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  • 向量组的秩 3.关系 关系 矩阵的秩就是向量组的秩 即3秩相等定理 1.定义不同 1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的...

    1.矩阵的秩
    2,.向量组的秩
    3.关系

    关系

    矩阵的秩就是向量组的秩
    即3秩相等定理

    1.定义不同

    1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解过程

    1、向量组的秩:一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩。

    2、矩阵秩:一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解目的

    1、向量组的秩:向量组的秩为线性代数的基本概念,它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵秩:矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    应用
    向量组的秩

    1、根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理向量组α1,α2,···,αs线性无关等价于R{α1,α2,···,αs}=s。

    2、若向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则R{α1,α2,···,αs}小于等于R{β1,β2,···,βt}。

    3、等价的向量组具有相等的秩。

    4、若向量组α1,α2,···,αs线性无关,且可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则s小于等于t。

    向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,且s>t,则α1,α2,···,αs线性相关。

    5、任意n+1个n维向量线性相关。

    矩阵的秩

    有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。

    行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩,容易证明行秩等于列秩,所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用,可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

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  • 矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为轶和列轶.可以证明的是轶和列轶相等,这就是矩阵的轶. 这里提醒一下就是: n-r为线性无关的解向量的个数,而r为极大无关组的个数 n-r也为基础...
    1

    向量组的轶指的是极大线性无关组中向量的个数
    矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为行轶和列轶.可以证明的是行轶和列轶相等,这就是矩阵的轶.

    这里提醒一下就是:
    n-r为线性无关的解向量的个数,而r为极大无关组的个数
    n-r也为基础解析向量的个数。

    2

    一个矩阵的所有列向量,代表了所需要的维度;
    一个矩阵的所有行向量,代表了所能提供的维度。
    这里会有三种情况:
    1.所提供的维度小于所需要的维度,那么有几个列向量是不能表示出来的;造成了行秩等于列秩,也就是等于列秩本可以达到所需的维度,但是提供的维度达不到。
    2.所提供的维度大于所需要的维度,那么提供的维度,完全可以表示出需要的维度。造成了列秩等于行秩,也就是再多需要几个维度仍然能够被表达出来。

    对于矩阵的值
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  • 3.3向量组的秩

    2020-01-08 21:20:51
    文章目录极大线性无关组定理向量组的秩(与矩阵的秩定义完全不同)定理秩与秩定理例题参考 极大线性无关组 一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多的一个。 全是0的...


    极大线性无关组

    一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多的一个。
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    全是0的向量组没有极大线性无关组
    线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身
    任何一个极大线性无关组和其向量组可以相互表示,即等价

    定理

    这个部分组是极大线性无关组的条件是:
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    极大无关组不唯一,但是任意两个极大无关组所含的向量个数是相同的


    向量组的秩(与矩阵的秩定义完全不同)

    极大无关组含有向量的个数是几则向量组的秩就是几
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    定理

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    特别的,若这两个向量组等价则这两个向量组的秩相等。


    行秩与列秩

    一个矩阵,行向量组组的秩为行秩,列向量组的秩叫做列秩。
    定理:矩阵的行秩一定等于列秩,并且等于矩阵的秩。求向量组的秩一般转化为求矩阵的秩
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    定理

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    例题

    下面的例题是求一个向量组的极大无关组
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    参考

    以上图片均摘自宋浩老师视频,以方便以后自己查阅,感谢宋老师。
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  • 比综合评价法基本原理是:在一个nm矩阵中 ,通过对每个元素的秩进行运算,获得无量纲统计量RSR;在此基础上 ,运用 参数统计分析的概念与方法,研究RSR的分布;以及RSR值对评价对象的优劣直接排序或分档排序,从而...
  • 本篇笔记首介绍了矩阵的行秩列秩,...最后重点介绍了极大线性无关组的求法,根据矩阵的初等)变换不改变其向量间的线性关系,将矩阵化为简化阶梯形,然后直接写出极大线性无关组和向量的线性表示。

    本篇笔记首介绍了矩阵的行秩和列秩,即矩阵的行秩等于矩阵的列秩等于矩阵的秩,而且矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩;还介绍了求矩阵行秩和列秩的方法,即化为阶梯形矩阵;最后重点介绍了极大线性无关组的求法,根据矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系,将矩阵化为行简化阶梯形,然后直接写出极大线性无关组和其向量的线性表示。

    1 矩阵的行秩和列秩

    举例:矩阵A=[111113021156910011]A=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&3\\0&2&1&1&5&6\\9&1&0&0&1&1\end{bmatrix}

