8+8+8+8+8写成乘法算式只能写8x5不能写5x8吗？小学数学为何这么死板？
 
这个题目来自于某小学的期考试卷，是个填空题，8+8+8+8+8写成乘法算式时给了两个空( )和( )，就有人提出来只能写8x5不能写5x8，所以应该只给一个空。你怎么看这道题？
 

 
我们太注重于计算的结果，但却忽略了对四则运算的认知
 
由于我们有九九乘法表，所以导致在运算乘除法时，其计算结果都是基于九九乘法表而背出来的，当然不止限于9x9之内的计算，而是所有乘除法，举个例子，我们计算17×13，如果用手算，会列竖式，用13的个位3乘17，得51，再用13的十位1乘17，得17，然后再用51的1做结果的个位，用51的5加17的7，得12进1保留2，17的1为结果的百位，加上进位1，最终结果是221。你会发现，整个的计算过程还是靠九九乘法表背出来的，我们做的工作，只是机械的套用竖式的计算形式而已(其实竖式的计算形式也是根据四则运算的性质提炼出来的计算方法，我在这就不说明了)。但实际上17×13的运算是什么样呢？它代表13个17相加，正确的运算方式是17+17+17+17+17+17+17+17+17+17+17+17+17＝221。但是我们往往忽略了。
 

 
可是有人问，这不是更麻烦了吗？但我想说的是，如果仅仅从计算的效率来说，这确实不足取，确实九九乘法表计算效率更好。可是如果从对运算的理解来说，九九乘法表却不容易帮助理解。还拿上述的例子继续说，通过对17×13的还原，我们会发现，所谓乘法，就是数字的累加，其实就是加法运算，而除法运算，作为乘法的逆运算，其实也是加法的逆运算。而所谓的加法的逆运算减法，其实就是一个数加另一个数的相反数，其实还是加法，所以综上所述，所谓的四则运算，其实就是加法运算，减乘除只是加法的其他计算表现形式。但如果只注重九九乘法表，只注重计算效率，就会认为加法就是加法，乘法就是乘法。这在数学思想上就是不对的。
 
对四则运算认知的不足，会引发更大的问题。
 
有人可能会说，管他什么认知不认知，不认知这些，照样能计算出来，没什么大问题。但是我想说，如果连这个基础都认识不清楚，那么对数学的学习就很难进步，有的人数学学的很好，可他自己都不知道自己为什么能学的这么好，其实就是他潜移默化之间，明白了这些最基本的数学思想(当然基础数学思想不只有四则运算的认知)，而有些人数学无论怎么学，都不行，其实就是连最基础的数学都没弄明白。我单单提一下对四则运算认知不足的后果。
 

 
最明显的一点，就是对高等数学不理解，他们很难弄明白级数的概念，他们很难理解为什么一个积分函数能分解出多项式，他们看泰勒公式就像看天书，他们很难明白曲线积分曲面积分的含义……这些种种不理解，其实根源就是，他们把运算分割了，认为加就是加，乘就是乘，或者即使知道，但却忽略了。为什么会忽略？因为计算直接靠背就行。这可能是很多大学生学高数费劲，很多老师讲课也费劲的原因之一。
 
当然，没有批评中国教育的意思，而且客观的说，中国基础教育总体来说还是非常成功的。而且我指出的问题，只是从认知方面进行的分析，如果从效用上分析，九九乘法表就有其天然的优势了，如果中国的教师，都能既注重效用，又注重认知，把这些都综合起来，那么一定会更好。
 

 
8+8+8+8+8写成乘法算式只能写8x5，不能写5x8吗，小学数学这么死板？
 
这其实不叫做死板，而是叫做规范。虽然8X5和5X8的结果相等。但是两者所表示的含义不同。前者表示，5个8相加。后者，表示8个5相加。
 
如果不这样子规范。那就会乱套啊，比如题目要求请你写出5个8相加的式子来，你难道可以写成5+5+5+5+5+5+5+5来吗？对啊，它和8+8+8+8+8的结果也是一样啊。但是所表达的意义完全不一样。所以，也请督促孩子，孩子的学习，我们应该从小处细节的规范做起。
 
这个题目来自于某小学的期考试卷，是个填空题，8+8+8+8+8写成乘法算式时给了两个空( )和( )，就有人提出来只能写8x5不能写5x8，所以应该只给一个空。你怎么看这道题？
 
