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  • 代数余子式之和计算技巧

    万次阅读 2020-05-13 11:23:16
    1.因为代数余子式Aij与对应元素aij毫无关系,所以可以改变代数余子式对应行或的元素的值,使其刚好为代数余子式的系数,此时,代数余子式之和等于新的行列的值 例: 求A31+2*A32+3*A33 解:因为代数余子式...

    1.因为代数余子式Aij与对应元素aij毫无关系,所以可以改变代数余子式对应行或列的元素的值,使其刚好为代数余子式的系数,此时,代数余子式之和等于新的行列式的值

    例:

    求A31+2*A32+3*A33

    解:因为代数余子式对应的是第三行所有元素,系数依次为1,2,3,所以把A的第三行直接改为1,2,3,得到新的行列式B

    可见,新的行列式值为-14,所以原式等于-14

    2.第i行(或列)的元素,分别乘以第j行(或列)的元素所对应的代数余子式,之和为0(i!=j),即对于n阶行列式

    其实,这个可以看作是1的变体。因为采用方法一,将第j行(或列)改为第i行(或列)的元素后,新的矩阵中有两行一摸一样,必定不满秩,值必定为0

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  • 行列的展开性质因为行列就是计算不同行不同的项的乘积并有反对称的性质,所以这种线性的展开是可以的, ∣a+bc+d3456∣ \left | \begin{array} { l l } { a+b } & { c+d } \\ { 3 } & { 4} \\ { 5 } &...

    行列式的算法

    1.行列式初等变换是最基本的,还有逐行相加凑零元的方法

    2.拆行法

    行列式的展开性质因为行列式就是计算不同行不同列的项的乘积并有反对称的性质,所以这种线性的展开是可以的,

    ∣ a + b c + d 3 4 5 6 ∣ = \left | \begin{array} { l l } { a+b } & { c+d } \\ { 3 } & { 4} \\ { 5 } & {6 } \\ \end{array}\right|= a+b35c+d46=

    ∣ a c 3 4 5 6 ∣ + ∣ b d 3 4 5 6 ∣ \left | \begin{array} { l l } { a } & { c } \\ { 3 } & { 4} \\ { 5 } & {6 } \\ \end{array}\right| + \left | \begin{array} { l l } { b } & { d } \\ { 3 } & { 4} \\ { 5 } & {6 } \\ \end{array}\right| a35c46+b35d46

    递推法(特征方程法)

    求特殊行列式时从行列式的特点入手:

        累加消点法

    一点注意:四阶时就不能用二阶三阶的公式了

    ( 1 a 1 a 1 a a 1 ) 值 为 1 − a 4 \left(\begin{array} { l l } { 1 } & { a }& { }& { } \\ { } & { 1 }& { a }& { } \\{ } & { }& { 1 }& { a } \\{ a } & { }& { }& { 1 } \\ \end{array}\right)值为1-a^4 1aa1a1a11a4

    因 为 ( 2 , 3 , 4 , 1 ) 的 逆 序 数 是 3 因为(2 ,3 ,4 ,1)的逆序数是3 (2,3,4,1)3

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  • 理解余子式、代数余子式的概念,学会行列的按行()展开法,从而掌握行列式计算的一种技巧. 引入 三级行列展开: D3=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33...

    1. 12 行列式01—定义、计算 与性质、排列、逆序数、n 阶行列式、上三角形行列、矩阵的初等行变换与行列式性质
    2. 13行列式02—余子式与代数余子式、行列式按行(列)展开法则、行列式计算、范德蒙行列式
    3. 14行列式03—克拉默法则、非齐次与齐交线性方程组
    4. 15行列式04—k 级子式与余子式、代数余子式、子矩阵、拉普拉斯定理

    理解余子式、代数余子式的概念,学会行列式的按行(列)展开法,从而掌握行列式计算的一种技巧.

