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  • 矩阵的秩和向量组的秩

    千次阅读 2020-09-25 15:04:43
    1、向量组bai的为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关所含向量的个数。由向量组可以引出矩阵的的定义。 2、矩阵的是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩...

    1.矩阵的秩
    2,.向量组的秩
    3.关系

    关系

    矩阵的秩就是向量组的秩
    即3秩相等定理

    1.定义不同

    1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解过程

    1、向量组的秩:一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩。

    2、矩阵秩:一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解目的

    1、向量组的秩:向量组的秩为线性代数的基本概念,它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵秩:矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    应用
    向量组的秩

    1、根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理向量组α1,α2,···,αs线性无关等价于R{α1,α2,···,αs}=s。

    2、若向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则R{α1,α2,···,αs}小于等于R{β1,β2,···,βt}。

    3、等价的向量组具有相等的秩。

    4、若向量组α1,α2,···,αs线性无关,且可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则s小于等于t。

    向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,且s>t,则α1,α2,···,αs线性相关。

    5、任意n+1个n维向量线性相关。

    矩阵的秩

    有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。

    行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩,容易证明行秩等于列秩,所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用,可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

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  • 矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组线性表示时 一定存在C有A=BC,(你把每个表达式写出来,组合一下就可以得到这个式子) R(A)=R(BC) 又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B) ...
    • 矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组线性表示时
      一定存在C有BC=A,(你把每个表达式写出来,组合一下就可以得到这个式子即BX=A,,其中X是一个向量组,即矩阵,如果是向量a可以被列向量组B线性表示,则BX=a,X是一个列向量,即一组数)
      R(A)=R(BC)
      又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B)
    • 矩阵A不能由矩阵B线性表示时
      R(A)>R(B)
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  • 3.3向量组

    千次阅读 2020-01-08 21:20:51
    文章目录极大线性无关定理向量组(与矩阵的定义完全不同)定理行秩列秩定理例题参考 极大线性无关 一个向量组用极大无关就可以表示剩余所有向量。极大无关是所含线性无关向量最多的一个。 全是0的...


    极大线性无关组

    一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多的一个。
    在这里插入图片描述
    全是0的向量组没有极大线性无关组
    线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身
    任何一个极大线性无关组和其向量组可以相互表示,即等价

    定理

    这个部分组是极大线性无关组的条件是:
    在这里插入图片描述
    极大无关组不唯一,但是任意两个极大无关组所含的向量个数是相同的


    向量组的秩(与矩阵的秩定义完全不同)

    极大无关组含有向量的个数是几则向量组的秩就是几
    在这里插入图片描述

    定理

    在这里插入图片描述
    特别的,若这两个向量组等价则这两个向量组的秩相等。


    行秩与列秩

    一个矩阵,行向量组组的秩为行秩,列向量组的秩叫做列秩。
    定理:矩阵的行秩一定等于列秩,并且等于矩阵的秩。求向量组的秩一般转化为求矩阵的秩
    在这里插入图片描述

    定理

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    例题

    下面的例题是求一个向量组的极大无关组
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述


    参考

    以上图片均摘自宋浩老师视频,以方便以后自己查阅,感谢宋老师。
    视频传送门

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  • 列向量和行向量看待矩阵乘法

    万次阅读 多人点赞 2017-07-24 19:19:14
    声明: 仅个人小记 前言: 主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的,故做记录列向量角度,矩阵左乘AB = C 结合上图,我们可以知道,结果矩阵C中的第 j 列...行向量角度,矩阵右乘 AB = C 结合

    声明: 仅个人小记
    前言: 主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的,故做记录

    列向量角度,矩阵左乘

    AB = C
    结合上图,我们可以知道,结果矩阵C中的第 j 列完全可以表示为矩阵A中列向量的线性组合,具体怎样的线性组合完全是参看矩阵B相应的第 j 列,与矩阵B中的其他列无关

    换言之,左侧矩阵提供基本的列向量,右侧的矩阵交代怎样的线性组合。

    行向量角度,矩阵右乘

    AB = C
    结合上图,结果矩阵C中的第i行完全可以表达为矩阵B中的行向量的线性组合,具体如何进行线性组合,完全参看矩阵A中相应的第i行,与矩阵A中的其他行无关。
    右侧矩阵提供基本的行向量,左侧矩阵交代进行怎样的线性组合,结果矩阵便是线性组合的结果。

