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  • 列式计算要写出计算过程吗
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    2021-07-03 03:32:33

    信息检索过程中常用的检索表达式

    检索表达式是检索策略的具体体现之一,简称检索式。检索式一般由检索词和各种逻辑运算符组成。具体来说,它是用检索系统规定的各种算符将检索词之间的逻辑关系、位置关系等连接起来,构成的计算机可以识别和执行的检索命令式。检索式构造的优劣关系到检索策略的成败。

    检索表达式主要有逻辑表达式、截词检索表达式、位置检索表达式等,其中,最为常用的是逻辑表达式。

    1.逻辑表达式

    逻辑表达式是指利用布尔逻辑算符,对检索词的关系进行表达,又称布尔逻辑表达式。布尔逻辑是目前计算机检索最简单、最基本的匹配模式,也是计算机检索领域广泛采用的逻辑表达方式。布尔算符有“逻辑与”(“AND”)、“逻辑或”(“OR”)、“逻辑非”(“NOT”)等。

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    A AND B                         A OR B                            A NOT B

    图 布尔逻辑算符示意图

    (1)逻辑“与”:表示它所连接的两个检索词必须同时出现在结果中,逻辑检索式可写为:A AND B。也有些数据库中用“*”或其他符号表示。例如,要查找关于“计算机检索”方面的信息,检索需求可以表述为:“计算机AND检索”。目前,在一些数据库(如中国期刊网)中提供的二次检索,实质上也是逻辑“与”的运算。逻辑“与”的检索能增强检索的专指性,使检索范围缩小。

    (2)逻辑“或”:表示它所连接的两个检索词中任意一个出现在结果中就满足检索条件,检索式可写为:A OR B。在一些中文数据库中,用“+”表示逻辑“或”。例如,想检索关于“计算机”的信息,可以表达为:计算机+电脑。逻辑“或”主要用于表达检索词的近义词、同义词、全称和缩写等,以便全面、完整地表达相关的概念。

    (3)逻辑“非”:表示它所连接的两个检索词中,应从第一个概念中排除第二个概念,检索式可写为:A NOT B。在一些中文数据库中用 “-”表示逻辑 “非”。例如,想查找关于“研究生教育”的资料,但要求不包括在职研究生,可以将检索式写为:“(研究生*教育)-在职研究生”或“研究生-在职研究生*教育”。逻辑 “非”表示具有不包含某种概念关系的一组组配,用来缩小检索范围。但在实际检索中要慎重使用。

    逻辑表达式在实际检索过程中,易于理解,便于使用。例如,想检索“中国高等教育的发展趋势”,用逻辑表达式可写成:中国*高等教育*发展趋势。表示要求查找的文献的相应字段中同时包含“中国”、“高等教育”、“趋势”这三个词,而排列形式不限。

    以上逻辑运算符中,其运算优先级顺序为“非”、“与”、“或”,但是可以用括号改变它们之间的运算顺序。还要注意的就是对于同一个逻辑运算式来说,不同的运算顺序有不同的运算结果。

    2.截词检索表达式

    截词检索表达式指在检索式中用专门符号(截词符号)表示检索词的某一部分,检索词允许有部分变化,检索词的不变部分加上由截词符号所代表的任何变化形式所构成的词汇都是合法检索词。截词检索表达式在西方语言检索中应用比较广泛,在中文信息检索中也有一定的应用。采用截词检索表达式,既能防止漏检,又能节省时间,是提高检索效率的有力措施。不同检索系统采用的截词符不完全相同,一般常采用“?”、“*”等。

    截词方式有多种,按截断的位置来分,截词有前截断、中间截断、后截断等;按截断的字符数量来分,可分为有限截断和无限截断两种。

    后截词,又称右截词、前方一致,允许检索词尾部有若干变化形式。例如检索式“Comput?”将检出包含Computer、Computing、Computed、Computerization等词汇的结果。

    中间截词,允许检索词中间有若干变化形式,例如“wom * n”就可同时检索到含有woman和women的结果。

    前截词,又称左截词、后方一致,允许检索词的前端有若干变化形式,例如检索 “*physics”就可检得包含physics、astrophysics、biophysics、chemicophysics等词的结果。

    截词检索表达式在使用时,一定要合理使用,截断部分要适当,不要截得太短,以免增加检索噪音,查出很多无关的文献。

    3.位置检索表达式

    位置检索表达式表示两个检索词之间的位置邻近关系(不同的的检索系统采用的表达符号可能不同),常用的有:

