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  • 我留了一个编号(六)给连续体力学,其内容庞杂,可深可浅,...刚体的自由度这一段以前写过,直接搬运过来了刚体是一个特殊的质点系,其的任意两个点之间距离恒定不变自由三维刚体的自由度为6对于刚体定轴转动,其运...

    我留了一个编号(六)给连续体力学,其内容庞杂,可深可浅,所以现在不打算写,先给刚体

    目录
    1.1.刚体的自由度
    1.2.刚体运动与欧拉定理
    1.3.角速度的绝对性本体系与空间系
    1.4.欧拉角与欧拉运动学方程
    1.5.刚体平面平行运动中的瞬时速度中心

    1.1.刚体的自由度

    这一段以前写过,直接搬运过来了

    刚体是一个特殊的质点系,其上的任意两个点之间距离恒定不变
    自由三维刚体的自由度为6
    对于刚体定轴转动,其运动只需要通过一个角位置来确定,所以自由度为1
    对于刚体平面平行运动,根据一个定理,可以分解为其相对于某基点的平动以及过该基点且垂直于该平面的直线的定轴转动,前者需要两个参数,后者需要一个参数,所以自由度为3
    对于刚体定点转动,需要两个自由度确定轴的位置,再需要一个自由度确定角位置,所以自由度为3

    这几种运动,将会是今后讨论的重点。

    1.2.刚体运动与欧拉定理

    笔者对于数学方面可能会有记忆的偏差与一些严谨性缺失的错误,如果下文中有错误,还请诸位指出,谢谢

    定理「任意的刚体运动等价于其相对于某个基点的平动加刚体上各点绕该基点的定点运动」我没有找到特别好的证明方法,有一段文字说明很好,这里引用,充作证明:

    比较刚体在t'和t两个时刻的位形.在刚体上选定一点,这点在t时刻的空间位置为O,t'时刻的空间位置为O',作平移,将O'点移到O点。将刚体的这一新位形与它在t时刻的位形相比,有一点重叠于O.这两个有一点重叠于O的位形相差一个以O为中心的运动。刚体运动等价于其相对于某个基点的平动加刚体上各点绕该基点的定点运动

    首先需要引入欧拉定理:定点运动刚体的任何位移均可以通过绕过该定点某轴的一次转动来实现。

    下面给予其的一个证明:

    22caff373064835cb3192f4b3abc36b2.png

    记该定点为O,过点O作一球面,交刚体于点A,B;

    假设刚体定点运动后,点A,B运动到点A',B',由于其到点O的距离没有变,所以始终在球面上

    联结圆弧AA',BB',作其垂直平分圆弧相交于点P

    那么圆弧AB等于圆弧A'B',圆弧AP等于圆弧A'P,圆弧BP等于圆弧B'P

    那么球面三角形ABP全等于球面三角形A'B'P

    所以角APB等于角A'PB',即角APA'等于角BPB'

    这便意味着一次转动,所以由欧拉定理有一个直接的推论蔡斯尔定理:

    刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上绕该点的一个转动

    在讨论转动的过程中,下文认为矢量保持不变,转动坐标架,那么一个坐标架的三维转动等价于一个行列式为1的三阶实正交矩阵,不妨记其为

    ,根据一些线性代数知识,如果记其转置矩阵为
    ,逆矩阵为

    ,且

    事实上,如果涉及到群论的话,所有行列式为1的三阶实正交矩阵关于矩阵乘法是能够构成一个群的

    通常而言,群是一个非空集合,设由元素与一个二元运算两部分组成,通常具有以下四个性质:
    群中的元素在该运算下仍在集合中。
    群中的运算满足结合律,元素A与元素B运算后的结果再与元素C运算的结果等于元素A与(元素B和元素C运算的结果)运算的结果。
    群中存在一单位元,使得任何一元素与其运算的结果仍为其本身。
    群中存在一逆元,使得任何元素与其逆元运算的结果为单位元。

