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  • Matlab计算微分方程曲线求导及过曲线上点的切线方程求解f(x)=x^2一元二次方程上某点的切线方程并绘制出方程的切线图。点(4,f(4))是曲线方程f(x)上的一个点,求出该点的切线并绘制出来。画出f(x)= x^2方程曲线。对f(x...
    Matlab计算微分方程曲线求导及过曲线上点的切线方程


    求解f(x)=x^2一元二次方程上某点的切线方程并绘制出方程的切线图。点(4,f(4))是曲线方程f(x)上的一个点,求出该点的切线并绘制出来。
    画出f(x)= x^2方程曲线。对f(x)进行求导得到f’(x)=2*x。根据一般的过点(a,b)的斜切线方程求出切线方程:



    m为导数值。变形得到过(4,f(4))的切线方程:





    matlab绘出的图:



    红色线为f(x)=x^2的曲线方程,绿色是f(x)上点(4,9)的切线。五角星是切点。



    matlab代码:

    syms x y;
    y=x.^2;
    e1=ezplot(y,[-2,12]);
    set(e1,'Color','r','LineWidth',0.1);
    hold on;
    
    %(a,b)即是(4,y(4))的点。
    a=4;
    b=subs(y,x,a);
    %(a,b)此时即是实数(4,16)。
    
    plot(a,b,'pr'); %红色五角星标记(a,b)点。  
    hold on; 
    
    f=diff(y); %求y=x*x方程的导数。f=2*x。
    m=subs(f,x,a); %m即为过(a,b)点的导数。
    
    y=m*x-m*a+b;
    e2=ezplot(y,[-2,12]);
    set(e2,'Color','g','LineWidth',0.1);
    
    grid on;

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  • 切线方程和法线方程

    万次阅读 2018-01-12 23:36:48
    函数y=f(x)y = f(x)在点x0x_0处的导数f′(x0)f'(x_0)在几何上表示曲线y=f(x)y = f(x)在点M(x0,f(x0))M(x_0, f(x_0))处的切线的斜率,即f′(x0)=tanαf'(x_0) = \tan \alpha其中α\alpha是切线的倾角. 根据导数的...

    函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率,即

    f(x0)=tanα
    其中α是切线的倾角.

    根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程,可知曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线方程

    yy0=f(x0)(xx0)

    过切线

    M(x0,y0)
    且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线.如果f(x0)0,法线的斜率为1f(x0),从而法线方程
    yy0=1f(x0)(xx0)

    切线斜率法线斜率相乘等于1

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  • 切线方程与数列

    2017-11-21 19:20:00
    例1【2016•德州模拟】 函数\(y=x^2(x>0)\)的图像在点\((a_k,a_k^2)\)处的切线与\(x\)轴交点的横坐标为\(a_{k+1}\), ...分析:由\(f'(x)=2x\)得,在点\((a_k,a_k^2)\)处的切线方程为\(y-a_k^2=2a_k(x-a...

    例1【2016•德州模拟】

    函数\(y=x^2(x>0)\)的图像在点\((a_k,a_k^2)\)处的切线与\(x\)轴交点的横坐标为\(a_{k+1}\)

    其中 \(k\in N*\),若\(a_1=16\),则\(a_1+a_3+a_5\)的值是________.

    分析:由\(f'(x)=2x\)得,在点\((a_k,a_k^2)\)处的切线方程为\(y-a_k^2=2a_k(x-a_k)(k\in N*)\)

    \(y=0\),得到切线方程与\(x\)轴的交点的横坐标为\(x=\cfrac{a_k}{2}\)

    \(a_{k+1}=\cfrac{a_k}{2}\),即\(\cfrac{a_{k+1}}{a_k}=\cfrac{1}{2}\)

    故数列\(\{a_k\}\)是首项为\(a_1=16\),公比为\(\cfrac{1}{2}\)的等比数列,

    \(a_1+a_3+a_5=16+16\cdot (\cfrac{1}{2})^2+16\cdot (\cfrac{1}{2})^4=21\)

    总结:1、求在点处的切线方程;2、等比数列

    例2【】

    对正整数\(n\),设曲线\(y=(2-x)x^n\)\(x=3\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\),则数列\(\{\cfrac{a_n}{n+2}\}\)的前\(n\)项和为________。

    分析:由于\(y=(2-x)x^n\),则\(y'=-x^n+n(2-x)x^{n-1}\)

    \(y'|_{x=3}=-3^n-n3^{n-1}=-3^{n-1}(n+3)\)

    故切线方程为\(y+3^n=-3^{n-1}(n+3)(x-3)\)