    根据上述讨论,解释两个定理

    1. 定理一
      矩阵方程AX = B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B)

      上面的总结可以很好的解释下面这个定理,即

      R(A) : 矩阵A的秩
      (A,B) :即两个矩阵水平按左右放在一起构成一个新的矩阵C。

      由上面知道,B中的每一列都可以表达为A中的列向量进行线性组合,所以**(A,B)中的B部分是可以通过初等变换被左边的A**完全消化,即,B的引入并没有树立新的独立的维度。

    2. 定理二
      对于矩阵A,B , 有 R(AB) <= min{R(A),R(B)}
      AB 是矩阵A和矩阵B的乘积结果,记作C

      由上面的分析,可以知道,结果矩阵C中的所有向量都是可以表达为矩阵A的线性组合。我们可以进一步考虑C中能有多少个列向量呢?显然,结果矩阵C中的列向量的数目是由矩阵B的列数决定的。这里的讨论先暂停一下。

      我们来讨论一下矩阵的秩,

      • 矩阵的秩是可以看作是矩阵列(行)向量张成的空间的维度
      • 矩阵的秩 <= min{该矩阵行数,该矩阵列数}
      • 从N维度空间中任意选出一组向量,以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过N。
      • 从N维度空间中任意选出M个向量,以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过M。

      所以,由于结果矩阵C中的列向量都是选自由矩阵A列向量为基向量张成的空间。所以C中列向量张成的空间的维度一定不超过矩阵A的列向量张成的空间的维度,即矩阵A的秩。即得到 R(AB) = R© <= R(A)

      同样,我们再从行向量的角度看待AB。结果矩阵C中的行向量都是选自由矩阵B的行向量为基向量所张成的空间。所以结果矩阵C中行向量张成的空间的维度一定不超过矩阵B的行向量张成的空间的维度,即矩阵B的值。从而得到R(AB) = R© <= R(B)

      根据上述讨论,得到R(AB) <= {R(A),R(B)}

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  • 数组、列向量和行向量区别

    千次阅读 2019-04-07 11:01:15
    在机器学习深度学习的编程过程中,为了提高程序的运行速度,通常将模型表达式转换为向量表达式(向量化),即利用矩阵运算思想提高运行效率。那么,在Python中究竟如何利用Numpy库定义一个向量,以及如何判断否为...
  • 如何理解向量组秩和矩阵的秩

    千次阅读 2020-09-13 12:14:40
    矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量的轶分别称为行轶列轶.可以证明的是行轶列轶相等,这就是矩阵的轶. 这里提醒一下就是: n-r为线性无关的解向量的个数,而r为极大无关的个数 n-r也为基础...
  • 向量组和矩阵的计算

    千次阅读 2020-04-24 22:48:43
    1. 向量组 设有向量组(α1,α2........αn)(\alpha_1,\alpha_2........\alpha_n)(α1​,α2​........αn​)其中所含有的极大线性无关的个数就是向量组 例:考虑向量组α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),...
  • 向量组1 极大线性无关2 向量组3 极大线性无关的求解 手动反爬虫:原博地址 知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息 如若转载...
  • 本篇笔记首介绍了矩阵的行秩和列秩,...最后重点介绍了极大线性无关的求法,根据矩阵的初等)变换不改变其向量间的线性关系,将矩阵化为简化阶梯形,然后直接写出极大线性无关和其向量的线性表示。
  • 极大线性无关:若向量组{α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}{α1​,α2​,…,αn​}的一个部分向量组{αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}{αi1​​,αi1​...
  • 秩和比综合评价法基本原理是:在一个nm矩阵中 ,通过对每个元素的秩进行运算,获得无量纲统计量RSR;在此基础上 ,运用 参数统计分析的概念与方法,研究RSR的分布;以及RSR值对评价对象的优劣直接排序或分档排序,从而...
  • 第一节 向量组的线性相关性   一.... 定义1.1 n个有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数 称为第i个分量。...定义3 给定向量A: 和向量β,若存在一数 ,使  
  • 3) 向量组

    2019-09-13 09:32:47
    1. 向量的等价 2. 几个重要结论 r是向量α 的个数,s是向量β 的个数 3. 向量的最大无关与向量... 阶梯形矩阵的行向量等于它非零行的个数. (去掉都是0的行,就是非零行) ...
  • 向量组是什么?

