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  • 国际象棋玩过么? 国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。...有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。 (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离  (2)两个n维向量a(x11,x1...

    国际象棋玩过么?

    国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。

    那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步?

    自己走走试试。你会发现最少步数总是max(| x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步。

    有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。

    (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离

     (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离

     ​

    这个公式的另一种等价形式是​

    目前我还是不会证明,忘记的一干二净

    看不出两个公式是等价的?提示一下:试试用放缩法和夹逼法则来证明。​

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  • 计算公式(n维空间下) 二维:dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ) 三维:dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2 ) 2.曼哈顿距离:两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和 dis=abs(x1-x2)+(y1-y2) 如图所示,图...

    1. 欧几里得距离

    计算公式(n维空间下)

    二维:dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )

    三维:dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2 )

    2.曼哈顿距离:两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和

    dis=abs(x1-x2)+(y1-y2)

    如图所示,图中_A_,B_两点的曼哈顿距离为_AC+BC=4+3=7

    3.切比雪夫距离:各坐标数值差的最大值

    dis=max(abs(x1-x2),abs(y1-y2))

    dis=max(AC,BC)=AC=4

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  • 输出描述: 输出一个整数,表示答案乘上 2 模 10^9+7 的值 示例1 输入 2 1 2 输出 4 分析:以(a[i],a[j])为坐标建立二维坐标,则答案变为最小化切比雪夫距离之和,切比雪夫(x,y)--->曼哈顿((x+y)/2,(x-y)/2)...

    有一个长为 n 的数组A_1, A_2, \dots, A_n
    你需要找到两个实数 a, b,使得 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \max (|A_i - a|, |A_j - b|)∑i=1n​∑j=1n​max(∣Ai​−a∣,∣Aj​−b∣)

    尽可能小。
    求出这个最小值。
    容易发现答案乘上 2 一定是整数,求出答案乘上 2 模 10^9 + 7 的值。

    输入描述:

    第一行一个整数 n。

    接下来一行 n 个整数 Ai。

    输出描述:

    输出一个整数,表示答案乘上 2 模 10^9+7 的值

    示例1

    输入

    2
    1 2

    输出

    4

    分析:以(a[i],a[j])为坐标建立二维坐标,则答案变为最小化切比雪夫距离之和,切比雪夫(x,y)--->曼哈顿((x+y)/2,(x-y)/2)转换为曼哈顿距离,两维是独立的的,可以用二分加wo pointer 求出中位数。

    将每一个点(x,y)转化为(x+y,x−y),新坐标系下的切比雪夫距离即为原坐标系下曼哈顿距离

    按照刚才的思路再还原回去即可。

    将每一个点(x,y)转化为((x+y)/2,(x-y)/2),新坐标系下的曼哈顿距离即为原坐标系下切比雪夫距离。

    #include<bits/stdc++.h>
    #define N 100010
    #define ll long long
    using namespace std;
    ll a[N],n;
    ll b[N];
    ll s[N];
    ll md=1e9+7;
    int chk(int mid){
    	ll t=0;
    	int j=n;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		while(a[i]+a[j]>=mid&&j>=1){
    			j--;
    		}
    		t+=j;
    	}
    	t++;
    //	if(mid==3)cout<<t<<"****"<<endl;
    	return t>(n*n)/2+1;
    }
    int pd(int mid){
    	ll t=0;
    	int j=1;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		while(a[i]-a[j]>=mid&&j<=n)j++;
    		t+=n-j+1;
    	}
    	t++;
    	return t>(n*n)/2+1;
    }
    int main(){
    	
    	scanf("%lld",&n);
    	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    	sort(a+1,a+n+1);
    	for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=(s[i-1]+a[i])%md;
    	int l=a[1]-a[n],r=1e9;
    	while(l<=r){
    		int mid=(l+r)>>1;
    		if(chk(mid)){
    			r=mid-1;
    		}
    		else l=mid+1;
    		//cout<<mid<<endl;
    	}
    	l=r;
    	//cout<<chk(3)<<endl;
    //	cout<<l<<endl;
    	int j=n;
    	ll ans=0;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		while(a[i]+a[j]>=l&&j>=1){
    			j--;
    		}
    		ans=(ans+j*(l-a[i]+md)%md-s[j]+md)%md;
    		ans=(ans+(n-j)*a[i]%md+(s[n]-s[j]+md)%md-(n-j)*l%md+md)%md;
    	}
    	//cout<<ans<<endl;
    	l=a[1]-a[n];r=1e9;
    	while(l<=r){
    		int mid=(l+r)>>1;
    		if(pd(mid))r=mid-1;
    		else l=mid+1;
    	//	cout<<mid<<endl;
    	}
    	l=r;
    	j=1;
    //	cout<<l<<endl;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		while(a[i]-a[j]>=l&&j<=n)j++;
    		ans=(ans+(j-1)*a[i]%md-s[j-1]-l*(j-1)%md+md)%md;
    		ans=(ans+(n-j+1)*l%md+(s[n]-s[j-1]+md)%md-(n-j+1)*a[i]+md)%md;
    	}
    	printf("%lld",ans%md);
    	return 0;
    }

     

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  • 切比雪夫距离 ( Chebyshev Distance )

    千次阅读 2020-11-29 21:01:17
    这是我做的力扣1226题,相对于别的简单的题都是手到擒来,这道题着实花了一些时间,做完了沾沾自喜的时候才发现,原来已经有先辈总结好了公式~~~那就是切比雪夫距离 ( Chebyshev Distance ) 一、简介 啥是切比雪夫...

    切比雪夫距离Chebyshev Distance


    前言

    听说进互联网大厂都要刷题,我虽然是做Android graphics,不是做互联网的,但是也有一颗进大厂的心,所以力扣也要刷起来。
    这是我做的力扣1226题,相对于别的简单的题都是手到擒来,这道题着实花了一些时间,做完了沾沾自喜的时候才发现,原来已经有先辈总结好了公式~~~那就是切比雪夫距离 ( Chebyshev Distance )


    一、简介

    啥是切比雪夫距离 ( Chebyshev Distance )呢?具体描述如下:

    国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步?自己走走试试。
    你会发现最少步数总是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步 。
    这种距离度量方法叫切比雪夫距离。
    二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离

    二、自己的理解

    说实话,光看上面的简介,我实在看不懂到底是怎么推导出来的?然后就是各种搜索,看了各种博客之后,终于能理解了,然后画了这张图,一目了然。
    在这里插入图片描述
    所以力扣1226题从各种if…else直接改成了max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) ,一行代码直接搞定。

    总结

    没有没用的知识,只是暂时用不上,这个切比雪夫距离我肯定是学过的,只是给忘记了,可能当时学的时候还不削一顾,感觉没啥用,真的是书到用时方恨少~~~

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切比雪夫距离计算公式