0
2 函数公式
② 
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
与
与
与
与
及
与
【和差角公式】
所在的象限决定)
，由此可以得出，AD=ACsinC，将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到：
，同理，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。
一、二次函数的基础知识
1、参见各种高三复习的资料，暂略。
2、补充二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)为偶函数，则\(b=0\)；
二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)的值域若为\([0，+\infty)\)，则\(a>0\)且\(\Delta=0\)；若值域为\((-\infty，0]\)，则\(a<0\)且\(\Delta=0\)；
二、二次函数在高中怎么突然变得难学了？
- 对二次函数的图像和性质的学习研究更细致了，比如二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)，
一般来说初中研究的二次函数的定义域是默认的\(R\)，而高中研究定义域往往会变成\(R\)的一个子集，比如\(x\in [3，7]\)，或\(x\in[0，+\infty)\)，
- 定义域变化，往往会引起函数的性质的变化，好多学生恰恰没有意识到这一点。
以配图为例，红色的是函数\(y=2x^2-x-3，x\in R\)的图像，这时候函数的性质比较简单，比如有对称性，对称轴是\(x=\cfrac{1}{4}\)，没有单调性，此时只有最小值，
蓝色的是函数\(y=x^2-5x+2，x\in [1，5]\)的图像，此时定义域变成\(R\)的一个子集，这时候函数的性质就变得复杂了，此时没有了对称性，也没有单调性，但是有了最小值也有最大值。如果定义域变成\(x\in [3，5]\)，那么此时又有了单调性，且有最大值和最小值。
- 有些问题如果借助二次函数求解会变得简单， 比如利用图像确定二次方程的根的分布，如下例题。
\(\fbox{例1}\)如果方程\(x^2+(m-1)x+m^2-2=0\)的两个实根一个小于\(-1\)，另一个大于\(1\)，那么实数\(m\)的取值范围是\(（\qquad）\)。
法1：如果你想到用求根公式表达出\(x_1<-1\)，\(x_2>1\)，这样的思维往往也没有错，但是思维的层次就有点低了，因为仅仅想到用数来表达，而没有想到借助形来简化运算，况且转化后得到的是无理不等式，求解过程本身就很复杂。
法2：我们一般利用其对应函数的图像来控制方程根的分布，所以设\(f(x)=x^2+(m-1)x+m^2-2\)，做出适合题意的函数\(f(x)\)的大致图像，有图像可知，此时只须满足条件：\(\begin{cases} f(-1)<0 \\ f(1)<0 \end{cases}\)即可，下来解不等式就可以了。即求解\(\begin{cases}1-(m-1)+m^2-2<0 \\ 1+(m-1)+m^2-2<0 \end{cases}\)，
这样的二次不等式的求解应该比法1简单。
- 转化为二次函数求解，比如求函数\(f(x)=x+\sqrt{3x-2}\)的值域；
分析：令\(\sqrt{3x-2}=t(t\ge 0)\)，则\(x=\cfrac{t^2+2}{3}\)，那么原函数就变为\(f(x)=x+\sqrt{3x-2}=\cfrac{t^2+2}{3}+t=g(t)\)，这样求原函数\(f(x)\)的值域问题，就转化为了新的二次函数\(g(t)\)的值域问题了，
三、为什么说掌握二次函数是高考成败的一个关键
1、90%的解不等式就是二次不等式，借助二次函数来完成，比如\(x^2+3x+2>0\)。
2、字母系数的二次不等式即含参不等式，比如解关于\(x\)的不等式\(x^2+(a^2+a)x+a^3>0\)。
3、涉及到分类讨论思想，数形结合思想，转化划归思想 比如定轴动区间，动轴定区间问题
\(\fbox{例2}\)已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx(a,b\in R,a\neq 0)\)，满足条件\(f(x-1)=f(3-x)\)，且方程\(f(x)=2x\)有两个相等实数根，
(1)求\(f(x)\)的解析式；
(2)求\(f(x)\)在\([0，t]\)上的最大值。
解析：(1)属于求解析式问题。由\(f(x-1)=f(3-x)\)可知，函数\(f(x)\)的对称轴为\(-\dfrac{b}{2a}=1\)，又方程\(ax^2+bx-2x=0\)有两个相等实数根，故\(\Delta=(b-2)^2=0\)，联立两式解得\(a=-1,b=2\)，则函数\(f(x)=-x^2+2x\);
(2)到此，问题转化为二次函数在动区间上的最值问题了，往往需要数形结合解决题目。\(f(x)=-(x-1)^2+1\)，对称轴是直线\(x=1\)，自变量\(x\in [0，t]\)，
当\(0\leq t\leq 1\)时，\(f(x)\)在区间\([0，t]\)上单调递增，故\(f(x)_{max}=f(t)=-t^2+2t\)；
当\(t>1\)时，\(f(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递增，在区间\([1，t]\)上单调递减，故\(f(x)_{max}=f(1)=1\)；
故\(f(x)_{max}=\begin{cases}-t^2+2t,&0\leq t\leq 1\\1,&t>1 \end{cases}\).
