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  • 1. 知识点:两点之间线段最短a) 引申知识点: i. 三角形两边之和大于第三边 ii. 三角形两边之差小于第三边2. 知识点: 点关于直线的对称点 i. 关于坐标轴的对称,以及关于和坐标轴平行直线对称 ii. 关于过原点直线的...

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    此类型题目常常出现于填空题最后两个。相对的难度有一些,需要掌握其中套路。

    1. 知识点:两点之间线段最短

    a) 引申知识点:

    i. 三角形两边之和大于第三边

    ii. 三角形两边之差小于第三边

    2. 知识点: 点关于直线的对称点

    i. 关于坐标轴的对称,以及关于和坐标轴平行直线对称

    ii. 关于过原点直线的对称,包括y=x,y=-x以及y=kx

    iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称,

    1. 知识点:两点之间线段最短

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    两点之间线段最短, 下图AB长度肉眼可知长度为5.

    a) 引申知识点:

    i. 三角形两边之和大于第三边。也就是下图中AC+BC的最小值

    ii. 三角形两边之差小于第三边。也就是下图中AC-BC的最大值,或者BC-AC的最大值

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    图中AC+BC的为当C点在线段AB内是最小值AC+BC=AB=5

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    当C点处于AB直线上且在A点下方时候取最大值BC-AC=AB=5

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    当C点处于AB直线上且在B点上方时候取最大值AC-BC=AB=5

    点关于直线的对称点

    i. 关于坐标轴的对称,以及关于和坐标轴平行直线对称

    显而易见,对于任意点A(x, y)

    关于y轴对称点B (-x,y)

    关于x轴对称点C(x, -y)

    关于原点对称(或者说是先x轴对称,再y轴对称。反之亦然)D(-x, -y)

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    点A的4个对应点

    而对于和对称轴平行x=a或者y=b来说,主要两种理解方式。
    1. 当成一条直线,则对于点A(x, y) 相当于y=b的距离相等,就是x-b=b-x1,x1=2b-x。其他点同理。

    2. 相当于坐标系的平移,对于y=b,相对于整个坐标系向右平移b个单位,则反过来,现在的点(x,y)本来是(x-b,y),那么(x-b,y)关于y轴对称点就是(b-x,y),在将(b-x,y)向右平移b个单位就是(2b-x,y)。其他点同理。

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    点(3,4)的关于x=1,y=1 的对称点分别是(-1,4),(3,-2),(-1,-2)

    ii. 关于过原点直线的对称,包括y=x,y=-x以及y=kx

    尺规作图来说,关于某条直线对称的点,就是找三角形。找对称三角形,三角形的两个重合顶点,可以取对称直线上面的任意点。(为了方便,其中一个取坐标原点),两者的交点就是需要的对称点。当然对应y=x,以及y=-x,有其套路。

    1. (x, y)关于y=x,是(y, x)相当于坐标互换,关于y=-x,是(-y,-x)相当于互换之后在做关于原点的对称点。

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    2. 关于y=kx对称,如同上面说到的,从几何作图角度将是以原点为圆心做过A点做圆,在对称直线上我们取过点和点关于直线垂足点为圆心。

    设点A(x,y),对称点A1(x1,y1)

    则点和对称点的连线和对称直线垂直。

    点和对称点的中点在对称直线上。

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    可以验证点(3,4)关于y=1/2x对称点是(5,0),关于y=2x对称点是(1.4,4.8)
    iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称, iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称,的对称,

    iii. 关于形如y=kx+b的一般直线的对称

    关于一般直线y=kx+b对称,上面说到的y=kx其实类似,以与坐标周交点为圆心做过A点做圆,在对称直线上取过点和点关于直线垂足点为圆心。

    设点A(x,y),对称点A1(x1,y1)

    则点和对称点的连线和对称直线垂直。

    点和对称点的中点在对称直线上。

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    如图,对于A(3,4)关于y=1/2x+1和y=2x+2的对称点分别为(4.2,1.6),(-0.2,5.6)


    b) 圆的有关性质

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  • 下面介绍下求线段和最小值常见题型1,通过关于直线对称得到定点之间直线段长度最短。以下题为例,已知矩形ABCD,AB=8, AD=6.E,F分别为AB,AD的中点。G,H分别为BC,AB上动点。求四边形EFGH周长的最小值。...

    下面介绍下求线段和最小值常见题型1,通过点关于直线对称点得到两定点之间直线段长度最短。

    以下题为例,已知矩形ABCD,AB=8, AD=6.