    W(nW):W是with的缩写,(W)表示其两侧的检索词必须按前后顺序出现在记录中,两词之间不允许插入其它词,只可能有空格或一个标点符号。(nW)表示两侧的检索词中间允许插入的词最多只能有n个,且检索词的位置不能颠倒。

    N:是near的缩写,(N)表示其两侧的检索词位置可以互换,在两词之间不能插入其它词,但允许有空格或标点符号。(nN)表示允许在此运算符两策的检索词之间最多插入n个词,且两个检索词的位置可颠倒。

    L:是link的缩写,(L)表示其两侧的检索词之间有主从关系,前者为主,后者为副。L可用来连接主、副标题词。

    F: 是field的缩写,(F)表示其两侧的检索词必须出现在同一个字段中,但两个检索词的词序不限,且两个检索词之间的单词数量也不限制。如,两个检索词必须同时出现在篇名字段、文摘字段或叙词字段。

    S:是subfield的缩写,(S)表示两侧的检索词必须出现在同一个子字段中,如同一个句子或短语中,但词序不限,且两个检索词之间可有若干个其它词。

    在某些检索系统中,还使用双引号“ ” 标示不可分割的词组或短语,如“civil engineering”,在检索结果中civil engineering必须是连在一起的词组。

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  • 小数除法竖式计算过程

    千次阅读 2021-08-19 16:48:39
    ②商的小数点和被除数的小数点对齐; ③除到被除数的末尾仍有余数时,就在余数后面添0,再继续除。 例1:117÷36=3. 25 (2)除数是小数的小数除法 除数是小数的小数除法,可按照以下步骤进行计算: ①先把除数的...

    先从被除数的最高位除起,除数有几位,就看被除数的前几位,如果不够除,就多看一位。
    除到被除数的哪一位,就把商写在哪一位的上面,如果不够除,注意此时不能所谓的多看一位了,而是要在这一位上商0(最开始第一次除的时候如果不够除,那时候才能多看一位)

    (1)除数是整数的小数的除法

    除数是整数的小数除法,可按照以下步骤进行计算:
    ①先按照整数除法的法则去除;
    商的小数点要和被除数的小数点对齐;
    除到被除数的末尾仍有余数时,就在余数后面添0(这里的0要添加直至,商的下一结果位下面),再继续除。
    例:117÷36=3. 25
    (1)

    (2)除数是小数的小数除法

    除数是小数的小数除法,可按照以下步骤进行计算:
    ①先把除数的小数点去掉使它变成整数;
    这里只需把除数转变为整数即可,当然被除数也要相应改变,就比方说5.63除以7.8,只需转化为56.3除以78即可,当然你转化成563除以780也能算出结果,但是你后面就会发现没这个必要,l另外注意,转换过程会引起余数的相应变化,但是商不变

    1、56.3除以78
    !
    2、563除以780
    !

    ②接(1)。
    例:104.4÷7.25=14.4
    (2)

    一般题目都要求取商的近似值

    例 :122÷16≈7.63(得数保留两位小数)结果本应是7.625
    (3)

    注意事项:

    1、列竖式时,商的个位要与被除数的个位对齐。(其实跟商的小数点要和被除数的小数点对齐如出一辙,但是有时候上的结果是整数,小数点就用不上了。)
    2、商和除数的积写到被除数的下面。
    3、最后在积的下面画横线。
    4、横线下写上被除数与商和除数的积的差。

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  • (速看)计算,是数学的基本工具,他会贯穿着孩子的整个学习过程,每一个阶段的计算逻辑又不尽相同,所以每到一个新的阶段都培养好孩子的计算能力,和计算习惯。到了初中,我们初步会接触到哪些计算知识点呢?在这些...

    原标题:期末考试要到了,初一孩子的计算能力一定要提升!(速看)

    计算,是数学的基本工具,他会贯穿着孩子的整个学习过程,每一个阶段的计算逻辑又不尽相同,所以每到一个新的阶段都要培养好孩子的计算能力,和计算习惯。

    到了初中,我们初步会接触到哪些计算知识点呢?在这些知识点上会出现哪些问题呢?

