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    矩阵 右乘 列向量 即 对矩阵进行 列变换:

    右乘 置换矩阵:

     

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  • 列向量和行向量看待矩阵乘法

    万次阅读 多人点赞 2017-07-24 19:19:14
    前言: 主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的,故做记录列向量角度,矩阵左AB = C 结合上图,我们可以知道,结果矩阵C中的第 j 列完全可以表示为矩阵A中列向量的线性组合,具体怎样的线性组合...

    声明: 仅个人小记
    前言: 主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的,故做记录

    列向量角度,矩阵左乘

    AB = C
    结合上图,我们可以知道,结果矩阵C中的第 j 列完全可以表示为矩阵A中列向量的线性组合,具体怎样的线性组合完全是参看矩阵B相应的第 j 列,与矩阵B中的其他列无关

    换言之,左侧矩阵提供基本的列向量,右侧的矩阵交代怎样的线性组合。

    行向量角度,矩阵右乘

    AB = C
    结合上图,结果矩阵C中的第i行完全可以表达为矩阵B中的行向量的线性组合,具体如何进行线性组合,完全参看矩阵A中相应的第i行,与矩阵A中的其他行无关。
    右侧矩阵提供基本的行向量,左侧矩阵交代进行怎样的线性组合,结果矩阵便是线性组合的结果。

    根据上述讨论,解释两个定理

    1. 定理一
      矩阵方程AX = B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B)

      上面的总结可以很好的解释下面这个定理,即

      R(A) : 矩阵A的秩
      (A,B) :即两个矩阵水平按左右放在一起构成一个新的矩阵C。

      由上面知道,B中的每一列都可以表达为A中的列向量进行线性组合,所以**(A,B)中的B部分是可以通过初等变换被左边的A**完全消化,即,B的引入并没有树立新的独立的维度。

    2. 定理二
      对于矩阵A,B , 有 R(AB) <= min{R(A),R(B)}
      AB 是矩阵A和矩阵B的乘积结果,记作C

      由上面的分析,可以知道,结果矩阵C中的所有向量都是可以表达为矩阵A的线性组合。我们可以进一步考虑C中能有多少个列向量呢?显然,结果矩阵C中的列向量的数目是由矩阵B的列数决定的。这里的讨论先暂停一下。

      我们来讨论一下矩阵的秩,

      • 矩阵的秩是可以看作是矩阵列(行)向量张成的空间的维度
      • 矩阵的秩 <= min{该矩阵行数,该矩阵列数}
      • 从N维度空间中任意选出一组向量,以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过N。
      • 从N维度空间中任意选出M个向量,以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过M。

      所以,由于结果矩阵C中的列向量都是选自由矩阵A列向量为基向量张成的空间。所以C中列向量张成的空间的维度一定不超过矩阵A的列向量张成的空间的维度,即矩阵A的秩。即得到 R(AB) = R© <= R(A)

      同样,我们再从行向量的角度看待AB。结果矩阵C中的行向量都是选自由矩阵B的行向量为基向量所张成的空间。所以结果矩阵C中行向量张成的空间的维度一定不超过矩阵B的行向量张成的空间的维度,即矩阵B的值。从而得到R(AB) = R© <= R(B)

      根据上述讨论,得到R(AB) <= {R(A),R(B)}

    展开全文
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空空如也

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列向量乘列向量