    \(x=0\),得到切线与\(y\)轴的交点的纵坐标为\(a_n=(n+2)3^n\)

    \(\cfrac{a_n}{n+2}=3^n\),为等比数列,

    故数列\(\{\cfrac{a_n}{n+2}\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=\cfrac{3(1-3^n)}{1-3}=\cfrac{3^{n+1}-3}{2}\)

    例3【】

    对正整数\(n\),设曲线\(y=(1-x)x^n\)\(x=2\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\),则数列\(\{\cfrac{a_n}{n+1}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)为________。

    提示:\(T_n=2^{n+1}-2\),仿上例完成。

    分析:\(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}\),则\(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n\)

    \(k=f'(2)=n2^{n-1}-(n+1)2^n=n2^{n-1}-(n+1)2^{n-1}\cdot 2=n2^{n-1}-(2n+2)2^{n-1}=2^{n-1}(n-2n-2)=-(n+2)\cdot 2^n\)

    又切点为\((2,-2^n)\),则切线方程为\(y-(-2^n)=-(n+2)2^n(x-2)\)

    \(x=0\),得到切线与\(y\)轴交点的纵坐标\(y=(n+1)2^n=a_n\)

    \(b_n=\cfrac{a_n}{n+1}=2^n\),数列\(\cfrac{a_n}{n+1}\)的前\(n\)项和为\(T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2\)

    例4【2015\(\cdot\)高考安徽卷】

    \(n\in N^*\)\(x_n\)是曲线\(y=x^{2n+2}+1\)在点\((1,2)\)处的切线与\(x\)轴交点的横坐标。

    (1)、求数列\(\{x_n\}\)的通项公式。

    分析:\(y'=(x^{2n+2}+1)'=(2n+2)x^{2n+1}\)

    则曲线\(y=x^{2n+2}+1\)在点\((1,2)\)处的切线斜率为\(2n+2\)

    从而切线方程为\(y-2=(2n+2)(x-1)\),令\(y=0\)

    解得切线与\(x\)轴交点的横坐标\(x_n=1-\cfrac{1}{n+1}=\cfrac{n}{n+1}\)

    所以数列\(\{x_n\}\)的通项公式为\(x_n=\cfrac{n}{n+1}\)

    (2)、记\(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2\),证明:\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)

    分析:由题设和(1)中的计算结果可知,

    \(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2=(\cfrac{1}{2})^2\cdot (\cfrac{3}{4})^2\cdots (\cfrac{2n-1}{2n})^2\)

    \(n=1\)时,\(T_1=\cfrac{1}{4}\)

    \(n\ge 2\)时,由于\(x_{2n-1}^2=(\cfrac{2n-1}{2n})^2=\cfrac{(2n-1)^2}{(2n)^2}\)

    \(>\cfrac{(2n-1)^2-1}{(2n)^2}=\cfrac{2n-2}{2n}=\cfrac{n-1}{n}\)

    \(x_1^2=(\cfrac{1}{2})^2\)

    \(x_3^2> \cfrac{1}{2}\)

    \(x_5^2> \cfrac{2}{3}\)

    \(\cdots\)

    \(x_{2n-3}^2> \cfrac{n-2}{n-1}\)

    \(x_{2n-1}^2> \cfrac{n-1}{n}\)

    所以,\(T_n>(\cfrac{1}{2})^2\times \cfrac{1}{2}\times \cfrac{2}{3}\times \cdots \times \cfrac{n-2}{n-1}\times\cfrac{n-1}{n}=\cfrac{1}{4n}\)

    综上可知,对任意的\(n\in N^*\),均有\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)

    例5【2019\(\cdot\)高三理科数学资料用题】

    对于每一个正整数\(n\),设曲线\(y=x^{n+1}\)在点\((1,1)\)处的切线与\(x\)轴的交点的横坐标为\(x_n\),令\(a_n=lgx_n\),则\(a_1+a_2+\cdots+a_{99}\)=_____________。

    分析:\(y'=(n+1)x^n\),则曲线在点\((1,1)\)处的切线的斜率为\(k=n+1\)

    则切线方程为\(y-1=(n+1)(x-1)\)

    \(y=0\),得到\(x_n=\cfrac{n}{n+1}\)

    \(a_n=lgx_n=lg\cfrac{n}{n+1}\)

    所以\(a_1+a_2+\cdots+a_{99}=lg(\cfrac{1}{2}\times \cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cdots\times\cfrac{99}{100})\)

    \(=lg \cfrac{1}{100}=-2\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7874937.html

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空空如也

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切线方程的公式