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  • 建模算法函数逼近处理,用切比雪夫多项式逼近已知函数
  • 本文章仅代表个人观点,如有错误缺漏,欢迎指正。...1.广义切比雪夫滤波器原型由广义切比雪夫原型得到传递函数的分子分母多形式,,是综合滤波器以及得到耦合函数的基础。由可求得的零点,由可求得的零点. ...

    本文章仅代表个人观点,如有错误缺漏,欢迎指正。

    广义切比雪夫滤波器原型是现在广泛使用的滤波器函数,因其把有切比雪夫滤波器无限元处的传输零点移到有限远处(可以是近带外),使近带外的抑制特性更好。

    1.广义切比雪夫滤波器原型

    由广义切比雪夫原型得到传递函数的分子分母多形式aa345f1cce21ed223d08e7ca8ec77e6c.png,55f50a005088156d8f33d047c7eb5a47.png,b18d6eda8d1e16587eb562cae2d0d323.png是综合滤波器以及得到耦合函数的基础。由aa345f1cce21ed223d08e7ca8ec77e6c.png可求得03ea1e0cc3d000266cc9ee4c0db7890f.png的零点,由f9c1bb3bfd4dec5ff46f35a181c320dc.png可求得80b63408b86b872780b31826bdcfc48a.png的零点.

    1976e671d9a55b4b0e1081d96b0e92de.png                                 (1)

    5d8cf5702b8ca3832446566d5c0ba0f3.png                                  (2)

    其中,纹波系数e25863e5a4981a83d1fcd059f422540b.png   (3)

    由图1的通用带通滤波器电路模型可以耦合系数与电路各部分之间的关系。

    bd5c860acd114cb54768f2d048fb4670.png

    1 含交叉耦合的滤波器电路

    根据基尔霍夫定理可得方程组:

    dee2c9904ab7e666e4500dd559130084.png

    写成矩阵形式

    94d00666c99b95e91ad6ffcf1e4c6c20.png  (4)

    如果设2950a23d728193496f2a3887a056b8b8.png  (5)

    其中[U]为单位矩阵,R为9a7610e9f4e32aae406150a609af30a0.pngd1b7f7e72f09bf6777f5b91116ccf12c.png,其余元素为0的N阶矩阵,M是耦合矩阵。

    2f618e91c0f56599127b23f11693ca28.png,这里t代表是转置矩阵。设[I]为电流向量

    那么上式可简化写为:

    [A][I]=-j[e]

    则可以由耦合矩阵计算出[I],由此得出耦合矩阵和S参数的关系如下式:

    c9fbe2a3d49ea0d5e9d31cdc6c9845cc.png                          (6)

    880438acf9fdb237cb1468df4134498f.png                        (7)

    2.广义切比雪夫函数的综合

    对于一个无耗网络,满足能量守恒,即3819c40acf54f2dda034c52dc06e382b.png.式(1)和(2)可得

    de04723467a6e88ca78538c542df6b35.png                             (8)

    其中,

    95c18905ebb1a04c1ae3ee50db1b1547.png                              (9)

    如果滤波器的传输函数是广义切比雪夫的特性,则可以96706c1a076e82cf22739f38dc4cf8a2.png可以改写成:

    6e181fe329da201c9a5b997cc0548325.png                  (10)

    其中,b83166962d00726ce3e83eba0c748f7d.png                                                    (11)

    综合步骤首先要将式(10)中的8b90573620371d82e3ff1d4350c65120.png替代为:

    23e0ca0da9dcc98eb4076f05b292e393.png                    (12)

    其中,c8b7bc60fb7a516317ee103eeaa90aa9.png86bac32abc67ff6af6894b6cd2e28b05.png                                   

    那么96706c1a076e82cf22739f38dc4cf8a2.png可以做如下变化:

    27c1e0cbd58878fc232c7bb8bd6007a5.png (13)

    把上式中第二项的分子和分母同时乘以b2c9894150fc02076136461ff0b4307d.png。因为

    96e449de868a0be858315b48766eb926.png     (14)

    所以,

    c7e16312536ebeceaaf7d8590c16de81.png               (15)

    把(11)和(13)带入 (15),就可以得到式 (12)的最终表达式可以写为:

    a83472ed97e36d2620eb0e43a4bd571d.png                       (16)

    这里 5cee4c4bf191fcb8222c3afee5a6b0dd.pngfe232fe905b7b448ccbda48ef54ec821.pnga120ef372975ae9d494db037fbfd7357.png

    如果展开(6)式,可以发现与ω相乘的系数都会消去,如下所示:

    当N=1时,1f052fce7ffd1366462603c348a85d70.png         (17)

    当N=2时,4b9f528001371c6a5480fdf712cc2d36.png  (18)