    引入

    三级行列式展开式:
    D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) + a 12 ( a 23 a 31 − a 21 a 33 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 \begin{aligned} D_{3}=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| &=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31} \\ &=a_{11}\left(a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}\right)+a_{12}\left(a_{23} a_{31}-a_{21} a_{33}\right)+a_{13}\left(a_{21} a_{32}-a_{22} a_{31}\right) \\ &=a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+a_{13} A_{13} \end{aligned} D3=a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31=a11(a22a33a23a32)+a12(a23a31a21a33)+a13(a21a32a22a31)=a11A11+a12A12+a13A13
    以此类推, D 3 = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + a i 3 A i 3 . D_{3}=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+a_{i 3} A_{i 3} . D3=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3.

    再推,(按第 i i i 行展开 ) ) )
    D n = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n , i = 1 , 2 , ⋯   , n (1) D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}, i=1,2, \cdots, n\tag{1} Dn=a11ai1an1a12ai2an2a1nainann=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin,i=1,2,,n(1)
    其中 A i j A_{i j} Aij 代表那些含有 a i j a_{i j} aij 的项在提出公因子 a i j a_{i j} aij 之后的代数和. A i j A_{i j} Aij 中不再含有第 i i i 行的元素,也就是 A i 1 , A i 2 , ⋯   , A i n A_{i 1}, A_{i 2}, \cdots, A_{i n} Ai1,Ai2,,Ain 全与行列式中第 i i i 行的元素无关.

    现在来研究这些 A i j , i , j = 1 , 2 , ⋯   , n A_{i j}, i, j=1,2, \cdots, n Aij,i,j=1,2,,n 究竟是什么.

    在三级行列式的展开式中,
    D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) + a 12 ( a 23 a 31 − a 21 a 33 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) = a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ M 11 M 12 M 13 \begin{array}{rl} D_{3}=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|&=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31} \\ & =a_{11}\left(a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}\right)+a_{12}\left(a_{23} a_{31}-a_{21} a_{33}\right)+a_{13}\left(a_{21} a_{32}-a_{22} a_{31}\right) \\ & =a_{11}\left|\begin{array}{ll} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{ll} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right| \\ & \qquad\qquad M_{11} \qquad \qquad\qquad M_{12} \qquad \qquad\quad M_{13} \end{array} D3=a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31=a11(a22a33a23a32)+a12(a23a31a21a33)+a13(a21a32a22a31)=a11a22a32a23a33a12a21a31a23a33+a13a21a31a22a32M11M12M13
    猜想: 展开式 (1) 中各项的 A i 1 , A i 2 , ⋯   , A i n A_{i 1}, A_{i 2}, \cdots, A_{i n} Ai1,Ai2,,Ain 也是 n − 1 n-1 n1 级行列式. A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j} Aij=(1)i+jMij.

    余子式与代数余子式

    余子式

    定 义 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }} 1 在行列式中划去元素 a i j a_{i j} aij 所在的第 i i i 行与第 j j j 列,剩下的 ( n − 1 ) 2 (n-1)^{2} (n1)2 个元素按原来的排法构成一
    n n n - 1级行列式,称为元素 a i j a_{i j} aij余子式,记作 M i j M_{i j} Mij.即

    image-20201227150313817

    代数余子式

    (去边原理)

