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  • 正交向量组若有一个向量组 它们两两正交,则称这个向量组正交向量组。例子:(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 构成一个正交向量组正交基对于一个n维空间的n个正交向量,它们构成了这个空间的一组基,称其为正交基。例子...

    正交向量组

    若有一个向量组

    它们两两正交,则称这个向量组为正交向量组。

    例子:(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 构成一个正交向量组。

    正交基

    对于一个n维空间的n个正交向量,它们构成了这个空间的一组基,称其为正交基。

    例子:(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 构成一个正交向量组,在三维空间中它们是一个正交基。

    正交矩阵

    若一个正交基内的每一个向量均为单位向量(模为1的向量),则称其为规范正交基,若将这些列向量写成矩阵的形式,即

    ,那么这个方阵(
    )称为正交矩阵。

    正交矩阵的三个条件:

    (1)矩阵为方阵(2)矩阵的列向量均为单位向量(3)转置矩阵与矩阵的乘积是单位阵

    正交矩阵的例子:

    024d968e9ea89415d59baa2107854980.png

    正交矩阵一般记作

    正交矩阵的作用

    那么我们使用正交矩阵的目的是什么呢?

    如果在计算中使用正交阵,可以简化很多地方的计算,例如,对于投影操作来说,我们之前有投影矩阵:

    如果

    是正交矩阵,则有

    我们之前的最小二乘的方程:

    形式上,都变得简洁了。

    Graham-Schimidt正交化

    接下来讨论如何由一组向量获得正交的向量组,也就是正交化的问题:

    对于两个无关的向量

    ,如何将其正交化呢?这里借助之前讲到的投影的概念会很好理解:对于二维空间的
    ,设其正交化后的向量为

    可以做b在a方向的投影,a不变。则有

    其实就是投影的知识,这样就得到了正交的向量

    推广到三个向量则有:

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  • 行/分块矩阵中向量正交有什么用?如何表述?向量正交和线性无关有什么关系:两个向量间、正交向量组内、一个向量与一个向量组正交

    目录

    一、向量正交

    二、向量线性无关

    三、二者关系

    1. 两个向量

    2. 正交向量组

    3. 一个向量与一个向量组正交

    四、小结


    一、向量正交

    1. 定义

    两向量正交,那么内积 (α,β)=0,或者写作点乘 α • β=0。

    2. 表述

    向量是一种有序数组,如a=(a1,a2,a3,……),本身是表示方向的。内积或者说点乘,就是两向量坐标对应位置的乘积的和。

    向量正交是什么意思》:https://zhidao.baidu.com/question/1608819442654220827.html?qbl=relate_question_0

    向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html


    但是,在矩阵需要分块时,常引入向量,分为列向量或行向量。

    行向量乘列向量才是内积,列向量乘行向量是矩阵。行向量不可乘行向量,列向量也不可乘列向量。

    因此在表述时,有如下几种情况。由于矩阵常常按照列分块或按行分块,一般出现同类型向量较多,也即后两种。

    • 行向量α与列向量β正交,则α^Tβ=0\alpha\beta =0
    • 行向量α与行向量β正交,则α^Tβ=0\alpha\beta^{T} =0
    • 列向量α与列向量β正交,则α^Tβ=0\alpha ^{T}\beta =0

    二、向量线性无关

    两个向量线性无关,即一个不可被另一个线性表示,即不平行。

    一个向量与一个向量组线性无关,即不可被其线性表示,不

    三、二者关系

    1. 两个向量

    证明过程:《线性代数:正交的向量一定线性无关吗?》https://zhidao.baidu.com/question/1818343757400219548.html

    结论两个向量正交,那么一定线性无关。两个向量线性无关,不一定就是正交

    理解记忆:正交是指,两个向量的夹角为90°。(无所谓行向量、列向量,这里是一种n维空间的坐标关系)

    线性无关是指,两个向量不平行(或者重合),就是夹角不为0°或180°。

    2. 正交向量组

    两两正交的非零向量组是正交向量组,其组内向量一定线性无关。反之未必,即线性无关未必正交。

    《向量组的正交性》https://wenku.baidu.com/view/859595d084254b35eefd3498.html

    证明如这篇文章。最后的例题也可看出,一个向量与一个向量组正交,实际是它与组内向量分别两两正交。正交的定义是发生在两个向量间的。

    3. 一个向量与一个向量组正交

    一个向量与一个向量组正交,是它与组内向量分别两两正交。


    《向量组和向量正交是什么意思?》https://zhidao.baidu.com/question/1389218406721751020.html

    显然是提问者(1)中的意思。不要看解答,答非所问。

    《向量组a1....an和一个向量β正交,是什么意思?》https://zhidao.baidu.com/question/332952536677157125.html?qbl=relate_question_0

