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  • 切比雪夫不等式的应用
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    2018-11-07 21:46:52

    公式

    P { ∣ X − μ ∣ &lt; ε } ≥ 1 − σ 2 ε 2 P\{|X-\mu|&lt;\varepsilon\} \geq 1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} P{Xμ<ε}1ε2σ2

    注:随机变量 X X X必须具有数学期望 E ( X ) = μ E(X)=\mu E(X)=μ,方差 D ( X ) = σ 2 D(X)=\sigma^2 D(X)=σ2 ε \varepsilon ε为任意正数。

    理解

    在任意一个数据集中,位于其平均数 m m m个标准差范围内的比例总是至少为 1 - 1 m 2 1-\frac{1}{m^2} 1m21
    标准差为 σ \sigma σ
    ε = 2 σ \varepsilon=2\sigma ε=2σ时:所有数据中,至少有3/4(或75%)的数据位于平均数2个标准差范围内。
    ε = 3 σ \varepsilon=3\sigma ε=3σ时:所有数据中,至少有8/9(或88.9%)的数据位于平均数3个标准差范围内。
    ε = 5 σ \varepsilon=5\sigma ε=5σ时:所有数据中,至少有24/25(或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。

    相对于高斯分布来说,
    1 σ 1\sigma 1σ原则:数值分布在 ( μ — σ , μ + σ ) (μ—σ, μ+σ) (μσ,μ+σ)中的概率为0.6826
    2 σ 2\sigma 2σ原则:数值分布在 ( μ — 2 σ , μ + 2 σ ) (μ—2σ, μ+2σ) (μ2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544
    3 σ 3\sigma 3σ原则:数值分布在 ( μ — 3 σ , μ + 3 σ ) (μ—3σ, μ+3σ) (μ3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974
    即:
    落入 μ ± σ \mu\pm\sigma μ±σ 的概率大约为68.26%
    落入 μ ± 2 σ \mu\pm2\sigma μ±2σ 的概率大约为95.44%
    落入 μ ± 3 σ \mu\pm3\sigma μ±3σ 的概率高达99.74%

    3 σ 3\sigma 3σ准则(拉依达准则)

    它是指先假设一组检测数据只含有随机误差,对其进行计算处理得到标准偏差,按一定概率确定一个区间,认为凡超过这个区间的误差,就不属于随机误差而是粗大误差,含有该误差的数据应予以剔除。这种判别处理原理及方法仅局限于对正态或近似正态分布的样本数据处理,它是以测量次数充分大为前提的,当测量次数少的情形用准则剔除粗大误差是不够可靠的。

    所以如果把切比雪夫不等式用于高斯分布的数据集,会得到一个非常保守、粗糙的上下界。

    切比雪夫不等式的意义在于,它虽然是一个粗糙的估计,但是适用于任意分布的数据集和任意的正数 ε \varepsilon ε

    应用

    这个用例来自知乎
    附图是欧元一小时的价格走势,红线为20日 μ \mu μ、绿线基于 μ \mu μ的2倍标准差,蓝线为3倍标准差,黄线为5倍标准差。

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  • 切比雪夫不等式证明及应用

    千次阅读 2021-11-26 19:17:12
    切比雪夫不等式


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    切比雪夫(1821~1894),俄文原名Пафну́тий Льво́вич Чебышёв,译名帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫,俄罗斯数学家。他对概率、统计学、力学和数论领域均有重大贡献,被誉为俄罗斯数学之父。许多重要的数学概念都是以他的名字命名,包括切比雪夫不等式(本文将要介绍的内容,其用于辛钦大数定理的证明)、伯特兰-切比雪夫定理、切比雪夫多项式和切比雪夫偏差。

    1 背景

    辛钦大数定理(弱大数定理),证明了当样本数越多,其算术平均值就有越高的概率接近期望值,学术表示为样本均值依概率收敛于期望值。而本文将要介绍的是辛钦大数定理证明中要用到的切比雪夫不等式

    2 定义

    切比雪夫不等式:设随机变量 X X X具有数学期望 E ( X ) = μ E\left( X \right) = \mu E(X)=μ,方差 D ( X ) = σ 2 D\left( X \right) =\sigma^2 D(X)=σ2,则对于任意正数 ε \varepsilon ε,不等式
    P { ∣ X − μ ∣ ≥ ε } ≤ σ 2 ε 2 (1) P \{ |X-\mu| \ge \varepsilon \} \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \tag{1} P{Xμε}ε2σ2(1)

    P { ∣ X − μ ∣ < ε } ≥ 1 − σ 2 ε 2 (2) P \{ |X-\mu| < \varepsilon \} \ge 1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \tag{2} P{Xμ<ε}1ε2σ2(2)
    成立。