    引 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{引理1} }} 1
    ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 , n − 1 a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 , n − 1 a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n − 1 , 1 a n − 1 , 2 ⋯ a n − 1 , n − 1 a n − 1 , n 0 0 ⋯ 0 1 ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 , n − 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 , n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ a n − 1 , 1 a n − 1 , 2 ⋯ a n − 1 , n − 1 ∣ . (2) \left|\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1} & a_{n-1, n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}\end{array}\right| .\tag{2} a11a21an1,10a12a22an1,20a1,n1a2,n1an1,n10a1na2nan1,n1=a11a21an1,1a12a22an1,2a1,n1a2,n1an1,n1.(2)
    证明 因为左边=
    = ∑ j 1 , j 2 , … , j n ( − 1 ) τ ( j 1 , j 2 , … , j n ) a 1 j 1 … a n − 1 , j n − 1 a n , j n = ∑ j 1 , j 2 , … , j n ( − 1 ) τ ( j 1 , j 2 , … , j n − 1 , n ) a 1 j 1 … a n − 1 , j n − 1 a n , n = ∑ j 1 , j 2 , … , j n ( − 1 ) τ ( j 1 , j 2 , … , j n − 1 ) a 1 j 1 … a n − 1 , j n − 1 = 右 边 \begin{aligned} &=\sum_{j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} \ldots a_{n-1, j_{n-1}} a_{n, j_{n}} \\&=\sum_{j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n-1}, n\right)} a_{1 j_{1}} \ldots a_{n-1, j_{n-1}} a_{n, n} \\ &=\sum_{j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{n-1}\right)} a_{1 j_{1}} \ldots a_{n-1, j_{n-1}} \\&=右边 \end{aligned} =j1,j2,,jn(1)τ(j1,j2,,jn)a1j1an1,jn1an,jn=j1,j2,,jn(1)τ(j1,j2,,jn1,n)a1j1an1,jn1an,n=j1,j2,,jn(1)τ(j1,j2,,jn1)a1j1an1,jn1=
    所以原式成立.

    注 : \Large\color{violet}{注 :} : 此引理是行列式的一种计算技巧即“加边法”的理论依据.以此类推,
    ∣ 1 b 1 b 2 ⋯ b n 0 a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∣ a 11 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∣ \left|\begin{array}{ccccc} 1 & b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} \\ 0 & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| 100b1a11an1b2a12an2bna1nann=a11an1a1,nann
    共有四种情况.但另外两种情况最好不用,因为会产生符号.

    2、 A i j A_{i j} Aij M i j M_{i j} Mij 的关系
    A i j = ( − 1 ) i + j M i j (3) A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}\tag{3} Aij=(1)i+jMij(3)
    证明 在 (1) 中令 a i 1 = … = a i , j − 1 = a i , j + 1 = … = a i n = 0 , a i j = 1 a_{i 1}=\ldots=a_{i, j-1}=a_{i, j+1}=\ldots=a_{i n}=0, a_{i j}=1 ai1==ai,j1=ai,j+1==ain=0,aij=1
    A i j = 0 ⋅ A i 1 + ⋯ + 0 ⋅ A i , j − 1 + 1 ⋅ A i j + 0 ⋅ A i , j + 1 + ⋯ + 0 ⋅ A i n = ∣ a 11 ⋯ a 1 , j − 1 a 1 j a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j a i − 1 , j + 1 ⋯ a i − 1 , n 0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 0 a i + 1 , 1 ⋯ a i + 1 , j − 1 a i + 1 , j a i + 1 , j + 1 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 … a n , j − 1 a n , j a n , j + 1 … a n n ∣ = ( − 1 ) n − i ∣ a 11 ⋯ a 1 , j − 1 a 1 j a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j a i − 1 , j + 1 ⋯ a i − 1 , n a i + 1 , 1 ⋯ a i + 1 , j − 1 a i + 1 , j a i + 1 , j + 1 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n , j − 1 a n , j a n , j + 1 ⋯ a n n 0 … 0 1 0 ⋯ 0 ∣ \begin{aligned} A_{i j} &=0 \cdot A_{i 1}+\cdots+0 \cdot A_{i, j-1}+1 \cdot A_{i j}+0 \cdot A_{i, j+1}+\cdots+0 \cdot A_{i n} \\ &=\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1 j} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n, j-1} & a_{n, j} & a_{n, j+1} & \ldots & a_{n n}\\ \end{array}\right| \\ &=(-1)^{n-i} \left|\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1 j} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n} \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right| \end{aligned} Aij=0Ai1++0Ai,j1+1Aij+0Ai,j+1++0Ain=a11ai1,10ai+1,1an1a1,j1ai1,j10ai+1,j1an,j1a1jai1,j1ai+1,jan,ja1,j+1ai1,j+10ai+1,j+1an,j+1a1nai1,n0ai+1,nann=(1)nia11ai1,1ai+1,1an10a1,j1ai1,j1ai+1,j1an,j10a1jai1,jai+1,jan,j1a1,j+1ai1,j+1ai+1,j+1an,j+10a1nai1,nai+1,nann0