    当N=3时,1e5ea012df1265f7186706a085ee8fdc.png  (2-33)以此类推。

    可以看出,96706c1a076e82cf22739f38dc4cf8a2.png的分母是由12fb7f1301c55d46cbc6de3c6b68eb2e.png22e071b4b8864f7b50ad3e26f63a83e3.png构成的。通过这个公式,运用递归运算,可以求得96706c1a076e82cf22739f38dc4cf8a2.png的分子多项式,也就是455927628f7dbb816586a922da5a9279.png的分子aa345f1cce21ed223d08e7ca8ec77e6c.png.每次递归的结果都可以重新分配再组合,成为两个新的多项式的和,这两个多项式设为db52f28b152c41dbf2c170b20dd2f595.png2b64786f48b17873fae0c626660d6840.png。多项式db52f28b152c41dbf2c170b20dd2f595.png只与变量f33aa7b533b77c5eaf07fa76cbfb4c42.png有关,而2b64786f48b17873fae0c626660d6840.png是一个多项式与a034fd69a67e508abeecc01e159f1206.png的积。

    将式(16)写为如下形式:

    39cd2f9532fbac99634eb78f8d935c06.png                      (19)

    其中:

    1c5b3ff5c8ed5a6c550528674f607a65.png   (20a)

    b9f0a07eae487b3fc93b948fc5ca22dc.png   (20b)

    由第一个传输零点fa1fbda218d3483ab92440b7df7b58ce.png开始递归循环,可得:

    c0858b211cc89ce3b3c92f23039bccba.png    (21)

    在第一次循环中,将aceee99a0edef37b396f96bdcc5c53e1.png和第二个传输零点对应(20a)的部分相乘:

    92bd03134294db22a4be701d1280cfe1.png (22)

    将上式展开,可得5998dd4b21650fdb8695f2b17dd55f04.pnga34beb4ad9fd91ae62b5c32220ea378a.png的表达式:

    d94f100b70737fe88afd687d1c9b7e6e.png          (23a)

    6710a08e7e257d7482ba7a2e068ad8a6.png          (23b)

    用已经得到的5998dd4b21650fdb8695f2b17dd55f04.png,a34beb4ad9fd91ae62b5c32220ea378a.png和第三个传输零点重复上面的迭代过程,知道所有给定的传输零点都使用过,迭代循环结束。

    迭代循环结束后,由21e83286573f32bbf7e5e8e7afd2ab04.png可以得到b149b89b8214f88774113770741fe72a.png多项式,00fc3c0414cbaaf962079672627a67e4.png多项式可以直接由给定零点得到,由能量守恒定理,3819c40acf54f2dda034c52dc06e382b.png,可得Feldkeller方程,如(2-24)式,可以直接求得772839d82f6f3908d2d7b07cdbad6151.png

    d3ce84b8017918e1c5b54a4cba2d26a7.png               (24)

    这里 s=jω

    下面举案例,说明这个过程。

    为了更清楚的说明上一节滤波器综合的过程,用个例子说明。

    案例是一个8阶滤波器,4个传输零点的位置分别在-4.7416i,-2.1693i,1.7856i,2.5633i。

    第一个传输零点-4.7416i带入迭代,可得

    b00b818f8c1660bae2b3d5bd2b97e237.png

    1fc3c82411d37c22a5266b9789e6f35d.png

    循环带入第二个传输零点-2.1693i,可得

    8fd6616f1634f72b7fdc7ff2c582efdc.png

    45dd2b1fd9ce62f3e624bfe476ef908e.png

    循环带入第三个传输零点1.7856i,可得

    6e7648cc846533f5e377e3a49dd56ab5.png

    b19dd60108d5d7519c481aca1181f536.png

    循环带入第四个传输零点2.5633i,可得

    39c12d66d2b21ee2ee4f2ee1b12db2f9.png

    e05e3c0625fcc5b6ac0b48d1b848db49.png

    循环带入第五个传输零点ab42da66fda92d75f1f678e16d035908.png,可得

    89852dd46937bdef53e541a8975528be.png

    0e28ff859108adce82560a6e2990818a.png

    以此类推,将另外3个ab42da66fda92d75f1f678e16d035908.png传输零点带入循环,最终的到F(s)和P(s)多项式

    7e1d3f2c47e348e338f54555e17626ee.png

    eed3a4494b29cd5f9a0ddf7d3fd39f1a.png

    b27aab9dfe05103a9316d1b3c84dd943.png

    对应的反射零点,传输零点和传输/反射极点如下表.

    传输零点和传输/反射极点

    反射零点

    (F(s)的根)

    传输零点

    (P(s)的根)

    传输/反射极点

    (E(s)的根)

    1

    -i0.9804

    -i4.7415

    -0.0906- 1.0818i

    2

    -i0.8263

    -i2.6393

    -0.2649- 0.9175i

    3

    -i0.5361

    i1.7855

    -0.4079 - 0.5993i

    4

    -i0.1535

    i2.5632

    -0.4826 - 0.1694i

    5

    i0.2525

    -0.4627 + 0.2885i

    6

    i0.6073

    -0.3597+ 0.6790i

    7

    i0.8581

    -0.2164 + 0.9411i

    8

    i0.9843

    -0.0706 + 1.0654i

    87de9e1648ff5a720afb1d4000b0ccf6.png

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    98040bed356dba784ae282f06b699321.png

    12c4089ae98425f4da119c50113750fb.png

    公式导进来老是出问题。我已经都核对了一遍,希望没有错漏。

    微波滤波器基础和设计——电路基础

    微波滤波器基础和设计——滤波器概述

    12c4089ae98425f4da119c50113750fb.png

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  • 本文章仅代表个人观点,如有错误缺漏,欢迎指正。...1.广义切比雪夫滤波器原型由广义切比雪夫原型得到传递函数的分子分母多形式,,是综合滤波器以及得到耦合函数的基础。由可求得的零点,由可求得的零点. ...

