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  • 单边切比雪夫不等式在离散型概率分布当中的应用与代码实现 一、单边切比雪夫不等式 1.1 基本概念 1.2 应用过程分析 常规来说,我们利用切比雪夫不等式是来估算随机变量在某个区间的概率。但是当我们来生成相关分布...

    单边切比雪夫不等式在离散型概率分布当中的应用与代码实现

    一、单边切比雪夫不等式

    1.1 基本概念

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    1.2 应用过程分析

    常规来说,我们利用切比雪夫不等式是来估算随机变量在某个区间的概率。但是当我们来生成相关分布的随机数时,应该是一个逆过程

    即,我们知道P{X<=x},逆应用切比雪夫不等式来得到对应的变量取值。

    1.3 逆公式的推导

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    我们只需要得到λ,然后X就落在(Ex + λ,Ex + λ)之间(其中前者的λ<0,后者λ<0)。然后再在这个区间内利用二分查找找到最接近满足P{X<=x}的x值。

    二、代码实现

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    在进行判断pm落在哪个区间时,用到了计算累计分布的函数,下文第三部分我们将其展开讨论。

    三、正则beta函数积分计算

    3.1 基本函数

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    3.2代码实现

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    四、生成样本点画图

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  • 切比雪夫不等式的意义在于,它虽然是一个粗糙的估计,但是适用于任意分布的数据集和任意的正数 ε \varepsilon ε 。 应用 这个用例来自 知乎 附图是欧元一小时的价格走势,红线为20日 μ \mu μ 、绿线基于 μ...

    公式

    P{Xμ&lt;ε}1σ2ε2P\{|X-\mu|&lt;\varepsilon\} \geq 1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}

    注:随机变量XX必须具有数学期望E(X)=μE(X)=\mu,方差D(X)=σ2D(X)=\sigma^2ε\varepsilon为任意正数。

    理解

    在任意一个数据集中,位于其平均数mm个标准差范围内的比例总是至少为11m21-\frac{1}{m^2}
    标准差为σ\sigma
    ε=2σ\varepsilon=2\sigma时:所有数据中,至少有3/4(或75%)的数据位于平均数2个标准差范围内。
    ε=3σ\varepsilon=3\sigma时:所有数据中,至少有8/9(或88.9%)的数据位于平均数3个标准差范围内。
    ε=5σ\varepsilon=5\sigma时:所有数据中,至少有24/25(或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。

    相对于高斯分布来说,
    1σ1\sigma原则:数值分布在(μσ,μ+σ)(μ—σ, μ+σ)中的概率为0.6826
    2σ2\sigma原则:数值分布在(μ2σ,μ+2σ)(μ—2σ, μ+2σ)中的概率为0.9544
    3σ3\sigma原则:数值分布在(μ3σ,μ+3σ)(μ—3σ, μ+3σ)中的概率为0.9974
    即:
    落入μ±σ\mu\pm\sigma 的概率大约为68.26%
    落入μ±2σ\mu\pm2\sigma 的概率大约为95.44%
    落入μ±3σ\mu\pm3\sigma 的概率高达99.74%

    3σ3\sigma准则(拉依达准则)

    它是指先假设一组检测数据只含有随机误差,对其进行计算处理得到标准偏差,按一定概率确定一个区间,认为凡超过这个区间的误差,就不属于随机误差而是粗大误差,含有该误差的数据应予以剔除。这种判别处理原理及方法仅局限于对正态或近似正态分布的样本数据处理,它是以测量次数充分大为前提的,当测量次数少的情形用准则剔除粗大误差是不够可靠的。

    所以如果把切比雪夫不等式用于高斯分布的数据集,会得到一个非常保守、粗糙的上下界。

    切比雪夫不等式的意义在于,它虽然是一个粗糙的估计,但是适用于任意分布的数据集和任意的正数ε\varepsilon

    应用

    这个用例来自知乎
    附图是欧元一小时的价格走势,红线为20日μ\mu、绿线基于μ\mu的2倍标准差,蓝线为3倍标准差,黄线为5倍标准差。

    在这里插入图片描述

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  • 这个内容在浙江省和江苏省考得比较多,其它考区不太清楚,听说全国卷不等式都是放在“不等式选讲”里面考的,应该考的不多吧。首先解释一下为什么不更全能生的大题。因为这个大题实在虎头蛇尾,三角函数大题还有点...

    ba8681847e34a7fff9ec61c204753db3.png

    (题图为第一类切比雪夫多项式的图像)

    大家好!

