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            距离第一篇Butterworth滤波器设计博文之后已经过了一年半,当时说过要把切比雪夫滤波器、椭圆滤波器和贝塞尔滤波器都介绍的,由于各种原因拖到现在,自己挖的坑还是要填的。这里先总体介绍下数字滤波器的设计步骤和方法。

    一、滤波器的分类

    按照滤波器的实现方式分为模拟滤波器和数字滤波器;

    按照频带分为低通、高通、带通和带阻;

    按照实现的元件分为有源滤波器和无源滤波器等;

    按照传递函数或者最佳逼近特性分为巴特沃斯滤波器(Butterworth)、贝塞尔滤波器(Bessel)、切比雪夫滤波器(Chebyshev)和椭圆滤波器(Elliptic)等。

    二、设计步骤

    (1)数字滤波器性能指标;

    (2)将数字性能指标转换为模拟指标;

    (3)设计模拟低通滤波器或者原型模拟低通滤波器;

    (4)原型模拟滤波器频率变换,设计低通、高通、带通和带阻;

    (5)冲激不变法或者双线性变化法将模拟滤波器系数a_{s}b_{s}转换为数字滤波器系数a_{k}b_{k}

    (6)设计滤波器的实现结构,由差分方程计算滤波前后信号。

    三、设计方法

            设计一个滤波器通常会给出如下四个参数:通带截止频率f_{p} 、阻带截止频率f_{s} 、通带波纹幅度\delta _{p}或者通带衰减率A_{p}和阻带波纹幅度\delta _{s}或者阻带衰减率A_{s} ,如下图1所示。

    图1 一般低通滤波器的容差图

    对于数字滤波器设计中使用的几种频率进行说明:

    数字频率 \omega:相邻两个采样值之间的弧度,单位rad;

    模拟频率 f:每秒经历多少个周期,单位Hz;

    模拟角频率 \Omega:每秒经历多少弧度,单位rad/s;

    采样频率 F_{s}:每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数,单位Hz。

    它们之间的关系如下:

                                                                          \omega =\frac{2\pi f}{F_{s}}=\frac{\Omega }{F_{s}}

           数字滤波器设计常采用间接设计法,即先将给定的数字滤波器技术指标转变为模拟滤波器低通滤波器的技术指标,然后将设计好的低通模拟滤波器转变为所需的数字滤波器,主要原因是模拟滤波器的设计方法比较成熟。从模拟滤波器到数字滤波器的设计方法有冲激响应不变法和双线性变换法等,以双线性变换法应用最广泛。用双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤如图2所示。

    图2 双线性变换法设计数字滤波器步骤

     

     

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    8.1 常见的射频滤波器

    8.1.1 LC滤波器

    由电感L和电容C元件构成的滤波器称为LC滤波器
    通常可分为一般LC滤波器、谐振回路滤波器和耦合回路LC滤波器
    一般LC滤波器可实现低通、高通、带通和带阻等各种功能
    谐振回路LC滤波器一般只能实现带通和带阻(或陷波)两种功能
    耦合回路LC滤波器通常仅实现带通的功能。

    8.1.2 晶体滤波器

    晶体谐振器不但可以用作振荡器还可以用来制作滤波器
    晶体滤波器具有体积小和重量轻的优点,并且由于晶体的Q值很高,易于实现窄带的带通或带阻滤波器。
    晶体滤波器具有中心频率稳定,带宽窄,边沿衰减陡峭的特点
    晶体滤波器的相对带宽只有千分之几,在许多情况下限制了其应用。

    8.1.3 陶瓷滤波器

    压电陶瓷材料经直流高压电场极化后,可以得到类似于石英晶体中的压电效应,其等效电路也和晶体谐振器相同
    但陶瓷滤波器的品质因数较晶体小得多(约为几百),但比LC滤波器的品质因数高,且串、并联频率间隔也比较大
    因此,陶瓷滤波器的相对带宽较大。高频陶瓷滤波器的工作频率可以从几兆赫至到上百兆赫,并且其相对带宽可从千分之几至10%。
    简单的陶瓷滤波器是在单片压电陶瓷上形成双电极或三电极,它们相当于单振荡回路或耦合回路
    性能较好的陶瓷滤波器通常是将多个陶瓷谐振器接入梯形网络而构成
    它是一种多极点的带通(或带阻)滤波器
    单片陶瓷滤波器通常用在放大器射极电路中取代旁路电容
    由于陶瓷滤波器的Q值比通常电感元件高,滤波器的通带衰减小,带外衰减大,矩形系数较小。

    8.1.4 声表面波滤波器

    声表面波滤波器(SAW)器件是一种利用沿弹性固体表面传播机械振动波的器件
    在压电固体材料表面产生和传播、且振幅随深入固体材料的深度增加而迅速减小的弹性波称为声表面波(SAW),它具有能量密度高和传播速度慢的特点。
    在声表面波滤波器中,叉指换能器一般是均匀的,也可以对指长、指宽或者叉指间隔进行加权,这样就可以得到幅频特性(选择性)更好,或者满足特殊幅频特性要求的滤波器。

    8.2 滤波器的基本结构

    教材135页 PDF152页
    基本
    实际的滤波器实现形式是根据不同的传递函数对理想特性的逼近,可以分为巴特沃斯、切比雪夫、椭圆函数等基本滤波器,它们的幅度频率响应如下图所示:
    实际滤波器

    滤波器的主要技术指标

    1、通带插入损耗

    理想的滤波器不应对通带内的信号引入损耗,然而实际的电路中总是会引入一定的功率损耗,称为插入损耗
    通带插入损耗 = 信号源输入功率Pin{P_{in}} / 负载得到的功率PL{P_{L}}
    IL(dB)=10logPinPL=10log(1Γin2)IL(dB) = 10\log \frac{{P_{in}}}{P_{L}} = - 10\log (1 - {\left| {{\Gamma _{in}}} \right|^2})
    IL(dB)=10logPAPLIL(dB) = 10\log \frac{{P_{A}}}{P_{L}}★(5.1)
    PA{P_{A}}波源资用功率
    Γin{\Gamma _{{\rm{in}}}}是从信号源向滤波器看去的反射系数