    本文章仅代表个人观点,如有错误缺漏,欢迎指正。

    广义切比雪夫滤波器原型是现在广泛使用的滤波器函数,因其把有切比雪夫滤波器无限元处的传输零点移到有限远处(可以是近带外),使近带外的抑制特性更好。

    1.广义切比雪夫滤波器原型

    由广义切比雪夫原型得到传递函数的分子分母多形式f13320d43d28c3647fc76a591a07ed00.png,2e410e181fb08996365a68259d4b726e.png,70c61f84f483d30637bee4d9eba641b0.png是综合滤波器以及得到耦合函数的基础。由f13320d43d28c3647fc76a591a07ed00.png可求得01e0cdee5ea1d6b98f4358be6458e410.png的零点,由692e1ee0ba4af64744f442d8eeb77291.png可求得f557608205cd2ab2c803b5d632ef95e5.png的零点.

    5ef22f3219d72031a0ead6f2e3ee1db8.png                                 (1)

    0d08ae55fb03f86ca337387a97c7e956.png                                  (2)

    其中,纹波系数b73273485832aa7e2ac00e2d75d1c856.png   (3)

    由图1的通用带通滤波器电路模型可以耦合系数与电路各部分之间的关系。

    5d7afe5d643605098f671fcfba869baf.png

    1 含交叉耦合的滤波器电路

    根据基尔霍夫定理可得方程组:

    32183c7ba6f31737520988980da8a31f.png

    写成矩阵形式

    9dbd7458fd94c9a101445792241c342d.png  (4)

    如果设e0ccf469a567f3cd107cc85bfa91ced3.png  (5)

    其中[U]为单位矩阵,R为1747870cd114034db85de995ddf85e21.png07f7d21324b135a8c61971499cdcf81f.png,其余元素为0的N阶矩阵,M是耦合矩阵。

    b5a11e2692dccb03462d665269c43daa.png,这里t代表是转置矩阵。设[I]为电流向量

    那么上式可简化写为:

    [A][I]=-j[e]

    则可以由耦合矩阵计算出[I],由此得出耦合矩阵和S参数的关系如下式:

    d6111df1c8d8c9c9dfa7c71315c9f44a.png                          (6)

    edc728b77e8d31fe019992835c44ea6b.png                        (7)

    2.广义切比雪夫函数的综合

    对于一个无耗网络,满足能量守恒,即5b2cbbb185f731741ff1c94f2f3b0124.png.式(1)和(2)可得

    7a704a375813468b34e6bce0ce622d8a.png                             (8)

    其中,

    d986fe479f2c2b52a08d2c74bc995d22.png                              (9)

    如果滤波器的传输函数是广义切比雪夫的特性,则可以1bc00770004132f67d3859f78756be92.png可以改写成:

    6a4f6046e84fbd948e04dc042db36d75.png                  (10)

    其中,bb56d1f0719e39d1ed87cac5af41f811.png                                                    (11)

    综合步骤首先要将式(10)中的817ca38c648fcda596c0b43184d026cc.png替代为:

    10d37f5b4f939e66ef263cb99b7e2204.png                    (12)

    其中,c98003d7353d10d97338fa08f8cd1ea3.png3ca9cb361b7819312d06a1a9f054579c.png                                   

    那么1bc00770004132f67d3859f78756be92.png可以做如下变化:

    93046d8d1b1685b7edd6980a61db2b0e.png (13)

    把上式中第二项的分子和分母同时乘以8b476f47e9d4f8beafd3a35805a10089.png。因为

    97546f0109816aed4a88b124cdb6ae8a.png     (14)

    所以,

    6b3b4d34941e4b2a0ddff9913de3b42a.png               (15)

    把(11)和(13)带入 (15),就可以得到式 (12)的最终表达式可以写为:

    56f909684eeebd4044043fe1a8d9ab41.png                       (16)

    这里 f667845566a7b344c401c37a59e3fbae.pngda71947762f973c49274aa8eb0cc5300.png6c7a6f49c6c47eacb10e1123ce55a290.png

    如果展开(6)式,可以发现与ω相乘的系数都会消去,如下所示:

    当N=1时,95916dfc32f17d1be17e938a9176829f.png         (17)

    当N=2时,a28505b14e4f928657d1b9922b221b40.png  (18)

    当N=3时,53e3979897523ddf98ab639fdc577e3c.png  (2-33)以此类推。

    可以看出,1bc00770004132f67d3859f78756be92.png的分母是由cbdab3f359ca7b7c6fef9e0443725f67.png46d4cc73b8a3c7c602096a6c6072029f.png构成的。通过这个公式,运用递归运算,可以求得1bc00770004132f67d3859f78756be92.png的分子多项式,也就是835a3244447d89d10ca929099b122e8d.png的分子f13320d43d28c3647fc76a591a07ed00.png.每次递归的结果都可以重新分配再组合,成为两个新的多项式的和,这两个多项式设为d8a26e99fcd2ef2787dd8bbdf5f3b1e0.pngc8d63be60d03ab5aa9bf15a7f1f30761.png。多项式d8a26e99fcd2ef2787dd8bbdf5f3b1e0.png只与变量cdb498a654f8e3a5a2f2fd1b9b2fc0a7.png有关,而c8d63be60d03ab5aa9bf15a7f1f30761.png是一个多项式与71165770de73e8bfb9b6040972b429c8.png的积。