    现在所有行列式为1的三阶实正交矩阵为元素,乘法为该二元运算,来检验下其是否为一个群

    封闭性:两行列式为1的三阶实正交矩阵相乘的结果仍然是一行列式为1的三阶实正交矩阵,证明留作课后习题(大雾)

    结合性:矩阵乘法满足结合律

    单位元:三阶单位矩阵

    逆元:该行列式为1的三阶实正交矩阵的转置矩阵,或者说其逆矩阵

    对于这样的群,称其为

    群,当然,这个名称背后的知识远远没有那么简单,这里只是从群的角度简单涉及了一点皮毛而言。

    同样,行列式为1的三阶实正交矩阵这个名字太长了,下简称三维转动矩阵(其实是正常转动)

    在这样的背景下可以也可以证明欧拉定理:其等价的数学表述为:一个三维转动矩阵

    一定存在一个值为
    的本征值。其实该本征值所对应的本征向量为这一次转动所对应的转动轴。

    事实上,对于矩阵

    而言,其特征值为

    1.3.角速度的绝对性

    设选取A为基点时,其角速度为

    ,那么刚体上任意一点P的速度为:

    设选取B为基点时,其角速度为

    ,那么刚体上任意一点P的速度为:

    二式相减,得:

    因为点P的选取是任意的,所以

    ,角速度与基点的选取无关

    空间系就是地面系。

    本体系,相对于刚体静止的参考系。

    平动系,相对于刚体平动,在此参考系中可以看见刚体的转动。

    这三个概念在后文会反复出现,因此要特别注意。

    1.4.欧拉角,欧拉运动学方程与Cayley-Klein参数

    欧拉角是一种最常见的描述刚体定点转动的方式。它的操作大概如下图(不一定准确,仅表示意思)

    c0bc6a183ed89851de726d9d88b5d9be.gif

    在欧拉角的操作中,本体系

    与平动系在初始时是重合的,借本体系相对于平动系的运动来描述刚体的定点转动

    欧拉角所要表示的,是下列三个操作的叠加:

    首先,将

    轴逆时针旋转进动角

    其次,将

    轴逆时针旋转章动角

    最后,将

    轴逆时针旋转自转角

    那么这样的三次操作等价于一个矩阵

    ,可以求得:

    计算结果就不列了,留作课后习题。

    值得一提的是,本文中的欧拉角约定为ZXZ约定,事实上,只要约定任意两次之间不绕同一根轴转动,符合要求的约定一共有十二种。

    根据右手螺旋定则,容易判别进动角速度沿

    方向,章动角速度沿
    方向,自转角速度沿
    方向

    3cfa6ca36075e1aa7b461173d1b0e3c2.png
    此XYZ非彼XYZ!!!

    将这些角速度投影到最后的

    坐标系上,得到欧拉运动学方程:

    123对应下标xyz

    1.5.刚体平面平行运动中的瞬时速度中心

    假设此时作平面平行运动的刚体上某一时刻存在一速度为0的点,记为点

    ,称为瞬时速度中心,简称瞬心。选取该点为基点时,刚体相对于其作转动。

    假设现选取基点为

    ,那么要求的点
    必然有:

    ,写成分量式后解得:

    等于说,寻找瞬时速度中心的方法最简单的为,选取刚体上的两点,作其速度方向的垂线交点,即为瞬时速度中心。

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  • (建议阅读原文)预备知识 动量定理,转动惯量 任意惯性系...其中 是质心的加速度, 是绕质心转动的角加速度.这是说,我们可以把刚体的运动分解成质心的移动和相对质心的转动,并用合力计算前者,用关于质心的合力...

    (建议阅读原文)

    预备知识 动量定理,转动惯量
       任意惯性系中,若刚体质量为

    ,质心为
    ,刚体受若干个力
    ,作用点分别为
    ,若刚体
    只延一个固定的方向转动(如刚体的二维运动),且该方向关于质心的转动惯量为
    , 则质心运动方程和绕质心转动的方程分别为

    其中
    是质心的加速度,
    是绕质心转动的角加速度.这是说,我们可以把刚体的运动分解成质心的移动和相对质心的转动,并用合力计算前者,用关于质心的合力矩计算后者.