    2、波纹

    波纹是衡量带内响应平坦度的技术指标
    可以用波纹系数定量的分析波纹的起伏大小
    定义为带内用分贝表示的相应幅度的最大值 - 相应幅度的最小值

    3、带宽

    对于带通滤波器不同的衰减量对应于不同的带宽,常用的有
    3dB带宽定义为通带内幅度衰减为3dB的上下边带之差
    60dB带宽定义为通带内幅度衰减为60dB的上下边带之差

    4、矩形系数

    矩形系数描述了带通滤波器通带与阻带间过渡带宽的陡峭程度
    通常定义为60dB带宽BW60dB{BW_{60dB}} / 3dB带宽BW3dB{BW_{3dB}}
    SF=BW60dB/BW3dBSF = {BW_{60dB}}/{BW_{3dB}}★(5.3)

    5、品质因数QL{Q_{L}}

    品质因数可以分为空载品质因数Q和有载品质因数QL{Q_{L}}
    两者由是否接有负载区分
    通常空载品质因数 Q定义为在谐振频率下,滤波器上一个周期内平均储能与功率损耗的比:

    品质因数QL{Q_{L}}3dB带宽BW3dB{BW_{3dB}}间的关系
    QL=fc/BW3dB{Q_{L}}={f_{c}}/{BW_{3dB}}★(5.7)
    BW3dB=fc/QL{BW_{3dB}} = {f_{c}}/{{{Q_{\rm{L}}}}}
    相对带宽=BW3dB/fc=1/QL={BW_{3dB}}/{f_{c}}=1/{Q_{L}}

    8.3 滤波器基本分析方法

    射频滤波器分许多种类,各有不同的特点
    但在电路中能灵活设计的主要有集总元件的LC滤波器分布参数的耦合线滤波器
    本章主要介绍集总元件参数LC滤波器的设计思想和设计方法。
    LC滤波器设计方法主要有两种。

    1、镜像参数法

    镜像参数法以基本Γ,T,Π\Gamma ,T,\Pi型网络结构为基本单元。
    镜像
    规定约束条件Z1Z2=R2{Z_1}{Z_2} = {R^2}
    其中:R为设计常数。
    再用ABCD矩阵分析其网络衰耗特性与输入输出阻抗特性
    由于ABCD矩阵适于分析网络级联,因此也可扩展到多级网络的分析与设计。

    2、网络综合法

    网络综合法以归一化低通滤波器的传统函数为基础
    首先用多项式逼近法构建满足滤波器衰耗条件的传递函数
    再建立传递函数阻抗函数的关系
    用阻抗函数建立梯形网络的实现原型
    最后经过频率变换阻抗变换,获得实际需要的滤波器
    我们重点介绍该方法的基本原理及设计方法。
    梯形

    8.4 低通滤波器原型

    所谓滤波器原型是指归一化低通滤波器模型(截止频率为1,信号源内阻为1),滤波器原型确定了滤波器的特性
    然后通过原型滤波器的频率变换,阻抗变换等获得实际需要的滤波器。

    8.4.1 巴特沃斯滤波器

    巴特沃斯滤波器插入损耗
    IL=10log(1+a2Ω2N)IL = 10\log \left( {1 + {a^2}{\Omega ^{2N}}} \right)
    归一化频率Ω=ω/Ω=ωωcωc{{\Omega = \omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Omega = \omega } {{\omega _c}}}} \right.} {{\omega _c}}}
    N为滤波器阶数
    a为通带衰耗系数,通常可以令a=1,将a值合并到归一化频率之中去。得
    IL=10log11Γin(jΩ)2=10log(1+Ω2N)IL = 10\log \frac{1}{{1 - {{\left| {{\Gamma _{in}}(j\Omega )} \right|}^2}}} = 10\log \left( {1 + {\Omega ^{2N}}} \right)

    8.4.2 线性相移滤波器(贝塞尔滤波器)

    8.4.3 切比雪夫滤波器

    切比雪夫滤波器插入损耗
    IL=10log{1+a2Cn2(Ω)}IL = 10\log \left\{ {1 + {a^2}C_n^2(\Omega )} \right\}

    8.5 滤波器设计方法

    设计流程:
    1、根据设计指标确定归一化设计模型及参数
    2、进行频率变换,将归一化低通模型变换成实际的模型
    如:高通,带通,帯阻等
    及将归一化频率变换为实际频率
    并调整其元件值。
    3、进行阻抗变换,将归一化阻抗变换成为系统需要的阻抗、即特征阻抗
    同时进一步调整元件值。

    8.5.1 频率变换

    将归一化频率变换成实际频率,同时变换模型。

    低通→低通 频率变换

    低通→低通频率变换
    Ω=(ωωC)\Omega = \left( {\frac{\omega }{{{\omega _C}}}} \right)
    ωC{\omega _C}实际截止频率,对应于归一化截止频率1
    元件值变换:(L、C为归一化元件值)
    ZL=jΩL=jωωcL=jωLL=Lωc{Z_L} = j\Omega L = j\frac{\omega }{{{\omega _c}}}L = j\omega L'{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}L' = \frac{L}{{{\omega _c}}}
    YC=jΩC=jωωcC=jωCC=Cωc{Y_C} = j\Omega C = j\frac{\omega }{{{\omega _c}}}C = j\omega C'{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}C' = \frac{C}{{{\omega _c}}}

    低通→高通 频率变换

    低通→高通频率变换
    Ω=ωcω\Omega = \frac{{ - {\omega _c}}}{\omega }
    元件值变换:
    电感→电容
    Z=jΩL=jωcωL=1jωCC=1ωcLZ = j\Omega L = - j\frac{{{\omega _c}}}{\omega }L = \frac{1}{{j\omega C'}}{\rm{ }} \Rightarrow C' = \frac{1}{{{\omega _c}L}}
    电容→电感
    Y=jΩC=jωcωC=1jωLL=1ωcCY = j\Omega C = - j\frac{{{\omega _c}}}{\omega }C = \frac{1}{{j\omega L'}}{\rm{ }} \Rightarrow L' = \frac{1}{{{\omega _c}C}}
    注意:虽然器件的性质改变,当在网络中的位置不变。