    负数,会让很多孩纸难以适应,在计算过程中,总是无意识的抛弃负号。

    数轴,伴着数形结合的出现,让不少孩纸觉得过于抽象。

    绝对值,作为学习初一期中期末的压轴题型,难度可想而知。

    相反数,这只是方程思想的体现的一个开始。

    计算问题是初一的“老大难问题”,是95%的新初一学生都会遇到的问题,所以大家首先要把计算出问题这件事儿看做是一件很正常的事情,但是我们又需要格外的关注这个事情,因为一旦初一处理不好这个问题,对初二初三的代数学习,更甚至高中的学习都会出现一系列的后遗症。

    那么计算问题究竟是如何产生的,又该如何解决呢?

    计算问题产生的原因

    1、学生学习的外部原因

    (1)计算器削弱了运算意识和能力(习惯问题)

    计算器的使用使繁琐的运算变得更加快捷,受到广大学生的青睐。在计算中学生过分依赖计算器,没有去思考如何快捷、简洁地解决问题。

    从而忽视了对学生运算的灵活性、合理性和基本的计算技能的培养。于是经常在考试或者作业中发现学生计算只有结果而没有求解过程。

    但不论是平时的要求,还是考试,都要求解题过程完整规范,正是由于使用计算器,缺少了这方面的训练,造成了学生解题不规范,不完整,导致计算失分。

    (2)学习方法和思维方式转变影响运算能力(方法问题)

    从小学过渡到初中,数学计算在思维方式上出现了两大飞跃。一是建立了有理数概念,引进负数;二是用“字母”为主的符号表示数。

    这跟小学单纯的数的计算有了很大不同,正是这种思维方式的转变使学生很难适应,出现初中数学一开始学习就有“吃力感”,失去了学好数学的信心,影响了学生的计算能力的提高和数学能力的发展。

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    2、学生学习的内部原因

    (1)不会使用草稿纸(习惯问题)

    我发现大部分的学生在做题目中不使用草稿纸,还有一小部分使用草稿纸的孩子,怎么方便怎么写,写的太潦草,写的是0还是6自己都分不清或者压根看不清,还有的孩子直接在试卷、课本甚至桌子上列草稿,这些都是很不好的学习习惯。

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    (2)写作业注意力不集中(习惯问题)

    很多的小孩子在做题时,东张西张,对身边的任何动静都特别好奇,容易打断孩子的做题思路,从而影响做题的效果。

    (3)做题跳步骤(习惯问题)

    做题跳步骤厉害,有些孩子拿到题后,不动笔,只用眼瞅几分钟后,直接在题目后面写出答案,总以为自己能够算对,结果发现是错的,根本不去按照老师严格要求的步骤进行书写。

    (4)害怕计算题(态度问题)

    一部分孩子看到计算题、偏大的数字就头疼,其实题目并没有那么的恐怖,只要掌握解题方法,严格按照老师要求的答题步骤书写就可以。

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    (5)写作业拖拉、不自信(习惯问题)

    有很多孩子在写作业时没有规划和时间紧迫感,喝水、吃东西、上厕所、转笔、发呆是常态。本来半小时就能写完的作业,磨磨唧唧可能要一个多小时;还有不部分孩子在做题时遇到计算结果很大、小数点后面好几位或者分母偏大时,就会纠结是不是做错了,不自信,而且做下一题时脑子里还在想上个题的答案,影响做题质量。

    (6)不善(会)检查(习惯问题)

    比如孩子在做解方程题目时,孩子不会把方程解代入原式中检验;有理数运算时不会运用运算法则检查出是否漏负号的问题。检查与复习是很多孩子在学习过程中经常容易忽略但是很重要的一步!

    通过以上几点可以看出,计算问题产生的很多原因都来自于习惯。

    所以提醒家长:

    初一年级,一定要重视起孩子学习习惯的培养。

    学会使用、并且用好草稿本!

