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  • 列向量的线性运算是什么
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    2021-05-03 06:33:46

    定理 6 设 AXB可乘,则有 AXB 0, X A 0或B 0 定理 7 设 x' Ay 0,x,y A 0 定理 6 和定理 7 的证明可按矩阵向量化运算进行(Kronecker 积). .. . §3 Am 与相容线性方程组的极小范数解定义 1 设 A Rmn ,称......

    1)生成四个指数运算结果 A=[1,2;3,4]; B1=A.^ B2=.^A %等式两边进行若进行对数操作,可得 B3=A^ B4=^A %等式两边进行若进行矩阵对数操作,可得 B1 = B2 = B3 = + - - + B4 = 2)逆运算 A1=B1.^2 A2=log(B2......

    页眉内容定理 6 设 AXB可乘,则有 定理 7 设 x' Ay 0,x,y A 0 定理 6 和定理 7 的证明可按矩阵向量化运算进行(Kronecker 积). 页眉内容 §3 Am 与相容线性方程组的极小范数解 定义 1 设 A Rmn ,称同时满足 AGA A ......

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    定理 6 设 AXB可乘,则有 AXB 0, X A 0或B 0 定理 7 设 x' Ay 0,x,y A 0 定理 6 和定理 7 的证明可按矩阵向量化运算进行(Kronecker 积). §3 Am 与相容线性方程组的极小范数解 定义 1 设 A Rmn ,称同时满足 ......

    应用 计算:求解一阶常系数线性微分方程组 第四章:矩阵分解 1. 矩阵的三角分解 计算:Crout 分解,Doolittle 分解,Choleskey 分解 2. 矩阵的 QR 分解 计算:Householder 矩阵,Givens 矩阵, 矩阵的 QR 分解或者把向量化为与 e 1 同......

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    概述:主要内容: 介绍Kronecker积和Hadamard积 讨论 K-积,H-积的运算性质、之间的关系 K-积与矩阵乘积的关系 K-积,H-积的矩阵性质 K-积的矩阵等价与相似关系 应用:求解矩阵方程向量化算子 重点:K-积及其应用 6.1 Kronecker积和......

    内容: 介绍Kronecker积和Hadamard积 讨论 K-积,H-积的运算性质、之间的关系 K-积与矩阵乘积的关系 K-积,H-积的矩阵性质 K-积的矩阵等价与相似关系 介绍应用向量化算子 重点:K-积及其应用 61 Kroneker积和Hadamard积的定义定义6.......

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    线性代数之向量、矩阵、行列式、列向量的计算

    标签(空格分隔): 线性代数


    1、向量与实数的的乘法:

    2[23]=[46] 2 ∗ [ 2 3 ] = [ 4 6 ]

    2、矩阵与实数的乘法:

    a=1472583695a=52035102540153045 a = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] 5 a = [ 5 10 15 20 25 30 35 40 45 ]

    矩阵与矩阵的乘法:

    514.143=5+4+43=11 [ 5 1 4 ] . [ − 1 4 3 ] = [ − 5 + 4 + 4 ∗ 3 ] = 11

    AAT=135246[123456]=11+2231+4251+6213+2433+4453+6415+2635+4655+66=51117112539173961 A ∗ A T = [ 1 2 3 4 5 6 ] [ 1 3 5 2 4 6 ] = [ 1 ∗ 1 + 2 ∗ 2 1 ∗ 3 + 2 ∗ 4 1 ∗ 5 + 2 ∗ 6 3 ∗ 1 + 4 ∗ 2 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4 3 ∗ 5 + 4 ∗ 6 5 ∗ 1 + 6 ∗ 2 5 ∗ 3 + 6 ∗ 4 5 ∗ 5 + 6 ∗ 6 ] = [ 5 11 17 11 25 39 17 39 61 ]

    矩阵与列向量的计算:

    adgbehcfixyz=axdxgxbyeyhyczfziz [ a b c d e f g h i ] [ x y z ] = [ a x b y c z d x e y f z g x h y i z ]

    3、行列式与实数的乘法:

    kadgbehcfi=kakdkgkbkekhkckfki k | a b c d e f g h i | = | k a k b k c k d k e k f k g k h k i |

    二阶行列式的计算方法:

    [acbd]=adbc [ a b c d ] = a d − b c

    三阶行列式的计算方法:

    detadgbehcfi=a[ehfi]b[dgfi]+c[dgeh] d e t [ a b c d e f g h i ] = a [ e f h i ] − b [ d f g i ] + c [ d e g h ]

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  • 本文是对向量线性相关性相关知识的梳理,希望大家喜欢。

