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  • 一年级除了计算,很重要一块内容,那就是看图列式了,它可以很好地训练孩子数学思维,...(3)列式计算(带单位)。(4)检查算式得数是否与“?”关系一致。解上面那题:这题问号在大括号上面,问题是求左边...

    一年级除了计算,很重要的一块内容,那就是看图列式了,它可以很好地训练孩子的数学思维,让孩子在解题过程中不断得到思维锻炼,可有些看图列式的题目容易出现误解,就是大人去做,有时也会出错。那么,看图列式有什么解题技巧吗?

    一、看图列列加减算式

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    解题顺序:

    (1)明确要求的问题,找出已知条件。

    (3)列式计算(带单位)。

    (4)检查算式的得数是否与“?”的关系一致。

    解上面那题:

    这题问号在大括号的上面,问题是求左边的书包里有几本书,大括号下面已经知道一共有12本书,这是总数,再通过数一数,知道大括号上面右边的书有5本。用总数 - 右边的部分数 = 左边的部分数,最后列式为:12 - 5 = 7 (本)。

    有的孩子这样做:

    (1)5+7=12(本),这样做是错的,这题一共12本的总数是已经知道的数,不用再去求,7是不知道的数,答案是算出来的,不能写在算式里,要求的问题应该是最后算出来的,写在等于号右边。

    (2)12-7=5(本),这也是错的,因为题目要求出书包里的书本数量,不是求右边已经知道的5本,5本是已知条件,不用再求。

    换句话说,算式的最后得数要与“?”的相一致,才是正确的,其他都是错。

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    (1)这题和刚才那题刚好相反,“?”号在大括号的下面,要求的是求总数,大括号意思就是把两个部分合在一起,用加法。

    (2) 列式是: 左边部分数 + 右边部分数 = 总数

    7 + 5 = 12(本) 记得带单位

    (3)检查:得数是12,与我们要求出的“?”,关系是一样的。

    小结:加法和减法孩子容易混淆,主要不明确要求的问题,问题就是最后的得数,写等于号右边。

    二、一图四式:(两加两减)

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    (1)首先找出总数。(这是重点)

    (2)区分所有图形,分了几部分(几堆)?

    用式子 左边+右边=总数 右边+左边=总数

    总数-左边=右边 总数-右边=左边

    5+2=7 2+5=7

    7-5=2 7-2=5

    小结:种类型题目,特别是减法孩子经常会错,会用左边的数量减右边的数量,其实要用总数拿去减,明确总数是关键。

    三、看图列式。

    (1)

    105cf224ed62502881d5ce2ca6d32ec8.png

    (a)虚线圈多少,就减多少,表示去掉、删除的意思。

    (b) 用减法时,一定要先找出总数。

    用总数-划掉东西的数量=剩下的数量

    7-2=5(个)

    (C)最后纵观全图,数一数剩下东西的数量是否和我们列式求出的得数是一致。

    (3)情景图列式

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    I、做情景图的列式,是有先后顺序的,如上图中原有3只小鸟,先飞来了2只,又飞来了1只,现在有多少只小鸟?

    在家辅导时,可以让孩子说说图中发生的事情,注意先后顺序,可以提示用上先……又……来描述,然后列式,上图列式最好是3+2+1=6(只),是按顺序做出来的。

    还有情景图如:

    (a)剪刀剪东西

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    列式一定是8-1-3=4(个),因为是先剪下1个,再剪下3个,剩下4个。

    (b)气球飞走了。

    5f810eab118aacb7bffe4a81bcd7b02c.png

    这题会有很多同学列出3+4-1=6(个),那么你点数一下最后剩下多少个气球,是不是7个,那么算式的得数是6是不对了。右边应该这样看,5个气球,飞走了1个,剩下4个,再和左边3个合在一起,一共7个。

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    列式为:3+5-1=7(个) 或 5-1+3=7(个)

    小结:凡是有减法的看图列式,最后算式的得数就是剩下图形的数量。一定要领会这句重要的话哦!

    (c)加减混合的。

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    (1)这题最好是先减后加,注意的是圆分了两种颜色,白色为一组,实心为另一组,减法只能用在白色的圆里,而实心的图形用加法。

    (2)算式是第一步8-4=4,第二步是剩下的4+2=6,

    综合两式得8-4+2=6(个)。

    (3)检查,数一数剩下图形的数量是否与算式的得数是一样。

    小结:看图时要注意图上东西的位置或颜色,减法时要明确哪部分拿去减。

    总之,一年级的孩子刚刚接触看图式,刚刚才学加减,对那些较为复杂的图理解起来有一定难度,就是大人有时也会出,我们家长朋友们要对孩子加强辅导,你们说对吗?

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  • 原文: http://cs231n.stanford.edu/vecDerivs.pdf本文让大家更好地学习...同时做这么多事情,至少在我们还没有足够熟练之前,那就很容易出现错误。1.1 对每个部分展开子成显式求和及等式为了简化一个给定的计算...