    提升学生计算能力的办法

    1、一定要加强运算练习(限时做题)

    运算练习不是简单的熟能生巧,而是先注重方法,然后再熟能生巧。所以老师要求孩子每天至少8道计算题,同时合理的给孩子限定时间,随着孩子计算能力的提升,不断调整时间。但是一定要坚持下去,一方面提升孩子的计算能力和做题速度;另一方面锻炼孩子的学习毅力。

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    2、培养孩子的审题能力

    计算也是要审题的。审题要看清数字、看清符号;要判断运算顺序;看看有没有优化的计算方法...... 然后才是动笔动脑计算。

    3、计算过程中不跳步骤,运用好草稿本。

    在遇到到含有系数、括号、负号、分母比较复杂的计算题时,孩子们极易出错,要严格按照规范的计算过程书写,不允许省略计算步骤,同时运用好草稿纸,草稿纸验算时书写工整,标好题号,草稿与题对应,这样有利于有条有理的复查不必再费时重写草稿,省时省力,有利于培养孩子细致认真的作业习惯。

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    4、养成及时检验的习惯

    检验未必就是列竖式验算,对于很多题目要养成巧妙估算的好习惯,估一估大致范围;估一估某些数位;根据具体问题情境判断答案是否合理等。另外检查时要有耐心、细致,数字、符号是否抄写错误。根据相应的运算法则计算,克服粗心大意的毛病。

    5、灵活运用一些计算技巧

    数学里面有个数学思想非常重要—化繁为简。在数学里具体体现在商不变的性质(计算除法时)、分数基本性质(约分时)、等式及基本性质(解方程时)等等。目的是为了把复杂的变简单,提高计算的正确率和准确率。另外,学习一些常用数的计算技巧也是很有必要。比如25乘以一个数=?125乘以一个数=?首同末合十,末同首合十等口算技巧,掌握这些常用数的计算技巧会大大提升孩子的计算速度和效率。

    6、建立错题集

    把孩子出错的计算题进行积累,找规律分析原因,因为每个孩子错误的原因可能会不同,只有了解自己出错的原因,然后进行分析反思,才能对症下药,避免题海战术,起到事半功倍的效果。

    6e82090c6518a3e6ee53e019f02f8b09.png更多学习资讯,请关注公众号“初中学习小助手”

    以上是我对孩子计算问题的看法,欢迎大家批评指正。

    初一是打基础的一年,掌握好各种运算技巧、提升计算能力对孩子今后学习代数式运算、函数计算至关重要,同时也决定了中考的成败。因此我们一定要重视孩子计算能力的培养和学习习惯的培养,避免在中考当中出现计算问题。返回搜狐,查看更多

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  • 关于AES的混合计算和解密流程问题

    千次阅读 多人点赞 2021-01-18 19:45:22
    关于AES的混合计算和解密流程问题 我们知道AES的加解密过程都可以用有限域中的计算表示出来。关于AES的加解密过程,很多教材资料都有详细描述,这里我想强调①关于AES加密过程中的MixColumn阶段是如何计算的;②...

    关于AES的列混合计算和解密流程问题

    我们知道AES的加解密过程都可以用有限域中的计算表示出来。关于AES的加解密过程,很多教材资料都有详细描述,这里我想强调①关于AES加密过程中的MixColumn阶段是如何计算的;②AES的解密流程问题。
    关于AES算法的全部代码可以看这个AES加解密算法全过程实现(C++)

    AES的列混合计算

    我们经常会看到参考资料说AES的列混合过程是对状态矩阵的每一列左乘一个确定的矩阵(如下图),一般表示为

    在这里插入图片描述

    然后我们乘了之后会发现结果并不对。事实上,这里表示的并不是简单的矩阵乘法,而是 G F ( 2 8 ) GF(2^{8}) GF(28)上的多项式模乘。

    从AES的列混合定义说起

    列混合的定义是:MixColumn(State)是将状态矩阵的每一列看成 G F ( 2 8 ) GF(2^{8}) GF(28)上的一个多项式,且与一个固定的多项式 c ( x ) = { 03 } x 3 + { 01 } x 2 + { 01 } x + { 02 } c(x)=\lbrace 03\rbrace x^{3}+\lbrace 01\rbrace x^{2}+\lbrace 01\rbrace x+\lbrace 02\rbrace c(x)={03}x3+{01}x2+{01}x+{02}相乘后模 x 4 + 1 x^{4}+1 x4+1。例如:对于状态矩阵的某一列
    ( a 0 a 1 a 2 a 3 ) \begin{pmatrix} a_{0} \\ a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{pmatrix} a0a1a2a3
    看成多项式 a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} a3x3+a2x2+a1x+a0,列混合就是计算 ( a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) c ( x ) ( m o d ( x 4 + 1 ) ) (a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})c(x)\pmod{(x^{4}+1)} (a3x3+a2x2+a1x+a0)c(x)(mod(x4+1))。这样的定义也才是符合"AES的加解密过程都可以用有限域中的计算表示出来"这句话嘛。

