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2018-01-12 23:36:48
函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M(x0,f(x0)) 处的切线的斜率,即
f′(x0)=tanα其中 α 是切线的倾角.根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程,可知曲线 y=f(x) 在点 M(x0,y0) 处的切线方程为
y−y0=f′(x0)(x−x0)过切线
M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 y=f(x) 在点 M 处的法线.如果f′(x0)≠0 ,法线的斜率为 −1f′(x0) ,从而 法线方程为y−y0=−1f′(x0)(x−x0)切线斜率与法线斜率相乘等于 −1
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切线方程
切线方程是研究切线以及切线的斜率方程,涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方法有向量法和解析法。
例题解析
Y=X2-2X-3在(0,3)的切线方程
解:因为点(0,3)处切线的斜率为函数在(0,3)的导数值,函数的倒数为:y=2x-2,
所以点(0,3)斜率为:k=2x-2=-2
所以切线方程为:y-3=-2(x-0)(点斜式)
即2x+y-3=0
所以y=x^2-2x-3在(0,3)的切线方程为2x+y-3=0。
常见切线方程证明过程
圆
若点M(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,,
则过点M的切线方程为
x0x+y0y+D*(x+x0)/2+E*(y+y0)/2+F=0
或表述为:
若点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上,
则过点M的切线方程为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
若已知点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2外,
则切点AB的直线方程也为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
椭圆
若椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0,y0)在椭圆上,
则过点P椭圆的切线方程为
(x·x0)/a^2+(y·y0)/b^2=1.
证明:
椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,切点为(x0,y0),则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1...(1)
对椭圆求导得y'=-b^2·x/a^2·y,即切线斜率k=-b^2·x0/a^2·y0,
故切线方程是y-y0=-b^2·x0/a^2·y0*(x-x0),将(1)代入并化简得切线方程为x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。
双曲线
若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,点P(x0,y0)在双曲线上,
则过点P双曲线的切线方程为
(x·x0)/a^2-(y·y0)/b^2=1..
此命题的证明方法与椭圆的类似,故此处略之。
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