    低通→带通 频率变换

    一般带通滤波器设计是

    1. 确定归一化滤波器,将带通滤波器指标变换为归一化低通滤波器指标
    2. 通过频率变换阻抗变换获得实用滤波器

    低通→带通频率变换
    Ω=ω0ωUωL(ωω0ω0ω)\Omega = \frac{{{\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)ωUωL=ω02{\omega _U}{\omega _L} = \omega _0^2
    Ω=f0fUfL(ff0f0f)\Omega = \frac{{{f_0}}}{{{f_U} - {f_L}}}\left( {\frac{f}{{{f_0}}} - \frac{{{f_0}}}{f}} \right)fUfL=f02{f_U}{f_L} = f_0^2
    ω=ωUΩ=1\omega {\rm{ = }}{\omega _U} \Rightarrow \Omega=1
    ω=ωLΩ=1\omega {\rm{ = }}{\omega _L} \Rightarrow \Omega=1
    ω=ω0Ω=0\omega {\rm{ = }}{\omega _0} \Rightarrow \Omega=0
    低通→带通变换 原型电路的电感→电感电容串联
    Z=jΩL=jω0ωUωL(ωω0ω0ω)L=jωLωUωL+1jω(ωUωLω02)1L=jωLωUωL+1jω(ωUωLω02)1L=jωLs+1jωCsZ = j\Omega L = j\frac{{{\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)L = j\frac{{\omega L}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}} + \frac{1}{{j\omega \left( {\frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}} \right)\frac{1}{L}}}\\ = j\frac{{\omega L}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}} + \frac{1}{{j\omega \left( {\frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}} \right)\frac{1}{L}}} = j\omega {{L'}_s} + \frac{1}{{j\omega {{C'}_s}}}
    Ls=LωUωL{{L'}_s} = \frac{L}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}
    Cs=ωUωLω02L=1ω02Ls{{C'}_s} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2L}} = \frac{1}{{\omega _0^2{{L'}_s}}}
    ω02=1LsCs\omega _0^2 = \frac{1}{{{{L'}_s}{{C'}_s}}}
    低通→带通变换 原型电路的电容→电感电容并联
    Y=jΩC=jωCωUωL+1jω(ωUωLω02)1C=jωCp+1jωLpY = j\Omega C = j\frac{{\omega C}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}} + \frac{1}{{j\omega \left( {\frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}} \right)\frac{1}{C}}} = j\omega {{C'}_p} + \frac{1}{{j\omega {{L'}_p}}}
    Cp=CωUωL{{C'}_p} = \frac{C}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}
    Lp=ωUωLω02C=1ω02Cp{{L'}_p} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2C}} = \frac{1}{{\omega _0^2{{C'}_p}}}
    ω02=1LpCp\omega _0^2 = \frac{1}{{{{L'}_p}{{C'}_p}}}

    低通→带阻 频率变换

    低通→带阻频率变换
    Ω={ω0ωUωL(ωω0ω0ω)}1\Omega = {\left\{ {\frac{{ - {\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)} \right\}^{ - 1}}
    ωUωL=ω02{\omega _U}{\omega _L} = \omega _0^2
    低通→带阻变换 原型电路的电感→电感电容并联
    Z=jΩL=jL{ω0ωUωL(ωω0ω0ω)}1={1jL}1{(ωωUωL)+(ωωUωLω02)1}1={jω(ωUωL)L+ω02jLω(ωUωL)}1={jωCp+1jωLp}1Z = j\Omega L = jL{\left\{ {\frac{{ - {\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)} \right\}^{ - 1}} = {\left\{ {\frac{1}{{jL}}} \right\}^{ - 1}}{\left\{ {\left( {\frac{{ - \omega }}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}} \right) + {{\left( {\omega \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}} \right)}^{ - 1}}} \right\}^{ - 1}}\\ = {\left\{ {\frac{{j\omega }}{{\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)L}} + \frac{{\omega _0^2}}{{jL\omega \left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)}}} \right\}^{ - 1}} = {\left\{ {j\omega {{C'}_p} + \frac{1}{{j\omega {{L'}_p}}}} \right\}^{ - 1}}
    Cp=1(ωUωL)L{{C'}_p} = \frac{1}{{\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)L}}
    Lp=ωUωLωc2L{{L'}_p} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _c^2}}L
    低通→带阻变换 原型电路的电容→电感电容串联
    Y=jΩC={jω(ωUωL)C+ω02jCω(ωUωL)}1={jωLs+1jωCs}1Y = j\Omega C = {\left\{ {\frac{{j\omega }}{{\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)C}} + \frac{{\omega _0^2}}{{jC\omega \left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)}}} \right\}^{ - 1}} = {\left\{ {j\omega {{L'}_s} + \frac{1}{{j\omega {{C'}_s}}}} \right\}^{ - 1}}
    Ls=1(ωUωL)C{{L'}_s} = \frac{1}{{\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)C}}
    Cs=ωUωLω02C{{C'}_s} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}C

    8.5.2 阻抗变换

    阻抗变换
    特征阻抗RGR_G

    串联电感支路
    jΩLs=jRGasΩj\Omega {L'_s} = j{R_G}{a_s}\Omega
    Ls=RGas=RGLs{L'_s} = {R_G}{a_s} = {R_G}{L_s}
    an:n=1,3,5,7.....{a_n}:n = 1,3,5,7.....
    并联电容支路
    jΩCp=japRGΩj\Omega {C'_p} = j\frac{{{a_p}}}{{{R_G}}}\Omega
    Cp=ap/RG=Cp/RG{C'_p} = {{{a_p}}}/{{{R_G}}} = {{{C_p}}}/{{{R_G}}}
    an:n=2,4,6,8.....{a_n}:n = 2,4,6,8.....