    那问题来了,这个多项式相乘的计算怎么就成上述的矩阵形式?这就关乎 x 4 + 1 x^{4}+1 x4+1这个多项式了。对于任意 x i x^{i} xi x i m o d ( x 4 + 1 ) = x i ( m o d 4 ) x^{i}mod(x^4+1)=x^{i\pmod{4}} ximod(x4+1)=xi(mod4)。例如: x 6 ≡ x 2 ( m o d x 4 + 1 ) x^{6}\equiv x^{2}\pmod{x^{4}+1} x6x2(modx4+1)。根据这个事实,我们可以计算多项式相乘再取模的结果(在计算时, x 6 x^{6} x6就等于 x 2 x^{2} x2 x 5 x^{5} x5就等于 x x x x 4 x^{4} x4就等于1):
    b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 = ( a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) ( { 03 } x 3 + { 01 } x 2 + { 01 } x + { 02 } ) = ( a 3 ∗ 03 ) x 6 + ( a 3 ∗ 01 + a 2 ∗ 03 ) x 5 + ( a 3 ∗ 01 + a 2 ∗ 01 + a 1 ∗ 03 ) x 4 + ( a 3 ∗ 02 + a 2 ∗ 01 + a 1 ∗ 01 + a 0 ∗ 03 ) x 3 + ( a 2 ∗ 02 + a 1 ∗ 01 + a 0 ∗ 01 ) x 2 + ( a 1 ∗ 02 + a 0 ∗ 01 ) x + a 0 ∗ 02 = ( a 3 ∗ 02 + a 2 ∗ 01 + a 1 ∗ 01 + a 0 ∗ 03 ) x 3 + ( a 3 ∗ 03 + a 2 ∗ 02 + a 1 ∗ 01 + a 0 ∗ 01 ) x 2 + ( a 3 ∗ 01 + a 2 ∗ 03 + a 1 ∗ 02 + a 0 ∗ 01 ) x + ( a 3 ∗ 01 + a 2 ∗ 01 + a 1 ∗ 03 + a 0 ∗ 02 ) b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})(\lbrace 03\rbrace x^{3}+\lbrace 01\rbrace x^{2}+\lbrace 01\rbrace x+\lbrace 02\rbrace)=(a_{3}*03)x^{6}+(a_{3}*01+a_{2}*03)x^{5}+(a_{3}*01+a_{2}*01+a_{1}*03)x^{4}+(a_{3}*02+a_{2}*01+a_{1}*01+a_{0}*03)x^{3}+(a_{2}*02+a_{1}*01+a_{0}*01)x^{2}+(a_{1}*02+a_{0}*01)x+a_{0}*02\\ =(a_{3}*02+a_{2}*01+a_{1}*01+a_{0}*03)x^{3}+(a_{3}*03+a_{2}*02+a_{1}*01+a_{0}*01)x^{2}+(a_{3}*01+a_{2}*03+a_{1}*02+a_{0}*01)x+(a_{3}*01+a_{2}*01+a_{1}*03+a_{0}*02) b3x3+b2x2+b1x+b0=(a3x3+a2x2+a1x+a0)({03}x3+{01}x2+{01}x+{02})=(a303)x6+(a301+a203)x5+(a301+a201+a103)x4+(a302+a201+a101+a003)x3+(a202+a101+a001)x2+(a102+a001)x+a002=(a302+a201+a101+a003)x3+(a303+a202+a101+a001)x2+(a301+a203+a102+a001)x+(a301+a201+a103+a002)
    把上述结果写成矩阵形式,不正是
    ( b 0 b 1 b 2 b 3 ) = ( 02 03 01 01 01 02 03 01 01 01 02 03 03 01 01 02 ) ( a 0 a 1 a 2 a 3 ) \begin{pmatrix} b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\\b_{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 02 & 03 & 01 & 01\\ 01 & 02 & 03 & 01\\ 01 & 01 & 02 & 03\\ 03 & 01 & 01 & 02 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3} \end{pmatrix} b0b1b2b3=02010103030201010103020101010302a0a1a2a3
    所以现在你懂了这个矩阵式子表达的意思了吧。