    将式(16)写为如下形式:

    b3e23d0a850ff236da3d9acbaa1177c2.png                      (19)

    其中:

    187c4d2863ee6f8837b56785e61288a2.png   (20a)

    1ef8b63c294e7e895e8246ba95af0d53.png   (20b)

    由第一个传输零点ac90555d2cc381b91f4322a510376a7d.png开始递归循环,可得:

    9aa8d5b269ce4d2b159bc7632ee872fa.png    (21)

    在第一次循环中,将98c9e7ab148cee7f9272349a5eab1e62.png和第二个传输零点对应(20a)的部分相乘:

    affb673909faadfb8dfc5a2f4956a593.png (22)

    将上式展开,可得db2fb2f1d5b879d079c3be49d87cb8d0.pnge5374de688b9f380a639769cc1eb2216.png的表达式:

    c92f5f90fc17f15d44cfe77203803438.png          (23a)

    658dc73bff071940c0f727ab8c866a02.png          (23b)

    用已经得到的db2fb2f1d5b879d079c3be49d87cb8d0.png,e5374de688b9f380a639769cc1eb2216.png和第三个传输零点重复上面的迭代过程,知道所有给定的传输零点都使用过,迭代循环结束。

    迭代循环结束后,由296051521f3e7c52ccb901088a64123e.png可以得到c883afbb4ca028e65150e0434b75f9fb.png多项式,5ae8edb54dee9ca8022f09127be3808e.png多项式可以直接由给定零点得到,由能量守恒定理,5b2cbbb185f731741ff1c94f2f3b0124.png,可得Feldkeller方程,如(2-24)式,可以直接求得41c66a141efad0c76a572c4462190c72.png

    3ddfca2c183c8f49998f796ee7f6096b.png               (24)

    这里 s=jω

    下面举案例,说明这个过程。

    为了更清楚的说明上一节滤波器综合的过程,用个例子说明。

    案例是一个8阶滤波器,4个传输零点的位置分别在-4.7416i,-2.1693i,1.7856i,2.5633i。

    第一个传输零点-4.7416i带入迭代,可得

    8d4ac3debac98a1f0f6e258ac778faf4.png

    0fa9f1b1d38a3deec0a0ab3393e97df0.png

    循环带入第二个传输零点-2.1693i,可得

    ccaadc9eeb2a58b92172609b08f2e07a.png

    2f9dcf4e7f2835a71ba1eb2f5225b62d.png

    循环带入第三个传输零点1.7856i,可得

    08702e8ee4d1f360ddab838f04db7616.png

    063ad5ea0194a09af87b82a896bdf686.png

    循环带入第四个传输零点2.5633i,可得

    67abd930b2ffcbd82965c9c424ee230a.png

    184582f76933710164943cc4317a0be2.png

    循环带入第五个传输零点ed4369d17f22f2718b3f595999dd7d49.png,可得

    1802e7142450772b578d97b80c3cffad.png

    f97f3f7609a315ad4755bb88994ddc49.png

    以此类推,将另外3个ed4369d17f22f2718b3f595999dd7d49.png传输零点带入循环,最终的到F(s)和P(s)多项式

    bef742add6f84524376f7a6599dbb6c6.png

    a37439b579f3630a602f2a1f5b0856bb.png

    d6822a6f33aabcd736e7791b1295f3b8.png

    对应的反射零点,传输零点和传输/反射极点如下表.

    传输零点和传输/反射极点

    反射零点

    (F(s)的根)

    传输零点

    (P(s)的根)

    传输/反射极点

    (E(s)的根)

    1

    -i0.9804

    -i4.7415

    -0.0906- 1.0818i

    2

    -i0.8263

    -i2.6393

    -0.2649- 0.9175i

    3

    -i0.5361

    i1.7855

    -0.4079 - 0.5993i

    4

    -i0.1535

    i2.5632

    -0.4826 - 0.1694i

    5

    i0.2525

    -0.4627 + 0.2885i

    6

    i0.6073

    -0.3597+ 0.6790i

    7

    i0.8581

    -0.2164 + 0.9411i

    8

    i0.9843

    -0.0706 + 1.0654i

    d403bbe74a71e6e9aaf77944bc2bf19d.png

    想了解更多无源器件,请关注我吧

    7eb8cf5f00620f1e40c679cd0b66c0fd.png

    a4ffd0521c8a0bb2f6fdb5d8601e3864.png

    公式导进来老是出问题。我已经都核对了一遍,希望没有错漏。

    微波滤波器基础和设计——电路基础

    微波滤波器基础和设计——滤波器概述

    a4ffd0521c8a0bb2f6fdb5d8601e3864.png

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  • 基于切比雪夫多项式的函数插值逼近王先传a,江岩b,赵佳a,张岩a【摘要】函数插值逼近经常应用于工程和技术领域。逼近效果不仅受算法影响,还与采用何种函数逼近有关。本文首先给出切比雪夫多项式的定义,讨论了其...