    阻抗变换的另一种解释
    传递函数值是无量纲比例值,这个值由网络拓扑结构和元件比例值决定,而与元件的绝对值无关
    网络中所有元件的阻抗值等比例变化,传递函数不变
    这样阻抗变换可用下列公式解释
    Z=KZZ' = KZY=Y/KY' = Y/K
    从归一化电路RS=RL=1R_S=R_L=1,变化到RS=RL=RG{R'_S} = R'_L = {R_G},有K=RGK=R_G
    RS=RGRSR'_S=R_G R_S
    RL=RGRLR'_L=R_G R_L

    ★★ ★★
    Z=jωLZ = j\omega L Z=KZ=jωRGL=jωLZ' = KZ = j\omega {R_G}L = j\omega L' L=RGLL' = {R_G}L
    Z=1jωCZ = \frac{1}{{j\omega C}} Z=KZ=RGjωC=1jωCZ' = KZ = \frac{{{R_G}}}{{j\omega C}} = \frac{1}{{j\omega C'}} C=CRGC' = \frac{C}{{{R_G}}}

    例题 设计带通滤波器

    归一化低通滤波器
    归一化低通滤波器原型电路如图所示
    将其变换为特征阻抗为50欧,上下截止频率分别在1.01MHz和0.99MHz的带通滤波器
    特征阻抗RG=50ΩR_G=50Ω
    上截止频率ωU=2π×1.01×1066.346×106(rad/s){\omega _{\rm{U}}} = 2\pi \times 1.01 \times {10^6} \approx 6.346 \times {10^6}\left( {rad/s} \right)
    下截止频率ωL6.220Hz×106(rad/s){\omega _L} \approx 6.220Hz \times {10^6}\left( {rad/s} \right)
    ωUωL0.126×106(rad/s){\omega _{\rm{U}}} - {\omega _L} \approx 0.126 \times {10^6}\left( {rad/s} \right)
    ω02=3.947×1013\omega _0^2 = 3.947 \times {10^{13}}
    ω0=6.283×106Hz\omega _0 = 6.283 \times {10^6}Hz
    低通→带通变换电感电容串联 阻抗变换
    Ls=RGLωUωL=50×20.126×1065.61×104H560μHCs=ωUωLω02RGL=0.126×1063.947×1013×50×24.51×101145pF{{L'}_s} = \frac{{{R_G}L}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{\rm{ = }}\frac{{50 \times \sqrt 2 }}{{0.126 \times {{10}^6}}} \approx {\rm{5}}{\rm{.61}} \times {10^{ - 4}}{\rm{H}} \approx 560\mu H\\ {{C'}_s} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2{R_G}L}} = \frac{{0.126 \times {{10}^6}}}{{3.947 \times {{10}^{13}} \times 50 \times \sqrt 2 }} \approx 4.51 \times {10^{ - 11}} \approx 45pF
    低通→带通变换电感电容并联 阻抗变换
    Lp=RG(ωUωL)ω02C=50×0.126×1063.947×1013×21.13×107110nHCp=CRG(ωUωL)=250×0.126×1062.24×107F0.22μF{{L'}_p} = \frac{{{R_G}\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)}}{{\omega _0^2C}} = \frac{{50 \times 0.126 \times {{10}^6}}}{{3.947 \times {{10}^{13}} \times \sqrt 2 }} \approx 1.13 \times {10^{ - 7}} \approx 110nH\\ {{C'}_p} = \frac{C}{{{R_G}\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 2 }}{{50 \times 0.126 \times {{10}^6}}} \approx {\rm{2}}{\rm{.24}} \times {10^{ - 7}}{\rm{F}} \approx 0.22\mu F
    阻抗变换
    RS=RGRSR'_S=R_G R_S
    RL=RGRLR'_L=R_G R_L
    实际带通电路
    实际带通电路

    滤波器阶数的确定

    1、巴特沃斯滤波器

    一般滤波器的衰耗特性有两个要求
    通带波动<指标值,低通型表示为
    ILILlow,ωωLIL \le I{L_{low}},\left| \omega \right| \le {\omega _L}
    阻带衰耗>指标值,低通型表示为
    ILILhigh,ωωHIL \ge I{L_{high}},\left| \omega \right| \ge {\omega _H}
    由指标值根据衰耗公式确定滤波器的阶数,然后生成所需滤波器。

    设计巴特沃斯低通滤波器

    例:根据下列指标设计阻抗为50欧的巴特沃斯低通滤波器
    通带衰耗≤2dB f3400Hz\left| f \right| \le 3400Hz
    阻带衰耗≥10dB f4200Hz\left| f \right| \ge 4200Hz
    通带边缘频率ωL=2π×3400rad/s{\omega _L} = 2\pi \times 3400rad/s
    阻带下限频率ωH=2π×4200rad/s{\omega _H} = 2\pi \times 4200rad/s

    巴特沃斯滤波器插入损耗
    IL=10log(1+a2Ω2N)=10log(1+a2(ωωL)2N)IL = 10\log \left( {1 + {a^2}{\Omega ^{2N}}} \right) = 10\log \left( {1 + {a^2}{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _L}}}} \right)}^{2N}}} \right)
    通带衰耗≤ILlow=2dBI{L_{low}}= 2dB
    ωωL\left| \omega \right| \le {\omega _L}
    10log(1+a2)ILlow10\log \left( {1 + {a^2}} \right) \le I{L_{low}}
    a2(10ILlow/101)=(100.21)0.585{a^2} \le \left( {{{10}^{IL_{low}/10}} - 1} \right) = \left( {{{10}^{0.2}} - 1} \right) \approx 0.585
    a0.765a \le 0.765
    阻带衰耗≥ILhigh=10dBIL_{high} = 10dB
    10log(1+a2(ωHωL)2N)ILhigh=10dB10\log \left( {1 + {a^2}{{\left( {\frac{{{\omega _H}}}{{{\omega _L}}}} \right)}^{2N}}} \right) \ge IL_{high} = 10dB
    (ωHωL)2N10ILhigh/101a2{\left( {\frac{{{\omega _H}}}{{{\omega _L}}}} \right)^{2N}} \ge \frac{{{{10}^{IL_{high}/10}} - 1}}{{{a^2}}}
    两边取对数,log的底数取什么都可以
    Nlog(10ILhigh/101/a)log(ωH/ωL)=log10110.765log420034006.46N \ge \frac{{\log ({{\sqrt {{{10}^{IL_{high}/10}} - 1} }}/{{{a^{}}}})}}{{\log ({{{\omega _H}}}/{{{\omega _L}}})}} = \frac{{\log \frac{{\sqrt {{{10}^1} - 1} }}{{0.765}}}}{{\log \frac{{4200}}{{3400}}}} \approx 6.46
    取整数N=7
    巴特沃斯滤波器插入损耗
    IL=10log(1+a2(ωωL)2N)=10log(1+Ω2N):Ω=(ωωL/ωLaNaN)IL = 10\log \left( {1 + {a^2}{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _L}}}} \right)}^{2N}}} \right) = 10\log \left( {1 + {\Omega ^{2N}}} \right):\Omega = \left( {\frac{\omega }{{{{{\omega _L}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\omega _L}} {\sqrt[N]{a}}}} \right.} {\sqrt[N]{a}}}}}} \right)
    低通→低通频率变换
    Ω=ωωc\Omega = \frac{\omega }{{{\omega _c}}}
    ωc=ωL/aN=2π×3400/0.765722197rad/s{\omega _c} = {{{\omega _L}}}/{{\sqrt[N]{a}}} = {{2\pi \times 3400}}/{{\sqrt[7]{{0.765}}}} \approx 22197rad/s

