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  • 正交矩阵、正交向量组、标准正交基、正交
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    2019-06-03 13:16:40

    矩阵相关知识

    两个向量正交是指它们的内积等于0,两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和

    正交矩阵定义:
    如果:AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或A^TA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件 :
    1)A^T是正交矩阵
    2)E为单位矩阵
    3)A的各行是单位向量且两两正交
    4)A的各列是单位向量且两两正交
    5)(Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
    6)|A|=1或-1
    7)

    8)正交矩阵通常用字母Q表示。
    (9)举例:
    若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33],则有:

    1.正交向量组
    直接给定义:欧式空间V的一组非零向量,如果他们俩俩向量正交,则称是一个正交向量组。
    (1)正交向量组 是 线性无关的
    (2)n维欧式空间中俩俩正交的非零向量不会超过n个,即n维欧式空间中一个正交向量组最多n个向量

    2.正交基
    在n维欧式空间中,由n个非零向量组成的正交向量组称为正交基

    3.标准正交基
    在n维欧式空间中,由n个单位向量组成的正交向量组称为标准正交基
    比如3维欧式空间中,
    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交向量组,因为他们俩俩向量正交
    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交基,因为此正交向量组由n个非零向量组成
    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个标准正交基,因为每个向量都是单位向量

    4.单位矩阵
    如果一个矩阵满足一下几个条件,它就是一个单位矩阵,记作E或者I:
    (1)是一个方阵
    (2)主对角线上的元素都是1(主对角线是从左上到右下的对角线)
    (3)除了主对角线,其他位置的元素都是0
    如下就是一个3阶单位矩阵
    [[1 0 0]
    [0 1 0]
    [0 0 1]]

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  • 行/分块矩阵中向量正交有什么用?如何表述?向量正交和线性无关有什么关系:两个向量间、正交向量组内、一个向量与一个向量组正交

    目录

    一、向量正交

    二、向量线性无关

    三、二者关系

    1. 两个向量

    2. 正交向量组

    3. 一个向量与一个向量组正交

    四、小结


    一、向量正交

    1. 定义

    两向量正交,那么内积 (α,β)=0,或者写作点乘 α • β=0。

    2. 表述

    向量是一种有序数组,如a=(a1,a2,a3,……),本身是表示方向的。内积或者说点乘,就是两向量坐标对应位置的乘积的和。

    向量正交是什么意思》:https://zhidao.baidu.com/question/1608819442654220827.html?qbl=relate_question_0

    向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html


    但是,在矩阵需要分块时,常引入向量,分为列向量或行向量。

    行向量乘列向量才是内积,列向量乘行向量是矩阵。行向量不可乘行向量,列向量也不可乘列向量。

    因此在表述时,有如下几种情况。由于矩阵常常按照列分块或按行分块,一般出现同类型向量较多,也即后两种。

    • 行向量α与列向量β正交,则α^Tβ=0\alpha\beta =0
    • 行向量α与行向量β正交,则α^Tβ=0\alpha\beta^{T} =0
    • 列向量α与列向量β正交,则α^Tβ=0\alpha ^{T}\beta =0

    二、向量线性无关

    两个向量线性无关,即一个不可被另一个线性表示,即不平行。

    一个向量与一个向量组线性无关,即不可被其线性表示,不

    三、二者关系

    1. 两个向量

    证明过程:《线性代数:正交的向量一定线性无关吗?》https://zhidao.baidu.com/question/1818343757400219548.html

    结论两个向量正交,那么一定线性无关。两个向量线性无关,不一定就是正交

    理解记忆:正交是指,两个向量的夹角为90°。(无所谓行向量、列向量,这里是一种n维空间的坐标关系)

    线性无关是指,两个向量不平行(或者重合),就是夹角不为0°或180°。

    2. 正交向量组

    两两正交的非零向量组是正交向量组,其组内向量一定线性无关。反之未必,即线性无关未必正交。

    《向量组的正交性》https://wenku.baidu.com/view/859595d084254b35eefd3498.html

    证明如这篇文章。最后的例题也可看出,一个向量与一个向量组正交,实际是它与组内向量分别两两正交。正交的定义是发生在两个向量间的。

    3. 一个向量与一个向量组正交

    一个向量与一个向量组正交,是它与组内向量分别两两正交。


    《向量组和向量正交是什么意思?》https://zhidao.baidu.com/question/1389218406721751020.html

    显然是提问者(1)中的意思。不要看解答,答非所问。

    《向量组a1....an和一个向量β正交,是什么意思?》https://zhidao.baidu.com/question/332952536677157125.html?qbl=relate_question_0