    基于切比雪夫多项式的函数插值逼近

    王先传

    a

    ,江

    b

    ,赵

    a

    ,张

    a

    【摘

    要】

    函数插值逼近经常应用于工程和技术领域。逼近效果不仅受算法影响,

    还与采用何种函数逼近有关。本文首先给出切比雪夫多项式的定义,讨论了其

    有关性质。而后重点论述了如何基于切比雪夫多项式的函数插值逼近,同时给

    出相应的

    Python

    语言代码。

    【期刊名称】

    阜阳师范学院学报(自然科学版)

    【年

    (

    ),

    期】

    2017(034)004

    【总页数】

    6

    【关键词】

    插值逼近;

    Python

    ;切比雪夫多项式;龙格现象

    https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_journal-fuyang-normal-

    university-natural-science_thesis/0201249208448.html

    在许多工程和技术领域经常用到函数逼近、插值与拟合算法。除了最常用的最

    小二乘法,函数插值逼近方法还有构造有理函数

    [1]

    、神经网络

    [2]

    等。但这些方

    法实现起来比较复杂,而且比较效果也不够理想。另一方面,近年来切比雪夫

    多项式无论在理论还是在应用方面都也得到了较广泛的研究

    [3-8]

    。同时,伴随

    着数据科学的发展,

    Python

    语言也得到空前的发展。为此,本文将讨论如何

    基于切比雪夫多项式运用

    Python

    语言进行函数插值逼近。

    1 Python

    简介

    Guido

    van

    Rossum

    1989

    年发明的

    Python

    是一种解释型、面向对象、跨

    平台、动态高级编程语言

    [9]

    。随着大数据的发展,目前它已成为当今世界最受

    欢迎的计算生态语言。由于该语言简洁、易读、易学、好用,开设该语言的高

    展开全文
  • 一个源程序,是关于切比雪夫神经网络的 函数逼近的源程序,希望对大家有帮助
  • 此程序是目前MATLAB中求解误差函数的通用算法
  • 滤波器,是指对输入信号起到滤波作用... 本课题主要讨论了数字有限冲激响应滤波器(FIR)的实现,主要包括窗函数法和基于切比雪夫逼近法两种方法,分别对该两种方法进行了理论介绍,并进行了MATLAB仿真。并重点介绍...

           滤波器,是指对输入信号起到滤波作用的系统,可分为模拟滤波器和数字滤波器两大类。其中,数字滤波器是数字信号处理的重要环节,具有可靠性好、精度高、灵活性大等优点,广泛地应用在语音和图像处理、模式识别、频谱分析等方面。数字滤波器按其单位样值响应的性质可分为有限冲激响应滤波器(FIR)和无限冲激响应滤波器(IIR)。

           本课题主要讨论了数字有限冲激响应滤波器(FIR)的实现,主要包括窗函数法和基于切比雪夫逼近法两种方法,分别对该两种方法进行了理论介绍,并进行了MATLAB仿真。并重点介绍了基于切比雪夫逼近法的滤波器的设计与实现,并使用了音乐WAV文件进行测试,通过切比雪夫逼近法滤波器对音频文件进行滤波,从时域和频域两方面分析其滤波效果。最后利用MATLAB具有强大的科学计算和图形显示这一优点,设计了一个简单的GUI界面,通过GUI界面,可以简单的进行系统操作。

    滤波器,是指对输入信号起到滤波作用的系统。根据处理的信号不同,可分为模拟滤波器和数字滤波器两大类。若滤波器的输入、输出都是离散时间信号,则该滤波器的冲激响应也必然是离散的,我们称这样的滤波器为数字滤波器(Digital Filter)。

    数字滤波器是数字信号处理的重要环节,它实质是用有限精度算法实现的离散时间线性时不变系统,从而完成对信号进行滤波处理的功能。具有可靠性好、精度高、灵活性大等优点,广泛地应用在语音和图像处理、模式识别、频谱分析等方面。

    数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变(LTI)离散系统。它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工、处理和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。根据频率响应特性,数字滤波器可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高、稳定性好、灵活性强等优点。数字滤波器按其单位样值响应的性质可分为有限冲激响应滤波器(FIR)和无限冲激响应滤波器(IIR)。

    因此,通过一种合适的方式来设计滤波器具有重要的意义。由于FIR滤波器具有跟多的优势,本课题将重点研究FIR滤波器的实现。FIR滤波器的实现主要有窗函数法和基于切比雪夫逼近法等多种实现方式。

    窗函数法的基本思想是把频率响应通过IDTFT求得脉冲响应,然后利用加窗函数对它进行截断和平滑,以实现一个物理可实现且具有线性相位的 FIR 数字滤波器的设计目的。

    切比雪夫逼近法,其目的是在所需要的区间内,使误差函数E(x)较均匀一致,并且通过合理地选择多项式,使E(x)的最大值达到最小。即,使最大误差最小化。

    基于切比雪夫逼近法的滤波器的设计与仿真

    数字滤波器的设计是现代数字信号处理的重要内容。常用的数字滤波器有FIR和IIR两种类型,两者比较而言。主要有如下几点区别:

    从系统的幅频特性来看,IIR滤波器由于综合利用了系统的零极点,容易达到比较理想的设计效果; 而FIR滤波器由于只有零点,效果较IIR滤波器差。要达到与IIR滤波器相似的效果,往往要提高系统的阶数。

    其次,从相位特性来看,用FIR滤波器可以得到线性相位数字滤波器,满足信号不失真传输的要求。 对于IIR滤波器而言,往往幅频特性越好,相位非线性就越严重。

    再次,从系统稳定性来看,FIR滤波器由于没有极点,所以一定是稳定的;而IIR滤波器的稳定与否取决于其极点的位置。

    最后,从设计方法来看,IIR滤波器的设计参照连续时间系统的传输函数进行,可以充分利用模拟滤波器的设计结果,但是要求设计者有一定的模拟滤波器的设计知识,而且必须保证在模拟滤波器中能够找到合适的滤波器原型作为设计基础;而FIR滤波器设计结果完全是根据系统频率进行,不需要设计者有其他滤波器的知识,设计方法比较简单。

    综上所述,本课题决定使用FIR数字滤波器。

    FIR滤波器设计的方法主要有窗函数法和切比雪夫逼近法等。本章将简单的介绍一下基于窗函数的FIR滤波器的设计与实现,然后就窗函数的缺陷,进一步介绍切比雪夫逼近法的滤波器的设计。

    为了选取效果最佳的窗函数滤波器,我们这里统一设定a=0.5,Ts=1/1000,通过改变N理对比滤波器的性能,我们分别通过比较N=16,32,128来比较。

    矩形窗

    图2-1 矩形窗频谱特性

        图2-1,可以得知,虽然矩形窗函数FIR滤波器实现起来比较简单,但是随着N阶数的不断增加,其窗函数的旁瓣并没有明显的变化,能量也没有完全集中在主瓣上,应此基于矩形窗函数的FIR滤波器只能应用与简单的场合,而且随着阶数的增加,其系统新能并不能得到很的改善,应此,在实际信号处理中,不使用矩形窗函数的FIR滤波器。

    汉宁窗

    图2-2汉宁窗频谱特性

        图2-2,可以得知,汉宁窗函数的性能相对于矩形窗函数有了明显的提升,但是当阶数较低的时候,其能力也并不完全集中在主瓣,当阶数较高的情况下,才能明显感觉到。但是当阶数较高的情况下,对设备成本有较大的影响。

    汉明窗

    图2-3汉明窗频谱特性

        汉明窗是在汉宁窗的基础改进的窗函数,有图可以看见,其能量基本集中在主瓣中,而且当阶数较低时,能量也基本集中在主瓣上,性能比汉宁窗和矩形窗更好。

    布拉克曼窗

    图2-4布拉克曼窗

    布拉克曼窗函数其旁瓣衰减也是随着阶数的增加而增加,但是布拉克曼窗函数在硬件上实现较前三种窗函数而言,更加复杂。

    以上就是窗函数的仿真。

        从上面的仿真可以看到,用窗函数设计FIR滤波器的设计是用有限序列去代替无限长序列,这会引起误差,表现在频域就是通常所说的吉布斯(Gibbs)效应。下面,我们将重点介绍基于切比雪夫逼近法的FIR滤波器的设计与实现。

    下面首先通过一个简单的测试进行测试,输入MATLAB代码如下所示:

    f     =[0 0.25 0.5 1]; %给定频率轴分点;

    a     =[1 1 0 0]; %给定在这些频率分点上理想的幅频响应;

    weigh =[1 10]; %给定在这些频率分点上的加权;       

    b=remez(10,f,a,weigh); %设计出切比雪夫最佳逼近滤波器;

    测试信号为:

    图2.5 测试信号及其频谱图

     

    针对真个信号的特点,设计如下的切比雪夫逼近滤波器。

    图2.6 基于切比雪夫逼近算法的滤波器频谱特性图

        滤波之后,可以看到如下的效果:

    图2.7 滤波之后信号及其频谱

        通过上述仿真可以看到,设计的基于切比雪夫逼近法的滤波器具有良好的滤波效果。下面通过适当修改滤波器的参数,对一组音乐信号进行滤波。

    这个就是remez算法的基本过程。

    在MATLAB中通过如下代码实现:

    %给定频率轴分点;

    f     =[0 0.4  0.6 1];

    %给定在这些频率分点上理想的幅频响应;

    a     =[1 1 0 0];   

    %给定在这些频率分点上的加权;

    weigh =[1 10];  

    %设计出切比雪夫最佳逼近滤波器;

    b=remez(32,f,a,weigh);

    运行MATLAB,可以得到通过切比雪夫逼近法得到的滤波器的幅频特性:

    图2.8 切比雪夫逼近滤波器的抽样值和幅频特性

        从上面的仿真可以看到,基于切比雪夫逼近法实现得到的滤波器具有跟好的幅频特性。下面我们将给予切比雪夫逼近法滤波器进行测试,对实际中带噪声的信息进行滤波处理。

       下面我们加入一个测试语音信号进行测试滤波器的性能。

    假设输入的信号为:

    图2.9 原始音乐信号的时域波形图

    通过傅里叶变换得到原始音乐信号的傅里叶变换,在MATLAB中输入如下的代码:

    y=fftshift(abs(fft(source)));

        运行MATLAB,可以看到信号的频谱为:

    图2.10 原始音乐信号的频谱图

    然后认为的加入噪声,加入噪声得到如下的仿真图:

    图2.11 加入噪声后的信号时域图

    图2.12 加入噪声的信号频谱图

    从上面的频谱图可以看到,滤波之前的音乐信号,其频谱比较杂,在高频处存在较多的噪声,因此从听觉角度看,听起来会出现小的噪声干扰。

    将此音乐信号通过滤波器,通过观察其频域信号就能看到滤波效果.