    千次阅读 多人点赞 2019-03-24 15:38:44
    @ 向量组是什么? 向量组是什么? 通俗的说,就是把这一组向量中的垃圾向量踢出后剩下的高品质向量的个数,假设这一有5个向量,踢出两个垃圾,还剩3个。 那么这个向量组就是3。那什么是垃圾向量呢?...
  • 参考:张宇高等数学基础30讲 文章目录1....在前文 线性代数(2)—— 矩阵定义及基本运算 我们提到过:矩阵是由若干向量拼成的,而且它们之间存在着某种联系,这种联系说到底就是线性无关的向量.
  • 3.3 向量组

    2019-10-20 11:03:04
    向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_sα1​,α2​,⋯,αs​ 中,若存在部分 αi1,αi2,⋯ ,αir\boldsymbol{\alpha}_{i_1},\boldsymbol{\alpha}_...
  • 矩阵向量组线性无关

    千次阅读 2019-10-31 15:44:02
    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满<=>|A|≠0
  • 贴出自己的方便记忆的方法。 如果能证明矩阵的为n可以化为有n个主元的最简形矩阵是等价的,那么:
  • 向量组的线性相关性

    万次阅读 2017-10-15 15:07:40
    向量组 向量空间 线性方程解的结构 向量组及其线性组合 nn个有次序的数a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_n所组成的一个有序数组(a1,a2,...,an)(a_1,a_2,...,a_n)称为一nn维向量,这nn个数称为该向量的nn个...
  • 线性相关性 1、线性表示,线性组合: 若一个向量等于另外几个向量乘以常数相加,则称该向量可用向量a1,s2...an来线性表示 而该向量也被称为是这几个向量的一...向量组1里面的每一个向量都能够由向量组2来线性表示...
  • \vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1​​,α2​​,...,αs​​的极大线性无关中所含有向量的个数称为向量,其中等价向量必然等,但向量不一定是等价向量,且有矩阵的=行向量组秩=列向量组秩...
  • 线代中其他的一些遗留小问题,后续可能会更新。 1. 初等变换不改变什么?(初等变换同理) 2. 特征方程的简便设法。 3. 典型错题
  • 矩阵的列秩行秩相等

    千次阅读 2020-04-28 23:50:01
    考虑一个非方阵 A=[112131] A= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} ...将其进行初等变换 A=[110−10−2] A= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ ...
  • 证明 引理1:矩阵的初等变换初等变换不改变原矩阵的。 定义1:对单位矩阵 I I I进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。 引理2:对矩阵进行一次初等)变换相当于在原矩阵左(右)边乘一个相应的...
  • 矩阵的行秩等于列秩

    千次阅读 2020-03-10 13:46:38
    其实就是刻画了:就是线性无关向量的最大数目。 一个重要的结论是:行秩等于列秩。 设AAA是一个m×nm \times nm×n 的矩阵,其列秩为 rrr . 因此AAA的空间的维度是rrr . 令 c1,c2,…,crc_{1},c_{2}, \...
  • 行秩等于列秩等于

    2021-09-17 11:05:06
  • 本篇文章主要对矩阵的、相抵、向量组等线性代数概念以及相关定理进行总结与归纳 第一部分 研究向量组 1.线性组合、线性相关 Def1Def 1Def1: k1α1+k2α2+...+knαnk_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\...
  • α表示列向量

    千次阅读 2018-12-19 17:00:34
    α默认表示列向量。表示行向量 如果用线段表示向量,需要加向量标号(上面讲到的希腊字母表示向量不需要加向量标号) 例如,两个点,点A,点B,线段AB 表示向量 ...
  • 关于秩的重要结论(结合向量组秩和矩阵的秩进行总结) 矩阵的秩与向量组的秩的关系 常用的秩的等式和不等式 一些重要推论 零矩阵的判定定理 线性方程的解与向量组的秩 线性方程的解(初步讨论) 对任意...

空空如也

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