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  • 国际象棋玩过么? 国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。...有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。 (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离  (2)两个n维向量a(x11,x1...

    国际象棋玩过么?

    国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。

    那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步?

    自己走走试试。你会发现最少步数总是max(| x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步。

    有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。

    (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离

     (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离

     ​

    这个公式的另一种等价形式是​

    目前我还是不会证明,忘记的一干二净

    看不出两个公式是等价的?提示一下:试试用放缩法和夹逼法则来证明。​

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  • 计算公式(n维空间下) 二维:dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ) 三维:dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2 ) 2.曼哈顿距离:两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和 dis=abs(x1-x2)+(y1-y2) 如图所示,图...

    1. 欧几里得距离

    计算公式(n维空间下)

    二维:dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )

    三维:dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2 )

    2.曼哈顿距离:两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和

    dis=abs(x1-x2)+(y1-y2)

    如图所示,图中_A_,B_两点的曼哈顿距离为_AC+BC=4+3=7

    3.切比雪夫距离:各坐标数值差的最大值

    dis=max(abs(x1-x2),abs(y1-y2))

    dis=max(AC,BC)=AC=4

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  • 距离计算公式

    2019-11-13 17:31:45
    欧氏距离 曼哈顿距离 切比雪夫距离 闵可夫斯基距离 标准化欧氏距离 马氏距离 余弦距离 汉明距离 杰卡德距离

    欧氏距离(Euclidean Distance) 及欧氏距离相似度

    欧氏距离是最容易直观理解的距离度量方法,我们小学、初中和高中接触到的两个点在空间中的距离一般都是指欧氏距离。
    在这里插入图片描述

    X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
    经计算得:
    d = 1.4142    2.8284    4.2426    1.4142    2.8284    1.4142
    

    欧氏距离的值是一个非负数, 最大值正无穷, 通常计算相似度的结果希望是[-1,1]或[0,1]之间,

    一般可以使用​如下转化公式:
    在这里插入图片描述

    曼哈顿距离(Manhattan Distance):

    在曼哈顿街区要从一个十字路口开车到另一个十字路口,驾驶距离显然不是两点间的直线距离。这个实际驾驶距离就是“曼哈顿距离”。曼哈顿距离也称为“城市街区距离”(City Block distance)。

    在这里插入图片描述

    X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
    经计算得:
    d =   2     4     6     2     4     2
    

    切比雪夫距离 (Chebyshev Distance)

    国际象棋中,国王可以直行、横行、斜行,所以国王走一步可以移动到相邻8个方格中的任意一个。国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步?这个距离就叫切比雪夫距离。
    在这里插入图片描述

    X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];
    经计算得:
    d =   1     2     3     1     2     1
    

    闵可夫斯基距离 (Minkowski Distance)

    闵氏距离不是一种距离,而是一组距离(以上三组距离公式)的定义,是对多个距离度量公式的概括性的表述。
    在这里插入图片描述

    其中p是一个变参数:
    
    当p=1时,就是曼哈顿距离;
    
    当p=2时,就是欧氏距离;
    
    当p→∞时,就是切比雪夫距离。
    
    根据p的不同,闵氏距离可以表示某一类/种的距离。
    

    以上距离公式缺点

    闵氏距离,包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点:

    例:二维样本(身高[单位:cm],体重[单位:kg]),现有三个样本:a(180,50),b(190,50),c(180,60)

    a与b的闵氏距离 等于 a与c的闵氏距离(无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离),但实际上身高的10cm并不能和体重的10kg划等号

    闵氏距离的缺点:

    1. 将各个分量的量纲(scale),也就是将单位相同的看待;

    2. 未考虑各个分量的分布(期望,方差等)可能是不同的

    标准化欧氏距离(Standardized EuclideanDistance):

    标准化欧氏距离是针对欧氏距离的缺点而作的一种改进。

    思路:既然数据各维分量的分布不一样,那先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等。

    在这里插入图片描述

    X=[[1,1],[2,2],[3,3],[4,4]];(假设两个分量的标准差(SK)分别为0.5和1)
    在这里插入图片描述

    马氏距离(Mahalanobis Distance)