    = ( − 1 ) ( n − i ) + ( n − j ) ∣ a 11 … a 1 , j − 1 a 1 , j + 1 … a 1 n a 1 j ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a i − 1 , 1 … a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j + 1 … a i − 1 , n a i − 1 , j a i + 1 , 1 … a i + 1 , j − 1 a i + 1 , j + 1 … a i + 1 , n a i + 1 , j ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 … a n , j − 1 a n , j + 1 … a n n a n j 0 … 0 0 … 0 1 ∣ = ( − 1 ) 2 n − ( i + j ) M i j = ( − 1 ) i + j M i j \begin{array}{l} =(-1)^{(n-i)+(n-j)}\left|\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \ldots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \ldots & a_{1 n} & a_{1 j} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \ldots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \ldots & a_{i-1, n} & a_{i-1, j} \\ a_{i+1,1} & \ldots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \ldots & a_{i+1, n} & a_{i+1, j} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \ldots & a_{n n} & a_{n j} \\ 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array}\right| \\ =(-1)^{2 n-(i+j)} \mathbf{M}_{i j}=(-1)^{i+j} \mathbf{M}_{i j} \end{array} =(1)(ni)+(nj)a11ai1,1ai+1,1an10a1,j1ai1,j1ai+1,j1an,j10a1,j+1ai1,j+1ai+1,j+1an,j+10a1nai1,nai+1,nann0a1jai1,jai+1,janj1=(1)2n(i+j)Mij=(1)i+jMij
    定 义 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义2} }} 2 上面所谈到的 A i j A_{i j} Aij 称为元素 a i j a_{i j} aij代数余子式.

    注 : \Large\color{violet}{注:}
    (1) 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式 .

    (2) 元素 a i j a_{i j} aij 的余子式和代数余子式与 a i j a_{i j} aij 的大小无关 , 只与该元素的在行列式中的位置有关 .

    行列式按行(列)展开法则

    定 义 3 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义3} }} 3 方阵 A A A的行列式为
    a 11 M 11 − a 21 M 21 + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 a n 1 M n 1 a_{11} M_{11}-a_{21} M_{21}+\cdots+(-1)^{n+1} a_{n 1} M_{n 1} a11M11a21M21++(1)n+1an1Mn1
    其中 M i j M_{i j} Mij a i j a_{i j} aij 的余子式. 方阵A的行列式记为 d e t ( A ) det(A) det(A) ∣ A ∣ \mid A\mid A

    引 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{引理2} }} 2 n n n 阶行列式 D = det ⁡ ( a i j ) D=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right) D=det(aij) 中的第 i i i 行(或第 j j j 列)所有元素除 a i j a_{i j} aij 外都为 0 , 0, 0,
    D = a i j A i j \boldsymbol{D}=\boldsymbol{a}_{i j} \boldsymbol{A}_{i j} D=aijAij
    image-20201227152529550