    这个解答清楚。

    《证明:如果向量b与向量组a1,a2,...,as中的每个向量都正交,则b与a1,a2,...,as的任意线性组合k1a1+k2a2+...+ksas也正交》https://zhidao.baidu.com/question/1179635885024901859.html?qbl=relate_question_5

    一个相关的小证明题,帮助理解。

    四、小结

    1. 向量正交即垂直,发生在两个向量间。正交向量的坐标内积为0,注意区分表述形式。

    • 行向量α与行向量β正交,则α^Tβ=0\alpha\beta^{T} =0
    • 列向量α与列向量β正交,则α^Tβ=0\alpha ^{T}\beta =0

    2. 向量线性无关,即不可被线性表示,两向量不共线,也有向量与一个向量组线性无关(即不在向量组表示的空间内)。

    3. 两个向量正交,那么一定线性无关。两个向量线性无关,不一定就是正交。

    4. 两两正交的非零向量组是正交向量组,其组内向量一定线性无关。反之未必,即线性无关未必正交。

    5. 一个向量与一个向量组正交,是它与组内向量分别两两正交。

    强烈推荐一本书!《线性代数的几何意义》任广千(豆瓣主页)。

    从几何意义去理解线性代数非常重要,可以把各种概念串联起来。

    还在读,等读完应该要写一些读书笔记。

     

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  • 矩阵相关知识 两个向量正交是指它们的内积等于0,两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和 正交矩阵定义: 如果:AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的...4)A的各是单位向量且两两正交 5)(Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R ...

    矩阵相关知识

    两个向量正交是指它们的内积等于0,两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和

    正交矩阵定义:
    如果:AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或A^TA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件 :
    1)A^T是正交矩阵
    2)E为单位矩阵
    3)A的各行是单位向量且两两正交
    4)A的各列是单位向量且两两正交
    5)(Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
    6)|A|=1或-1
    7)

    8)正交矩阵通常用字母Q表示。
    (9)举例:
    若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33],则有:

    1.正交向量组
    直接给定义:欧式空间V的一组非零向量,如果他们俩俩向量正交,则称是一个正交向量组。
    (1)正交向量组 是 线性无关的
    (2)n维欧式空间中俩俩正交的非零向量不会超过n个,即n维欧式空间中一个正交向量组最多n个向量

    2.正交基
    在n维欧式空间中,由n个非零向量组成的正交向量组称为正交基

    3.标准正交基
    在n维欧式空间中,由n个单位向量组成的正交向量组称为标准正交基
    比如3维欧式空间中,
    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交向量组,因为他们俩俩向量正交
    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交基,因为此正交向量组由n个非零向量组成
    (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个标准正交基,因为每个向量都是单位向量

    4.单位矩阵
    如果一个矩阵满足一下几个条件,它就是一个单位矩阵,记作E或者I:
    (1)是一个方阵
    (2)主对角线上的元素都是1(主对角线是从左上到右下的对角线)
    (3)除了主对角线,其他位置的元素都是0
    如下就是一个3阶单位矩阵
    [[1 0 0]
    [0 1 0]
    [0 0 1]]

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  • \vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1​​,α2​​,...,αs​​的极大线性无关组中所含有向量的个数称为向量组的秩,其中等价向量组必然等秩,但向量组等秩不一定是等价向量组,且有矩阵的秩=行向量组秩=列向量组秩...

    本节为线性代数复习笔记的第五部分,向量(2),主要包括:向量组的秩,向量内积、正交、模,施密特标准正交化(正交规范化),向量空间以及坐标变换公式。

    1. 向量组的秩

      向量组α1,α2,...,αs\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}的极大线性无关组中所含有向量的个数称为向量组的秩,其中等价向量组必然等秩,但向量组等秩不一定是等价向量组,且有矩阵的秩=行向量组秩=列向量组秩。
      若A经过初等行变换变为B,则A的行向量组合B的行向量组等价,且A和B任何列向量组具有相同的线性相关性。
      设有向量组β1,β2,...,βt\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_t}α1,α2,...,αs\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s},若βi\beta_i均可由α1,α2,...,αs\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}线性表出,则:r[β1,β2,...,βt]r[\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_t}]\leqr[α1,α2,...,αs]r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}]