    图2.13 滤波后的音乐信号

    2.4 基于GUI的用户交互界面的设计

    对于一个完整的系统,都具备一个GUI界面,MATLAB提供了功能强大的GUI界面设计模块,本节,我们将介绍使用MATLAB进行GUI界面的设计与实现。本系统的界面如下所示:

    图2.14 GUI界面效果图

    这里主要涉及到测试信号的滤波,还要打开外部WAV音频,然后对音频加入噪声,最后是滤波,这几个部分系统的主要功能模块。在GUI设计界面中首先搭好一个系统界面框架:

    图2.15 GUI界面效果图

    其中打开WAV文件对应的MATLAB代码如下所示:

    function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles)

    ……….

     [filename,pathname]=uigetfile({ ...

        '*.*','All Files(*.*)';},...

        '选择文件');

    if isequal([filename,pathname],[0,0])

        return

    else

        pic = fullfile(pathname,filename);

        [source2,Fs,nbits]= wavread(pic);

    end

    ……….

    通过执行这个语句,在GUI界面上,就是自动弹出对话框,然后选择需要打开的WAV文件。

    给加入的WAV文件加入噪声,其对应的MATLAB代码如下所示:

    function pushbutton6_Callback(hObject, eventdata, handles)

    ……….

    %添加噪声

    sums = zeros(1,length(source2));

    for i=1:60

    n=1:((80000+1000*i)*pi-1)/length(source2):(80000+1000*i)*pi;

    noise = 0.3*rand(1)*sin(n);

    sums   = sums + noise(1:length(source2));

    end

    source_noise = source2 + sums';

    source_noise = AWGN(source_noise,20);

    ……….

    通过执行这个语句,在GUI界面上,就会自动对系统添加噪声。

    最后一个主要功能模块是对带有噪声的信号进行滤波,其对应的MATLAB代码:

    function pushbutton4_Callback(hObject, eventdata, handles)

    ……….

    R1T=get(handles.edit1,'string')

    if isempty(str2num(R1T))

            warndlg('Input is wrong,please input numeric type')

    else

            R1T = str2num(R1T);

    end

    R2T=get(handles.edit2,'string')

    if isempty(str2num(R2T))

            warndlg('Input is wrong,please input numeric type')

    else

            R2T = str2num(R2T);

    end

    R3T=get(handles.edit3,'string')

    if isempty(str2num(R3T))

            warndlg('Input is wrong,please input numeric type')

    else

            R3T = str2num(R3T);

    end

    f     =[0 R1T R2T 1];    %给定频率轴分点;

    a     =[1 1 0 0];      %给定在这些频率分点上理想的幅频响应;

    weigh =[1 10];         %给定在这些频率分点上的加权;

    b=remez(R3T,f,a,weigh); %设计出切比雪夫最佳逼近滤波器;

    [h,w]=freqz(b,1,512,1);%数字滤波器的频率响应;

    h=abs(h);%绝对值;

    h=20*log10(h);

    source2S=filter(b,1,source_noise);    %滤波正常实现

    ……….

    通过执行这个语句,在GUI界面上,就会显示滤波之后的效果。

     

    附录:

    clc;

    clear;

    close all;

    select = 2;%1:进行普通信号测试;2:音乐信号的测试

    if select == 1

    %普通信号测试

    source = func_test_signal();

    figure;

    subplot(121);plot(source):title('原始音乐信号');

    f     =[0 0.25 0.5 1]; %给定频率轴分点;

    a     =[1 1 0 0];     %给定在这些频率分点上理想的幅频响应;

    weigh =[1 10];         %给定在这些频率分点上的加权;

    y=fftshift(abs(fft(source)));

    subplot(122);plot(y);title('原始信号的频谱');

    figure;

    b=remez(10,f,a,weigh);%设计出切比雪夫最佳逼近滤波器;

    [h,w]=freqz(b,1,512,1);%数字滤波器的频率响应;

    h=abs(h);%绝对值;

    h=20*log10(h);

    subplot(121)%改置定位坐标系;

    stem(b,'.');

    grid;

    title('切比雪夫逼近滤波器的抽样值');

    subplot(122);

    plot(w,h);%生成参数方程的图形;

    grid;

    title('切比雪夫逼近滤波器幅频特性(dB)');

    source2=filter(b,1,source);    %滤波正常实现

    figure;

    subplot(121);plot(source2):title('通过切比雪夫逼近法滤波后的音乐信号');

    y2=fftshift(abs(fft(source2)));

    subplot(122);plot(y2);title('滤波后的信号频谱');

    end

    if select == 2

    %音乐信号测试

    [source,Fs,nbits] = wavread('source.wav');

    figure;

    plot(source):title('原始音乐信号');

    f     =[0 0.4 0.6 1]; %给定频率轴分点;

    a     =[1 1 0 0];     %给定在这些频率分点上理想的幅频响应;

    weigh =[1 10];         %给定在这些频率分点上的加权;

    y=fftshift(abs(fft(source)));

    figure;

    plot(y):title('原始信号的频谱');

    sound(source,Fs);

    figure;

    b=remez(32,f,a,weigh);%设计出切比雪夫最佳逼近滤波器;

