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  • 矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组线性表示时 一定存在C有A=BC,(你把每个表达式写出来,组合一下就可以得到这个式子) R(A)=R(BC) 又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B) ...
    • 矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组线性表示时
      一定存在C有BC=A,(你把每个表达式写出来,组合一下就可以得到这个式子即BX=A,,其中X是一个向量组,即矩阵,如果是向量a可以被列向量组B线性表示,则BX=a,X是一个列向量,即一组数)
      R(A)=R(BC)
      又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B)
    • 矩阵A不能由矩阵B线性表示时
      R(A)>R(B)
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  • 1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。 2、矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的秩...

    1.矩阵的秩
    2,.向量组的秩
    3.关系

    关系

    矩阵的秩就是向量组的秩
    即3秩相等定理

    1.定义不同

    1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解过程

    1、向量组的秩:一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩。

    2、矩阵秩:一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解目的

    1、向量组的秩:向量组的秩为线性代数的基本概念,它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵秩:矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    应用
    向量组的秩

    1、根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理向量组α1,α2,···,αs线性无关等价于R{α1,α2,···,αs}=s。

    2、若向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则R{α1,α2,···,αs}小于等于R{β1,β2,···,βt}。

    3、等价的向量组具有相等的秩。

    4、若向量组α1,α2,···,αs线性无关,且可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则s小于等于t。

    向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,且s>t,则α1,α2,···,αs线性相关。

    5、任意n+1个n维向量线性相关。

    矩阵的秩

    有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。

    行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩,容易证明行秩等于列秩,所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用,可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

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  • 矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为行轶和列轶.可以证明的是行轶和列轶相等,这就是矩阵的轶. 这里提醒一下就是: n-r为线性无关的解向量的个数,而r为极大无关组的个数 n-r也为基础...
    1

    向量组的轶指的是极大线性无关组中向量的个数
    矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为行轶和列轶.可以证明的是行轶和列轶相等,这就是矩阵的轶.

    这里提醒一下就是:
    n-r为线性无关的解向量的个数,而r为极大无关组的个数
    n-r也为基础解析向量的个数。

    2

    一个矩阵的所有列向量,代表了所需要的维度;
    一个矩阵的所有行向量,代表了所能提供的维度。
    这里会有三种情况:
    1.所提供的维度小于所需要的维度,那么有几个列向量是不能表示出来的;造成了行秩等于列秩,也就是等于列秩本可以达到所需的维度,但是提供的维度达不到。
    2.所提供的维度大于所需要的维度,那么提供的维度,完全可以表示出需要的维度。造成了列秩等于行秩,也就是再多需要几个维度仍然能够被表达出来。

    对于矩阵的值
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  • 3.3向量的秩

    2020-01-08 21:20:51
    文章目录极大线性无关组定理向量的秩(与矩阵的秩定义完全不同)定理行秩与秩定理例题参考 极大线性无关组 一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多的一个。 全是0的...


    极大线性无关组

    一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多的一个。
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    全是0的向量组没有极大线性无关组
    线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身
    任何一个极大线性无关组和其向量组可以相互表示,即等价

    定理

    这个部分组是极大线性无关组的条件是:
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    极大无关组不唯一,但是任意两个极大无关组所含的向量个数是相同的


    向量组的秩(与矩阵的秩定义完全不同)

    极大无关组含有向量的个数是几则向量组的秩就是几
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    定理

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    特别的,若这两个向量组等价则这两个向量组的秩相等。


    行秩与列秩

    一个矩阵,行向量组组的秩为行秩,列向量组的秩叫做列秩。
    定理:矩阵的行秩一定等于列秩,并且等于矩阵的秩。求向量组的秩一般转化为求矩阵的秩
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    定理

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    例题

    下面的例题是求一个向量组的极大无关组
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    参考

    以上图片均摘自宋浩老师视频,以方便以后自己查阅,感谢宋老师。
    视频传送门

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  • 向量对向量的求导 是一个 的矩阵, 是一个 的列向量,则 为 的列向量,记 ,求 的值?其中: 是 的列向量; 是 的列向量;我们把矩阵和向量展开, , , 则 ,实质上相当于是在计算 。这里需要注意,我们此时考虑更...
  • \vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1​​,α2​​,...,αs​​的极大线性无关组中所含有向量的个数称为向量组的秩,其中等价向量组必然等秩,但向量组等秩不一定是等价向量组,且有矩阵的秩=行向量组秩=列向量组秩...
  • 秩和比综合评价法基本原理是:在一个n行m矩阵中 ,通过对每个元素的秩进行运算,获得无量纲统计量RSR;在此基础上 ,运用 参数统计分析的概念与方法,研究RSR的分布;以及RSR值对评价对象的优劣直接排序或分档排序,从而...
  • 矩阵的秩、满秩矩阵

    千次阅读 2020-02-04 21:43:59
    传送门 一、矩阵的秩 ...即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。 二、满秩矩阵 参考来自百度文库 ...
  • 1http://tianpeng.72pines.com/从不同的角度看矩阵的行与列——兼论如何学好线性代数线性代数中,有那么几个神秘又神奇的东西,总是让初学它的人琢磨不透,无法理解,其中就有矩阵的行向量和列向量的关系,为...
  • 矩阵的秩

    2020-05-14 10:53:55
    即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。 如果A中,存在一个i阶子式不为0,且所有i+1阶子式对应的行列式值为0,那么r(A)=i 性质: 1.A为非...
  • 矩阵的秩:行秩等于