    题就是查表确定归一化元件值
    然后通过阻抗变换频率变换得元件值
    设计可以用阻抗设计(即表中第一项为串联电感
    或者用导纳设计(即表中第一项为并联电容
    假设采用阻抗设计 阻抗变换
    L1=g1=L7=0.445H{L_1} = {g_1} = {L_7} = 0.445H
    L1,7=RGωcL=5022197×0.445103H=1mH{{L'}_{1,7}} = \frac{{{R_G}}}{{{\omega _c}}}L = \frac{{50}}{{22197}} \times 0.445 \approx {10^{ - 3}}H = 1mH
    C2=g2=C6=1.247F{C_2} = {g_2} = {C_6} = 1.247F
    C2,6=1RGωcC=1.24750×221971.1×106F=1.1μF{{C'}_{2,6}} = \frac{1}{{{R_G}{\omega _c}}}C = \frac{{1.247}}{{50 \times 22197}} \approx 1.1 \times {10^{ - 6}}F = 1.1\mu F
    L3=g3=L5=1.8019H{L_3} = {g_3} = {L_5} = 1.8019H
    L3.5=RGωcL=5022197×1.80194.1×103H=4.1mH{{L'}_{3.5}} = \frac{{{R_G}}}{{{\omega _c}}}L = \frac{{50}}{{22197}} \times 1.8019 \approx 4.1 \times {10^{ - 3}}H = 4.1mH
    C4=g4=2F{C_4} = {g_4} = 2F
    C2,6=1RGωcC=250×221971.8×106F=1.8μF{{C'}_{2,6}} = \frac{1}{{{R_G}{\omega _c}}}C = \frac{2}{{50 \times 22197}} \approx 1.8 \times {10^{ - 6}}F = 1.8\mu F

    2、切比雪夫滤波器

    切比雪夫滤波器插入损耗
    IL=10log{1+a2Cn2(Ω)}IL = 10\log \left\{ {1 + {a^2}C_n^2(\Omega )} \right\}
    CN(Ω)={cos[N×cos1(Ω)]Ω1cosh[N×cosh1(Ω)]Ω>1(1)Ncosh[N×cosh1(Ω)]Ω<1{C_N}(\Omega ) = \left\{ \begin{array}{l} \cos \left[ {N \times {{\cos }^{ - 1}}\left( \Omega \right)} \right]{\rm{ }}\left| \Omega \right| \le 1\\ \cos h\left[ {N \times {{\cosh }^{ - 1}}\left( \Omega \right)} \right]{\rm{ }}\Omega > 1\\ {\left( { - 1} \right)^N}\cos h\left[ {N \times {{\cosh }^{ - 1}}\left( { - \Omega } \right)} \right]{\rm{ }}\Omega < - 1 \end{array} \right.
    一般滤波器的衰耗特性有两个要求
    通带波动<指标值,低通型表示为
    ILILlowIL \le I{L_{low}}ωωc\left| \omega \right| \le {\omega _c}
    阻带衰耗>指标值,低通型表示为
    ILILhighIL \ge I{L_{high}}ωωp\left| \omega \right| \ge {\omega _p}
    由指标值根据衰耗公式确定切比雪夫滤波器的阶数,然后生成所需滤波器。
    cos[N×cos1(Ω)]1\left| {\cos \left[ {N \times {{\cos }^{ - 1}}\left( \Omega \right)} \right]} \right| \le 1
    10log(1+a2)ILlow10\log (1 + {a^2}) \le I{L_{low}}
    a10ILhigh/101a \le \sqrt {{{10}^{IL_{high}/10}} - 1}
    ILhigh10log(1+a2cosh2[N×cosh1(ωpωc)])I{L_{high}} \le 10\log \left( {1 + {a^2}{{\cosh }^2}\left[ {N \times {{\cosh }^{ - 1}}\left( {\frac{{{\omega _p}}}{{{\omega _c}}}} \right)} \right]} \right)
    Ncosh1(10ILhigh/101/a)/cosh1(ωp/ωc)N \ge {{{{\cosh }^{ - 1}}\left( {{{\sqrt {{{10}^{IL_{high}/10}} - 1} }}/{a}} \right)}}/{{{{\cosh }^{ - 1}}\left( {{{{\omega _p}}}/{{{\omega _c}}}} \right)}}

    设计带通切比雪夫滤波器

    设计满足下列指标的切比雪夫滤波器
    标称阻抗=50Ω
    通带中心频率=70MHz
    通带波动≤3dB (f69MHzorf71MHz)\left( {f \ge 69MHz{\rm{ or }}f \le 71MHz} \right)
    阻带衰耗≥40dB (f65MHzorf75MHz)\left( {f \le 65MHz{\rm{ or }}f \ge 75MHz} \right)

    将技术指标转换为归一化低通滤波器的指标
    ωL=2π×69×106rad/s{\omega _L} = 2\pi \times 69 \times {10^6}rad/s
    ωU=2π×71×106rad/s{\omega _U} = 2\pi \times 71 \times {10^6}rad/s
    ω0=2π×69×71×106rad/s{\omega _0} = 2\pi \times \sqrt {69 \times 71} \times {10^6}rad/s