    定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }} 2 行列式按行(列)展开法则

    行列式 D D D 等于它的任一行 ( 列 ) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或
    D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n = ∑ k = 1 n a i k A i k i = 1 , 2 , ⋯   , n (4) \boldsymbol{D}=\boldsymbol{a}_{i 1} \boldsymbol{A}_{i 1}+\boldsymbol{a}_{i 2} \boldsymbol{A}_{i 2}+\cdots+\boldsymbol{a}_{i \boldsymbol{n}} \boldsymbol{A}_{i n}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} A_{i k} \quad i=1,2, \cdots, \boldsymbol{n}\tag{4} D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin=k=1naikAiki=1,2,,n(4)
    D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j = ∑ k = 1 n a k j A k j j = 1 , 2 , ⋯   , n (5) \boldsymbol{D}=\boldsymbol{a}_{1 j} \boldsymbol{A}_{1 j}+\boldsymbol{a}_{2 j} \boldsymbol{A}_{2 j}+\cdots+\boldsymbol{a}_{n j} \boldsymbol{A}_{n j}=\sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{a}_{k j} A_{k j} \quad \boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{n}\tag{5} D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj=k=1nakjAkjj=1,2,,n(5)

    image-20201227152807213

    降级法( 或降阶法):

    (1) 利用行列式性质,将某行 (列) 的元尽可能化为0.

    (2) 然后把行列式按这行(列)展开.

    根据代数余子式的定义,方阵 A A A 的行列式可表示为
    det ⁡ A = a 11 A 11 + a 21 A 21 + ⋯ + a n 1 A n 1 \operatorname{det} A=a_{11} A_{11}+a_{21} A_{21}+\cdots+a_{n 1} A_{n 1} detA=a11A11+a21A21++an1An1
    行列式的这种定义方法称为按第一列展开归纳定义

    定 理 3 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理3} }} 3
    d = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ d=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| d=a11a21an1a12a22an2a1na2nann
    A i j A_{i j} Aij 表示元素 a i j a_{i j} aij 的代数余子式,则下列公式成立:
    a k 1 A i 1 + a k 2 A i 2 + ⋯ + a k n A i n = { d , k = i 0 , k ≠ i a 1 I A 1 j + a 2 I A 2 j + ⋯ + a n I A n j = { d , I = j 0 , I ≠ j \begin{array}{l} a_{k 1} A_{i 1}+a_{k 2} A_{i 2}+\cdots+a_{k n} A_{i n}=\left\{\begin{array}{ll} d, & k=i \\ 0, & k \neq i \end{array}\right. \\ a_{1I} A_{1 j}+a_{2I} A_{2 j}+\cdots+a_{n I} A_{n j}=\left\{\begin{array}{ll} d, & I=j \\ 0, & I \neq j \end{array}\right. \end{array} ak1Ai1+ak2Ai2++aknAin={d,0,k=ik=ia1IA1j+a2IA2j++anIAnj={d,0,I=jI=j
    行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

    注 : \Large\color{violet}{注:}

    (1)定理总结如下:自己行的元素乘以自己的代数余子式之和为行列式,自己行的元素乘以别人的代数余子式之和为 0。

    (2)在计算数字行列式时,直接应用展开式(4)或(5)不一定能简化计算,因为把一个 n n n 级行列式的计算换成 n n n ( n − 1 ) (n-1) (n1) 级行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用公式(4)或(5)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的.

    行列式计算

    例 1. \Large\color{violet}{例1. } 1.计算行列式 D = ∣ 3 1 − 1 2 − 5 1 3 − 4 2 0 1 − 1 1 − 5 3 − 3 ∣ \boldsymbol{D}=\left|\begin{array}{cccc}\boldsymbol{3} & \mathbf{1} & -\mathbf{1} & \mathbf{2} \\ -\mathbf{5} & \mathbf{1} & \mathbf{3} & -\mathbf{4} \\ \mathbf{2} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & -\mathbf{1} \\ \mathbf{1} & -\mathbf{5} & \mathbf{3} & -\mathbf{3}\end{array}\right| D=3521110513132413

    image-20201227153729140

    范德蒙行列式

    重要公式

    (1) 范德蒙行列式
    ∣ 1 1 1 ⋯ 1 a 1 a 2 a 3 ⋯ a n a 1 2 a 2 2 a 3 2 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n − 1 a 2 n − 1 a 3 n − 1 ⋯ a n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( a i − a j ) \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & \cdots & a_{n}^{n-1} \end{array}\right|=\prod_{1 \leq j<i \leq n}\left(a_{i}-a_{j}\right) 1a1a12a1n11a2a22a2n11a3a32a3n11anan2ann1=1j<in(aiaj)

