向量相乘

1. 点乘

     两个向量的点乘等于他们的数乘结果乘以两个向量之间家教的余弦值。

 

      v¯⋅k¯=||v¯||⋅||k¯||⋅cosθ

 

      cosθ=v¯⋅k¯||v¯||⋅||k¯||



      通过点乘的结果计算两个非单位向量的夹角

2. 叉乘

     叉乘只在3d空间中有定义，他需要两个不平行向量作为输入，生成一个正交于两个输入向量的第三个向量

 



矩阵相乘

1. 矩阵相乘的限制：

    a. 只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等

    b. 矩阵相乘不遵守交换律

    c. 结果矩阵的维度是（n,m）, n 等于左侧矩阵的行数，m等于右侧矩阵的列数

 

2. 缩放

    

3. 位移

     

4. 旋转

    在3d空间中旋转需要定义一个角 和 一个旋转轴



   沿任意轴（Rx，Ry，Rz）旋转：

         

5. 矩阵的组合



      a. 当矩阵相乘时，要先写位移再写缩放变换（如果你先位移再缩放，位移的向量也会同样被缩放）。

      b. 矩阵的乘法是不遵守交换律

      c. 矩阵相乘时，在最右边的矩阵是第一个于向量相乘，从右 --> 左

6. 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）

     a. 向量的w分量也叫齐次坐标。想要从齐次向量得到3D向量，可以将x,y,z分别除以w坐标；

     b. 使用齐次坐标可以在3D向量上进行位移（如果没有w分量我们是不能位移向量的）

     c. 如果向量的齐次坐标为0，这个坐标就是方向向量（Direction Vector），因为w分量为0，这个向量就不能位移。

 

 

目录：
矩阵的正式定义
矩阵的加法、数乘、乘法运算的定义
单位矩阵的定义
矩阵的转置的定义
逆矩阵的定义
 的定义
矩阵运算的性质
矩阵的正式定义
对于域K为实数域R，或者复数域C，域K上的 
 矩阵定义为m行n列的K中的元素的族（family)顺序排列为上面的阵列。
当只有一行的时候即为行向量；当只有一列的时候即为列向量。如上所示。
注意：
矩阵 
 在定义里是一个族（family),即为从 
 映射到K的映射。这样的话，就没有理由对角标的顺序做假定。因而可以通过采取对行或者列不同的顺序，矩阵A可以用不同的方法表示成为一个阵列。但是习惯上采取自然的顺序 
 和 
 ，按照这个顺序排列行和列，将A表示成一个阵列。
矩阵的加法、数乘、乘法运算的定义
单位矩阵的定义
矩阵的转置的定义
逆矩阵的定义
 的定义
当K是（可交换）环而不是域的时候，矩阵以及矩阵加法的定义也很有意义。在这种更一般的情况下，向量空间的框架太狭窄。但我们可以考虑满足定义3.1的所有公理的交换环A上的结构。
这种结构称为模块。模块（modules）的理论比向量空间的复杂得多。例如模块并不总是存在基（basis）的，而且向量空间的某些性质在模块中也不一定成立。当一个模块存在基的时候，这个模块称为是自由模块（a free module）
自由模块（free module）的例子1：
当A是个可交换环，则 
 是个环，其中向量 
 为 
 ，对一切 
 。显然向量组 
 构成了 
 的一组基。 
 就是一个自由模块。对于向量空间中的很多性质，对 
 也成立。

自由模块（free module）的例子2：
当A是个可交换环，则 
 是个自由模块。其中基为 
 。

自由模块（free module）的例子2：
可交换环上的多项式是一个无限维的自由模块。
矩阵运算的性质

对于矩阵，有，其中，为常数，为非零列向量。称为其特征根，为特征向量。可以转化为如下形式：



根据，为阶方阵，想要得到非零解，则要求，即，故能得到下式：



求出后，代入上式即可得出。

采用上面的方法求解的次多项式时，时间复杂度较高。下面给出另外一种方法，当矩阵为对称阵时。

首先随机生成一个非零向量
	
迭代求解，为单位向量
	
迭代中止条件：
	
求解，因为，同时左乘，可得，又
	
构造新矩阵，根据新矩阵求出的新的特征向量和特征根也是原矩阵的特征向量和特征根
证明5，新矩阵求出的新的特征向量和特征根也是原矩阵的特征向量和特征根

原矩阵所求的特征向量为新矩阵的特征向量，且其特征根为。
	
新矩阵求出的新的特征向量和特征根也是原矩阵的特征向量和特征根
 

 

 

矩阵_矩阵运算<9/10/2017>





目录

数乘矩阵

矩阵的加法运算

矩阵乘法运算

矩阵运算基本性质

单位阵

逆矩阵

转置矩阵

正交矩阵

秩

线性方程组

高斯消元

舒尔补

LU分解

坐标空间的变换





一个m×n矩阵



当m=n时，A叫做n阶方阵(或n阶矩阵)。

只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量;只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量

两个矩阵只有在其行数、列数都相同，且所有对应元素都相等时，才是相等的。

矩阵运算有:

(1)数乘矩阵



 

(2)矩阵的加法运算



 

(3)矩阵乘法运算





只有在两个矩阵中前一个矩阵的列数等于后一矩阵的行数时，这两个矩阵才能相乘，得到的矩阵的行数等于前一个矩阵的行数，列数等于后一矩阵的列数。

 

矩阵运算基本性质:

(1)数乘矩阵适合分配律和结合律



式中A、B为矩阵，t为常数。

 

(2)矩阵的加法适合交换律和结合律

A+B=B+A

A+(B+C)=(A+B)+C

(3)矩阵的乘法适合结合律

A●(B●C)=(A●B)●C

(4)矩阵的乘法对加法适合分配律

(A+B)●C=A●C+B●C

C●(A+B)=C●A+C●B

(5)矩阵的乘法不适合交换律

 