    如何计算

    那这个矩阵如何计算呢?对于上面的矩阵,我们有 b 0 = 02 ∗ a 0 + 03 ∗ a 1 + 01 ∗ a 2 + 01 ∗ a 3 b_{0}=02*a_{0}+03*a_{1}+01*a_{2}+01*a_{3} b0=02a0+03a1+01a2+01a3。这里的02要转化成 G F ( 2 8 ) GF(2^{8}) GF(28)上的多项式 x x x。(因为02=00000010,写成多项式就是 x x x)同理,03,01和每个 a i a_{i} ai都要写成 G F ( 2 8 ) GF(2^{8}) GF(28)上的多项式,乘法和加法都是模 m ( x ) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 m(x)=x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1 m(x)=x8+x4+x3+x+1上的加法和乘法(这是AES选的 G F ( 2 8 ) GF(2^{8}) GF(28)上的不可约多项式)。

    简化计算

    m ( x ) m(x) m(x)的加法很简单,就直接异或。乘法计算就比较复杂了。其实多项式相乘本就比较麻烦,这里还要模 m ( x ) m(x) m(x),而且这个 m ( x ) m(x) m(x)很不友好,不像模 ( x 4 + 1 ) (x^{4}+1) (x4+1)那么有特点,所以这个多项式模乘需要寻找更好的方法。这里就介绍一种较为方便的方法。我们观察上面的矩阵,发现每个 a i a_{i} ai只需乘01、02、03这3个数,并不用乘其他数,所以只要知道如何乘01,02,03即可。

    乘01

    01表示成多项式就是1,对任何 a i a_{i} ai 01 ∗ a i = a i 01*a_{i}=a_{i} 01ai=ai,再模 m ( x ) m(x) m(x)依旧是 a i a_{i} ai

    乘02

    02表示多项式 x x x,对任何 a i a_{i} ai a i ∗ 02 ( m o d m ( x ) ) a_{i}*02\pmod{m(x)} ai02(modm(x))相当于先把 a i a_{i} ai表示的二进制串左移1位。移位后,若首位上是1,则再将该二进制串的后8位异或0x1b得到结果;若首位上是0,取后8位就是结果。例如: a = 0 x 23 a=0x23 a=0x23, 转化乘二进制就是00100011, 0 x 23 ∗ 0 x 02 0x23*0x02 0x230x02应该这么计算:先左移1位成为001000110,首位(最左边)上是0,所以后8位01000110=0x46就是结果。再如 a = 0 x a 3 a=0xa3 a=0xa3,转化成二进制是10100011,计算 0 x a 3 ∗ 0 x 02 0xa3*0x02 0xa30x02:左移一位得101000110,首位是1,则取后8位异或0x1b得01011101,即0x5d。

    为什么是这样算?很简单,由于02表示多项式x, a i ∗ 02 a_{i}*02 ai02相当于 a i a_{i} ai的多项式乘x,也就是多项式系数不变,每一项次数加1,这不就是相当于左移一位嘛。再一步,要模 m ( x ) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 m(x)=x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1 m(x)=x8+x4+x3+x+1如果乘完之后的多项式次数小于8,就不用模了,这就是上面说的首位为0的情况;如果乘完之后多项式次数等于8,就要模 m ( x ) m(x) m(x),但是稍加分析会发现此时的多项式一定是小于 2 m ( x ) 2m(x) 2m(x),所以模 m ( x ) m(x) m(x)的余式就相当于减 m ( x ) m(x) m(x)的结果,我们知道, G F ( 2 8 ) GF(2^{8}) GF(28)上的减就是异或, m ( x ) m(x) m(x)的后8位表示成16进制就是0x1b,所以异或0x1b,此时对应着上面的首位是1的情况

    乘03

    知道了01和02的乘法,03=01+02,可以利用分配律计算出03。

    例如: 03 × a 3 = ( 01 + 02 ) × a 3 = 01 × a 3 + 02 × a 3 = a 3 + 5 d = f e 03\times a3=(01+02)\times a3=01\times a3+02\times a3=a3+5d=fe 03×a3=(01+02)×a3=01×a3+02×a3=a3+5d=fe.

    在AES解密的时候,也可以通过这种方法计算。

    解密流程

    我们知道加密过程每一轮的轮函数包括:字节替换、行移位、列混合、轮密钥加,并且顺序是固定的。需要指出的是,解密时的轮函数的顺序是:逆行移位、逆字节替换、轮密钥加、逆列混合。如果不理解的看下图便很明白!
    在这里插入图片描述
    参考:
    AES加解密算法详解

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