    例子:
    ∣ 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ( c − b ) \begin{aligned} &\left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array}\right|\\ &=(b-a)(c-a)(c-b) \end{aligned} 1aa21bb21cc2=(ba)(ca)(cb)
    (2)
    ∣ a 11 ⋯ a 1 k 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a k 1 ⋯ a k k 0 ⋯ 0 c 11 ⋯ c 1 k b 11 ⋯ b 1 r ⋮ ⋮ ⋮ c r 1 ⋯ c r k b r 1 ⋯ b r r ∣ = ∣ a 11 ⋯ a 1 k b 11 ⋯ b 1 r ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a k 1 ⋯ a k k b r 1 ⋯ b r r ∣ . \left|\begin{array}{cccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 k} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k 1} & \cdots & a_{k k} & 0 & \cdots & 0 \\ c_{11} & \cdots & c_{1 k} & b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \\ c_{r 1} & \cdots & c_{r k} & b_{r 1} & \cdots & b_{r r} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc|c|ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 k} & & b_{11} & \cdots & b_{1 r}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{k 1} & \cdots & a_{k k} & & b_{r 1} & \cdots & b_{rr} \end{array}\right| . a11ak1c11cr1a1kakkc1kcrk00b11br100b1rbrr=a11ak1a1kakkb11br1b1rbrr.

    例 2. \Large\color{violet}{例2. } 2.计算 D = ∣ 3 − 5 0 0 1 1 0 0 − 1 3 1 3 2 − 4 0 4 ∣ . \quad \boldsymbol{D}=\left|\begin{array}{cccc}\boldsymbol{3} & \mathbf{- 5} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{1} & \mathbf{3} & \mathbf{1} & \mathbf{3} \\ \mathbf{2} & -\mathbf{4} & \mathbf{0} & \mathbf{4}\end{array}\right| . D=3112513400100034.

    D = ∣ 3 − 5 0 0 1 1 0 0 − 1 3 1 3 2 − 4 0 4 ∣ = ∣ 3 − 5 1 1   ∣ 1 3 0 4 = 8 × 4 = 32 D=\left|\begin{array}{cccc}3 & -5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & 0 & 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc|}3 & -5 \\ 1 & 1\end{array}~\right| \begin{array}{cc|}1 & 3 \\ 0 & 4\end{array} =8 \times 4=32 D=3112513400100034=3151 1034=8×4=32

    例 3. \Large\color{violet}{例3. } 3. D = ∣ 3 − 5 2 1 1 1 0 − 5 − 1 3 1 3 2 − 4 − 1 − 3 ∣ D=\left|\begin{array}{cccc}3 & -5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3\end{array}\right| D=3112513420111533,求
    A 11 + A 12 + A 13 + A 14 A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14} A11+A12+A13+A14 M 11 + M 21 + M 31 + M 41 M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41} M11+M21+M31+M41
    分析 利用 a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ∣ a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+a_{13} A_{13}+a_{14} A_{14}=\left|\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{array}\right| a11A11+a12A12+a13A13+a14A14=a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44

    解:
    A 11 + A 12 + A 13 + A 14 = ∣ 1 1 1 1 1 1 0 − 5 − 1 3 1 3 2 − 4 − 1 − 3 ∣ = 4 M 11 + M 21 + M 31 + M 41 = A 11 − A 21 + A 31 − A 41 = ∣ 1 − 5 2 1 − 1 1 0 − 5 1 3 1 3 − 1 − 4 − 1 − 3 ∣ = 0 \begin{array}{l|l} A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=\left|\begin{array}{lllr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{array}\right|=4 \\ M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}=A_{11}-A_{21}+A_{31}-A_{41} \\ =\left|\begin{array}{cccc} 1 & -5 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -5 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ -1 &-4 & -1 & -3 \end{array}\right|=0 \end{array} A11+A12+A13+A14=1112113410111533=4M11+M21+M31+M41=A11A21+A31A41=1111513420111533=0