    向量空间

    齐次方程组无数解的集合求极大无关组

    定义

    • 向量空间中的向量对加法和数乘具有封闭性

      • 任意两个向量的加和都可以在向量空间中找到

      • 任意一个向量的任意实数倍都可以在向量空间中找到

    性质

    • 向量空间非空

      • 零向量一定在
    • 单个0向量就可以作为向量空间

    • 向量空间中有一个非零向量,就有无限个向量

    判断

    • 对加法和数乘的封闭性

    线性相关

    定义

    • 存在一组不全为0的常数,使向量组中的各个向量各自数乘后等于0向量

    • 反之

      • 能使向量组中的全部向量之和的常数组全部为零,说明该向量组线性无关

    判断线性相关性

    • 含有0向量的向量组一定线性相关

    • 两向量对应分量成比例,两向量线性相关

    • 向量的个数大于每个向量的分量个数,该向量组线性相关

    • 部分线性相关,整体一定线性相关

      • 整体线性无关,部分一定线性无关
    • 线性无关,则常数组必须为零

    性质

    • 线性相关等价于至少有一个向量是其余向量的线性组合

    • 向量组线性无关等价于对应方程组只有零解

    • 线性无关的向量组,每个向量添加有限个分量仍然线性无关

      • 相当于添加方程个数
    • 向量组线性无关,添加一个向量线性相关,则添加的向量可由原向量组线性表示

    • 同步互换分量位置不影响相关性 #线性变换

    • 向量扩大倍数不改变相关性 #线性变换

    • 向量组转化的矩阵,某一行加另一行的常数倍不改变线性相关性 #线性变换

    等价

    • 两个向量组可以互相线性表示,两向量组等价

    性质

    • 自身性

    • 对称性

    • 传递性

    正交

    定义

    • a,b内积等于零

      • 垂直

    正交矩阵

    定义

    • A的转置✖️A= 单位阵

    • A阵的列向量都是单位向量,且两两正交

    内积

    定义

    • (a,b) = aT*b

      • a向量的转置乘b

    运算律

    • 交换律

    • 数乘

    • 分配律

    基本性质

    • 向量组的秩一定小于等于向量个数(列数)和分量个数(行数)

    • 转置不影响秩

    • 向量组B可由向量组A线性表示,B的秩小于A的秩

    • 等价的向量组秩相等

    • 乘积的秩小于各因子的秩

    • 初等变换不影响秩

      • 若PQ可逆,A乘QP的秩不变
    • 含有0向量的向量组秩为0

    • 向量组个数大于秩,向量组线性相关

    • 向量组个数等于秩,向量组线性无关

    求解

    • 将向量合并成矩阵

    • 进行初等行变换得到行阶梯形

    • 非零行数为秩

    极大无关组

    • 向量组中最多有r个向量线性无关,组成该向量组的极大无关组

      • 其中r称为秩R(A)
    • 极大无关组不唯一但互相等价

    • 极大无关组的向量个数必相等

    求解

    • 将向量合并成矩阵

    • 进行初等行变换得到行阶梯形

    • 主元所在列对应为极大无关组中的向量

    维度

    定义

    • 解空间中向量的个数(秩)

    求解公式

    • 维度=n(未知数个数) - R(A)(系数矩阵的秩)

    基向量

    定义

    • 解空间(向量空间)中的极大无关组

      • 又称向量组是由基向量生产的空间

    证明

    • 线性无关

    • 其他任意向量可由其表示

    求解

    • 将方程组化成增广矩阵

    • 将增广矩阵经过行变换变成行最简型

      • 主元对应的列为基向量

      • 个数等于维度

      • 原常数部分为线性表示的系数

    基向量组成的矩阵为单位阵,称标准正交基

    思维导图

    向量的线性相关性
    下期预告:第三章·行列式

    展开全文
  • n维向量及其运算向量线性相关与线性无关1 向量间的线性关系2 向量组的等价3 线性相关与线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义:n个数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1​,a2​...an​组成的有序数组(a1,a2......

    n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关


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    1 向量间的线性关系

    向量定义:n个数 a 1 , a 2 . . . a n a_{1},a_{2}...a_{n} a1,a2...an组成的有序数组 ( a 1 , a 2 . . . a n ) (a_{1},a_{2}...a_{n}) (a1,a2...an),按照表示的方式不同可以分为行向量和列向量