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“化学方程式的计算”是中考化学里的重要考点，涉及到的知识比较多，是对化学知识综合性的考查。要求学生理解化学方程式的意义；熟悉化学方程式的正确书写；掌握关于化学方程式中物质质量的关系。这一知识点的考核也就无形中成为了拉开学生成绩差距的重要因素。其实化学方程式的计算并不是很难，只要掌握“未、式、列、比、解、答”六个字，就可以很好地解决关于化学方程式的计算问题。下面就对如何解答“关于化学方程式的计算”进行详细阐述。
 
1、“未”-设未知数，就是对于题目中要求计算的未知量进行“题设”。
 
在化学中的计算题一般都需要“设未知数”，这样做主要是为了在解题的过程中便于计算。中考化学试卷评分标准中明确规定化学计算题严格按照步骤给分。“题设”这一步要计算在该题的总分内，也就是说“设未知数”占一定比例的分值，一般为“0.5分或1.0分”不等。这样做的目的是为了更好地培养学生严谨的解题思维。
 
化学计算中的“设未知数”是有严格的要求，即未知数的后面不能带单位，例如“要制取8克，需要多少克高锰酸钾？”。解题的第一步就是设未知数，可以设为“要制取8克的氧气，需要高锰酸钾的质量为X”；而不能设为“要制取8克的氧气，需要高锰酸钾的质量为X克”。正确的“题设”是在设未知数的后面不能带上单位；对于需要计算体积和百分比浓度的题目，题设的未知数后面不能够带上单位，可以“设需要某气体的体积为X，或生成某气体的体积为X；某物质的百分比浓度为X等”。
 
2、“式”-写出涉及到相关计算的化学方程式。
 
这也是计算步骤的第二步书，写化学方程式是解题的关键步骤，方程式的正误关系到整道题目解答的成败；如果化学方程式书写错了，那该题目解答几乎得不到分，所以大家一定要能够写得出来常见的化学反应方程式。对于“关于化学方程式的计算”的第二步，要把握以下两点。
 
首先，书写化学方程式一定要遵循客观事实和质量守恒定律。
 
化学方程式中的物质必须符合化学实验事实，不能随意臆造根本不存在的物质，物质的化学式书写遵循“正负化合价的代数和等于零”的原则。化学方程式不仅要符合化学实验客观事实，而且要遵循质量守恒定律，即化学方程式两边的原子种类和数目必须相等。
 
其次，要正确理解化学反应方程式的含义。
 
化学方程式就是用化学式是符号表达某一化学反应的式子，其包含着反应的条件、参加反应的物质、生成物以及它们的质量的关系。所以要解答化学方程式计算的题目，就要理解化学方程式中包含的意义。化学方程式一般可以表达以下三个方面的意义，下面就以木炭在空气中燃烧生成二氧化碳的化学方程式为例，来分析其三个方面的意义。
 

 

  
 
 

木炭在空气中充分燃烧的化学方程式
 
①宏观意义：表示某某物质在什么条件下发生化学反应生成某某物质，即能够表示反应物、生成物和反应条件。
 
上图的化学反应，其宏观意义：木炭和氧气在点燃条件下生成二氧化碳；或木炭在空气中点燃，能够与空气中的氧气发生化学反应生成二氧化碳。
 
②微观意义：表示反应物和生成物的构成粒子之间的关系。比如上图的化学反应，微观意义:每1个碳原子和1个氧气分子在点燃条件下生成1个二氧化碳分子。
 
③质量关系意义：表示反应物和生成物之间的质量比例关系。
 
“质量关系”是化学方程式中物质计算的依据，因为任何一个化学反应中的反应物和生成物都是按照一定量的质量（或物质的量）关系进行的；即任何一个化学反应中反应物和生成物都存在一定的比例关系，如下图所示。
 

 

  
 
 

化学方程式的质量意义，即质量读法
 
质量关系意义：每12份质量的碳和32份质量的氧气在点燃条件下生成44份质量的二氧化碳。也就是说12克木炭可以与32克的氧气在点燃的条件下恰好生成44克的二氧化碳，即它们是按照12:32:44的质量比例关系进行。
 
3、“列”-就是计算出相关物质的相对分子质量之和，或相对原子质量之和；再在相应的物质下面列出已知的质量和未知数。
 
对于没有涉及到的物质可以不需要计算出相对分子质量，例如16克硫在空气中充分燃烧，能够生成多少克的二氧化硫？
 
计算的第三步：计算出涉及到的物质的相对分子（或原子）质量之和，再把已知的的质量写在其物质的相对分子质量之和的下面，需要求解的物质下面写上“X”即可，如图所示。
 

 

