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  • 切线方程的公式
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    2018-01-12 23:36:48

    函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M(x0,f(x0)) 处的切线的斜率,即

    f(x0)=tanα
    其中 α 是切线的倾角.

    根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程,可知曲线 y=f(x) 在点 M(x0,y0) 处的切线方程

    yy0=f(x0)(xx0)

    过切线

    M(x0,y0)
    且与切线垂直的直线叫做曲线 y=f(x) 在点 M 处的法线.如果f(x0)0,法线的斜率为 1f(x0) ,从而 法线方程
    yy0=1f(x0)(xx0)

    切线斜率法线斜率相乘等于 1

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    以P为切点的切线方程:y-f(a)=f'(a)(x-a);若过P另有曲线C的切线,切点为Q(b,f(b)),则切线为y-f(a)=f'(b)(x-a),也可y-f(b)=f'(b)(x-b),并且[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(b)。

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    切线方程

    切线方程是研究切线以及切线的斜率方程,涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方法有向量法和解析法。

    例题解析

    Y=X2-2X-3在(0,3)的切线方程

    解:因为点(0,3)处切线的斜率为函数在(0,3)的导数值,函数的倒数为:y=2x-2,

    所以点(0,3)斜率为:k=2x-2=-2

    所以切线方程为:y-3=-2(x-0)(点斜式)

    即2x+y-3=0

    所以y=x^2-2x-3在(0,3)的切线方程为2x+y-3=0。

    常见切线方程证明过程

    若点M(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,,

    则过点M的切线方程为

    x0x+y0y+D*(x+x0)/2+E*(y+y0)/2+F=0

    或表述为:

    若点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上,

    则过点M的切线方程为

    (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

    若已知点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2外,

    则切点AB的直线方程也为

    (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

    椭圆

    若椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0,y0)在椭圆上,

    则过点P椭圆的切线方程为

    (x·x0)/a^2+(y·y0)/b^2=1.

    证明:

    椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,切点为(x0,y0),则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1...(1)

    对椭圆求导得y'=-b^2·x/a^2·y,即切线斜率k=-b^2·x0/a^2·y0,

    故切线方程是y-y0=-b^2·x0/a^2·y0*(x-x0),将(1)代入并化简得切线方程为x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。

    双曲线

    若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,点P(x0,y0)在双曲线上,

    则过点P双曲线的切线方程为

    (x·x0)/a^2-(y·y0)/b^2=1..

    此命题的证明方法与椭圆的类似,故此处略之。

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