    31ea80d006930439c8225ca045f71da9.png

    原文: http://cs231n.stanford.edu/vecDerivs.pdf

    本文让大家更好地学习使用向量、矩阵和高阶张量的求导。

    1 简化,简化再简化

    很多关于数组的求导的困惑来自于一次性想做太多事。这些事包括同时对多个部分求导,和式的求导,和应用链式法则。同时做这么多事情,至少在我们还没有足够熟练之前,那就很容易会出现错误。

    1.1 对每个部分展开式子成显式求和及等式

    为了简化一个给定的计算,通常将对于输出的一个简单的标量元素使用标量变量展开成显式公式。一旦我们对于输出的单个标量元素有了一个显式的用其他标量值表达的公式后,我们可以利用基本的微积分知识进行求导了,这里就避免将复杂的矩阵数学,求和及求导同时进行了。

    例子. 假设我们有一个列向量

    其长度为

    1.2.1 雅克比(Jaccobian)矩阵

    我们最初的愿望是计算

    每个部分关于
    的每个部分的导数,注意到会有
    这么多对。他们可以被写成一个矩阵,形如:

    这个矩阵被成为雅克比矩阵。

    注意到对于等式:

    关于
    的偏导数就是
    。如果你观察一些其他的部分,你也能发现,对于所有的
    .

    这意味着偏导数的矩阵为:

    所以,其实就是

    本身。

    我们现在可以给出结论:对于

    ,我们有
    .

    2 行向量

    在使用不同的神经网络库的时候需要慎重对待权重矩阵、数据矩阵等的排列。例如,如果一个数据矩阵

    包含很多不同的向量,每个向量代表一个输入,要弄清楚每个数据向量是数据矩阵的行还是列。

    在上节例子中,我们处理的向量

    是列向量。然后,你可以使用类似的方法解决行向量情形的求导。

    2.1 例2

    为有
    个元素构成的行向量,由另一个有
    个元素的行向量
    矩阵
    相乘而得:

    尽管两个向量的元素事相同的,但这里的矩阵则是前面例1的矩阵的转置。我们现在左乘

    ,所以必须转置才能匹配。

    这里我们写成:

    ,因此:

    这和上面的例子不同的就是坐标对换了。不过如果写出整个雅克比矩阵,我们仍然能得到:

    .

    3 处理超过二维的情形

    现在我们来试试另一个相关的问题,计算:

    这个例子中

    沿着一个坐标轴变化,而
    是两个坐标轴。所以,整个导数就会包含在三维数组中。我们不使用三维矩阵这样的说法,因为在其上并没有良好定义的矩阵乘法及其他运算。

    处理三维数组,找到展示他们的方式可能会添上更多的麻烦而不是便利。所以,我们应该简单地定义结果作为公式,这个公式可以在我们想要针对目标三维数组计算结果时候直接使用。

    让我们再来计算一个标量导数,

    的一个元素
    的一个元素
    . 我们写下相应的计算式。用标量值来表示
    ,给出
    在其中扮演的角色。

    然而,我们在这个过程中看到

    并没有什么作用,因为

    换言之,

    不过,

    关于
    的第三列元素的偏导数肯定是非零的。例如,
    关于
    的导数为
    ,这个从上面的展开式很容易得出。

    一般情况下,当

    组成部分的索引与
    的第二个索引相同时,对应的导数将会非零,否则全为零。我们可以写成这样:
    ,其他三维数组的元素就是零。若令
    为三维数组表示
    关于
    的导数,其中:
    那么
    其他
    的项均为零。

    最后,如果我们定义新的二维数组

    ,我们可以看到关于
    所有需要的信息都已经存放在
    中了,
    的非平凡部分实际上就是二维的,而不是三维的。

    将导数矩阵的重要部分以一种紧致的方式存放是神经网络高效实现中非常关键的。

    4 多数据点

    重复练习前面的例子,使用

    多个样例形成一个矩阵
    。让我们假设每个
    是一个行向量,其长度为
    ,所以
    就是
    列的二维数组。
    列的矩阵。
    ,形状为
    列。所以
    的每行将会给出一个关联于输入
    对应行的行向量。

    根据之前的经验,我们写下给定输出的表示,

    .

    我们可以轻易发现,在导数

    中,除非
    其他均为零。因为Y的每个组成部分仅使用
    对应行进行计算得出,在
    的不同行部分之间的导数都是零。

    另外,我们发现

    不依赖于我们在比对的
    哪一行。

    实际上,矩阵

    包含了所有这些偏导数,我们仅仅需要记住根据上式进行索引,获得我们想要的指定偏导数。

    如果我们令

    的第
    行,令
    的第
    行,那么我们有:
    .