    这个解答清楚。

    《证明:如果向量b与向量组a1,a2,...,as中的每个向量都正交,则b与a1,a2,...,as的任意线性组合k1a1+k2a2+...+ksas也正交》https://zhidao.baidu.com/question/1179635885024901859.html?qbl=relate_question_5

    一个相关的小证明题,帮助理解。

    四、小结

    1. 向量正交即垂直,发生在两个向量间。正交向量的坐标内积为0,注意区分表述形式。

    • 行向量α与行向量β正交,则α^Tβ=0\alpha\beta^{T} =0
    • 列向量α与列向量β正交,则α^Tβ=0\alpha ^{T}\beta =0

    2. 向量线性无关,即不可被线性表示,两向量不共线,也有向量与一个向量组线性无关(即不在向量组表示的空间内)。

    3. 两个向量正交,那么一定线性无关。两个向量线性无关,不一定就是正交。

    4. 两两正交的非零向量组是正交向量组,其组内向量一定线性无关。反之未必,即线性无关未必正交。

    5. 一个向量与一个向量组正交,是它与组内向量分别两两正交。

    强烈推荐一本书!《线性代数的几何意义》任广千(豆瓣主页)。

    从几何意义去理解线性代数非常重要,可以把各种概念串联起来。

    还在读,等读完应该要写一些读书笔记。

     

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  • 正交向量组

    千次阅读 2020-03-22 14:17:16
    标准正交基 在n维欧式空间中,由n个单位向量组成的正交向量组称为标准正交基 比如3维欧式空间中, (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交向量组,因为他们俩俩向量正交 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交基,因为...

    1.正交向量组

    链接:https://blog.csdn.net/u012421852/article/details/80475497
    直接给定义:欧式空间V的一组非零向量,如果他们俩俩向量正交,则称是一个正交向量组。

    (1)正交向量组 是 线性无关的

    (2)n维欧式空间中俩俩正交的非零向量不会超过n个,即n维欧式空间中一个正交向量组最多n个向量

    2.正交基

    在n维欧式空间中,由n个非零向量组成的正交向量组称为正交基

    3.标准正交基

    在n维欧式空间中,由n个单位向量组成的正交向量组称为标准正交基

    比如3维欧式空间中,

    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交向量组,因为他们俩俩向量正交

    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交基,因为此正交向量组由n个非零向量组成

    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个标准正交基,因为每个向量都是单位向量

    4.单位矩阵

    如果一个矩阵满足一下几个条件,它就是一个单位矩阵,记作E或者I:

    (1)是一个方阵

    (2)主对角线上的元素都是1(主对角线是从左上到右下的对角线)

    (3)除了主对角线,其他位置的元素都是0

    如下就是一个3阶单位矩阵

    [[1 0 0]
    [0 1 0]
    [0 0 1]]

    4.正交矩阵

    The orthogonal matrix,正交矩阵,如果一个矩阵满足以下几个条件,则此矩阵就是正交矩阵:

    (1)是一个方阵

    (2)和自己的转置矩阵的矩阵乘积 = 单位矩阵E

    如果A为一个正交矩阵,则A满足以下条件:

    1. A的转置矩阵也是正交矩阵

    2. A A T = A T A = E AA^T=A^TA=E AAT=ATA=E (E为单位矩阵)

    3. A的各行是单位向量且两两正交

    4. A的各列是单位向量且两两正交

    5. (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

    6. |A| = 1或-1

    7. A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A1,A的转置矩阵等于A的逆矩阵

    5.正交变换

    内积定义:u,v的内积=|u||v|cos<u,v>

    在线性代数中,正交变换是线性变换的一种,它从实内积空间V映射到V自身,且保证变换前后内积不变。

    因为向量的模长与夹角都是用内积定义的,所以正交变换前后一对向量各自的模长和他们的夹角都不变。

    特别地:标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

    欧式空间V中的正交变换只包含:

    (1)旋转

    (2)反射

    (3)旋转+反射的组合(即瑕旋转)

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  • 向量正交

    2021-10-11 14:49:56
    向量的内积 α\alphaα 和 β\betaβ 的内积 (α,β)(\alpha, \beta)(α,β) 为对应元素相乘再相加。内积是一个数。 向量的长度(范数、模) ∣∣α∣∣=(α,α)||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)} ∣∣α∣∣=(α,α)...