    推导
       我们把刚体看做质点系来证明,在任意惯性系中,由动量定理,刚体总动量,即质心动量

    的变化率为

       现在我们用角动量定理证明式 2 .由于质心与刚体的相对位置不变,质心系中刚体必须绕质心转动,且角动量为(式 8 )
    , 角动量变化率为1

    要特别注意的是,除非合力为零,质心系并不是惯性系,所以使用角动量定理要考虑刚体的惯性力.但幸运的是质心系中惯性力(式 5 )
    产生的合力矩为零

    现在我们可以继续角动量定理 得

    由于质心系相对于任何惯性系没有相对转动, 所以在任意惯性系中刚体的角加速度仍然为
    .但受力点的位矢变为
    ,即
    例1 球体或圆柱延斜面无摩擦滚动
       如图 1 , 在一个倾角为
    的斜面上, 一个半径为
    质量为
    的均匀 的球体(或圆柱)从静止开始向下滚动, 其转动惯量为
    , 求质心的加速度和滚动的角加速度.

    1016c45475d878b46b5e75136a9791a1.png
    图 1:圆柱延斜面无摩擦滚动

      解: 首先, 根据无摩擦的条件, 系统只有一个自由度, 即圆柱的位移或者转角, 二者的关系为


    两边求二阶导数, 得加速度与角加速度的关系为

       受力分析如图, 圆柱受三个力: 重力, 支持力和静摩擦力. 将物体受到的重力分解为垂直斜面方向和沿斜面方向的两个分力. 其中垂直方向的分力与斜面提供的支持力抵消, 而平行方向的分量和摩擦力的合力决定质心的加速度式 1

    再来分析关于质心的转动, 由于重力和摩擦力都在质心, 所以对合力矩贡献为 0. 所以只有摩擦力的贡献为
    , 由式 2 得

    由式 9 到式 11 三式解得加速度为

    可见转动惯量为 0 时, 结果与无摩擦滚动一致. 而转动惯量越大, 加速度就越小. 例2
       一根质量为
    长为
    的均匀细棒延
    方向静止放置在水平面
    ,从
    时起在其上端施加一个
    方向的恒力,描述细棒如何运动.如果木棒与地面的摩擦系数为
    ,答案又如何?

       首先考虑质心的运动, 细棒所受外力只有一个恒力, 所以由式 1 质心沿
    方向做匀加速运动. 再来看质心系中细棒的转动由 “ 转动惯量” 中例 1 可知细棒绕其质心做单摆运动.

    1. 注意第一步成立的条件是

    不变,而一般情况下
    与刚体的转轴有关,所以只能假设刚体延同一方向转动.唯一的例外是物体的转动惯量与方向无关的情况,例如球体.刚体的变向转动较为复杂,不做讨论.
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  • 刚体速度只有在选定坐标系时才有谈论意义,比如一台小车可以看作是一个刚体,其有三个传感器,Camera有一个速度,IMU有一个速度,轮子有一个速度,首先它们的速度是不同的(比如把地球看作一个刚体,地心的速度...

    参考:《A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation》

    疑问:

    • 刚体的速度只有在选定坐标系时才有谈论意义,比如一台小车可以看作是一个刚体,其上有三个传感器,Camera有一个速度,IMU有一个速度,轮子有一个速度,首先它们的速度是不同的(比如把地球看作一个刚体,地心的速度与地球表面的速度是不同的),那么这些速度的关系是什么呢?
    • VIO中为何不使用Camera系而是IMU作为body系,如果使用Camera作为body系,IMU的测量值(角速度和加速度)要如何转化到Camera坐标系下?