4、用导数解决单调性问题，往往就成了解二次不等式。
\(\fbox{例3}\)已知函数\(f(x)=\cfrac{ax+b}{x}\cdot e^x，a、b\in R，a>0\)，
(1).若函数\(f(x)\)在\(x=-1\)处取到极值\(\cfrac{1}{e}\)，试求函数\(f(x)\)的解析式和单调区间；
提示：\(f'(-1)=0，f(-1)=\cfrac{1}{e}\)，分别求得\(a-2b=0\)和\(a-b=1\)，联立求得\(a=2，b=1\)；则\(f(x)=\cfrac{2x+1}{x}\cdot e^x\)；
求解单调区间，实质就是解不等式\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)和\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}<0\)，此时可以通过穿根法解分式不等式。\((-\infty，-1)和(\cfrac{1}{2}，+\infty)\)单调递增；\((-1，0)和(0，\cfrac{1}{2})\)单调递减；
\(\fbox{例4}\)已知函数\(f(x)=x^2+2mlnx-(m+4)x+lnm+2\)．
（Ⅱ）当\(m＞0\)时，试讨论函数\(f(x)\)的单调性；
解析：（Ⅱ）\(f'(x)=2x+\cfrac{2m}{x}-(m+4)=\cfrac{2x^2-(m+4)x+2m}{x}=\cfrac{(x-2)(2x-m)}{x}\)，
令\(f'(x)=0\)，得到\(x=2\)或\(x=\cfrac{m}{2}>0\)，只需要借助分子函数的图像，即可判断导函数的正负，
当\(0<\cfrac{m}{2}<2\)时，即\(0<m<4\)时，
\(x\in (0，\cfrac{m}{2})\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
\(x\in (\cfrac{m}{2}，2)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，
\(x\in (2，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
当\(\cfrac{m}{2}=2\)时，即\(m=4\)时，此时\(f'(x)\ge 0\)恒成立，当且仅当\(x=2\)时取得等号，故\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，
当\(\cfrac{m}{2}>2\)时，即\(m>4\)时， \(x\in (0，2)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
\(x\in (2，\cfrac{m}{2})\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，
\(x\in (\cfrac{m}{2}，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
综上所述，当\(0<m<4\)时， \(x\in (0，\cfrac{m}{2})\)时，\(f(x)\)单调递增， \(x\in (\cfrac{m}{2}，2)\)时，\(f(x)\)单调递减，\(x\in (2，+\infty)\)时，\(f(x)\)单调递增，
当\(m=4\)时，\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，
当\(m>4\)时， \(x\in (0，2)\)时，\(f(x)\)单调递增， \(x\in (2，\cfrac{m}{2})\)时，\(f(x)\)单调递减， \(x\in (\cfrac{m}{2}，+\infty)\)时，\(f(x)\)单调递增。
\(\fbox{例5}\)【二次函数恒成立模型】
已知[仿二次]函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{a=b=0}\\{c\ge 0}\end{array}\right.\)。
已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)；
已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{\Delta \leq 0}\end{array}\right.\)；
已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a> 0)\)在\([m，n]\)上恒成立的充要条件的写法有两种形式：