    3 预备知识

    本文仅以连续型随机变量为例,离散型随机变量证明同理可得。在此之前我们来复习一下连续型随机变量的概率密度以及定积分保号性。

    3.1 连续型随机变量及其概率密度

    定义:对于随机变量 X X X的分布函数 F ( X ) F(X) F(X),存在非负可积函数 f ( x ) f(x) f(x),使对于任意实数 x x x
    F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d x F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)dx} F(x)=xf(t)dx
    则称 X X X连续性随机变量 f ( x ) f(x) f(x)称为 X X X概率密度函数,简称概率密度。由定义可知概率密度 f ( x ) f(x) f(x)具有如下性质

    1. f ( x ) ≥ 0 ; f(x)\ge0; f(x)0;
    2. ∫ − ∞ − ∞ f ( x ) d x = 1 ; \int_{-\infty}^{-\infty}{f(x)dx}=1; f(x)dx=1;
    3. 对于任意实数 x 1 , x 2 ( x 1 ≤ x 2 ) , x_1, x_2(x_1\le x_2), x1,x2(x1x2), P { x 1 < X ≤ x 2 } = F ( X 2 ) − F ( x 1 ) = ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x ; P\{ x_1<X \le x_2 \}=F(X_2)-F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}{f(x)dx}; P{x1<Xx2}=F(X2)F(x1)=x1x2f(x)dx;
    4. f ( x ) f(x) f(x)在点 x x x处连续,则有 F ′ = f ( x ) . F^{'}=f(x). F=f(x).

    反之,若 f ( x ) f(x) f(x)具备性质1,2,引入 G ( x ) = ∫ − ∞ − ∞ f ( t ) d t G(x)=\int_{-\infty}^{-\infty}{f(t)dt} G(x)=f(t)dt,他是某一处随机变量 X X X的分布函数, f ( x ) f(x) f(x) X X X的概率密度。

    3.2 定积分保号性

    定义:如果在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)\le g(x) f(x)g(x),那么
    ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x , ( a ≤ b ) 。 \int_{a}^{b}{f(x)dx}\le \int_{a}^{b}{g(x)dx} ,(a\le b)。 abf(x)dxabg(x)dx(ab)

    4 证明

    接下来我们开始证明切比雪夫不等式,设 X X X为连续型随机变量,其概率密度函数为 f ( X ) f\left( X\right) f(X)。则
    P { ∣ X − μ ∣ ≥ ε } = ∫ ∣ X − μ ∣ ≥ ε f ( x ) d x ≤ ∫ ∣ X − μ ∣ ≥ ε ∣ X − μ ∣ 2 ε 2 f ( x ) d x ≤ 1 ε 2 ∫ − ∞ ∞ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x = σ 2 ε 2 (3) \begin{aligned} P\{ |X-\mu| \ge \varepsilon \} &= \int_{|X-\mu| \ge \varepsilon}{f\left( x \right)}dx \tag{3}\\ &\le \int_{|X-\mu| \ge \varepsilon}{\frac{|X-\mu|^2}{\varepsilon^2}f\left(x\right)dx} \\ &\le \frac{1}{\varepsilon^2} \int_{-\infty}^{\infty}{\left(x-\mu\right)^2f\left(x\right)}dx\\ &=\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \end{aligned} P{Xμε}=Xμεf(x)dxXμεε2Xμ2f(x)dxε21(xμ)2f(x)dx=ε2σ2(3)
    其中第一行根据概率密度的定义可得,但是我们需要注意概率的定义,切记不要在求概率时用错;因为 1 ≤ ∣ X − μ ∣ 2 ε 2 1\le \frac{|X-\mu|^2}{\varepsilon^2} 1ε2Xμ2和概率密度性质1,则第一行到第二行根据定积分保号性可得;第二行到第三行则将积分限放缩到实域可得;而第四行中的积分项则为方差的定义式,由此证毕。基于概率的规范性可将公式(1)化为公式(2)。