    例 4. \Large\color{violet}{例4. } 4.计算 A 41 + A 42 + A 43 A_{41}+A_{42}+A_{43} A41+A42+A43 A 44 + A 45 A_{44}+A_{45} A44+A45 ・其中
    det ⁡ A = ∣ 1 2 3 4 5 2 2 2 1 1 3 1 2 4 5 1 1 1 2 2 4 3 1 5 0 ∣ = 27 \operatorname{det} A=\left|\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\ 4 & 3 & 1 & 5 & 0 \end{array}\right|=27 detA=1231422113322114142551520=27
    【解】 由于 1 A 41 + 1 A 42 + 1 A 43 + 2 A 44 + 2 A 45 = det ⁡ A = 27 1A_{41}+1 A_{42}+1 A_{43}+2 A_{44}+2 A_{45}=\operatorname{det} A=27 1A41+1A42+1A43+2A44+2A45=detA=27
     而2  A 41 + 2 A 42 + 2 A 43 + 1 A 44 + 1 A 45 = 0 \text { 而2 } A_{41}+2 A_{42}+2 A_{43}+1 A_{44}+1 A_{45}=0  A41+2A42+2A43+1A44+1A45=0
    因此 A 44 + A 42 + A 43 = − 9 , A 44 + A 45 = 18. A_{44}+A_{42}+A_{43}=-9, A_{44}+A_{45}=18 . A44+A42+A43=9,A44+A45=18.

    例 5 \Large\color{violet}{例5 } 5

    image-20210105191341623

    证明det A n = λ n + a 1 λ n − 1 + a 2 λ n − 2 + ⋯ + a n − 1 λ + a n . A_{n}=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+a_{2} \lambda^{n-2}+\cdots+a_{n-1} \lambda+a_{n} . An=λn+a1λn1+a2λn2++an1λ+an.

    【证明 】对行列式的阶数n用数学归纳法.

    n = 1 n=1 n=1 时, 结论成立.假设命题对任意 n n n -1阶具有上述形状的行列式都成立,

    考虑n阶情形,将行列式按照第1行展开, 第(1,1)元 λ \lambda λ的余子式是与det A n A_{n} An 具有相同特点的 n n n -1阶行列式, 记为 det A n − 1 A_{n-1} An1.
    ( 1 , n ) (1,n) (1,n) a n a_{n} an 的余子式是上三角形矩阵的行列式 其值为 ( − 1 ) n − 1 . (-1)^{n-1} . (1)n1.
    det ⁡ A n = λ det ⁡ A n − 1 + ( − 1 ) n + 1 ( − 1 ) n − 1 a n = λ det ⁡ A n − 1 + a n \begin{aligned} \operatorname{det} A_{n} &=\lambda \operatorname{det} A_{n-1}+(-1)^{n+1}(-1)^{n-1} a_{n} \\ &=\lambda \operatorname{det} A_{n-1}+a_{n} \end{aligned} detAn=λdetAn1+(1)n+1(1)n1an=λdetAn1+an
    利用归纳假设得到
    det ⁡ A n = λ ( λ n − 1 + a 1 λ n − 2 + ⋯ + a n − 1 ) + a n = λ n + a 1 λ n − 1 + a 2 λ n − 2 + ⋯ + a n − 1 λ + a n \operatorname{det} A_{n}=\lambda\left(\lambda^{n-1}+a_{1} \lambda^{n-2}+\cdots+a_{n-1}\right)+a_{n}\\ =\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+a_{2} \lambda^{n-2}+\cdots+a_{n-1} \lambda+a_{n} detAn=λ(λn1+a1λn2++an1)+an=λn+a1λn1+a2λn2++an1λ+an
    例 6 \Large\color{violet}{例6 } 6 证明 Vander monde(范德蒙德)行列式