    1. 转动速度

    刚体上任意一点qq在空间坐标系中的运动轨迹为:
    qa(t)=Rab(t)qb\mathbf{q}_{a}(t)=\mathbf{R}_{a b}(t) \mathbf{q}_{b}

    其中,A为空间坐标系,B为物体坐标系,坐标qb\mathbf{q}_b是在物体坐标系中固定不变的,该点在空间坐标系中的速度为:
    vqa(t)=ddtqa(t)=R˙ab(t)qb\mathbf{v}_{\mathbf{q}_{a}}(t)=\frac{d}{d t} \mathbf{q}_{a}(t)=\dot{\mathbf{R}}_{a b}(t) \mathbf{q}_{b}

    因此,Rab\mathbf{R}_{a b}将一点的刚体坐标变换为该点的空间速度,类似Rab\mathbf{R}_{a b}这种表示需要九个参数,不是很方便,转换成下面的简洁形式:
    vqa(t)=R˙ab(t)Rab1(t)Rab(t)qbv_{q_{a}}(t)=\dot{R}_{a b}(t) R_{a b}^{-1}(t) R_{a b}(t) q_{b}

    我们已经知道R˙ab(t)Rab1(t)so(3)\dot{R}_{a b}(t) R_{a b}^{-1}(t) \in \operatorname{so}(3),是反对陈矩阵,记为:
    ω^abs:=R˙abRab1\widehat{\omega}_{a b}^{s}:=\dot{R}_{a b} R_{a b}^{-1}

    其中,ω^abs\widehat{\omega}_{a b}^{s}表示bb系在aa系下的速度在空间坐标系下的表示,描述为物体相对空间坐标系A的瞬时角速度

    1.1 刚体上一点的速度(A系与B系之间只有纯旋转运动)
    图片名称

    现在就可以使用物体的瞬时角速度来表示一点的速度,如下:
    vqa(t)=ω^absRab(t)qb=ωabs(t)×qa(t)v_{q_{a}}(t)=\widehat{\omega}_{a b}^{s} R_{a b}(t) q_{b}=\omega_{a b}^{s}(t) \times q_{a}(t)

    对应的物理含义为:刚体的转速与刚体上一点到坐标系原点的距离的叉乘即为这一点的瞬时速度,qbq_{b}这个向量的长度越长,速度就越大,反之亦然,当长度为0时(该点与坐标系原点重合时),速度为0

    这样,只要知道物体的瞬时角速度和物体坐标上任意一点的位置,就可以得到该点在空间坐标下的速度

    1.2 (瞬时)物体坐标系下的转动速度

    同理也可得到 ω^abb\widehat{\omega}_{a b}^{b},如下:
    ω^abb:=Rab1R˙ab\widehat{\omega}_{a b}^{b}:=R_{a b}^{-1} \dot{R}_{a b}

    它描述的是相对于瞬时物体坐标系B的角速度(bb系在aa系下的速度在物体坐标系下的表示),该角速度可以直接通过陀螺仪直接测量得到

    由以上两式可得两种角速度之间的关系:
    ω^abb=Rab1ω^absRab or ωabb=Rab1ωabs\widehat{\omega}_{a b}^{b}=R_{a b}^{-1} \widehat{\omega}_{a b}^{s} R_{a b} \quad \text { or } \quad \omega_{a b}^{b}=R_{a b}^{-1} \omega_{a b}^{s}

    因此,物体角速度为将空间角速度旋转到瞬时物体坐标系而得到的

    2. 刚体速度

    对于运动轨迹为为单参数曲线gab(t)SE(3)g_{a b}(t) \in S E(3)的一般情况
    gab(t)=[Rab(t)pab(t)01]g_{a b}(t)=\left[\begin{array}{cc} R_{a b}(t) & p_{a b}(t) \\ 0 & 1 \end{array}\right]

    可得,
    g˙abgab1=[R˙abp˙ab00][RabTRabTpab01]=[R˙abRabTR˙abRabTpab+p˙ab00]\dot{g}_{a b} g_{a b}^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \dot{R}_{a b} & \dot{p}_{a b} \\ 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} R_{a b}^{T} & -R_{a b}^{T} p_{a b} \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \dot{R}_{a b} R_{a b}^{T} & -\dot{R}_{a b} R_{a b}^{T} p_{a b}+\dot{p}_{a b} \\ 0 & 0 \end{array}\right]

