线图像上任一点,

    如果(x,-y)也在图像上,则该曲线关于x轴对称;

    如果(-x,y)也在图像上,则该曲线关于y轴对称;

    如果(-x,-y)也在图像上,则该曲线关于原点对称;

    如果(y,x)也在图像上,则该曲线关于y=x对称;

    如果(-y,-x)也在图像上,则该曲线关于y=-x轴对称。

    2、抽象函数的对称性猜测

    轴对称

    例6如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x),求该函数的所有对称轴。(任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4),正中间2.5,从而该函数关于x=2.5对称)

    例7如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x),求该函数的所有对称轴。(按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0,可见偶函数是特殊的轴对称)

    例8如果f(x)为偶函数,并且f(x+1)=f(x+3),求该函数的所有对称轴。(因为f(x+1)=f(-x-3),按上例可以猜出对称轴x=-1,又因为它以2为周期,所以x=k是它所有的对称轴,k∈Z)

    中心对称

    例9如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6,求该函数的对称中心。(因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心)

    例10如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0,求该函数的所有对称中心。(按上例一样的方法可以猜出对称中心为(0,0),可见奇函数是特殊的中心对称)

    例11如果f(x)为奇函数,并且f(x+1)+f(x+3)=0,求该函数的所有对称中心和对称轴。(由周期性定义知周期为4,又f(x+1)=-f(x+3),从而f(x+1)=f(-x-3),按上例知x=-1为对称轴,所以x=-1+2n为对称轴,(2k,0)为对称中心,其中k∈Z)

    总结:

    当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论,因为很容易与后面的结论相混淆。

    而当x前面的符号相同时告诉我们的是周期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。

    当x前面的符号相同,同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性,因为奇偶性有制造负号的能力。

    3、两个抽象函数之间的对称性猜测

    例12求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。(当第一个函数的x取0时,值为f(2),这时第二个函数的x必须取-1才也对应那么多,他们的正中间为-1.5,因而猜测对称轴为x=-1.5)

    总结:

    当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们仍然可以用特殊值代入来猜测,这里仍然不主张记结论,因为很容易与前面的结论相混淆。

    而当x前面的符号相同时告诉我们的是图像平移。例如y=f(x+2)与y=f(x-1),前者是由后者向左移三个单位得到。

    三、对称性的证明

    如果在解答大题时仅仅猜测出结论是不够的,我们要辅以完整的证明才行。

    1、一个函数的对称性证明

    例13证明如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则该函数关于直线x=(a+b)/2对称。

    证明:在y=f(x)上任取点(m,n),则n=f(m),而点(m,n)关于x=(a+b)/2的对称点为(a+b-m,n),又因为f(a+b-m)=f(a+(b-m))=f(b-(b-m))=f(m)=n,这正表明(a+b-m,n)也在原函数图像上,从而原函数关于直线x=(a+b)/2对称。

    总结:核心是间接法,即在函数上任取一点,对称点如果仍在函数图像上,我们就可以下结论该函数关于它对称。

    2、两个函数之间的对称性的证明

    例14证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2对称。(注意不是(a-b)/2,证明的方法类似于上例方法)

    总结:仍是间接法,但是多一次,需在函数上任取一点,对称点如果在对方函数图像上,同时在对方函数上任取一点,对称点又在该函数图像上,我们才可以下结论该函数关于它对称。取两次的原因是以免两个图像一个只是另一个对称过来图像的一部分。

    3、特别地关于y=x对称性的证明

    例15证明y=(2x+1)/(3x-2)关于y=x对称。(只需求出它的反函数是自己即可)

    总结:

    一个函数自身关于y=x对称不需要用上面的间接法,只需要证明它的反函数是自己就可以了。

    两个函数关于y=x对称性证明也不需要用上面那么繁琐的方法,只需证明两个函数互为反函数,即求一个的反函数为另外一个就可以了。

    反过来这句话也成立,如果需要证明两个函数互为反函数,只需要证明它们的图像关于y=x对称即可。

    四、对称性的运用

    1、求值

    例16已知f(x)=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。(我们只需要考虑当两个自变量加起来为0时函数值的和是否为定值,验证果然。而这里显然隐含的是函数的对称性)

    总结:“配对”,对称性主要是考查一对函数值之间的关系。

    2、“对称性+对称性”可以推导出周期性

    例17如果函数y=f(x)满足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x),求该函数的最小正周期。(因为f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))

    =f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期为4)

    总结:两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号,从而得出周期性。

    3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性

    这在前面已经提到,还是因为奇偶性有制造负号的能力。

    4、三角函数的奇偶性

    例18如果函数y=3sin(2x+θ+π/4)(其中0

    总结:几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用,先求出所有的对称轴,然后y轴是其中的一条(或者先求出所有的对称中心,然后原点是其中的一个)。

    5、关于y=x对称的应用

    例19求函数f(x)=e^(x+1)与函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。(因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数,关于y=x对称,而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到,g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到,因而对称轴也跟着左移一个单位,即y=x+1)

    6、对称性的本义

    例20如果y=asinx+bcosx关于x=π/4对称,求直线ax+by+3=0的直线的斜率。(既然关于x=π/4对称,则f(0)=f(π/2)代入求出a和b的关系即可)

    总结:对称性的本义就是关于对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数值的紧密关系。

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  • 常见周期信号的频谱,非周期信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换 3.4 常见周期信号的频谱 ? 由大变小,Fn 第...
  • 几种常见函数及其matlab应用

    千次阅读 2020-12-22 19:54:08
    展开全部常用的窗函数:bartlett,巴特利特窗口e68a843231313335323631343130323136353331333365656465调用格式:w = bartlett(L),%L在列向量中返回一个点的Bartlett窗口w,其中L必须是一个正整数。blackman,...
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  • 图解贝叶斯公式

    千次阅读 2021-03-17 14:35:40
    文章目录图解贝叶斯公式前言:参考链接:公式背景:以一个例子来理解先验和后验概率:贝叶斯公式常见名词我的图:总结:联系方式: 前言: 老规矩,先说说为什么要写这篇博客。 研一上《模式识别》和《机器学习》...
  • 深度学习 常见的损失函数

    千次阅读 2019-06-20 07:57:37
    当我们初学深度学习时,对于激活函数和损失函数的选择并不了解,这里提出一些建议,需要注意的是,这里给的是最后一层的激活函数问题类型 最后一层激活函数 损失函数 二分类问题 sigm...
  • [2, 0, 2, 2, 0, 1] # 正确的真值 y_pred = [0, 0 ,2, 2, 0, 2] # 分类器返回的估计目标 confusion_matrix(y_true, y_pred) array([[2, 0, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 2]]) 二、分类任务优化目标——常见损失函数介绍 1....

空空如也

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函数对称性常见公式