    5 向量和矩阵中组合链式法则

    我们已经解决了一些基本的例子,现在把这些想法组合上链式法则。假设

    为列向量,让我们从下面的方程开始:
    ,目标是计算
    关于
    的导数。我们观察到
    其实就是另一个矩阵,记作
    ,所以

    不过,我们想要使用链式法则的过程来定义中间结果,所以我们可以看到如何在非标量导数中的应用。

    我们定义中间结果

    ,于是就有
    .

    我们可以使用链式法则写成

    .

    但是,我们应该对右侧如何分解呢?我们使用链式法则的方法是将 y 的改变量关于每个标量中间变量,关于 x 的标量中间变量。特别地,如果

    的部分,那么我们写成

    回想一下我们前面的向量关于一个向量的导数求法:

    就是
    ,而
    就是
    . 所以我们可以写成

    这其实就是

    的组成表达式,我们最初的答案。

    总结一下,我们可以在向量和矩阵的导数计算中使用链式法则

    1. 清晰地陈述中间结果和用来表达他们的变量
    2. 对最终导数的单独的组成部分表达链式法则
    3. 对在链式法则中的中间结果合理地求和
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  • 上了一段时间线上直播课,在批改作业过程中,我发现孩子们在计算小数乘法题目时,容易出现3种错误,并且这3种错误顽固不化,总是屡次三番地需要强调订正。在此,列举出来仅供大家参考。 1、对位问题 在学习...

    上了一段时间的线上直播课,在批改作业的过程中,我发现孩子们在计算小数乘法的题目时,容易出现3种错误,并且这3种错误顽固不化,总是屡次三番地需要强调订正。在此,列举出来仅供大家参考。

    42bb6ecbbcb6b933b16560c2ed422adf.png

    1、对位的问题

    在学习“整数乘法”的时候,相同数位对齐没有任何问题,因为整数乘法和整数加减法在对数位上,要求是一致的,列成竖式都是要“末位对齐”( 除了一个数乘整十数,要求把0单独对到右边去,算积的时候直接把0落下来)。

    而在学习“小数乘法”的时候,前面学过的小数加减法和小数乘法在对数位上是不一致的:小数加减法要求“把小数点对齐,相同数位也就对齐了。”这一点曾经也强调了很多遍,孩子们才深深记住“竖式计算小数加减法,要把小数点对齐”;可小数乘法列竖式要求的是“把因数的末位对齐”(除了一个小数乘整十数时,要把0单独对到右边去,算积的时候直接把0落下来),这就和小数加减法列竖式的要求不同,所以就有学生出错,这也是意料之中的事。后面需要把小数加减法和小数乘法的竖式专门拿出来作比较,让孩子们清楚地明白两者在对位上是不同的。

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    2、计算的问题

    在计算上,小数乘法是按照整数乘法的计算方法来算的。在教学小数乘法时也是先转化成整数乘法来做(先不看小数点),在算出积之后,考虑小数点的位置,因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位点上小数点。而在作业当中,有部分孩子就在计算过程中,把点打在下面的每一层的积中,假如第二个因数是两位,他就会在乘得两层积中都打上小数点,这样就乱套了。一定要着重强调:在计算小数乘法的时候,先把小数看成整数来计算,按照整数乘法的计算方法算出积,算完之后再去点小数点。

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    还有一个“小数乘整十数”的问题,在列竖式对位上就有孩子把0对到末位上,乘的时候就出现一层或几层积全是“0”的情况,所以,一定要让孩子清楚把0单独对到右边去,算完之后再把0落下来,不能遗漏。

    还有,第二个因数有两位或多位的问题,应该有两层积或多层积相加,最终得出竖式完整的积,而学生在计算小数乘两位数时,就有写一层积的。这点在教学整数乘整数的时候已经强调过,在小数乘法教学时,还出现这样的错误,所以,在练习课时,我们特意安排了复习“两位数(多位数)乘两位数的整数乘法”的内容,唤起孩子们对旧知的回忆,运用知识迁移来更好地学习新知。

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    3、点小数点的问题

    在小数乘整数中,一个因数是小数,另一个因数是整数,整数没有小数位数,所以学生只需数出那个小数是几位小数,在积的右边起数出几位点上小数点即可;而在小数乘小数中,两个因数都是小数,数小数位数的时候,要看两个因数一共有几位小数,然后再从积的右边起数出几位,点上小数点。这里,就有同学数不清小数位数,而点错小数点了。

    另外,小数乘整十数的题目,在积上点小数点时也经常出错,有的孩子完全没有把“0”当作积的一员,即便把它落下来,也是先用斜杠划掉再去数小数位数,点小数点,这就导致小数位数多数了,而得出的积要么是正确积的十分之一,要么是正确积的百分之一甚至千分之一……

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    这些问题还得在面授课的时候一一解决,希望孩子们没有把出现的错误记忆得太深刻,加强练习应该能覆盖掉。幸好马上就要开学了,坐在明亮的教室里上课,感觉真好!

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