    定义Vabsse(3)V_{ab}^s \in se(3)表示bb系在aa系下的速度在空间坐标系下的表示
    V^abs=g˙abgab1,Vabs=[vabsωabs]=[R˙abRabTpab+p˙ab(R˙abRabT)]\widehat{V}_{a b}^{s}=\dot{g}_{a b} g_{a b}^{-1} ,\quad V_{a b}^{s}=\left[\begin{array}{c} v_{a b}^{s} \\ \omega_{a b}^{s} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -\dot{R}_{a b} R_{a b}^{T} p_{a b}+\dot{p}_{a b} \\ \left(\dot{R}_{a b} R_{a b}^{T}\right)^{\vee} \end{array}\right]

    虽然Vabsse(3)V_{ab}^s \in se(3),但这里的移动分量vabsv_{a b}^{s}却是以m/s为单位的平移速度,因为p˙ab\dot{p}_{a b}的单位是m/s

    注意,移动分量 vabs(t)v_{ab}^s(t) 并不是刚体坐标系原点的速度,而是刚体上一点在tt时刻经过空间坐标系原点时(可能是想象的)的速度。即,如果一个人站在空间坐标系的原点处去测量刚体上正好经过原点的一点的瞬时速度,那么该瞬时速度即为vabs(t)v_{ab}^s(t)

    2.1 刚体上一点的速度
    图片名称

    在空间坐标系中,固联在刚体上的一点qq的坐标为
    qa(t)=gab(t)qb q_{a}(t)=g_{a b}(t) q_{b}

    两边微分得
    vqa=q˙a=g˙abqb=g˙abgab1qa v_{q_{a}}=\dot{q}_{a}=\dot{g}_{a b} q_{b}=\dot{g}_{a b} g_{a b}^{-1} q_{a}

    进一步得到
    vqa=V^absqa=ωabs×qa+vabs v_{q_{a}}=\widehat{V}_{a b}^{s} q_{a}=\omega_{a b}^{s} \times q_{a}+v_{a b}^{s}

    其中vqav_{q_{a}}由两部分构成,ωabs×qa\omega_{a b}^{s} \times q_{a}表示因旋转产生的速度,vabsv_{a b}^{s}表示平移产生的速度,两个向量相加即为最终的合成速度

    2.2 (瞬时)物体坐标系下的刚体速度

    向量可以直接通过坐标系之间旋转外参进行转换

    由于vqav_{q_{a}}是向量,使用旋转矩阵进行转换,可得物体坐标系中一点的速度为:
    [vqb0]=gab1[vqa0] \begin{bmatrix} v_{q_{b}} \\ 0 \end{bmatrix}=g_{a b}^{-1} \begin{bmatrix} v_{q_{a}} \\ 0 \end{bmatrix}

    忽略矩阵维度,简写成:
    vqb=gab1vqa=gab1g˙abqb=V^abb(t)qb v_{q_{b}}=g_{a b}^{-1} v_{q_{a}}=g_{a b}^{-1} \dot{g}_{a b} q_{b}=\widehat{V}_{a b}^{b}(t) q_{b}

    物体坐标系下的刚体速度定义为:
    V^abb=gab1g˙ab=[RabTR˙abRabTp˙ab00],Vabb=[vabbωabb]=[RabTp˙ab(RabTR˙ab)] \widehat{V}_{a b}^{b}=g_{a b}^{-1} \dot{g}_{a b}=\left[\begin{array}{cc} R_{a b}^{T} \dot{R}_{a b} & R_{a b}^{T} \dot{p}_{a b} \\ 0 & 0 \end{array}\right] ,\quad V_{a b}^{b}=\left[\begin{array}{c} v_{a b}^{b} \\ \omega_{a b}^{b} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} R_{a b}^{T} \dot{p}_{a b} \\ \left(R_{a b}^{T} \dot{R}_{a b}\right)^{\vee} \end{array}\right]