    频率变换
    ω0ωUωL=f0fUfL=69×717169\frac{{{\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}} = \frac{{{f_0}}}{{{f_U} - {f_L}}} = \frac{{\sqrt {69 \times 71} }}{{71 - 69}}
    低通→带通频率变换
    Ω=ω0ωUωL(ωω0ω0ω)\Omega = \frac{{{\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)ωUωL=ω02{\omega _U}{\omega _L} = \omega _0^2
    Ω=f0fUfL(ff0f0f)\Omega = \frac{{{f_0}}}{{{f_U} - {f_L}}}\left( {\frac{f}{{{f_0}}} - \frac{{{f_0}}}{f}} \right)fUfL=f02{f_U}{f_L} = f_0^2
    将上下两个阻带边界频率带入转换公式计算,得
    Ω1=f0fUfL(f1f0f0f1)=69×717169(6669×7169×7166)4.1{\Omega _1} = \frac{{{f_0}}}{{{f_U} - {f_L}}}\left( {\frac{{{f_1}}}{{{f_0}}} - \frac{{{f_0}}}{{{f_1}}}} \right){\rm{ }} = \frac{{\sqrt {69 \times 71} }}{{71 - 69}}\left( {\frac{{66}}{{\sqrt {69 \times 71} }} - \frac{{\sqrt {69 \times 71} }}{{66}}} \right) \approx - 4.1
    Ω2=f0fUfL(f2f0f0f2)=69×717169(7469×7169×7174)3.9{\Omega _2} = \frac{{{f_0}}}{{{f_U} - {f_L}}}\left( {\frac{{{f_2}}}{{{f_0}}} - \frac{{{f_0}}}{{{f_2}}}} \right){\rm{ }} = \frac{{\sqrt {69 \times 71} }}{{71 - 69}}\left( {\frac{{74}}{{\sqrt {69 \times 71} }} - \frac{{\sqrt {69 \times 71} }}{{74}}} \right) \approx 3.9
    因为Ω2<Ω1\left| {{\Omega _2}} \right| < \left| {{\Omega _1}} \right|
    所以用Ω2\Omega _2作为阻带指标更为严格。
    归一化指标为
    IL3dB,Ω1IL \le 3dB,\left| \Omega \right| \le 1
    IL40dB,Ω3.9IL \ge 40dB,\left| \Omega \right| \ge 3.9
    a10ILlow/1011a \le \sqrt {{{10}^{IL_{low}/10}} - 1} \approx 1
    切比雪夫滤波器的阶数
    Ncosh1(10ILhigh/101/a)/cosh1(ωp/ωc)=cosh1(10ILhigh/101/a)/cosh1(Ω2/1)=cosh1(1040/101/1)/cosh1(3.9)2.6N \ge {{{{\cosh }^{ - 1}}\left( {{{\sqrt {{{10}^{IL_{high}/10}} - 1} }}/{a}} \right)}}/{{{{\cosh }^{ - 1}}\left( {{{{\omega _p}}}/{{{\omega _c}}}} \right)}}\\ = {{{{\cosh }^{ - 1}}\left( {{{\sqrt {{{10}^{IL_{high}/10}} - 1} }}/{a}} \right)}}/{{{{\cosh }^{ - 1}}\left( {{{{\Omega _2}}}/{1}} \right)}} = {{{{\cosh }^{ - 1}}\left( {\sqrt {{{10}^{40/10}} - 1} } /1\right)}}/{{{{\cosh }^{ - 1}}\left( {3.9} \right)}} \approx 2.6
    取N=3
    查表得g1=g3=3.3487{g_1} = {g_3} = 3.3487g2=0.7117{g_2} = 0.7117g4=1{{\rm{g}}_{\rm{4}}} = 1
    g4=1,意味着远端阻抗负载端阻抗一致

    低通→带通变换电感电容串联 阻抗变换
    L=g1Ls1,3=RGg1ωUωL=50×3.34872π(7169)×1061.3×10513μHL = {g_1}{\rm{ }}{{L'}_{s1,3}} = \frac{{{R_G}{g_1}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{50}} \times {\rm{3}}{\rm{.3487}}}}{{2\pi \left( {71 - 69} \right) \times {{10}^6}}} \approx {\rm{1}}{\rm{.3}} \times {10^{ - 5}} \approx {\rm{13}}\mu {\rm{H }}
    Cs1,3=ωUωLω02RGg1=1ω02Ls=1[(2π)2×69×71×1012]×1.3×1050.4pF{{C'}_{s1,3}} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2{R_G}{g_1}}} = \frac{1}{{\omega _0^2{{L'}_s}}} = \frac{1}{{\left[ {{{\left( {2\pi } \right)}^2} \times 69 \times 71 \times {{10}^{12}}} \right] \times {\rm{1}}{\rm{.3}} \times {{10}^{ - 5}}}} \approx 0.4pF
    低通→带通变换电感电容并联 阻抗变换
    C=g2Cp=g2RG(ωUωL)=0.711750×2π(7169)×1061.1×1091.1nFC = {g_2}{\rm{ }}{{C'}_p} = \frac{{{g_2}}}{{{R_G}\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{0.7117}}{{50 \times 2\pi \left( {71 - 69} \right) \times {{10}^6}}} \approx 1.1 \times {10^{ - 9}} \approx 1.1nF
    Lp=ωUωLω02C=1ω02Cp=1[(2π)2×69×71×1012]×1.1×1094.6×1094.6nH{{L'}_p} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2C}} = \frac{1}{{\omega _0^2{{C'}_p}}} = \frac{1}{{\left[ {{{\left( {2\pi } \right)}^2} \times 69 \times 71 \times {{10}^{12}}} \right] \times 1.1 \times {{10}^{ - 9}}}} \approx 4.6 \times {10^{ - 9}} \approx 4.6nH

    作业

    5.9, 5.10, 5.15, 5.16

    展开全文
  • 低通、高通、带通设计方法都要会。窗函数法、最佳逼近法也要会。窗函数比较好记,为什么呢?因为都是以名人命名的。什么汉明窗啊,切比雪夫窗(想想概率论里面是不是也接触到了这个名字?)啊等等,还涉及好多科学家...