    向量的内积
    α \alpha α β \beta β 的内积 ( α , β ) (\alpha, \beta) (α,β) 为对应元素相乘再相加。内积是一个数。

    向量的长度(范数、模)
    ∣ ∣ α ∣ ∣ = ( α , α ) ||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)} α=(α,α)

    性质

    1. ∣ ∣ α ∣ ∣ ≥ 0 ||\alpha||\ge0 α0
    2. ∣ ∣ k α ∣ ∣ = ∣ k ∣ ⋅ ∣ ∣ α ∣ ∣ ||k\alpha||=|k|\cdot||\alpha|| kα=kα
    3. ∣ ( α , β ) ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ β ∣ ∣ |(\alpha,\beta)| \le ||\alpha||\cdot||\beta|| (α,β)αβ
    4. ∣ ∣ α + β ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\alpha+\beta|| \le ||\alpha||+||\beta|| α+βα+β

    正交(垂直)
    ( α , β ) = 0 , α ⊥ β (\alpha, \beta)=0, \alpha\perp\beta (α,β)=0,αβ
    零向量和任何向量都正交。

    正交向量组
    不含零向量的正交向量组 α 1 , . . . α n {\alpha_1,...\alpha_n} α1,...αn 中任意两个向量都正交。

    标准正交向量组
    如果正交向量组中每个向量都是单位向量,则这种向量组为标准正交向量组。

    定理
    如果 α 1 , . . . α n {\alpha_1,...\alpha_n} α1,...αn 是正交向量组,则 α 1 , . . . α n {\alpha_1,...\alpha_n} α1,...αn 一定是线性无关的。

    施密特正交化
    给定一组线性无关的 α 1 , . . . , α n {\alpha_1,...,\alpha_n} α1,...,αn,求一组正交的 β 1 , . . . , β n {\beta_1,...,\beta_n} β1,...,βn,使得两个向量组等价。

    • 正交化:
    • β 1 = α 1 \beta_1=\alpha_1 β1=α1
    • β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 β2=α2(β1,β1)(α2,β1)β1
    • β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 \beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 β3=α3(β1,β1)(α3,β1)β1(β2,β2)(α3,β2)β2
    • 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ β 1 , 1 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ β 2 , . . . , 1 ∣ ∣ β n ∣ ∣ β n \frac{1}{||\beta_1||}\beta_1, \frac{1}{||\beta_2||}\beta_2,...,\frac{1}{||\beta_n||}\beta_n β11β1,β21β2,...,βn1βn

    α 1 , . . . , α n = 正 交 化 = > β 1 , . . . , β n = 单 位 化 = > η 1 , . . . , η n {\alpha_1,...,\alpha_n}=正交化=>{\beta_1,...,\beta_n}=单位化=>{\eta_1,...,\eta_n} α1,...,αn==>β1,...,βn==>η1,...,ηn

    正交矩阵
    假设 A A A n n n 阶方阵,如果 A T A = E A^TA=E ATA=E,那么A为正交矩阵。

    性质

    1. 如果 A A A 为正交矩阵,则 ∣ A ∣ = 1 o r − 1 |A|=1 or-1 A=1or1
    2. 如果 A A A 为正交矩阵,则 A − 1 = A T A^{-1}=A^{T} A1=AT,且 A − 1 A^{-1} A1 A T A^{T} AT 均为正交矩阵。
    3. A A A B B B 都是 n n n 阶正交矩阵,那么 A B AB AB 也正交。
    4. A A A n n n 阶正交矩阵, α \alpha α β \beta β 为n维列向量,那么 ( A α , A β ) = ( α , β ) (A\alpha,A\beta)=(\alpha, \beta) (Aα,Aβ)=(α,β) ( A α , A β ) = ( A α ) T A β = α T A T A β = ( α , β ) (A\alpha,A\beta)=(A\alpha)^TA\beta=\alpha^TA^TA\beta=(\alpha, \beta) (Aα,Aβ)=(Aα)TAβ=αTATAβ=(α,β)

    定理
    A A A 为正交矩阵的充要条件是 A A A 的列(行)向量组是标准正交向量组

    展开全文
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列向量组正交