    5 应用

    切比雪夫不等式给出了在随机变量的分布未知,而只需要知道 E ( X ) E(X) E(X) D ( X ) D(X) D(X)的情况下估计概率 P { ∣ X − E ( X ) ∣ < ε } P\{|X-E(X)|<\varepsilon\} P{XE(X)<ε}的界限。我们比较熟悉的为 3 σ 2 3\sigma^2 3σ2原则。设 D ( X ) = σ 2 D(X)=\sigma^2 D(X)=σ2,在不等式中取 ε = 2 σ , 3 σ , 4 σ \varepsilon=\red2\sigma, \red3\sigma, \red4\sigma ε=2σ,3σ,4σ得到
    P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ m σ } ≤ σ 2 m 2 = 1 m 2 P\{|X-E(X)|\ge \red m \sigma\} \le \frac{\sigma^2}{\red m^2}=\frac{1}{\red m^2} P{XE(X)mσ}m2σ2=m21
    则,
    P { ∣ X − E ( X ) ∣ < 2 σ } ≥ 1 − 1 4 = 3 4 = 75 % . P\{|X-E(X)|< \red 2 \sigma\} \ge 1- \frac{1}{\red 4}=\frac{3}{4}=75\%. P{XE(X)<2σ}141=43=75%.


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    6 参考文献

    [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Pafnuty_Chebyshev
    [2] 同济大学数学系. 高等数学·上册[M]. 高等教育出版社, 2014.
    [3] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 高等教育出版社, 2010.

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    单边切比雪夫不等式在离散型概率分布当中的应用与代码实现

    一、单边切比雪夫不等式

    1.1 基本概念

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    1.2 应用过程分析

    常规来说,我们利用切比雪夫不等式是来估算随机变量在某个区间的概率。但是当我们来生成相关分布的随机数时,应该是一个逆过程

    即,我们知道P{X<=x},逆应用切比雪夫不等式来得到对应的变量取值。

    1.3 逆公式的推导

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    我们只需要得到λ,然后X就落在(Ex + λ,Ex + λ)之间(其中前者的λ<0,后者λ<0)。然后再在这个区间内利用二分查找找到最接近满足P{X<=x}的x值。

    二、代码实现

    在这里插入图片描述
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    在进行判断pm落在哪个区间时,用到了计算累计分布的函数,下文第三部分我们将其展开讨论。

    三、正则beta函数积分计算

    3.1 基本函数

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    3.2代码实现

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    四、生成样本点画图

    在这里插入图片描述

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  • 一、马尔可夫不等式 马尔可夫不等式描述的是非负随机变量绝对位置的...切比雪夫不等式描述的是随机变量距期望相对位置偏离的概率上限 证明:记 右边 注意到,在中,,因此有 三、柯西-施瓦茨不等式 ...

    一、马尔可夫不等式(Markov)

    马尔可夫不等式描述的是非负随机变量绝对位置的概率上限

    对于非负随机变量X,a >= 0,有  P(X\geq a)\leq \frac{EX}{a}

    证明:原式可化为

     \int_{a}^{\infty}f(x)dx\leq \int_{0}^{\infty}\frac{x}{a}f(x)dx

    注意到,因为 X 非负,右边 \int_{0}^{\infty}\frac{x}{a}f(x)dx\geq \int_{a}^{\infty}\frac{x}{a}f(x)dx\geq \int_{a}^{\infty}f(x)dx=P(X\geq a)

    二、切比雪夫不等式(Chebyshev)

    切比雪夫不等式描述的是随机变量距期望相对位置偏离的概率上限

    P(|X-EX|\geq \varepsilon )\leq \frac{Var(X)}{\varepsilon^2}

    证明:记 \Phi =\{|x-EX|\geq \varepsilon \}

    \int_{\Phi}^{ }f(x)dx\leq \frac{E(X-EX)^2}{\varepsilon^2}

    右边 \frac{E(X-EX)^2}{\varepsilon^2}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-EX)^2f(x)dx/\varepsilon^2\geq \int_{​{\Phi}^{ }}(x-EX)^2f(x)dx/\varepsilon^2

    注意到,在 \Phi 中,(x-EX)^2\geq \varepsilon ^2,因此有

    \int_{​{\Phi}^{ }}(x-EX)^2f(x)dx/\varepsilon^2\geq \int_{​{\Phi}^{ }}f(x)dx

    三、柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz)

    柯西-施瓦茨不等式描述的是协方差与方差之间的不等关系

    Cov(X,Y)^2\leq \sigma _{X}^2\sigma _{Y}^2

    证明:上式可化为 E^2(X-EX)(Y-EY)\leq E(X-EX)^2E(Y-EY)^2

    可以看到组成部分只有 2 个:X-EX 与 Y-EY

    因此构造函数 f(t)=E[t(X-EX)+(Y-EY)]^2

    =E[(X-EX)^2t^2+2(X-EX)(Y-EY)t+(Y-EY)^2]

    显然有 f(t)\leq 0,所以上述二次函数 \Delta =4E^2(X-EX)(Y-EY)-4E(X-EX)^2E(Y-EY)^2\leq 0

    即柯西-施瓦茨不等式

     

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