    下图有两个正态分布图,它们的均值分别为a和b,但方差不一样,则图中的A点离哪个总体更近?或者说A有更大的概率属于谁?显然,A离左边的更近,A属于左边总体的概率更大,尽管A与a的欧式距离远一些。这就是马氏距离的直观解释。

    在这里插入图片描述

    马氏距离表示 数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个位置样本集的相似度的方法。

    与欧式距离不同的是,它考虑到各种特性之间的联系,即独立于测量尺度。

    马氏距离定义:设总体G为m维总体(考察m个指标),均值向量为μ=(μ1,μ2,… ...,μm,),协方差阵为∑=(σij)

    则样本X=(X1,X2,… …,Xm,)与总体G的马氏距离定义为:
    在这里插入图片描述
    马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为∑的随机变量的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,马氏距离就简化为欧式距离;如果协方差矩阵为对角矩阵,则其也可称为正规化的欧式距离。

    马氏距离特性:

    1. 量纲无关,排除变量之间的相关性的干扰;

    2. 马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的,如果拿同样的两个样本,放入两个不同的总体中,最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的,除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同;

    3. 计算马氏距离过程中,要求总体样本数大于样本的维数,否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在,这种情况下,用欧式距离计算即可。

    4. 还有一种情况,满足了条件总体样本数大于样本的维数,但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在,比如三个样本点(3,4),(5,6),(7,8),这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下,也采用欧式距离计算。

    欧式距离&马氏距离:
    在这里插入图片描述

    余弦距离(余弦相似度)

    几何中,夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异;机器学习中,借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    • 度量的是两个向量之间的夹角,用夹角的余弦值来度量相似的情况
    • 夹角余弦取值范围为[-1,1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小,余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时余弦取最大值1,当两个向量的方向完全相反余弦取最小值-1。
    • 余弦相似度特点:与向量长度无关,余弦相似度计算要对向量长度归一化,两个向量只要方向一致,无论程度强弱,都可以视为’相似’
    • 常用于度量文本相似度、用户相似度、物品相似度

    皮尔逊相关系数 Pearson

    • 是对余弦相似度的一种优化(余弦相似度仅计算夹角,不计算向量大小)
    • 先对向量做中心化, 向量a b各自减去向量的均值后, 再计算余弦相似度
    • 皮尔逊相似度计算结果在-1,1之间 -1表示负相关, 1表示正相关
    • 皮尔逊相关系数度量的是两个变量的变化趋势是否一致, 不适合计算布尔值向量之间的相关度
      在这里插入图片描述

    杰卡德相似系数 及 杰卡德距离

    两个集合A和B的交集元素在A,B的并集中所占的比例,称为两个集合的杰卡德相似系数

    用符号J(A,B)表示:
    在这里插入图片描述

    适用于隐式反馈数据(0,1布尔值向量 是否收藏,是否点击,是否加购物车)

    • 分子是两个布尔向量做点积计算, 得到的就是交集元素的个数
    • 分母是两个布尔向量做或运算, 再求元素和

    杰卡德距离(Jaccard Distance):与杰卡德相似系数相反,用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度:
    在这里插入图片描述

    X=[[1,1,0][1,-1,0],[-1,1,0]]
    注:以下计算中,把杰卡德距离定义为不同的维度的个数占“非全零维度”的比例
    经计算得:
    d =   0.5000    0.5000    1.0000
    

    汉明距离

    汉明距离(Hamming Distance)
    两个等长字符串s1与s2的汉明距离为:将其中一个变为另外一个所需要作的最小字符替换次数。
    例如:

    "1011101""1001001" 的汉明距离是2 
    "2143896""2233796" 的汉明距离是3
    "toned""roses"   的汉明距离是3
    
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  • 曼哈顿距离和切比雪夫距离 这个更清晰一些: 关于曼哈顿距离和切比雪夫距离 NN中常用的距离计算公式:欧式距离、曼哈顿距离、马氏距离、余弦、汉明距离 ...
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空空如也

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切比雪夫距离计算公式