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  • 3) 向量组的

    2019-09-13 09:32:47
    1. 向量组的等价 2. 几个重要结论 r是向量组α 的个数,s是向量组β 的个数 3. 向量组的最大无关组与向量组... 阶梯形矩阵的行向量等于它非零行的个数. (去掉都是0的行,就是非零行) ...
    1. 向量组的等价

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    2. 几个重要结论

    r是向量组α 的个数,s是向量组β 的个数

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    3. 向量组的最大无关组与向量组的秩

    阶梯形矩阵的行向量的秩等于它非零行的个数. (去掉都是0的行,就是非零行)

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    4. 基(基底)、维数和向量的坐标

    向量空间的维数: 最大无关组的个数

    基底: 最大无关组是向量空间的一个基底

    例如:

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    向量的维数:就是向量的个数(相当于矩阵的阶数)??

    向量和矩阵的区别:

    1)当矩阵只有一行或一列的时候,两者是没有区别的(表示方法),这时矩阵又叫行向量或列向量。

    2)不是一行或一列的时候矩阵表示是m行n列的数表加括号(那个括号应该不小吧),没有逗号;

    3)向量就是小括号加字母(行向量哈,列向量是竖着的,不用逗号)

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    5. 思考题

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    转载于:https://my.oschina.net/dataRunner/blog/418149

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  • 矩阵的向量组的

    千次阅读 2020-09-25 15:04:43
    1、向量组bai的为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的可以引出矩阵的的定义。 2、矩阵的是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩...

    1.矩阵的秩
    2,.向量组的秩
    3.关系

    关系

    矩阵的秩就是向量组的秩
    即3秩相等定理

    1.定义不同

    1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解过程

    1、向量组的秩:一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩。

    2、矩阵秩:一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解目的

    1、向量组的秩:向量组的秩为线性代数的基本概念,它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵秩:矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    应用
    向量组的秩

    1、根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理向量组α1,α2,···,αs线性无关等价于R{α1,α2,···,αs}=s。

    2、若向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则R{α1,α2,···,αs}小于等于R{β1,β2,···,βt}。

    3、等价的向量组具有相等的秩。

    4、若向量组α1,α2,···,αs线性无关,且可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则s小于等于t。

    向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,且s>t,则α1,α2,···,αs线性相关。

    5、任意n+1个n维向量线性相关。

    矩阵的秩

    有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。

    行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩,容易证明行秩等于列秩,所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用,可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

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  • 列向量和行向量看待矩阵乘法

    万次阅读 多人点赞 2017-07-24 19:19:14
    前言: 主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的,故做记录列向量角度,矩阵左乘AB = C 结合上图,我们可以知道,结果矩阵C中的第 j 列完全可以表示为矩阵A中列向量的线性组合,具体怎样的线性组合...

    声明: 仅个人小记
    前言: 主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的,故做记录

    列向量角度,矩阵左乘

    AB = C
    结合上图,我们可以知道,结果矩阵C中的第 j 列完全可以表示为矩阵A中列向量的线性组合,具体怎样的线性组合完全是参看矩阵B相应的第 j 列,与矩阵B中的其他列无关

    换言之,左侧矩阵提供基本的列向量,右侧的矩阵交代怎样的线性组合。

    行向量角度,矩阵右乘

    AB = C
    结合上图,结果矩阵C中的第i行完全可以表达为矩阵B中的行向量的线性组合,具体如何进行线性组合,完全参看矩阵A中相应的第i行,与矩阵A中的其他行无关。
    右侧矩阵提供基本的行向量,左侧矩阵交代进行怎样的线性组合,结果矩阵便是线性组合的结果。

    根据上述讨论,解释两个定理

    1. 定理一
      矩阵方程AX = B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B)

      上面的总结可以很好的解释下面这个定理,即

      R(A) : 矩阵A的秩
      (A,B) :即两个矩阵水平按左右放在一起构成一个新的矩阵C。

      由上面知道,B中的每一列都可以表达为A中的列向量进行线性组合,所以**(A,B)中的B部分是可以通过初等变换被左边的A**完全消化,即,B的引入并没有树立新的独立的维度。

    2. 定理二
      对于矩阵A,B , 有 R(AB) <= min{R(A),R(B)}
      AB 是矩阵A和矩阵B的乘积结果,记作C

      由上面的分析,可以知道,结果矩阵C中的所有向量都是可以表达为矩阵A的线性组合。我们可以进一步考虑C中能有多少个列向量呢?显然,结果矩阵C中的列向量的数目是由矩阵B的列数决定的。这里的讨论先暂停一下。