    线性组合: β , α 1 , α 2 . . . α n \beta,\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} β,α1,α2...αn是n维向量,若存在 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn使得 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n \beta = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{n}\alpha_{n} β=k1α1+k2α2+...+knαn成立,则成 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn β \beta β的线性组合,或者成 β \beta β可由 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn线性表示,其中 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn被称作为组合系数,系数可以全取0,比如
    ( 0 0 ) = 0 ∗ ( 1 2 ) + 0 ∗ ( 1 0 ) \left(\begin{matrix} 0\\0\end{matrix}\right) = 0*\left(\begin{matrix} 1\\2\end{matrix}\right)+0 *\left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) (00)=0(12)+0(10)

    向量性质:
    1)零向量可由任意向量组表示。只需要组合系数全部为0即可
    2)向量组中任一向量可由向量组进行表示。只需要该向量的组合系数取1,其他的系数取0即可
    3)任一向量都可由 ε 1 = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , ε n = ( 0 , 0 , . . . , 1 ) \varepsilon_{1} =(1,0,...,0), \varepsilon_{2} =(0,1,...,0),...,\varepsilon_{n} =(0,0,...,1) ε1=(1,0,...,0),ε2=(0,1,...,0),...,εn=(0,0,...,1)表示,这n个向量组被称作n维单位向量组或者n维基本单位向量组

    ( 1 2 3 ) = 1 ∗ ( 1 0 0 ) + 2 ∗ ( 0 1 0 ) + 3 ∗ ( 0 0 1 ) \left(\begin{matrix} 1\\2\\3\end{matrix}\right) = 1*\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+2 *\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)+3 *\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right) 123=1100+2010+3001

    例题: β = ( − 3 , 2 , − 4 ) , α 1 = ( 1 , 0 , 1 ) , α 2 = ( 2 , 1 , 0 ) , α 3 = ( − 1 , 1 , − 2 ) \beta = (-3,2,-4),\alpha_{1}=(1,0,1),\alpha_{2} = (2,1,0),\alpha_{3} = (-1,1,-2) β=(3,2,4),α1=(1,0,1),α2=(2,1,0),α3=(1,1,2),请问 β \beta β 能否使用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} α1,α2,α3进行表示?

    解:直接设 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 \beta = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3} β=k1α1+k2α2+k3α3,然后将向量带入
    ( − 3 , 2 , − 4 ) = k 1 ( 1 , 0 , 1 ) + k 2 ( 2 , 1 , 0 ) + k 3 ( − 1 , 1 , − 2 ) ⇒ { k 1 + 2 k 2 − k 3 = − 3 k 2 + k 3 = 2 k 1 − 2 k 3 = − 4 ⇒ { k 1 = 2 k 2 = − 1 k 3 = 3 (-3,2,-4) = k_{1} (1,0,1) + k_{2} (2,1,0) + k_{3} (-1,1,-2) \Rightarrow \begin{cases} k_{1} +2k_{2}-k_{3} =-3 \\ k_{2} +k_{3} =2\\ k_{1} -2k_{3} = -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{1} =2 \\ k_{2}=-1\\ k_{3} = 3 \end{cases} (3,2,4)=k1(1,0,1)+k2(2,1,0)+k3(1,1,2)k1+2k2k3=3k2+k3=2k12k3=4k1=2k2=1k3=3 β = 2 α 1 − α 2 + 3 α 3 \beta = 2\alpha_{1}-\alpha_{2}+3\alpha_{3} β=2α1α2+3α3

    规律:通过上面的例题,发现不管给出的向量是行还是列, α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn按列均作为方程组的系数, β \beta β按列作为右端常数项(对比一下上面的方程组)

    进一步发现: β \beta β 能否使用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} α1,α2,α3进行表示 就变成了 方程组是否有解

    2 向量组的等价

    前面针对于矩阵的等价是指:矩阵A经过初等变换后可以变成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价(矩阵的秩为:非零子式的最高阶数)
    向量组等价: α 1 , α 2 . . . α m \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m} α1,α2...αm β 1 , β 2 . . . β n \beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n} β1,β2...βn同维,若两个向量组可以相互线性表示,则称两个向量组等价,记作 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn}

    1)反身性: { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { α 1 , α 2 . . . α m } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff\{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} {α1,α2...αm}{α1,α2...αm}
    2)对应性: 若 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn},则 { β 1 , β 2 . . . β n }    ⟺    { α 1 , α 2 . . . α m } \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\}\iff \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} {β1,β2...βn}{α1,α2...αm}
    3)传递性:若 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn} { β 1 , β 2 . . . β n }    ⟺    { γ 1 , γ 2 . . . γ s } \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\}\iff \{\gamma_{1},\gamma_{2}...\gamma_{s}\} {β1,β2...βn}{γ1,γ2...γs},则可推出 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { γ 1 , γ 2 . . . γ s } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\gamma_{1},\gamma_{2}...\gamma_{s}\} {α1,α2...αm}{γ1,γ2...γs}

