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    • matlab核算
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  • 在机器学习、压缩感知、稀疏表现等方面,经常需要对矩阵的每个列向量进行单位化。下面对各种列向量单位化的MATLAB代码进行比较。MATLAB版本为R2019a,CPU为Intel i7 8700.一、两层for循环先试试最笨的两层for循环。...

    向量的单位化是指,将向量的每个元素除以向量的模(2-范数),使得向量的模(2-范数)变为1.

    在机器学习、压缩感知、稀疏表现等方面,经常需要对矩阵的每个列向量进行单位化。下面对各种列向量单位化的MATLAB代码进行比较。MATLAB版本为R2019a,CPU为Intel i7 8700.

    一、两层for循环

    先试试最笨的两层for循环。逻辑很接近C的语言逻辑,很容易理解。

    function 

    10000×10000的矩阵列向量单位化,两层for循环仅耗时0.5877秒。比我想象的快的多,MATLAB for循环速度慢在新版MATLAB面前就是个笑话。

    二、for循环+sum函数

    function 

    单层for循环+sum函数,居然耗时0.6027秒,比两层for循环还慢,令人震惊!看来MATLAB对for循环的优化已经到了令人发指的地步。

    三、for循环+norm函数

    norm函数是built-in函数,用于求矩阵、向量的范数,默认是2-范数。注意,矩阵范数与矩阵列向量的范数不是一个概念。

    function 

    单层for循环+sum函数,耗时0.5496秒,优于两层for循环。

    四、向量化(右乘对角矩阵)

    采用右乘一个对角矩阵的方式对矩阵进行缩放,常见的列向量单位化操作。

    function 

    耗时7.9222秒!!!彻底翻车,大量的时间花费在分配内存生成10000×10000的对角矩阵上,效率低的令人发指!

    五、bsxfun + sum函数

    虽然Compatible Array Sizes功能已经取代了bsxfun函数,但我仍然喜欢写成bsxfun的形式。

    function 

    耗时0.3529秒。bsxfun一如既往的给力。

    六、bsxfun + arrayfun(for)

    arrayfun本质上还是for循环,只不过形式更加简洁。

    function 

    耗时0.2949秒!效果非常好。

    七、bsxfun + vecnorm

    MATLAB 有自带的对矩阵列向量求范数的built-in函数,vecnorm,试一下运行效率如何。(这个函数我也是写文章时才发现的)

    function 

    耗时仅0.1565秒! Amazing

    七、不同大小的矩阵测试

    function 

    测试表明,当矩阵

    维度,M,N<100时,上述6种方法的耗时差别不大,相比之下,双层for循环(fun1)与向量化-右乘对角矩阵(fun4)的速度稍快一些。M>100时,bsxfun+vecnorm函数(fun7)速度最快。

    结论:对于小规模矩阵,向量化(fun4)速度最快,理解起来也很方便;中等或大规模矩阵,bsxfun+vecnorm函数(fun7)速度最快.

    易夕:MATLAB Tricks 专栏目录​zhuanlan.zhihu.com
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     矩阵B右乘以矩阵A,把矩阵B看成一系列的列向量col1,col2......coln,对A的线性重组。(牢记口诀:后乘列,列操作。)


    矩阵的左乘

     矩阵B左乘以矩阵A,把矩阵B看成一系列的行向量row1,row2......cown,对A的线性重组。(牢记口诀:前乘行,行操作。)

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  • 我们已经见过一种特殊的对角矩阵:单位矩阵。 不是所有的对角矩阵都是方阵,长方形的矩阵也有可能是对角矩阵。 对称矩阵 对称矩阵是转置矩阵和自己相等的矩阵: A=AT A = A^T A=AT 当某些不依赖参数顺序的双参数函数...

    对角矩阵

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    不是所有的对角矩阵都是方阵,长方形的矩阵也有可能是对角矩阵。

    对称矩阵

    对称矩阵是转置矩阵和自己相等的矩阵:
    A = A T A = A^T A=AT
    当某些不依赖参数顺序的双参数函数生成元素时,对称矩阵经常会出现。例如,如果 A A A是一个表示距离的矩阵, A i , j A_{i,j} Ai,j表示点 i i i到点 j j j的距离,那么 A i , j = A j , i A_{i,j}=A_{j,i} Ai,j=Aj,i

    单位向量

    单位向量是指具有单位范数的向量:
    ∥ x ∥ 2 = 1 \|x\|_2 = 1 x2=1

    如果 x T y = 0 x^Ty = 0 xTy=0,那么我们称向量 x x x和向量 y y y正交。如果2个向量都有非0范数,那么这2个向量之间的夹角是90度。在 R n R^n Rn中,最多有n个范数非0的向量正交。如果这些向量不仅正交,并且范数都为1,那么我们称他们是标准正交。

    正交矩阵

    正交矩阵是指行向量和列向量都是标准正交的方阵:
    A T A = A A T = I A^TA = AA^T = I ATA=AAT=I
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    A − 1 = A T A^{-1} = A^T A1=AT

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空空如也

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