      我们来讨论一下矩阵的秩,

      • 矩阵的秩是可以看作是矩阵列(行)向量张成的空间的维度
      • 矩阵的秩 <= min{该矩阵行数,该矩阵列数}
      • 从N维度空间中任意选出一组向量,以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过N。
      • 从N维度空间中任意选出M个向量,以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过M。

      所以,由于结果矩阵C中的列向量都是选自由矩阵A列向量为基向量张成的空间。所以C中列向量张成的空间的维度一定不超过矩阵A的列向量张成的空间的维度,即矩阵A的秩。即得到 R(AB) = R© <= R(A)

      同样,我们再从行向量的角度看待AB。结果矩阵C中的行向量都是选自由矩阵B的行向量为基向量所张成的空间。所以结果矩阵C中行向量张成的空间的维度一定不超过矩阵B的行向量张成的空间的维度,即矩阵B的值。从而得到R(AB) = R© <= R(B)

      根据上述讨论,得到R(AB) <= {R(A),R(B)}

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  • 矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组线性表示时 一定存在C有A=BC,(你把每个表达式写出来,组合一下就可以得到这个式子) R(A)=R(BC) 又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B) ...
    • 矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组线性表示时
      一定存在C有BC=A,(你把每个表达式写出来,组合一下就可以得到这个式子即BX=A,,其中X是一个向量组,即矩阵,如果是向量a可以被列向量组B线性表示,则BX=a,X是一个列向量,即一组数)
      R(A)=R(BC)
      又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B)
    • 矩阵A不能由矩阵B线性表示时
      R(A)>R(B)
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  • α表示列向量

    千次阅读 2018-12-19 17:00:34
    α默认表示列向量。表示行向量 如果用线段表示向量,需要加向量标号(上面讲到的希腊字母表示向量不需要加向量标号) 例如,两个点,点A,点B,线段AB 表示向量 ...
  • 3.3向量组的

    千次阅读 2020-01-08 21:20:51
    文章目录极大线性无关组定理向量组的(与矩阵的定义完全不同)定理行列秩定理例题参考 极大线性无关组 一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多的一个。 全是0的...
  • 数组、列向量和行向量区别

    千次阅读 2019-04-07 11:01:15
    Numpy库学习——向量表示 在机器学习和深度学习的编程过程中,为了提高程序的运行速度,通常将模型表达式转换为向量表达式(向量化),即利用矩阵运算思想提高运行效率。那么,在Python中究竟如何利用Numpy库定义一...
  • 4.7 方程

    千次阅读 2020-04-08 15:21:05
    4.7 方程 对于可逆矩阵,高斯约当消元法可以求得方程的解和逆矩阵,同样也可以应用于矩阵。矩阵进行高斯约当消元法,最终矩阵变为单位矩阵和零矩阵。例如方程 2x+4y=24x+9y=86x+13y=10 2x + 4y = ...
  • 如何理解向量组的和矩阵的

    千次阅读 2020-09-13 12:14:40
    矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为行轶和列轶.可以证明的是行轶和列轶相等,这就是矩阵的轶. 这里提醒一下就是: n-r为线性无关的解向量的个数,而r为极大无关组的个数 n-r也为基础...
  • 贴出自己的方便记忆的方法。 如果能证明矩阵的为n和可以化为有n个主元的行最简形矩阵是等价的,那么:
  • 非零矩阵A可以写成某个矩阵与某个行满矩阵的乘积引理:设 AAA 是 m×rm\times rm×r 矩阵,则 AAA 是的充要条件为存在 m×mm\times mm×m 可逆矩阵 PPP,使 A=P(ErO),A=P\begin{pmatrix}E_r\\O\end{...
  • 矩阵的:行等于列秩

    千次阅读 2020-03-10 13:46:38
    其实就是刻画了:就是线性无关(行)向量的最大数目。 一个重要的结论是:行等于列秩。 设AAA是一个m×nm \times nm×n 的矩阵,其列秩为 rrr . 因此AAA的空间的维度是rrr . 令 c1,c2,…,crc_{1},c_{2}, \...
  • 向量组和矩阵的计算