  
 
 

化学方程式中物质的质量关系
 
这里没有涉及到氧气物质，虽然氧气是反应物，在计算的时候可以不需要计算氧气的相对分子质量之和。
 
4、“比”-就是写出相关的计算比例式
 
前面提到过如任何化学反应中的反应物和生成物都是按照一定的质量关系进行反应的，所以我们就可以依据这个比例情况列出相应的计算关系比例式。
 

 

  
 
 

硫在空气中燃烧的“硫”和“二氧化硫”的质量关系比例式
 
列出计算比例式的时候，可以简单地左边的“上面”比“下面”等于右边的“上面”比“下面”即可。比例式中的未知数同样不能够带单位，但是已知质量是要写上单位，如16克。
 
5、“解”-就是一个简单的数学计算，即计算出第四步中的未知数。
 
虽然在题设和比例式中的未知数都规定不能够带单位，但是计算的结果后面一定要带上单位，如上图的计算，最后计算得到X=32克，不能够写X=32。这也很多同学在中考的时候容易失分的地方，虽然整个题目的计算过程都特别熟悉，知识的运用也很到位，就是不注意细节，从而造成失分。
 

 

  
 
 

化学计算的最后结果一定要带上相应的单位
 
6、“答”-就是题目的作答。
 
化学的计算题目一定要对计算的最后结果作答，否则就会扣除相应的分数。题目的作答很简单，一般“怎么问，就怎么作答”。比如上述的化学反应计算题“例如16克硫在空气中充分燃烧，能够生成多少克的二氧化硫？”
 
题目问的是“可以生成多少克的二氧化硫？”，通过计算可以得出X=32克，那么解题的最后就写上“答：16克硫在空气中充分燃烧，能够生成32克的二氧化硫”，其实也可以简单地作答“能够生成32克的二氧化硫”，这两种作答方式都可以，考试中以简单作答的方式较多，这样可以节省解题时间。
 
虽然中考化学中关于化学方程式的计算题目所占的分值较大，也有一定的难度，但是要想“拿分”并不是很难。只要大家在平时的练习中要严格按照“未、式、列、比、解、答”的步骤来解答，就可以避免在关于化学方程式的计算题目中时候少走弯路和失分。
 

 

  
 

先从被除数的最高位除起，除数有几位，就看被除数的前几位，如果不够除，就多看一位。
 除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，如果不够除，注意此时不能所谓的多看一位了，而是要在这一位上商0（最开始第一次除的时候如果不够除，那时候才能多看一位）
 
（1）除数是整数的小数的除法
 
除数是整数的小数除法，可按照以下步骤进行计算：
 ①先按照整数除法的法则去除；
 ②商的小数点要和被除数的小数点对齐；
 ③除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0（这里的0要添加直至，商的下一结果位下面），再继续除。
 例：117÷36=3. 25
 
 
（2）除数是小数的小数除法
 
除数是小数的小数除法，可按照以下步骤进行计算：
 ①先把除数的小数点去掉使它变成整数；
 这里只需把除数转变为整数即可，当然被除数也要相应改变，就比方说5.63除以7.8,只需转化为56.3除以78即可，当然你转化成563除以780也能算出结果，但是你后面就会发现没这个必要，l另外注意，转换过程会引起余数的相应变化，但是商不变
 
1、56.3除以78
 
 2、563除以780
 
 
②接（1）。
 例：104.4÷7.25=14.4
 
 
一般题目都要求取商的近似值
 
例 ：122÷16≈7.63（得数保留两位小数）结果本应是7.625
 
 
注意事项：
 
1、列竖式时，商的个位要与被除数的个位对齐。（其实跟商的小数点要和被除数的小数点对齐如出一辙，但是有时候上的结果是整数，小数点就用不上了。）
 2、商和除数的积写到被除数的下面。
 3、最后在积的下面画横线。
 4、横线下写上被除数与商和除数的积的差。

关于AES的列混合计算和解密流程问题
 
我们知道AES的加解密过程都可以用有限域中的计算表示出来。关于AES的加解密过程，很多教材资料都有详细描述，这里我想强调①关于AES加密过程中的MixColumn阶段是如何计算的；②AES的解密流程问题。
 关于AES算法的全部代码可以看这个AES加解密算法全过程实现(C++)
 