    今天给大家带来一个难度相对较大的内容:切比雪夫最佳逼近直线。这个内容在浙江省和江苏省考得比较多,其它考区不太清楚,听说全国卷不等式都是放在“不等式选讲”里面考的,应该考的不多吧。

    首先解释一下为什么不更全能生的大题。因为这个大题实在虎头蛇尾,三角函数大题还有点难度,到后面就没啥了,个人认为意义不是太大。然后最近浙江省好卷太少了,比如杭二月考卷,有很多题都在平时的练习中见过,20题还是我们学校上学期考试或者是周周练的原题,这是让我比较失望的。温州中学和名校协作体也有dalao已经在知乎上写了。所以今天就写一个求最值方面的小技巧吧。

    今天要介绍的技巧称为切比雪夫最佳逼近线,一般情况下运用在求形如

    的函数的最大值的最小值问题中。

    切比雪夫最佳逼近

    以下内容是理论分析,可能比较抽象。不必担心,看完以后再看后面的实际操作例题就可以理解的。但是不要跳过理论分析直接看例题,那样可能不知道我究竟在干嘛。

    上的连续函数,
    ,称
    与直线
    的偏差,成功取到最大值的那个
    称为偏差点,若
    则称为正偏差点,
    则称为负偏差点。

    注意到

    的几何意义就是
    在横坐标相等时的“纵向距离”,因此这种方法也叫做借助纵向距离法。

    定义集合

    ,若存在函数
    使得对
    ,都满足
    ,则称
    的最佳逼近直线。

    我很想用大白话翻译一下上述数学语言,但是找不到什么大白话,所以还是请大家仔细理解一下了。

    然后讲一下最佳逼近直线的求法。

    对于凹、凸函数(即二阶导数在定义域内不变号),最佳逼近直线的求法是:

    代数表述:

    式中k即为MN斜率,c满足

    几何表述:

    (1)连接

    (2)在

    曲线上找一点C,使得
    在C处的切线平行于MN

    请注意,C点是一定存在的,拉格朗日中值定理可以证明C的存在性。

    (3)连接MC,取其中点D,过D作MN的平行线,该直线即为最佳逼近直线。M,C,N轮流为正负偏差点。

    (更加简单的表述:作直线MN和C处切线的“中间”直线)

    例题

    例1

    ,使得对
    ,求c的最大值。

    通过对存在、任意两个量词的理解和分析,我们可以判断出这是一道典型的最大值的最小值问题。

    ,所以可以用最佳逼近。

    注意,由于二次函数的二阶导数是常数,其凹凸性不会变化,所以对于二次函数可以免去求二阶导数的步骤。

    两端点的割线斜率为1,割线方程为
    .

    在点
    处的切线斜率为1(这个点可以由求导很容易的解出,此处略去),切线方程为
    .

    其“中间”直线即为最佳逼近直线,

    .

    .

    例2 (2015·浙江学考,34(3))

    ,对
    ,求m的取值范围。

    请注意,对于我们很熟悉的函数,我们可以直接通过画图像判断其凹凸性,不求二阶导数也没有关系。

    显然是一个上凸函数。

    两端点割线

    (1,1)处切线

    “中间”直线为最佳逼近直线:

    .

    (求导求最值过程略去)

    .

    这道题当年在学考中是一个大题,意在考察分类讨论的思想和绝对值不等式的应用,所以考场上不能用最佳逼近。但是在高考中此类试题一般会出现在小题中,此时切比雪夫最佳逼近可以成为一个非常好的办法。

    例3 (2010·全国高中数学联赛,9)已知函数

    , 当
    ,求a的最大值。

    端点相连的割线:

    g(x)在

    处的切线:

    “中间”直线为最佳逼近直线:

    显然a的最大值为

    .

    例3是已知最大值的最小值反求参数的问题,相当于是逆用,与前两道正用的有所区别。

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    1. 问题引入——频率的稳定值记为概率,这里的“稳定”是何含义?

     

    2. 依概率收敛的定义

     

    3. 依概率收敛示例

     

    4. 依概率收敛的性质

     

    5. 切比雪夫不等式(定理)及其证明

     

    6. 切比雪夫不等式的适用范围

     

    7. 切比雪夫不等式的应用示例

     

     

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