    E,F分别为AB,AD的中点。G,H分别为BC,AB上动点。求四边形EFGH周长的最小值。

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    对此四边形EFGH,我们可以发现。

    有一条边长EF为定值,那么就是转化成EH+HG+GF的最小值。

    很显然,我们要转化成两点定点的距离。

    这里面的定点就是E和F点。

    但明显E,F不能让G,H在他们练成的直线上。

    那也就是需要将E,F进行移动(包括平移,对称,旋转)但同时要保证变化后的E'H,F'G和原来EH,FG相等。

    此题选用的方法是做E关于AB的对称点,F关于BC的对称点。

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    关于对称轴的对称点很好求,我们易知E'F'的距离为15,EF为5。

    也就是EFGH周长最小值为20

    关于求定点关于定直线的特殊和一般情况请参考下方。

    yi zhang:初中几何基本知识-- 两点之间线段最短和点关于直线的对称点zhuanlan.zhihu.com
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  • 原理:两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为 AB .问题二:(“将军饮马问题”)在直线 l 上求一点 P,使得 PA + PB 值最小 .作法:作点 B 关于直线 l 的对称点 B',连接 AB' 与 l 的交点即为点 P.原理:两点之间线段...

    一、十二个基本问题概述

    问题一:在直线 l 上求一点 P,使得 PA + PB 值最小 .

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    作法:连接 AB,与直线 l 的交点即为 P 点 .

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    原理:两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为 AB .

    问题二:(“将军饮马问题”)在直线 l 上求一点 P,使得 PA + PB 值最小 .

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    作法:作点 B 关于直线 l 的对称点 B',连接 AB' 与 l 的交点即为点 P.

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    原理:两点之间线段最短. PA + PB 最小值为 AB' .

    问题三:在直线 l1、l2 上分别求点 M、N,使得 △PMN 的周长最小.

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    作法:分别作点 P 关于两条直线的对称点 P' 和 P'',连接 P'P'',与两条直线的交点即为点 M,N.

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    原理:两点之间线段最短. PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长.

    问题四:在直线 l1、l2 上分别求点 M、N,使四边形 PQMN 的周长最小.

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    作法:分别作点 Q 、P 关于直线 l1、l2 的对称点 Q' 和 P' 连接 Q'P',与两直线交点即为点 M,N.

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    原理:两点之间线段最短. 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 Q'P' + PQ 的长.

    问题五:(“造桥选址问题”)直线 m∥n,在 m、n 上分别求点 M、N,使 MN⊥m,

    且 AM + MN + BN 的值最小.

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    作法:将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A',连接 A'B,交 n 于点 N,过 N 作 NM⊥m 于 M .

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    原理:两点之间线段最短 . AM + MN + BN 的最小值为 A'B + MN .

    问题六:在直线 l 上求两点 M , N (M 在左),使 MN = a , 并使 AM + MN + NB 的值最小 .

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    作法:将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A',作 A' 关于直线 l 的对称点 A'',连接 A''B 交直线 l 于点 N,

    将 N 点向左平移 a 个单位得 M .

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    原理:两点之间线段最短 . AM + MN + NB 的最小值为 A''B + MN .

    问题七:在 l1 上求点 A,在 l2 上求点 B,使 PA + AB 值最小 .

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    作法:作点 P 关于 l1 的对称点 P',作 P'B⊥l2 于点 B,交 l1 于点 A .

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    原理:点到直线,垂线段的距离最短 . PA + AB 的最小值为线段 P'B 的长 .

    问题八:A 为 l1上一定点,B 为 l2 上一定点,在 l2 上求点 M,在 l1上求点 N,

    使 AM + MN + NB 的值最小 .

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    作法:作点 A 关于 l2 的对称点 A' , 点 B 关于 l1 的对称点 B',连接 A'B' 交 l2 于点 M,交 l1 于点 N.

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    原理:两点之间线段最短. AM + MN + NB 的最小值为线段 A'B' 的长.

    问题九:在直线 l 上求一点 P,使 | PA - PB | 的值最小.

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    作法:连接 AB,作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P 点.

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    原理:垂直平分上的点到线段两端点的距离相等. | PA - PB | = 0 .

    问题十:在直线 l 上求一点 P,使 | PA - PB | 的值最大.

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    作法:作直线 AB,与直线 l 的交点即为 P 点.

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    原理:三角形任意两边之差小于第三边. | PA - PB | ≤ AB , | PA - PB | 的最大值 = AB .

    问题十一:在直线 l 上求一点 P,使 | PA - PB | 的值最大.