    千次阅读 2020-03-10 13:46:38
    其实就是刻画了:就是线性无关(行)向量的最大数目。 一个重要的结论是:行等于列秩。 设AAA是一个m×nm \times nm×n 的矩阵,其列秩为 rrr . 因此AAA的空间的维度是rrr . 令 c1,c2,…,crc_{1},c_{2}, \...
  • 本篇笔记首介绍了矩阵的行秩和秩,即矩阵的行秩等于矩阵的秩等于矩阵的秩,而且矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩;还介绍了求矩阵行秩和秩的方法,即化为阶梯形矩阵;最后重点介绍了极大线性无关组的求法,根据...
  • 线性代数中,有那么几个神秘又神奇的东西,总是让初学它的人琢磨不透,无法理解,其中就有矩阵的行向量和列向量的关系,为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量,列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢...
  • 证明列秩的矩阵右乘它的转置矩阵...矩阵A的所有列向量构成的列向量组的极大无关组的个数是n。矩阵A的所有列向量构成的列向量组是列满秩的。对于列满秩矩阵,它的行数m一定不小于它的列数n,否则不可能存在和它的列...
  • 在数学上,特别是线性代数中, A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量v,满足Av=λv,那么数λ称为A特征值,v称为A对应于特征值λ特征向量。在多元统计中,特征值和特征向量主要在PCA主成分分析及FA因子分析中发挥...
  • 1. 矩阵的秩和行秩及秩的关系(行秩=秩=秩) 2. 初等行变换不改变矩阵的线性相关性 3. 任一矩阵的秩、行秩和秩相等 4. 求矩阵列向量的秩及最大无关组示例 ...
  • 为什么矩阵等于列秩

    千次阅读 2019-04-23 14:53:26
    向量组的秩的定义:向量组的极大线性无关组所包含向量的个数,称为向量组的秩。 其次再弄清楚3个定理: 1,矩阵A的行列式不为0的充要条件是A的行()向量线性无关 2,无关组加分量仍无关 3, r个n维列向量组线性无关...
  • 首先,此证明等价于证明:’存在行列式不为...从右到左:若k个列向量不相关,将此k个向量拼成矩阵 [a1,a2......ak] ,此矩阵的秩必为k,化阶梯后留下的前k行对应的原行即为我们选择的行,选择的k行k列行列式不为0 ...
  • 【线性代数】矩阵的秩(Rank)

    千次阅读 2018-07-20 15:47:40
    矩阵的秩是线性代数中的一个概念。...通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。 一个形象的说法:你们家r口人,然后...
  • 则该分解具有下列性质,1、如果 ,即矩阵 的秩为 ,那么 的非零奇异值的数量等于 。2、将两个正交矩阵分别看成按左、右奇异向量排列,即以及则 有如下外积展开式,开头的图片是针对更一般的张量分解的图示,自然...
  • 若A为一个mxn阶矩阵,定义A的列秩为线性独立的列向量数,行秩为线性独立行向量数。下述性质成立:矩阵A的列秩等于行秩,换句话说矩阵A的行空间维数等于列空间维数。线代教科书基本上介绍了高斯消元法后,将矩阵的秩...
  • =1,A和AT相乘肯定有不为零的元素,因为主对角线上是列向量各个元素的平方,它们相乘不是零矩阵,所以R(AAT)&gt;=1,推出R(AAT)=1; 2、如果另有一个单位正交向量β和α正交,那么k*α*α^T+t*β*β^T的秩小于...
  • 在之前文章中,我们初步地建立起了行列式、矩阵计算体系. 在本文中,我们利用之前已经完成矩阵求和求约化阶梯形,做相应处理,实现判断向量组...• 将列向量 写成形式矩阵 ,则当 时, 线性相关;当 时, ...
  • 一、矩阵的空间与矩阵的秩以及值域的关系 矩阵的空间,其实就是矩阵的所组成的空间。比如我们考虑一个(3*2)的矩阵,他的空间就是向量向量所能组成的空间。在这里,我们有两个向量,所以矩阵的秩为2...
  • 标签:矩阵的秩 性质重要程度:基础 1. ,特别的,当 为非零列向量时,有 推导过程: 2. 推导过程: 3. 推导过程: 4.若 ,则 推导过程:
  • 温馨提示回复【考研福利】获取考研资料回复【VIP】查看2020考研服务包2019-08-19考研倒计时:124天继续李永乐老师的线性代数强化课第八次课的笔记分享,上一次笔记讲解了向量的秩的内容,那么这次笔记主要内容是...
  • 矩阵线性无关的行数或数称为矩阵的秩 补充: 线性代数中的线性相关是指: 如果对于向量α1,α2,…,αn, 存在一组不全为0的实数k1、k2、…、kn, 使得:k1·α1+k2·α2+…kn·αn=0成立, 那么就说α1,α2,…,α...
  • 矩阵的零空间可以判断矩阵...如果矩阵的零空间仅包含0向量的话,矩阵的列向量集合线性无关,如果除了0向量外,还包含其他向量,那么列向量集合线性相关。因为矩阵A的零空间是一个包含0向量的平面,即可以不全为0,所...
  •   写篇文章把自己对矩阵乘法理解记录一下,有不对地方欢迎指正。 1. 矩阵列   在多数情况下,提到一维向量我们都会说列向量,为什么这么说呢,其实这里是有原因。...

空空如也

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列向量的秩