(1)零矩阵及其运算



 

(2)单位矩阵

主对角线元素都为1,其他元素都为0的矩阵称为单位矩阵,如图



对任意矩阵都有:


 

(3)逆矩阵

对任意矩阵A，如果存在，则称为A的逆矩阵。

设A是一个n阶矩阵，如果有n阶矩阵B存在，使得:

A●B=B●A=I

则称A是一个非奇异矩阵，并且B是A的逆矩阵。否则，则称A是一个奇异矩阵。由于A、B处于对称地位，所以当A是非奇异矩阵时，其逆矩阵B也是非奇异矩阵，而且A也就是B的逆矩阵，即A、B互为逆矩阵。任何非奇异矩阵都只能有一个逆矩阵。

 

(4)转置矩阵

将矩阵的行、列互换而得到的n×m阶矩阵，称做A的转置矩阵，记为

矩阵的转置具有如下基本性质:



式中，A、B为矩阵; t为常数。

当A是一个n阶矩阵并且有时，则称A是一个对称矩阵。

 

(5)正交矩阵(orthogonal matrix)

正交是矩阵的一种属性。如果一个方阵M和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵的话，我们就说这个矩阵是正交的。反过来也是成立的。也就是说，矩阵M是正交的等价于：MMT=MTM=I

如果一个矩阵是正交的，那么它的转置矩阵和逆矩阵是一样的。也就是说，矩阵M是正交的等价于：MT=M-1

(5)秩

非零m×n矩阵A的列秩是A的最大线性无关列集合的大小。类似地，矩阵A的行秩是A最大线性无关行集合的大小。任意矩阵A所共有的一个基本性质是A的行秩等于其列秩，所以可以简称为A的秩。一个m×n矩阵的秩是[0, min(m,n)]内的整数。(零矩阵的秩为0，而n×n单位矩阵的秩是n。)秩的另一个等价但更有用的定义是：非零m×n矩阵A的秩是满足如下条件的最小数值r：存在m×r矩阵B和r×n矩阵C，使得A=BC

如果n×n方阵的秩是n，则它是满秩的。如果m×n矩阵的秩是n，则其是列满秩。

矩阵A的秩为3

 

矩阵B的秩为2，因为(1,0,0)可通过(1,1,0)和(0,0,1)进行线行运算得到。






(6)线性方程组

一组具有n个未知变量x1,x2,...,xn的线性方程：



为方便起见，把上式中的方程组用如下矩阵向量表示：



或等价地，设A=(aij)，x=(xi)和b=(bi)，记为Ax=b

如果A是非奇异矩阵(可逆矩阵)，那么它具有逆A-1，于是x=A-1b就是解向量。

我们可以证明，x是唯一解。证明如下：

如果存在两个解x和x'，那么Ax=Ax'=b，令I表示一个单位矩阵，则有

x=Ix=(A-1A)x=A-1(Ax)=A-1(Ax')=(A-1A)x'=x'




(7)高斯消元






(8)舒尔补



A'-vwT/a11称为矩阵A对于a11的舒尔补

 

(9)LU分解

A

1  2  0

3  4  1  

5  0  5

高斯消元

r2-3r1, r3-5r1

1   2   0

0  -2   1

0 -10  5

r3-5r2

U:得到上三角矩阵

1   2  0

0  -2  1

0   0  0

L:由消去变量所用的行的乘数组成

1  0  0

3  1  0

5  5  1

LU

1  2  0

3  4  1

5  0  5

得,A=LU

(10) 坐标空间的变换

对坐标空间的变换实际上就是在父空间和子空间之间对点和矢量进行变换。

假设，现在有父坐标空间P以及一个子坐标空间C。我们知道在父坐标空间中子坐标空间的原点位置以及3个单位坐标轴。我们一般会有两种需求：一种需求是把子坐标空间下表示的点或矢量Ac转换到父坐标空间下的表示Ap，另一个需求是反过来，即把父坐标空间下表示的点或矢量Bp转换到子坐标空间下的表示Bc。我们可以使用下面的公式来表示这两种需求：



其中，Mc->p表示的是从子坐标空间变换到父坐标空间的变换矩阵，而Mp->c是其逆矩阵(即反向矩阵)。

推导

已知子坐标空间C的3个坐标轴在父坐标空间P下的表示xc、yc、zc，以及其原点位置Oc。当给定一个子坐标空间中的一点Ac=(a,b,c)，求其在父坐标空间下的位置Ap



上面的式子还存在加法表达式，即平移变换。我们知道3x3的矩阵无法表示平移变换，因此为了得到一个更漂亮的结果，我们把上面的式子扩展到齐次坐标空间中，得



即，得到



其中“｜”符号表示是按列展开的。

一旦求出来Mc->p，Mp->c就可以通过求逆矩阵的方式求出来，因为从坐标空间C变换到坐标空间P与从坐标空间P变换到坐标空间C是互逆的两个过程。

可以看出来，变换矩阵Mc->p实际上可以通过坐标空间C在坐标空间P中的原点和坐标轴的矢量表示来构建出来：把3个坐标轴依次放入矩阵的前3列，把原点矢量放到最后一列，再用0和1填充最后一行即可。

需要注意的是，这里我们并没有要求3个坐标轴xc、yc、zc是单位矢量，事实上，如果存在缩放的话，这3个矢量值很可能不是单位矢量。

当我们不需要表示平移变换时:




如果Mc->p是一个正交矩阵，那么:




当3个坐标轴xc、yc、zc是单位矢量时，构建出来的Mc->p才是正交矩阵。