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    作法:作点 B 关于直线 l 的对称点 B' 作直线 AB',与直线 l 的交点即为 P 点.

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    原理:三角形任意两边之差小于第三边. | PA - PB | ≤ AB' , | PA - PB | 的最大值 = AB' .

    问题十二:(“费马点”)△ABC 中每一内角都小于 120°,在 △ABC 内求一点 P,

    使得 PA + PB + PC 的值最小 .

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    作法:所求点为 “费马点” ,即满足 ∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .

    以 AB 、 AC 为边向外作等边 △ABD、△ACE,连接 CD、BE 相交于点 P,点 P 即为所求 .

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    原理:两点之间线段最短 . PA + PB + PC 的最小值 = CD .

    二、“费马点” —— 到三点距离之和最小的点

    费马点的构造方法:

    ① 所给三点的连线构成三角形(△ABC),并且这个三角形的每个内角都小于 120°;

    ② 如下图所示:A , B , C 是给定的三点,

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    以 AC 为边向外作正三角形得到点 D , 以 BC 为边向外作正三角形得到点 E ,

    连接 BD 和 AE 交于点 O,我们断言点 O 就是 “费马点” .

    费马点的证明方法:

    先证 △AEC ≌ △DBC .

    △AEC 绕点 C 顺时针旋转 60°,可得到 △DBC,从而 △AEC ≌ △DBC .

    于是 ∠OBC = ∠OEC,所以 O、B、E、C 四点共圆 .

    拓展知识:四点共圆判定方法

    若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点四点共圆 .

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    所以 ∠BOE = ∠BCE = 60°,∠COE = ∠CBE = 60°,

    于是 ∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°,同理可证 ∠AOC = ∠AOB = 120°,

    所以 ∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .

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    将 O 点看作是 AE 上的点,随着 △AEC 一起绕点 C 顺时针旋转 60° 得到点 O2 ,

    所以 ∠OCO2 = 60°,OC = O2C , OA = O2D ,

    所以 △OCO2 是等边三角形,于是有 OO2 = OC .

    所以 BD = OA + OB + OC .

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    如图所示:

    Q为三角形内部一点,求OQ,OB,OA之和的最小值。

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    前面已经讲过常用的线段之和的最小值,要转化为两定点之和。

    yi zhang:初中几何--线段之和最小值 Part 1:通过点关于直线对称点得到两定点之间直线段长度最短。zhuanlan.zhihu.com

    但此题和只有一个定点的Part 4

    yi zhang:初中几何--线段之和的最小值,Part 4, 求定点到一个受约束的动点的距离最小值。zhuanlan.zhihu.com

    相反,有三个定点。多余了一个定点,也不是很好处理。

    那么我们考虑的一个可能方向就是把其中一个定点转化成动点

    如同Part 1 里面讲过,通过绕定点的旋转或者定直线的对称可以移动直线,使得多条线段能在两定点的连线上。

    因为三个定点都在三条定直线(OA,OB,AB)的交点上。

    如A点,他要做对称点OA和AB是不能用的,而对OB做对称点QA和QA'有不相等。

    Q点又是在三角形内部,AQB构成一个三角形。

    那么我们可以尝试以A点为圆心,将BQA旋转一定角度,那么在旋转过程中,

    B'Q'=BQ

    Q'A=QA

    但是问题在于A点不会在OB直线上,无法令OQAB'共线

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    接下来我们考虑如何将AQ'或者是AQ用另外一条线段来代替。

    仔细观察三角形QQ'A,可以发现AQ=AQ', 当QAQ'=60°时候,是一个等边三角形,也就是QQ'=AQ,。

    OQQ'B'是有可能在同一直线上的

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    接下来的问题就变成了。

    当Q点在什么位置时候,OQQ'B'在同一直线。

    观察可以发现,OQQ'共线,QQ'A=60°,则OQA=120°

    同理,B'Q'A=120°,也就是BQA=120°。

    那就是说Q点在三角形内部,和三个顶点的距离连线三等分圆周,形成的夹角均为120°。

    则旋转角度为60°,

    最小值就是

    其实这题的结论,就是业余数学大魔王费马无聊时候的某个发现。

    费马点_百度百科baike.baidu.com
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    虽然这是费马点的比较特殊的情况,但如果没学过费马点的知识,以及了解证明过程,考场中用几分钟想出来还是很难的。

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  • 初中数学公式大全

    千次阅读 2008-10-08 21:51:00
    初中数学公式大全/**********************************************************************/第一部分:概念与定理 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 ...
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空空如也

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初中两点之间线段最短