    [h,w]=freqz(b,1,512,1);%数字滤波器的频率响应;

    h=abs(h);%绝对值;

    h=20*log10(h);

    subplot(121)%改置定位坐标系;

    stem(b,'.');

    grid;

    title('切比雪夫逼近滤波器的抽样值');

    subplot(122);

    plot(w,h);%生成参数方程的图形;

    grid;

    title('切比雪夫逼近滤波器幅频特性(dB)');

    source2=filter(b,1,source);    %滤波正常实现

    figure;

    plot(source2);title('通过切比雪夫逼近法滤波后的音乐信号');

    y2=fftshift(abs(fft(source2)));

    figure;

    plot(y2);title('滤波后的信号频谱');

    sound(source2,Fs);

    end

     

     

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  • 切比雪夫多项式MATLAB绘图

    千次阅读 2017-08-08 20:40:43
    切比雪夫多项式是以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常,第一类切比雪夫多项式以符号Tn...相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象,并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。  以上都是一些切比雪夫多项
  • 文件名称: phasesim下载 收藏√ [5 4 3 2 1]开发工具: matlab文件大小: 545 KB上传时间: 2013-09-02下载次数: 4提 供 者: 梅梅详细说明:设计了各种窗函数的滤波器,包括矩形窗,滚降升余弦窗,切比雪夫窗,凯泽窗等...
  • Fortran语言编写的切比雪夫插值代码,以未知函数y=e^x作为检测函数,代码风格简单明了
  • 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根(被称为...相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象,并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。 注意:此处应该为 ...
  • 分析基于离散余弦变换的JPEG图像压缩编码算法,并对离散余弦变换与离散切比雪夫变换的基函数进行比较,提出了一种基于离散切比雪夫变换的图像压缩算法。以JPEG图像压缩量化表为基准,利用信息熵的方法,设计了该算法在...
  • 针对传统的切比雪夫加权阵列仅局限于一维线阵,而很多应用如卫星天线、雷达天线...接着重点提出了两种均匀面阵的切比雪夫权值计算方法,即二维切比雪夫多项式近似法和二维窗函数法,仿真验证了该方法的正确性和有效性。
  • 切比雪夫定理的证明

    千次阅读 2019-09-26 23:56:01
    目录 导言 正文 1 关于初等函数 2 Abel积分的分类 3 有理函数体及其扩张 4 Liouville定理 5 P.L.Chebyshev定理 导言 说明: 原文档已更新为此文档! 这...
  • 泰勒公式 泰勒公式: Jensen不等式 ...若f是凸函数,则 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式: 切比雪夫不等式的证明过程: 转载于:https://www.cnblogs.com/yongfuxue/p/10038465.html...
  • 切比雪夫逼近法设计FIR滤波器

    千次阅读 2017-03-12 10:12:56
    切比雪夫逼近法,是在所需要的区间[a,b]内,使误差函数E(x)=|p(x)-f(x)|较均匀一致,并且通过合理选择p(x),使E(x)的最大值En达到最小。 切比雪夫最佳一致逼近的基本思想是,对于给定区间[a,b]上的连续函数f(x),在...
  • 切比雪夫逼近问题:从一道中国台北数学奥林匹克试题谈起 作者:佩捷,林常 编著 出版时间:2013年版 内容简介  本书从一道中国台北数学奧林匹克试题谈起,详细介绍了切比雪夫逼近问题的相关知识及应用.全书共20章...
  • 本文主要目的是研究广义切比雪夫函数滤波器的传输和反射函数多项式的 构成,耦合矩阵推导及转换;基于切比雪夫函数滤波器,通过频率变换技术,推 导了双通带滤波器的综合过程,通过交叉耦合的引入达到了双通带的目的
  • {i=1}|x_i-y_i|^p)^{\frac{1}{p}}D(X,Y)=(i=1∑n​∣xi​−yi​∣p)p1​ 这里的p值是一个变量: 当p=1的时候就得到了曼哈顿距离 当p=2的时候就得到了欧氏距离 当p=∞的时候就得到了切比雪夫距离 担当损失函数 ...
  • 在这篇文章TravorLZH:读懂黎曼猜想(4)——素数定理​zhuanlan.zhihu.com中,我们用复分析的方法证明了素数定理,但在“初等”范围内我们仍然可以得到...数论函数的加权平均从求和意义上理解,我们可将 当作被求...
  • 把给定的指标转化为S域或z域的传递函数,或转化为 LC滤波器结构。进行到这一步时,设计者可以选择滤波器类型,如切比雪夫滤波器,巴特沃思滤波器,椭圆滤波器或其他类型。选择什么类型有以下因素决定:滤波器阶数...

空空如也

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切比雪夫函数