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    上堂课只是简单涉及到了滤波器的基础知识,本堂课的仿真可就要围绕这个滤波器来了。要让大家都能成为滤波器的设计师。低通、高通、带通的设计方法都要会。窗函数法、最佳逼近法也要会。窗函数比较好记,为什么呢?因为都是以名人命名的。什么汉明窗啊,切比雪夫窗(想想概率论里面是不是也接触到了这个名字?)啊等等,还涉及好多科学家的名字。切比雪夫滤波器,又名“车比雪夫滤波器”。这个滤波器在通带或阻带上频率响应幅度是等波纹波动。切比雪夫滤波器来自切比雪夫分布,以“切比雪夫”命名,是用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维其·切比雪夫。等波纹的特性非常有意思,画出滤波器的频率响应图就能理解了。

    注明:本章知识对课程《数字信号处理》的消化有很强的促进作用,尤其是对该课程第五章和第六章的知识。

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    看个人的基础,基础好的学生不需要两课时就能掌握滤波器的仿真内容!!!

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    什么是FIR?什么是IIR?需要大家自己回顾复习!温故而知新!!!

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    本课程侧重仿真,因此同学们一定要能够读懂仿真程序中出现的错误提示,虽然是英文的,但不要成为自己不去读的理由。

    一定要培养读懂英文资料的习惯!

    电子通信领域工程师的必由之路!

    不怕底子差,就怕不想学!

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    重点知识:能否用卷积函数来代替呢?

    怎么等效使用?

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    未完,待续!

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    学生感言

    我的一位学生打工了两个月了,偶尔和他聊了工作的事情。没想到他成长挺快。

    比如两天内发生的事情就让他想到这么多。
    1.上司面前永远不要解释。
    2.男人要大度吃点亏不代表就是不好的。
    3.公司的人际关系是非常重要的,上头说你错,哪怕你是对的,哪怕别人都知道上司是带个人情绪在处理事情,一个人都不帮你说话,你这个职位就危险了。
    4.公司要的不是有脾气的人,而是有能力又会处理关系的人。
    5.上司说你错的话可能是不对的,但是他后面说的应该怎么做肯定是对的。
    6.工作一定要认真仔细,公司的规定很严格,如果你的上司跟你关系比较好,你又确实犯了错,老板讨厌的不会是犯错的员工,而是玩忽职守的管理者。

    点评:他上了几天班后,确实懂事多了。哎,很难想象又瘦又矮的小伙被训的时候是一幅什么场景?应该是动图。和社会相比,大学依旧是温室。但似乎他做事的风格没什么改变,还是比较拖沓。好习惯很难养成,坏习惯也很难改。

    2020年回望2017年写的内容,感觉自己的教育之路应该是失败的,所以以后专注于传播知识!!!

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    最后依旧是来段小视频放松一下。

    学生拍的!

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    修订记录

    20170127  完成初稿;

    20170329  修订内容;

    20170517  修订内容;

    20201005  修订内容;

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    电气信息类专业课程之matlab系统仿真 第一章 信号和滤波器

    通信原理与matlab仿真v2 第十二章 QPSK相干解调仿真(12)

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  • 射频滤波器学习笔记

    2020-10-21 23:42:27
    滤波器学习笔记1 设计一款滤波器首先需要利用广义切比雪夫多项式得到S参数曲线,然后将S曲线转化成为y矩阵。...这里给出了广义切比雪夫滤波器低通原型S曲线的设计方法。 符号说明 为了简化计算,在ω\

    滤波器学习笔记1

    设计一款滤波器首先需要利用广义切比雪夫多项式得到S参数曲线,然后将S曲线转化成为y矩阵。之后采用提取留数的方法综合出耦合矩阵的主对角线,然后用Givens变换简化耦合矩阵,最终得到滤波器的各种矩阵形式。

    • 广义切比雪夫多项式的综合

      要设计一款滤波器首先要得到满足指标要求的S曲线。高通,低通,带通,带阻等各种形式的S曲线要从低通原型变换而来。因此设计滤波器低通原型的S曲线是设计滤波器的第一步。
      这里给出了广义切比雪夫滤波器低通原型S曲线的设计方法。
      • 符号说明

        1. 为了简化计算,在ω\omega平面上展开讨论。这样,关于ω\omega的多项式的系数都变成了实系数。基于s=jω+σs=j\omega+\sigma作变换。变换后会对以s参数为自变量函数产生一些影响。这里不进行讨论。直接使用变换后函数展开讨论。
        2. S11(ω)S_{11}(\omega)S21(ω)S_{21}(\omega)代表滤波器的反射系数和传输系数。
        3. 滤波器的传输系数和反射系数可以表示为两个多项式的比值,其数学语言描述如下: S11(ω)=F(ω)/ϵRE(ω)S_{11}(\omega) = \frac{F(\omega)/\epsilon_R}{E(\omega)} S21(ω)=P(ω)/ϵE(ω)S_{21}(\omega)=\frac{P(\omega)/\epsilon}{E(\omega)}
          上式中ϵR\epsilon_R式用来归一化F(ω)F(\omega)E(ω)E(\omega)的常数,使得他们的最高次项的系数为1,如果最高次项已经等于1则 ϵR\epsilon_R等于1。
          ϵ=110RL/101P(ω)F(ω)/ϵRω=±1\epsilon=\frac{1}{\sqrt{10^{RL/10}-1}}|\frac{P(\omega)}{F(\omega)/\epsilon_R}|_ {\omega= \pm 1} 其中RLRL的值为滤波器在w=±1w=\pm1 时的回波损耗。
        4. 符号CN(ω)C_N(\omega)为N阶滤波器函数,其广义切比雪夫形式为:
          CN(ω)=cosh[n=1Narcosh(xn(ω))]C_N(\omega)=cosh[\sum^N_{n=1}arcosh(x_n(\omega))]
          其中xn(ω)=1ωωnωωnx_n(\omega)=\frac{1-\omega\omega_n}{\omega-\omega_n} ,ωn\omega_n为滤波器低通原型的第n个传输零点。
      • 理论推导

        为了得到S曲线,首先要得到多项式F(ω),P(ω),E(ω)F(\omega),P(\omega),E(\omega)。由于存在能量守恒(无耗)的约束条件,实际只需要得到F(ω),P(ω)F(\omega),P(\omega)就可以确定E(ω)E(\omega)的值。传输零点是设计者自己确定的,因而下面的推导都基于传输零点已知的条件。也就是xn(ω)x_n(\omega)已知。