    2. 向量组内积,向量正交,模

      设αT=[α1,α2,...,αn]T\alpha^T=[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_n}]^Tβ=[β1,β2,...,βn]T\beta=[\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_n}]^T,则αTβ\alpha^T\beta称为向量组的内积,记为(α,β)=αTβ(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta
      当αTβ=0\alpha^T\beta=0,称两个向量组正交。
      向量组的模记为α=Σi=1nαi2||\alpha||=\sqrt{\Sigma_{i=1}^n\alpha_i^2},模为1则向量为单位向量。

    3. 标准正交向量组

      对于向量组α1,α2,...,αn\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_n},若i=jαiTαj=1i=j,\alpha_i^T\alpha_j=1ijαiTαj=0i\neq j,\alpha_i^T\alpha_j=0,则称向量组α1,α2,...,αn\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_n}为标准/单位正交向量组。
      A是正交矩阵(方阵)\LeftrightarrowATA=EA^TA=E\LeftrightarrowAT=A1A^T=A^{-1}\LeftrightarrowA的行与列向量组皆为标准正交向量组
      若A是正交矩阵,则称Y=AXY=AX为正交变换,不改变向量内积(成都和两两夹角不变)。
      对于正交矩阵A,若|A|=1,称A为特殊正交矩阵/旋转矩阵;若|A|=-1,称A为瑕旋转矩阵。

    正交矩阵和正交变换还有很多有意思的性质~

    4. 施密特标准正交化/正交规范化

      线性无关向量组α1,α2,...,αn\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_n}的标准正交化公式为:
    β1=α1β2=α2(α2,β1)β1,β1β1...βn=αn(αn,βn1)βn1,βn1βn1...(αn,β1)β1,β1β1 \beta_1=\alpha_1\\\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\beta_1,\beta_1}\beta_1\\...\\\beta_n=\alpha_n-\frac{(\alpha_n,\beta_{n-1})}{\beta_{n-1},\beta_{n-1}}\beta_{n-1}-...-\frac{(\alpha_n,\beta_1)}{\beta_1,\beta_1}\beta_1
      得到的β1,β2,...,βn\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_n}是正交向量组,将β1,β2,...,βn\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_n}单位化得:ηi=βiβi\eta_i=\frac{\beta_i}{||\beta_i||},这样即可得到标准正交向量组。
      (α2,β1)β1,β1\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\beta_1,\beta_1}这个计算本质上是将α2\alpha_2投影到α1\alpha_1方向上的投影系数,然后做向量的相减,得到方向上与α1\alpha_1正交的新向量。

    5. 向量空间

      若ξ1,ξ2,...,ξn\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}RnR^n中的线性无关向量组,且任一向量αRn\vec{\alpha}\in R^n均可由ξ1,ξ2,...,ξn\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}线性表出,则称ξ1,ξ2,...,ξn\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}RnR^n的一个基,其个数n称为该向量空间的维数。若有:α=a1ξ1+a2ξ2+...+anξn\vec{\alpha}=a_1\vec{\xi_1}+a_2\vec{\xi_2}+...+a_n\vec{\xi_n},则(a1,a2,...,an)(a_1,a_2,...,a_n)称为向量α\vec{\alpha}在此向量空间的坐标。
      若η1,η2,...,ηn\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}ξ1,ξ2,...,ξn\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}为向量空间RnR^n的两个基,且:
    [η1,η2,...,ηn]=[ξ1,ξ2,...,ξn][c11c12...c1nc21c22...c2n............cn1cn2...cnn]=[ξ1,ξ2,...,ξn]C [\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}]=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]\left[\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&...&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&...&c_{2n}\\...&...&...&...\\c_{n1}&c_{n2}&...&c_{nn}\end{matrix}\right]\\=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]C

    称矩阵C为从η\etaξ\xi的过渡矩阵(必然是可逆矩阵),上述公式称为基变换公式
      若α=[ξ1,ξ2,...,ξn]x=[η1,η2,...,ηn]y\vec{\alpha}=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]\vec{x}=[\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}]\vec{y},且[η1,η2,...,ηn]=[ξ1,ξ2,...,ξn]C[\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}]=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]C,则α=[ξ1,ξ2,...,ξn]x=[η1,η2,...,ηn]y=[ξ1,ξ2,...,ξn]Cy\vec{\alpha}=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]\vec{x}=[\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}]\vec{y}=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]C\vec{y},即x=Cyy=C1x\vec{x}=C\vec{y},\vec{y}=C^{-1}\vec{x},称为坐标变换公式。这里要注意区分是从哪一个坐标到哪一个坐标。


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空空如也

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