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  • 2020下半年教师资格证考试《初中数学》试题 7.编制数学测试卷的步骤一般为( ). A.制定命题原则→明确测验目的→编拟双向细目表→精选试题 B.明确测验目的→制订命题原则→精选试题→编拟双向细目表 C.明确测验目的...

    2020下半年教师资格证考试《初中数学》试题
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    7.编制数学测试卷的步骤一般为( ).

    A.制定命题原则→明确测验目的→编拟双向细目表→精选试题

    B.明确测验目的→制订命题原则→精选试题→编拟双向细目表

    C.明确测验目的→编拟双向细目表→精选试题→制订命题原则

    D.明确测验目的→制订命题原则→编拟双向细目表→精选试题

    8.解二元一次方程组用到的数学方法主要是( ).

    A.降次 B.放缩 C.消元 D.归纳
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    四、论述题(本大题共1小题,共15分)

    15.伴随着大数据时代的到来,数据分析已经深入到现代社会生活的各个方面,结合实例阐述在中学数学中培养学生数学分析能力的意义.

    五、案例分析题(本大题共1小题,共20分)

    16.案例:“三角形中位线定理”是八年级学生的学习内容,下面是两位教师的教学片断.

    (一)教师甲

    在讲授中位线定理这一内容时,利用“数学软件-A”,作了两次测量,一次是验证三角形中位线定理,另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成的图形为平行四边形.教师甲发现,当他让学生动手测量的时候,有一部分学生懒散地坐着,没有刚开始接触该软件时那样积极;

    课后教师向几位学生询问情况,有学生说这两道题书上都有结论,早就看过了,再去测量是不是有点儿傻?

    (二)教师乙

    教师首先让学生探究问题,如图1,五边形ABCD中,点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点,J、K分别是FH、JI的中点,AE与JK有什么关系?

    学生们马上打开“数学软件-A”进行测量,很快发现AE=4JK,能不能证明发现的结论呢?学生们没有一点头绪;

    教师提示说当遇到问题解决不了的时候,我们是不是进一步先解决容易的问题?教师引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形中点所围成的图形是平行四边形两个问题,经过师生的共同研究,取AD的中点C后,学生不仅验证了AE=4JK,而且高兴的发现AE和JK还存在平行关系,如图2.

    问题:

    (1)请分别对教师甲和教师乙的教学进行评价;

    (2)请画出适用于本节课教学的“三角形中位线定理”证明的示意图(图中辅助线用虚线表示);

    (3)结合本案例,请谈谈信息技术在数学中的作用.

    六、教学设计题(本大题共1小题,共30分)

    17.针对“分式的基本性质”一课完成下列教学设计.

    (1)写出教学重点;

    (2)设计新知识(性质均分)的导入和探索过程;

    (3)设计一个运用分数基本性质的问题,并给出解答.

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  • 初中数学因式分解含答案竞赛题精选初中数学因式分解(一)因式分解是代数式恒等变形的基本形式,是解决数学问题的有力工具是掌握因式分解对于培养学生解题技能,思维能力,有独特作用1运用公式法整式乘法公式,反向...

    初中数学因式分解含答案竞赛题精选

    初中数学因式分解(一)因式分解是代数式恒等变形的基本形式,是解决数学问题的有力工具是掌握因式分解对于培养学生解题技能,思维能力,有独特作用1运用公式法整式乘法公式,反向使用,即为因式分解(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a22ab+b2=(ab)2;(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)几个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n为正整数;(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1),其中n为偶数;(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1),其中n为奇数分解因式,根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例1 分解因式:(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz;(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc例3 分解因式:x15+x14+x13+x2+x+12拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例4 分解因式:x3-9x+8例5 分解因式:(1)x9+x6+x3-3; (2)(m2-1)(n2-1)+4mn;(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4; (4)a3b-ab3+a2+b2+13换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12例7 分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90例8 分解因式:(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)练习一1分解因式:(2)x10+x5-2;(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x52分解因式:(1)x3+3x2-4; (2)x4-11x2y2+y2;(3)x3+9x2+26x+24; (4)x4-12x+3233分解因式:(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1; (2)x4+7x3+14x2+7x+1;(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1; (4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20初中数学因式分解(一)答案多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍1运用公式法在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:(1)a2-b2=(a+b)(a-b);(2)a22ab+b2=(ab)2;(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n为正整数;(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1),其中n为偶数;(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1),其中n为奇数运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例1 分解因式:(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;(2)x3-8y3-z3-6xyz;(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;(4)a7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性,现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c0时,则a3+b3+c3-3abc0,即a3+b3+c33abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立如果令x=a30,y=b30,z=c30,则有等号成立的充要条件是x=y=z这也是一个常用的结论例3 分解因式:x15+x14+x13+x2+x+1分析 这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解解 因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1),所以说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例4 分解因式:x3-9x+8分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧解法1 将常数项8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2 将一次项-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4 添加两项-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例5 分解因式:(1)x9+x6+x3-3;(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)将-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)将4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加两项+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了解 设x2+x=y,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试例7 分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2,则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础例8 分解因式:(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 设x2+4x+8=y,则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6解法1 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体解法2原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u,xy=v,则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2

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    WORD格式 整理分享PAGE ◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第页 ◆ 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆ 范文范例 参考指导

    初中数学因式分解(一)鼎吉教育 遵循:“授人以鱼,不如授人以渔”的教育理念 秉承:以人为本,质量第一,突出特色, 服务家长 WORD格式 整理分享PAGE 61◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第页 ◆ 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆ 范文范例 参考指导   因式分解是代数式恒等变形的基本形式,是解决数学问题的有力工具.是掌握因式分解对于培养学生解题技能,思维能力,有独特作用.  1.运用公式法  整式乘法公式,反向使用,即为因式分解  (1)a2-b2=(a+b)(a-b);  (2)a2±2ab+b2=(a±b)2;  (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);  (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).  几个常用的公式:  (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;  (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);  (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;  (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;  (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数.  分解因式,根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.  例1 分解因式:  (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz;

    (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;  (4)a7-a5b2+a2b5-b7.

    例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc.

    例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1.

    2.拆项、添项法   因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为??项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.  例4 分解因式:x3-9x+8.

    例5 分解因式:  (1)x9+x6+x3-3; (2)(m2-1)(n2-1)+4mn;

    (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4; (4)a3b-ab3+a2+b2+1.

    3.换元法  换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.  例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.

    例7 分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.

    例8 分解因式:(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.

    例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6.

    例10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).

    练习一  1.分解因式:

    (2)x10+x5-2;

    (4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5.

    2.分解因式:  (1)x3+3x2-4;   (2)x4-11x2y2+y2;

    (3)x3+9x2+26x+24;   (4)x4-12x+323.

    3.分解因式:  (1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1;  (2)x4+7x3+14x2+7x+1;

    (3)

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空空如也

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