        首先假设y=arcosh(xn(ω))y=arcosh(x_n(\omega))于是有 xn(ω)=cosh(y)x_n(\omega)=cosh(y),然后有1xn(ω)2=sinh(y)21-x_n(\omega)^2 = sinh(y)^2推得arcosh(xn(ω))=ln(an+bn)arcosh(x_n(\omega))=ln(a_n+b_n)其中an=xn(ω)a_n=x_n(\omega),bn=xn(ω)21b_n=\sqrt{x_n(\omega)^2-1}

        将上述结果带入到CN(ω)C_N(\omega)中有
        CN(ω)=12[n=1N(an+bn)+n=1N(anbn)]C_N(\omega)=\frac{1}{2}[\prod_{n=1}^{N}(a_n+b_n)+\prod_{n=1}^{N}(a_n-b_n)]
        xn(ω)x_n(\omega)的表达式代入an,bna_n,b_n中,最后CN(ω)C_N(\omega)的表达式就可以写为

        CN(ω)=12[n=1N(cn+dn)+n=1N(cndn)n=1N(1ω/ωn)]C_N(\omega)=\frac{1}{2}[\frac{\prod^{N}_ {n=1}(c_n+d_n) +\prod^{N}_ {n=1}(c_n-d_n)}{\prod_{n=1}^{N}(1-\omega/\omega_n)}]

        其中cn=(ω1ωn)c_n=(\omega-\frac{1}{\omega_n}),dn=ω11ωn2(ω=ω21)d_n=\omega^\prime\sqrt{1-\frac{1}{\omega_n^2}}(\omega^\prime=\sqrt{\omega^2-1})

        可以看出,式中分子带ω\omega^\prime的项可以对消,而最后计算出的分子为两个相等的分别来自分子初始式子两个子项的和。因而计算分子中第一项不带ω\omega^\prime的项的和就可以计算出整个分子的值。
        又由于存在CN(ω)=F(ω)P(ω)C_N(\omega)=\frac{F(\omega)}{P(\omega)},所以CN(ω)C_N(\omega)的分子多项式的零点与F(ω)F(\omega)相同。求出分子多项式的表达式也就求出了F(ω)F(\omega)
        分母多项式P(ω)P(\omega)完全是由传输零点确定的,按照公式计算即可。但值得注意的是在转换回s平面后,如果 NnfzN-n_{fz} ( nfzn_{fz} 为传输零点的个数)为偶数,需要在P(s)P(s)前乘上虚数j。
        在得到P(ω)P(\omega)F(ω)F(\omega)后就可以求E(ω)E(\omega)了,根据正交归一化条件可以得到一个求解E(ω)E(\omega)的流程。这里不做推导,直接给出流程。
        构造多项式 P(ω)/ϵjF(ω)/ϵRP(\omega)/\epsilon-jF(\omega)/\epsilon_R 求出它的零点,然后求下半平面零点的共轭(为了满足赫尔维茨条件)。再利用上半平面零点(包含求共轭得到的零点)将 E(ω)E(\omega) 重构出来。
        这样得到 F(ω),P(ω),E(ω)F(\omega),P(\omega),E(\omega) 以后,通过简单的计算就得到了S参数。

      • 程序编写

      给出了一个简单的程序完成上述过程,选定滤波器阶数为4阶,两个有限传输零点为1.3217和1.8,回波损耗为22dB。
      程序主要应用了sympy的符号计算方法,并且生成了低通原型的s11和s21曲线图。
    import sympy
    import numpy as np
    from fractions import Fraction
    import matplotlib as mt
    import math
    # Press the green button in the gutter to run the script.
    if __name__ == '__main__':
        w1 = 1.3217
        w2 = 1.8
        wla =  np.array([w1,w2,np.inf,np.inf])
        wl = np.array([w2,np.inf,np.inf])
        order = 4
        w = sympy.symbols("w")
        wp = sympy.symbols("wp")
        f12 = Fraction(1,2)#用分数sympy可以自己花间
        wp = (w**2-1)**f12
        U = (w-1/w1)
        V = wp*(1-1/w1**2)**f12
        for wi in wl:#迭代产生F(w)
            Ut = w*U - U/wi + wp*(1-1/wi**2)**f12*V
            V = w*V - V/wi + wp*(1-1/wi**2)**f12*U
            U = Ut
        F = sympy.expand(U)
        F = F/F.coeff(w**4)
        P = 1
        for wi in wla:#迭代产生P(w)
            P = P*(1-w/wi)
        P = sympy.expand(P)
        P = P/P.coeff(w**2)
        RL = 22#回波损耗22dB
        #计算epsilon
        fw1 = F.evalf(subs = {w:1})
        pw1 = P.evalf(subs = {w:1})
        epsilon = 1/(10**(RL/10)-1)**0.5*abs(pw1/fw1)
        coff1 = np.array([P.coeff(w**4),P.coeff(w**3),P.coeff(w**2),P.coeff(w),P.evalf(subs= {w:0})])
        coff2 = np.array([F.coeff(w**4),F.coeff(w**3),F.coeff(w**2),F.coeff(w),F.evalf(subs= {w:0})])
        coff1n = [float(i) for i in coff1]
        coff2n = [float(i) for i in coff2]
        coff = np.dot(coff1n,1.0) + np.dot(coff2n,1j)
        zro = np.roots(coff)
        E = 1 #分母多项式
        for i in zro:
            wn = i
            if i.imag < 0:
                wn = i.conjugate()
            E = E*(w-wn)
        s11 = F/E
        s21 = (P/epsilon)/E
        p1 = sympy.plot(10*sympy.log(abs(s11)),(w,-2,2),show=False,adaptive=False,nb_of_points = 3000)
        p2 = sympy.plot(10*sympy.log(abs(s21)),(w,-2,2),show=False,adaptive=False,nb_of_points = 3000)
        p1.append(p2[0])
    
        p1.show()
    
    

    在这里插入图片描述

    从上图中可以看出,带内的波纹在-22dB左右,并且带内有4个传输极点,并且通带右侧有两个带外传输零点。与通带左侧相对比我们可以看到,右侧通带边缘陡峭而左侧通带边缘平滑,这说明传输零点起到了带外抑制的作用。

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