AES的列混合计算
 
我们经常会看到参考资料说AES的列混合过程是对状态矩阵的每一列左乘一个确定的矩阵(如下图)，一般表示为
 
 
然后我们乘了之后会发现结果并不对。事实上，这里表示的并不是简单的矩阵乘法，而是$GF(2^8)$上的多项式模乘。
 
从AES的列混合定义说起
 
列混合的定义是：MixColumn(State)是将状态矩阵的每一列看成$GF(2^8)$上的一个多项式，且与一个固定的多项式
    
     
      
       
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       c(x)=\lbrace 03\rbrace x^{3}+\lbrace 01\rbrace x^{2}+\lbrace 01\rbrace x+\lbrace 02\rbrace
      
     
    c(x)={03}x3+{01}x2+{01}x+{02}相乘后模$x^4+1$。例如：对于状态矩阵的某一列
 $$\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$$
 看成多项式$a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$，列混合就是计算$(a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0)c(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^4+1))$。这样的定义也才是符合"AES的加解密过程都可以用有限域中的计算表示出来"这句话嘛。
 
那问题来了，这个多项式相乘的计算怎么就成上述的矩阵形式？这就关乎$x^4+1$这个多项式了。对于任意$x^i$，有$x^{i}mod(x^4+1)=x^{i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)}$。例如：$x^6\equiv x^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^4+1)$。根据这个事实，我们可以计算多项式相乘再取模的结果（在计算时，$x^6$就等于$x^2$，$x^5$就等于$x$，$x^4$就等于1）：
 
     
      
       
        
         
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         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          2
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          1
         
        
        
         ∗
        
        
         03
        
        
         )
        
        
         
          x
         
         
          4
         
        
        
         +
        
        
         (
        
        
         
          a
         
         
          3
         
        
        
         ∗
        
        
         02
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          2
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          1
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          0
         
        
        
         ∗
        
        
         03
        
        
         )
        
        
         
          x
         
         
          3
         
        
        
         +
        
        
         (
        
        
         
          a
         
         
          2
         
        
        
         ∗
        
        
         02
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          1
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          0
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         )
        
        
         
          x
         
         
          2
         
        
        
         +
        
        
         (
        
        
         
          a
         
         
          1
         
        
        
         ∗
        
        
         02
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          0
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         )
        
        
         x
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          0
         
        
        
         ∗
        
        
         02
        
        
        
         =
        
        
         (
        
        
         
          a
         
         
          3
         
        
        
         ∗
        
        
         02
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          2
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          1
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          0
         
        
        
         ∗
        
        
         03
        
        
         )
        
        
         
          x
         
         
          3
         
        
        
         +
        
        
         (
        
        
         
          a
         
         
          3
         
        
        
         ∗
        
        
         03
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          2
         
        
        
         ∗
        
        
         02
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          1
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          0
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         )
        
        
         
          x
         
         
          2
         
        
        
         +
        
        
         (
        
        
         
          a
         
         
          3
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          2
         
        
        
         ∗
        
        
         03
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          1
         
        
        
         ∗
        
        
         02
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          0
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         )
        
        
         x
        
        
         +
        
        
         (
        
        
         
          a
         
         
          3
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          2
         
        
        
         ∗
        
        
         01
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          1
         
        
        
         ∗
        
        
         03
        
        
         +
        
        
         
          a
         
         
          0
         
        
        
         ∗
        
        
         02
        
        
         )
        
       
       
         b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})(\lbrace 03\rbrace x^{3}+\lbrace 01\rbrace x^{2}+\lbrace 01\rbrace x+\lbrace 02\rbrace)=(a_{3}*03)x^{6}+(a_{3}*01+a_{2}*03)x^{5}+(a_{3}*01+a_{2}*01+a_{1}*03)x^{4}+(a_{3}*02+a_{2}*01+a_{1}*01+a_{0}*03)x^{3}+(a_{2}*02+a_{1}*01+a_{0}*01)x^{2}+(a_{1}*02+a_{0}*01)x+a_{0}*02\\ =(a_{3}*02+a_{2}*01+a_{1}*01+a_{0}*03)x^{3}+(a_{3}*03+a_{2}*02+a_{1}*01+a_{0}*01)x^{2}+(a_{3}*01+a_{2}*03+a_{1}*02+a_{0}*01)x+(a_{3}*01+a_{2}*01+a_{1}*03+a_{0}*02) 
       