    需要指出的是,物体速度并不是物体相对于物体坐标系的速度(此速度总是零

    2.3 空间坐标下的刚体速度与(瞬时)物体坐标系下的刚体速度的关系

    V^abs=g˙abgab1=gab(gab1g˙ab)gab1=gabV^abbgab1\widehat{V}_{a b}^{s}=\dot{g}_{a b} g_{a b}^{-1}=g_{a b}\left(g_{a b}^{-1} \dot{g}_{a b}\right) g_{a b}^{-1}=g_{a b} \widehat{V}_{a b}^{b} g_{a b}^{-1}

    可得,
    Vabs=[vabsωabs]=[Rabp^abRab0Rab][vabbωabb]=Ad(gab)VabbV_{a b}^{s}=\left[\begin{array}{c} v_{a b}^{s} \\ \omega_{a b}^{s} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} R_{a b} & \widehat{p}_{a b} R_{a b} \\ 0 & R_{a b} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} v_{a b}^{b} \\ \omega_{a b}^{b} \end{array}\right] = \mathbf{Ad}(g_{ab}) V_{a b}^{b}

    3. 刚体速度的坐标转换

    假如知道了IMU与底盘坐标系之间的外参以及IMU的速度,如何得到底盘坐标系的速度

    3.1 空间坐标系下的转换

    假设存在A、B、C三个坐标系,它们在空间坐标系下的刚体速度存在下述关系:
    V^acs=g˙acgac1=(g˙abgbc+gabg˙bc)(gbc1gab1)=g˙abgab1+gab(g˙bcgbc1)gab1=V^abs+gabV^bcbgab1\begin{aligned} \widehat{V}_{a c}^{s} &=\dot{g}_{a c} g_{a c}^{-1} \\ &=\left(\dot{g}_{a b} g_{b c}+g_{a b} \dot{g}_{b c}\right)\left(g_{b c}^{-1} g_{a b}^{-1}\right) \\ &=\dot{g}_{a b} g_{a b}^{-1}+g_{a b}\left(\dot{g}_{b c} g_{b c}^{-1}\right) g_{a b}^{-1} \\ &=\widehat{V}_{a b}^{s}+g_{a b} \widehat{V}_{b c}^{b} g_{a b}^{-1} \\ \end{aligned}

    注意,这里使用的是V^bcb\widehat{V}_{b c}^{b},而书里面使用的是V^bcs\widehat{V}_{b c}^{s},好像是书里写的有问题

    转换成向量的形式,
    Vacs=Vabs+Ad(gab)Vbcb {V}_{a c}^{s} = {V}_{a b}^{s} + \mathbf{Ad}(g_{a b}) {V}_{b c}^{b}

    如果gbcg_{bc}是常量,相当于刚体上两个坐标系B和C之间的外参,此时二者的速度关系为
    Vacs=Vabs {V}_{a c}^{s} = {V}_{a b}^{s}

    由于两个坐标系B和C同属于一个刚体,所以两个坐标系B和C在空间坐标系下的刚体速度是相同的

    将上式转换到物体坐标系
    Ad(gac)Vacc=Ad(gab)VabsVacc=Ad(gac)1Ad(gab)VabsVacc=Ad(gcb)Vabs \begin{aligned} \mathbf{Ad}(g_{ac}){V}_{a c}^{c} = \mathbf{Ad}(g_{ab}) {V}_{a b}^{s} \\ {V}_{a c}^{c} = \mathbf{Ad}(g_{ac})^{-1} \mathbf{Ad}(g_{ab}) {V}_{a b}^{s} \\ {V}_{a c}^{c} = \mathbf{Ad}(g_{cb}) {V}_{a b}^{s} \end{aligned}