    image-20210105192827437

    【证明】 对行列式阶数用数学归纳法
    V 2 = ∣ 1 x 1 1 x 2 ∣ = x 2 − x 1 = ∏ 1 ≤ j < i ≤ 2 ( x i − x j ) V_{2}=\left|\begin{array}{ll} 1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \end{array}\right|=x_{2}-x_{1}=\prod_{1 \leq j<i \leq 2}\left(x_{i}-x_{j}\right) V2=11x1x2=x2x1=1j<i2(xixj)
    因此当 n = 2 n=2 n=2 时等式成立

    假设结论对于 n − 1 n-1 n1 阶范德蒙德行列式成立,第 n − 1 n-1 n1列乘以 − x n -x_{n} xn 加到第n列上,第n-2列乘以- x n x_{n} xn 加到第n-1列上,一直下去,第1列乘以- x n x_{n} xn 加到第2列上,得

    image-20210105193123744

    image-20210105193310602
    V n = ( x n − x 1 ) ( x n − x 2 ) ⋯ ( x n − x n − 1 ) V n − 1 V_{n}=\left(x_{n}-x_{1}\right)\left(x_{n}-x_{2}\right) \cdots\left(x_{n}-x_{n-1}\right) V_{n-1} Vn=(xnx1)(xnx2)(xnxn1)Vn1
    由归纳假设 , V n − 1 = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n − 1 ( x i − x j ) , V_{n-1}=\prod_{1 \leq j<i \leq n-1}\left(x_{i}-x_{j}\right) ,Vn1=1j<in1(xixj),进而有
    V n = ∏ j = 1 n − 1 ( x n − x j ) ∏ 1 ≤ j < i ≤ n − 1 ( x i − x j ) = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( x i − x j ) \begin{aligned} V_{n} &=\prod_{j=1}^{n-1}\left(x_{n}-x_{j}\right) \prod_{1 \leq j<i \leq n-1}\left(x_{i}-x_{j}\right) \\ &=\prod_{1 \leq j<i \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right) \end{aligned} Vn=j=1n1(xnxj)1j<in1(xixj)=1j<in(xixj)

    参考

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

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  • 实用的行列式计算方法 —— 线性代数

    万次阅读 多人点赞 2020-06-02 21:16:14
    行列怎么求?学这一篇就够了

    线代基础建议去看看李永乐老师讲的,我这里只是把李永乐老师的笔记做了个总结(因为很实用很详细了)
    其实有很多概念我没写,我写的仅仅是对解题实战有帮助的内容
    关于矩阵的算法:<点这里>

    一、行列式的概念

    1.1 二、三阶行列式

    在这里插入图片描述
    三阶的我在概念里面补充

    1.2 排列、逆序、逆序数

    在这里插入图片描述
    定理.对换改变列的奇偶性

    任意一个n阶排列可经过一系列兑换变成自然排列
    在这里插入图片描述
    定理.在全部n阶排列中,奇偶排列各占一半

    1.3 n阶行列式的概念

    在这里插入图片描述

    二、行列式的性质(行列同理)

    在这里插入图片描述
    我们用第四个性质来举个栗子
    蓝色部分满足性质3
    在这里插入图片描述

    经典例题

    在这里插入图片描述

    三、行列式按行(列)展开公式

    取0最多的一行或一列来展开求解
    在这里插入图片描述

    3.1 代数余子式

    在这里插入图片描述

    定理

    在这里插入图片描述

    3.2 展开公式

    下面两种行列式求解公式是超级常用的公式,一定要记住

    3.2.1 范德蒙德行列式

    在这里插入图片描述

    相关例题

    在这里插入图片描述

    3.2.2 拉普拉斯行列式

    在这里插入图片描述

    相关例题

    在这里插入图片描述

    四、克拉默法则

    具体解的部分会在写方程组的时候详细叙述,这里只是把与行列式有关的先提一下
    在这里插入图片描述

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