    取出所有的行形成行向量
    α1=(111113)\alpha_1=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&3\end{pmatrix}
    α2=(021156)\alpha_2=\begin{pmatrix}0&2&1&1&5&6\end{pmatrix}
    α3=(910011)\alpha_3=\begin{pmatrix}9&1&0&0&1&1\end{pmatrix}

    全体α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3称为矩阵AA行向量组

    取出所有的列形成列向量
    β1=(109),β2=(121),β3=(110)\beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\9\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}

    β4=(110),β5=(151),β6=(361)\beta_4=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\beta_5=\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix},\beta_6=\begin{pmatrix}3\\6\\1\end{pmatrix}

    全体β1,β2,β3,β4,β5,β6\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5,\beta_6称为矩阵AA列向量组

    定义:矩阵行\underline{向量组的秩}称为矩阵的行秩,矩阵\underline{列向量组的秩}称为矩阵的列秩

    上述例子中,行向量有33个,行向量组的秩最大为33;而列向量有66个,列向量组的秩最大为66。那么矩阵的行秩和列秩会不会不一样呢?
    答案是否定的。
    因为列向量虽然有66个,但它是33维的,所以秩最大也是33
    那么矩阵的行秩和列秩是否相等呢?

    定理3.3.4:对任何矩阵AA,均有:A=A=r(A)\color{red}{A的行秩=A的列秩=r(A)}

    矩阵的秩是用非零子式定义的,而向量组的秩是用极大无关组定义的,定义方式完全不同,但最终竟然相等!

    举例:矩阵A=[1000010000000000]A=\begin{bmatrix}\color{red}{1}&\color{red}{0}&0&0\\\color{red}{0}&\color{red}{1}&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}
    其最高阶数的非0子式为[1001]\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}
    所以r(A)=2r(A)=2

    很明显要找它的行秩或列秩,那么就先找到其极大无关组,如
    使用β1=(1000),β2=(0100)\beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}可以表示所有的列向量,如

    β1=1×β1+0×β2+0×β3+0×β4\beta_1=1\times\beta_1+0\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4
    β2=0×β1+1×β2+0×β3+0×β4\beta_2=0\times\beta_1+1\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4
    β3=0×β1+0×β2+0×β3+0×β4\beta_3=0\times\beta_1+0\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4
    β4=0×β1+0×β2+0×β3+0×β4\beta_4=0\times\beta_1+0\times\beta_2+0\times\beta_3+0\times\beta_4

    可以看出,这两列是“最重要”且不可缺少的,用这两列就可以表示其他所有的列,
    而这两个列向量β1,β2\beta_1,\beta_2就是矩阵AA列向量组β1,β3,β1,β4\beta_1,\beta_3,\beta_1,\beta_4的极大无关组,
    所以r(β1,β3,β1,β4)=2r(\beta_1,\beta_3,\beta_1,\beta_4)=2
    即矩阵A2A的列秩为2
    A=r(A)A的列秩=r(A)

    同理可得,A=r(A)A的行秩=r(A)
    A=A=r(A)A的行秩=A的列秩=r(A)

    定理3.3.5:(考研用的多)矩阵乘积的秩不大于每个因子的秩。

    即:r(AB)min{r(A),r(B)}\color{red}{r(AB){\le}min\{r(A),r(B)\}}
    显然,可以推广到有限个矩阵相乘的情形上去:
    r(A1A2...An)min1inr(Ai)\color{red}{r(A_1A_2...A_n){\le}\underset{1{\le}i{\le}n}{min}r(A_i)}

    2 求秩举例

    例1:求矩阵A=[33321553134311]A=\begin{bmatrix}3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{bmatrix}的行秩和列秩。
    解:使用初等行变换化为阶梯形,
    A=[33321553134311][111033000000]A=\begin{bmatrix}3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{bmatrix}\xrightarrow[]{初等行变换}\begin{bmatrix}1&1&1\\0&-3&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}
    由此可见r(A)=2r(A)=2,所以矩阵AA的行秩和列秩都是22

    例2:求向量组α1=(1,2,2,1),α2=(2,4,8,0),α3=(2,4,2,3),α4=(3,6,0,6)\alpha_1=(1,-2,2,-1),\alpha_2=(2,-4,8,0),\alpha_3=(-2,4,-2,3),\alpha_4=(3,-6,0,-6)的秩,并判断是否线性相关。
    解:以α1T,α2T,α3T,α4T\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T为列向量构成矩阵AA,并将矩阵AA实施初等行变换,化为阶梯形矩阵,
    A=[1223244628201036][1223021300000000]A=\begin{bmatrix}1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{bmatrix}\xrightarrow[]{初等行变换}\begin{bmatrix}1&2&-2&3\\0&2&1&-3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}
    显然,r(A)=2r(A)=2,所以r(α1,α2,α3,α4)=2<4r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=2<4
    α1,α2,α3,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性相关。