      
     b3​x3+b2​x2+b1​x+b0​=(a3​x3+a2​x2+a1​x+a0​)({03}x3+{01}x2+{01}x+{02})=(a3​∗03)x6+(a3​∗01+a2​∗03)x5+(a3​∗01+a2​∗01+a1​∗03)x4+(a3​∗02+a2​∗01+a1​∗01+a0​∗03)x3+(a2​∗02+a1​∗01+a0​∗01)x2+(a1​∗02+a0​∗01)x+a0​∗02=(a3​∗02+a2​∗01+a1​∗01+a0​∗03)x3+(a3​∗03+a2​∗02+a1​∗01+a0​∗01)x2+(a3​∗01+a2​∗03+a1​∗02+a0​∗01)x+(a3​∗01+a2​∗01+a1​∗03+a0​∗02)
 把上述结果写成矩阵形式，不正是
 $$\left(\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}02& 03& 01& 01\\ 01& 02& 03& 01\\ 01& 01& 02& 03\\ 03& 01& 01& 02\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$$
 所以现在你懂了这个矩阵式子表达的意思了吧。
 
如何计算
 
那这个矩阵如何计算呢？对于上面的矩阵，我们有$b_0=02\ast a_0+03\ast a_1+01\ast a_2+01\ast a_3$。这里的02要转化成$GF(2^8)$上的多项式$x$。（因为02=00000010，写成多项式就是$x$）同理，03，01和每个$a_i$都要写成$GF(2^8)$上的多项式，乘法和加法都是模$m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$上的加法和乘法（这是AES选的$GF(2^8)$上的不可约多项式）。
 
简化计算
 
模$m(x)$的加法很简单，就直接异或。乘法计算就比较复杂了。其实多项式相乘本就比较麻烦，这里还要模$m(x)$，而且这个$m(x)$很不友好，不像模$(x^4+1)$那么有特点，所以这个多项式模乘需要寻找更好的方法。这里就介绍一种较为方便的方法。我们观察上面的矩阵，发现每个$a_i$只需乘01、02、03这3个数，并不用乘其他数，所以只要知道如何乘01，02，03即可。
 
乘01
 
01表示成多项式就是1，对任何$a_i$，$01\ast a_i=a_i$，再模$m(x)$依旧是$a_i$。
 
乘02
 
02表示多项式$x$，对任何$a_i$，$a_i\ast 02(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m(x))$相当于先把$a_i$表示的二进制串左移1位。移位后，若首位上是1，则再将该二进制串的后8位异或0x1b得到结果；若首位上是0，取后8位就是结果。例如：$a=0x23$， 转化乘二进制就是00100011，$0x23\ast 0x02$应该这么计算：先左移1位成为001000110，首位（最左边）上是0，所以后8位01000110=0x46就是结果。再如$a=0xa3$，转化成二进制是10100011，计算$0xa3\ast 0x02$：左移一位得101000110，首位是1，则取后8位异或0x1b得01011101，即0x5d。
 
为什么是这样算？很简单，由于02表示多项式x，$a_i\ast 02$相当于$a_i$的多项式乘x，也就是多项式系数不变，每一项次数加1，这不就是相当于左移一位嘛。再一步，要模$m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1$：如果乘完之后的多项式次数小于8，就不用模了，这就是上面说的首位为0的情况；如果乘完之后多项式次数等于8，就要模$m(x)$，但是稍加分析会发现此时的多项式一定是小于$2m(x)$，所以模$m(x)$的余式就相当于减$m(x)$的结果，我们知道，$GF(2^8)$上的减就是异或，$m(x)$的后8位表示成16进制就是0x1b，所以异或0x1b，此时对应着上面的首位是1的情况
 
乘03
 
知道了01和02的乘法，03=01+02，可以利用分配律计算出03。
 
例如：$03\times a3=(01+02)\times a3=01\times a3+02\times a3=a3+5d=fe$.
 
在AES解密的时候，也可以通过这种方法计算。
 
解密流程
 
我们知道加密过程每一轮的轮函数包括：字节替换、行移位、列混合、轮密钥加，并且顺序是固定的。需要指出的是，解密时的轮函数的顺序是：逆行移位、逆字节替换、轮密钥加、逆列混合。如果不理解的看下图便很明白！
 
 参考：
 AES加解密算法详解