    3 线性相关与线性无关

    α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn是n个m维向量,若存在一组不全为0 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{n}\alpha_{n} = 0 k1α1+k2α2+...+knαn=0 ,则称 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn是线性相关

    线性无关:1)不是相关;2)找不到一组不全为0的 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn,3)若上述的等式成立,则说明 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn必全为0

    性质:
    1) 向量组中两向量成比例,则向量组是线性相关。按照比例将成比例的两个向量值化为0,其余的组合系数为0即可
    − 1 ∗ ( 1 2 ) + 1 2 ∗ ( 2 4 ) + 0 ∗ ( 0 1 ) + 0 ∗ ( 3 4 ) = 0 -1*\left(\begin{matrix} 1\\2\end{matrix}\right)+\frac{1}{2} *\left(\begin{matrix} 2\\4\end{matrix}\right)+0 *\left(\begin{matrix} 0\\1\end{matrix}\right) + 0* \left(\begin{matrix} 3\\4\end{matrix}\right)= 0 1(12)+21(24)+0(01)+0(34)=02)含有零向量的任一向量组必线性相关。 0 α 1 + 0 α 2 + . . . + 1 ∗ 0 = 0 0\alpha_{1}+0\alpha_{2}+...+1*0 = 0 0α1+0α2+...+10=0
    3)一个零向量必线性相关
    4) 一个非零向量必线性无关
    5)一个向量 α \alpha α如果线性相关    ⟺    α = 0 \iff \alpha = 0 α=0

    例题,若 α 1 , α 2 . . . α r \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r} α1,α2...αr线性相关,证明 α 1 , α 2 . . . α r , α r + 1 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r},\alpha_{r+1},...,\alpha_{s} α1,α2...αr,αr+1,...,αs也是线性相关

    解: 已知 α 1 , α 2 . . . α r \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r} α1,α2...αr线性相关    ⟺    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k r α r = 0 \iff k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{r}\alpha_{r} = 0 k1α1+k2α2+...+krαr=0,其中 k 1 , k 2 , . . . k r k_{1},k_{2},...k_{r} k1,k2,...kr不全为0,

    预证明 α 1 , α 2 . . . α r , α r + 1 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r},\alpha_{r+1},...,\alpha_{s} α1,α2...αr,αr+1,...,αs也是线性相关,则需要
    k 1 α 1 + k 2 α 2 . . . k r α r + k r + 1 α r + 1 , . . . , + k s α s = 0 , k 1 , k 2 , . . . k r , k r + 1 , . . . , k s 不 全 为 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}...k_{r}\alpha_{r}+k_{r+1}\alpha_{r+1},...,+k_{s}\alpha_{s} = 0, k_{1},k_{2},...k_{r},k_{r+1},...,k_{s}不全为0 k1α1+k2α2...krαr+kr+1αr+1,...,+ksαs=0,k1,k2,...kr,kr+1,...,ks0只需要将下标在r后的k值全都赋值等于0即可

    6)上述例子可以推出:部分组线性相关 ⇒ \Rightarrow 全部组线性相关;全体组线性无关 ⇒ \Rightarrow 部分组线性无关
    7) 无关的向量组,接长向量组也是线性无关的;接长向量组是线性相关的,那么截短的向量组也是线性相关的
    8) n个n维向量(向量的个数等于向量的维数),若构成的行列式 D ≠ 0 D \not=0 D=0,可得出向量组线性无关; D = 0 D =0 D=0,向量组线性相关
    ( 1 , 0 , 3 ) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ⇒ ∣ 1 0 3 1 1 1 1 1 0 ∣ (1,0,3),(2,1,1),(1,1,0) \Rightarrow \begin{vmatrix}1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1&1 & 0 \end{vmatrix} (1,0,3),(2,1,1),(1,1,0)111011310
    9)n个单位向量组线性无关

    例题,判断向量组$(1,0,-1),(-1,-1,2),(2,3,-5)是否线性相关?