    3 求极大无关组

    定理3.3.6:若对m×nm{\times}n的矩阵AA仅实施初等变换化为矩阵BB,那么矩阵AA向量组α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n同矩阵BB向量组β1,β2,...,βn\beta_1,\beta_2,...,\beta_n有完全相同的线性关系。
    以上可以简述为:矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系

    举例:A=[105013000]A=\begin{bmatrix}1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}
    若将矩阵AA实施初等行变换得到BB矩阵,即
    A=[105013000][105013118]=BA=\begin{bmatrix}1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}\xrightarrow[将第二行加到第三行]{将第一行加到第三行}\begin{bmatrix}1&0&5\\0&1&3\\1&1&8\end{bmatrix}=B
    矩阵AA的列向量组为:
    α1=(100),α2=(010),α3=(530)\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}
    矩阵BB的列向量组为:
    β1=(101),β2=(011),β3=(538)\beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix}5\\3\\8\end{pmatrix}

    很明显α1,α2\alpha_1,\alpha_2线性无关,而β1,β2\beta_1,\beta_2α1,α2\alpha_1,\alpha_2的接长向量,故β1,β2\beta_1,\beta_2也是线性无关,
    再看α3=5α1+3α2\alpha_3=5\alpha_1+3\alpha_2,同时β3=5β1+3β2\beta_3=5\beta_1+3\beta_2
    故矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系。

    \color{red}{★★★} 例3.3.3:求向量组α1=(1,2,2,1),α2=(2,4,8,0),α3=(2,4,2,3),α4=(3,6,0,6)\alpha_1=(1,-2,2,-1),\alpha_2=(2,-4,8,0),\alpha_3=(-2,4,-2,3),\alpha_4=(3,-6,0,-6)的一个极大无关组,并给出其余向量用该极大无关组的线性表示。
    解:
    ① 不管是行向量还是列向量,均将向量组按列构成矩阵
    A=[1223244628201036]A=\begin{bmatrix}1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{bmatrix}

    ② 只用初等行变换化成行简化阶梯形
    [103601123200000000]\xrightarrow[]{只做初等行变换}\begin{bmatrix}1&0&-3&6\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}

    ③ 首非零元所在的做极大无关组;
    β1=(1000),β2=(0100)\beta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}是极大线性无关组,

    ④ 其余向量表示系数直接写出来
    β3=3β1+12β2\beta_3=-3\beta_1+\frac{1}{2}\beta_2
    β4=6β132β2\beta_4=6\beta_1-\frac{3}{2}\beta_2

    ⑤ 写出α\alpha的极大无关组和线性表示
    由定理3.3.6可知,α1,α2\alpha_1,\alpha_2α1,α2,α3,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4的一个极大无关线,而且
    α3=3α1+12α2\alpha_3=-3\alpha_1+\frac{1}{2}\alpha_2
    α4=6α132α2\alpha_4=6\alpha_1-\frac{3}{2}\alpha_2

    注:第③④可以省略。

    举例:如果最后化成的行简化阶梯形为[10001013010001200000]\begin{bmatrix}1&0&0&0&1\\0&1&3&0&1\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}
    [α3α510001013010001200000α1α2α4]\begin{bmatrix}&&\alpha_3&&\alpha_5\\&&\downarrow&&\downarrow\\1&0&0&0&1\\0&1&3&0&1\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0\\\uparrow&\uparrow&&\uparrow&\\\alpha_1&\alpha_2&&\alpha_4&\end{bmatrix},

    所以α1,α2,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4是极大无关组,
    α3=0α1+3α2+0α4\alpha_3=0\alpha_1+3\alpha_2+0\alpha_4
    α5=α1+α2+2α4\alpha_5=\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_4

    常见错误:没有化成行简化阶梯形,如只化成阶梯形。

    举例:[112101010000]\begin{bmatrix}1&1&2&1\\0&1&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}
    α1,α2\alpha_1,\alpha_2是极大无关组,
    α3=?\alpha_3=?
    α4=?\alpha_4=?

    4 引用

    《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_3.3 向量组的秩(二)

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  • 一招搞定线性代数

    2021-01-13 16:56:17
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空空如也

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列向量组和行向量组的秩