    即,刚体上两个坐标系B和C在各自的物体坐标系下的刚体速度关系

    3.2 物体坐标系下的转换

    同理可得,
    V^acc=gac1g˙ac=(gbc1gab1)(g˙abgbc+gabg˙bc)=gbc1gab1g˙abgbc+gbc1g˙bc=gbc1V^abbgbc+V^bcc\begin{aligned} \widehat{V}_{a c}^{c} &=g_{a c}^{-1} \dot{g}_{a c} \\ &=\left(g_{b c}^{-1} g_{a b}^{-1}\right) \left(\dot{g}_{a b} g_{b c}+g_{a b} \dot{g}_{b c}\right) \\ &= g_{b c}^{-1} g_{a b}^{-1} \dot{g}_{a b} g_{b c} + g_{b c}^{-1} \dot{g}_{b c} \\ &= g_{b c}^{-1} \widehat{V}_{a b}^{b} g_{b c} + \widehat{V}_{b c}^{c} \end{aligned}

    转换成向量的形式,
    Vacc=Ad(gbc1)Vabb+Vbcc {V}_{a c}^{c} = \mathbf{Ad}(g_{bc}^{-1}) {V}_{ab}^{b} + {V}_{bc}^{c}

    如果gbcg_{bc}是常量,相当于刚体上两个坐标系B和C之间的外参,此时二者的速度关系为
    Vacc=Ad(gbc1)Vabb {V}_{a c}^{c} = \mathbf{Ad}(g_{bc}^{-1}) {V}_{ab}^{b}


    @leatherwang
    二零二零年九月二十日

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  • 矢量法直角坐标法自然法:建立自然标架刚体的简单运动:两种简单运动刚体及其一点运动的几何性质刚体的平行移动刚体的定轴转动转动刚体内各点的速度与加速度轮系的传动比角速度和角加速度的矢量表示点的合成运动:...

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    运动学导论

    运动学:研究物体运动的几何性质(运动轨迹、运动方程、速度、加速度)的科学。

    力学模型:

    • 点:无大小、无几何性质、无质量
    • 刚体:不考虑质量

    点的运动学:在一个参考系内研究点的运动的几何性质。

    • 矢量法
    • 直角坐标法
    • 自然法:建立自然标架

    刚体的简单运动:两种简单运动刚体及其上一点运动的几何性质

    • 刚体的平行移动
    • 刚体的定轴转动
    • 转动刚体内各点的速度与加速度
    • 轮系的传动比
    • 角速度和角加速度的矢量表示

    点的合成运动:点在不同参考系内运动的合成

    • 三种运动
    • 速度合成定理
    • 加速度合成定理

    刚体平面运动:平面运动刚体及其上一点运动的几何性质

    • 求平面图形一点速度
    • 求平面图形一点加速度

    矢量法

    运动方程:

    速度:

    加速度:

    直角坐标法

    运动方程:

    三式联立消去时间得轨迹方程

    直角坐标与矢径坐标之间的关系:

    速度:

    加速度:

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    060b5260a499a19e100e64d83db9ae72.png
    • 求M点运动方程
    • 轨迹
    • 速度
    • 加速度

    解题思路:

    根据简单的几何分析我们可以求得M点坐标:

    根据三角函数性质消去

    ,可得轨迹方程:

    根据速度、加速度公式对M点的直角坐标方程求导即可得对应的

    2d3f23c42083703e8b3ff56434dc235a.png

    由加速度公式

    以及初速度
    ,列出积分方程求解:

    自然法:利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系,利用它们描述和分析点的运动的方法。

    弧坐标:

    自然轴系:

    • 切向单位矢量:
    • 主法线单位矢量:
    • 副法线单位矢量:

    54ee337c3f53bff234972fb34ea5f55e.png

    速度:

    加速度:

    30ba93ce9e4eee858ebf4b11584161cf.png

    切向加速度:

    法向加速度:

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  • 刚体速度由表示(twist):3个角速度,3个角速度 刚体的受力由表示(wrench):3个力矩,3个力 free vector:只有长度和方向的向量,例如线速度向量就是自由向量 space frame{s}:可以理解为基座的坐标系,定...

空空如也

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