    千次阅读 2020-04-24 22:48:43
    1. 向量组的 设有向量组(α1,α2........αn)(\alpha_1,\alpha_2........\alpha_n)(α1​,α2​........αn​)其中所含有的极大线性无关组的个数就是向量组的 例:考虑向量组α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),...
  • 矩阵的列秩与行相等

    千次阅读 2020-04-28 23:50:01
    考虑一个非方阵 A=[112131] A= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} A=⎣⎡​123​111​⎦⎤​ 将其进行初等行变换 A=[110−... 矩阵 ATA^TAT的行实际为矩阵 AAA的列秩,因此非方阵的行等于列秩
  • 设A 是矩阵,证明:det(ATA

    千次阅读 2020-08-28 23:52:42
    https://zhidao.baidu.com/question/1987860921440125507.html
  • 声明:转载请附上原文链接,冒用版权将追责!
  • 为什么矩阵的行等于列秩

    千次阅读 2019-04-23 14:53:26
    1,矩阵A的行列式不为0的充要条件是A的行()向量线性无关 2,无关组加分量仍无关 3, r个n维列向量组线性无关的充要条件是这r个n维列向量组所构成的矩阵至少存在一个r阶子式不为0 好了,简略证明过程开始,我...
  • 列向量,列空间,零向量,零空间

    千次阅读 2017-11-26 11:22:37
    有时候对一个事物的理解,关键看怎么用所掌握的知识来解释它,这时候你别说解释就是掩饰,因为此时此刻不是你媳妇发现你衣服上有一根长头发要跟你...空间关注的是使得Ax=b的成立的b, 零空间关注的是当b为零向量时的
  • 线代中其他的一些遗留小问题,后续可能会更新。 1. 初等行变换不改变什么?(初等变换同理) 2. 特征方程的简便设法。 3. 典型错题
  • =min{R(A),R(B)},非零列向量秩等于1,所以R(AAT)&lt;=1,A和AT相乘肯定有不为零的元素,因为主对角线上是列向量各个元素的平方,它们相乘不是零矩阵,所以R(AAT)&gt;=1,推出R(AAT)=1; 2、如果另有一个...
  • 等于列秩等于

    2021-09-17 11:05:06
  • 线性代数中,有那么几个神秘又神奇的东西,总是让初学它的人琢磨不透,无法理解,其中就有矩阵的行向量和列向量的关系,为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量,列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢...
  • 列向量组线性无关,则矩阵 A T A 可逆 设 A T AX = 0 ,如果 A T A 可逆,则 A T AX = 0 有唯一解 X = 0 ,即 X 为零向量。 因此,原命题的证明等价于证明 “ 如果矩阵 A 的列向量组线性无关,则 ...
  • 向量组的是什么?

    千次阅读 多人点赞 2019-03-24 15:38:44
    @ 向量组的是什么? 向量组的是什么? 通俗的说,就是把这一组向量中的垃圾向量踢出后剩下的高品质向量的个数,假设这一组有5个向量,踢出两个垃圾,还剩3个。 那么这个向量组的就是3。那什么是垃圾向量呢?...
  • 首先,此证明等价于证明:’存在行列式不为...从右到左:若k个列向量不相关,将此k个向量拼成矩阵 [a1,a2......ak] ,此矩阵的必为k,化阶梯后留下的前k行对应的原行即为我们选择的行,选择的k行k列行列式不为0 ...
  • 本篇笔记首介绍了矩阵的行列秩,...最后重点介绍了极大线性无关组的求法,根据矩阵的初等行()变换不改变其(行)向量间的线性关系,将矩阵化为行简化阶梯形,然后直接写出极大线性无关组和其向量的线性表示。
  •   写篇文章把自己对矩阵乘法的理解记录一下,有不对的地方欢迎指正。 1. 矩阵的列   在多数情况下,提到一维向量我们都会说列向量,为什么这么说呢,其实这里是有原因的。...
  • 向量组的1 极大线性无关组2 向量组的3 极大线性无关组的求解 手动反爬虫:原博地址 知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息 如若转载...
  • https://www.zybang.com/question/277b5a314c28e200f90cfd721b42a596.html
  • 若一个向量等于另外几个向量乘以常数相加,则称该向量可用向量a1,s2...an来线性表示 而该向量也被称为是这几个向量的一个线性组合   2、而一个向量能否被另外几个向量线性表示,则可以引申为由该向量与其他...

空空如也

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列向量的秩