    解:直接按照定义,假设存在 k 1 , k 2 , k 3 k_{1},k_{2},k_{3} k1,k2,k3,使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3} = 0 k1α1+k2α2+k3α3=0,然后带入向量组数组,就变成解方程组了
    { k 1 − k 2 + 2 k 3 = 0 − k 2 + 3 k 3 = 0 − k 1 + 2 k 2 − 5 k 3 = 0 ⇒ { k 1 = k 3 k 2 = 3 k 3 , 假 定 k = 1 , 则 说 明 存 在 不 全 为 0 的 值 使 得 式 子 为 0 ⇒ 线 性 相 关 \begin{cases} k_{1} -k_{2} + 2 k_{3} =0 \\ -k_{2} + 3k_{3} =0\\ -k_{1} + 2 k_{2} -5k_{3} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{1} = k_{3} \\ k_{2} =3k_{3} \end{cases},假定k=1,则说明存在不全为0的值使得式子为0 \Rightarrow 线性相关 k1k2+2k3=0k2+3k3=0k1+2k25k3=0{k1=k3k2=3k3,k=1,0使0线
    可以发现这里判断向量组线性相关还是线性无关的条件就变成了判断方程是够有非零解的问题,对照前面刚好也有一个类似的判定,是用来判定一个向量是否可以由其它向量组进行表示。

    区别:

    • 线性组合    ⟺    \iff 方程有解
    • 不是线性组合    ⟺    \iff 方程无解
    • 向量组线性相关    ⟺    \iff 方程有非零解
    • 向量组线性无关    ⟺    \iff 方程只有零解

    4 定理

    1) α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性相关    ⟺    \iff 至少一个向量可由其余向量表示
    2) α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关, α 1 , α 2 . . . α s , β \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s},\beta α1,α2...αs,β线性相关,则 β \beta β可由 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs唯一线性表示

    证明:

    先证可线性表示
    α 1 , α 2 . . . α s , β \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s},\beta α1,α2...αs,β线性相关,则存在不全为零的 k 1 , k 2 , . . . k s + 1 k_{1},k_{2},...k_{s+1} k1,k2,...ks+1,使得
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s + k s + 1 β = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s} + k_{s+1}\beta= 0 k1α1+k2α2+...+ksαs+ks+1β=0假使这里的 k s + 1 = 0 k_{s+1} = 0 ks+1=0,则得到 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s} = 0 k1α1+k2α2+...+ksαs=0,则 k 1 , k 2 , . . . k s k_{1},k_{2},...k_{s} k1,k2,...ks中必存在一个不为0的数,然而却又和 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关相矛盾,所以拒绝假使,只能是 k s + 1 ≠ 0 k_{s+1} \not= 0 ks+1=0,这时候同时除于这个不为0的系数后,将 β \beta β移到另一边就实现了 β \beta β α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性表示

    再证唯一性
    假设存在两组系数使得 β = m 1 α 1 + m 2 α 2 + . . . + m s α s ; β = n 1 α 1 + n 2 α 2 + . . . + n s α s \beta = m_{1}\alpha_{1}+m_{2}\alpha_{2}+...+m_{s}\alpha_{s};\beta = n_{1}\alpha_{1}+n_{2}\alpha_{2}+...+n_{s}\alpha_{s} β=m1α1+m2α2+...+msαs;β=n1α1+n2α2+...+nsαs,两式子相减就得到 ( m 1 − n 1 ) α 1 + ( m 2 − n 2 ) α 2 + . . . + ( m s − n s ) α s = 0 (m_{1}-n_{1})\alpha_{1}+(m_{2}-n_{2})\alpha_{2}+...+(m_{s}-n_{s})\alpha_{s}=0 (m1n1)α1+(m2n2)α2+...+(msns)αs=0,根据 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关,所以可推出 m i − n i = 0 ⇒ m i = n i m_{i} - n_{i} = 0 \Rightarrow m_{i} = n_{i} mini=0mi=ni,故只存在唯一值

    3)替换定理: α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关,可由 β 1 , . . . , β t \beta_{1},...,\beta_{t} β1,...,βt表示,则 s < = t s <= t s<=t

    这里举的例子就是小王、小李、小张的问题,都拿出他们爸爸的照片,如果说都拿出对应父亲的照片,那么自然他们的父亲就可以来代替儿子,如果一旦说只有两张不同,小张发现小王的爸爸老王的照片竟然和自己的父亲一样,问题就大了,所以不能小于,可以等于也可以大于,这个大于的理解是可以拿出多张父亲的照片也可以把母亲的照片也拿上。这个例子就可以很容易的理解这个替换定理

    4) 替换定理的逆否命题: α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs可以由 β 1 , . . . , β t \beta_{1},...,\beta_{t} β1,...,βt表示,且 s > t s > t s>t,则 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性相关

    5)推论:若m>n(向量的个数大于向量的维数), m个线性n维向量组线性相关;n+1个n维向量一定线性相关

    6)推论:等价的线性无关组含向量的个数是相同的。相当于是 s < = t s <= t s<=t s > = t s >= t s>=t ,最后推出 s = t s= t s=t

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列向量的线性运算是什么