其一是\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m<-\cfrac{b}{2a}<n}\\{f(-\cfrac{b}{2a})\ge 0}\end{array}\right.\)；
其二是\(\Delta \leq 0\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)
- 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a> 0)\)在\([m，n]\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{f(m)\leq 0}\\{f(n)\leq 0}\end{array}\right.\)；
\(\fbox{例10}\)【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第6题】
已知函数\(f(x)=x^2+2(a-2)x+4\)，如果对\(x\in [-3，1]\)，\(f(x)>0\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是_______。
【法1：二次函数在定区间上恒成立，分类标准为\(\Delta\)+对称轴】
\(f(x)=x^2+2(a-2)x+4\)，对称轴为\(2-a\)，\(\Delta=4(a-2)^2-16=4(a^2-4a)\)，
由对\(x\in [-3，1]\)，\(f(x)>0\)恒成立，可以分为以下几种，
①\(\Delta <0\)或②\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta\ge 0}\\{2-a\leq -3}\\{f(-3)>0}\end{array}\right.\)或③\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta\ge 0}\\{2-a\ge 1}\\{f(1)>0}\end{array}\right.\)；
解①得到，\(0<a<4\)；
解②得到，\(a\in \varnothing\)；
解③得到，\(-\cfrac{1}{2}<a\leq 0\)；
综上所述，\(a\in(-\cfrac{1}{2}，4)\)。
【法2：二次函数在定区间上恒成立，分类标准仅仅为对称轴】
\(f(x)=x^2+2(a-2)x+4\)，对称轴为\(2-a\)，
由对\(x\in [-3，1]\)，\(f(x)>0\)恒成立，只需要\(f(x)_{min}>0\)即可；
针对对称轴和给定区间的位置关系可以分为以下几种，
①\(\left\{\begin{array}{l}{2-a\leq -3}\\{f(-3)>0}\end{array}\right.\)或②\(\left\{\begin{array}{l}{-3<2-a<1}\\{f(2-a)>0}\end{array}\right.\)或③\(\left\{\begin{array}{l}{2-a\ge 1}\\{f(1)>0}\end{array}\right.\)；
解①得到，\(a\in \varnothing\)；
解②得到，\(1<a<4\)；
解③得到，\(-\cfrac{1}{2}<a\leq 1\)；
综上所述，\(a\in(-\cfrac{1}{2}，4)\)。
【法3：分离参数法+分类讨论】
转化为\(2xa>-x^2+4x-4\)在区间\(x\in [-3，1]\)上恒成立，
①当\(x=0\)时，\(a\in R\)都成立；
②当\(0<x\leq 1\)时，\(a>\cfrac{-x^2+4x-4}{2x}=-\cfrac{x}{2}-\cfrac{2}{x}+2=g(x)\)恒成立，
即\(a>g(x)_{max}\)，用对勾函数可以求得当\(0<x\leq 1\)时的\(g(x)_{max}=g(1)=-\cfrac{1}{2}\)；
故\(a>-\cfrac{1}{2}\)；
③当\(-3\leq x<0\)时，\(a<\cfrac{-x^2+4x-4}{2x}=-\cfrac{x}{2}-\cfrac{2}{x}+2=g(x)\)恒成立，
即\(a<g(x)_{min}\)，用对勾函数可以求得当\(-3\leq x<0\)时的\(g(x)_{min}=g(-2)=4\)；
故\(a<4\)；
综上所述，以上情况取交集，得到\(a\in(-\cfrac{1}{2}，4)\)。
解后反思：
①当针对参数分类讨论时，最后的结果必须求并集；当针对自变量分类讨论时，最后的结果必须求交集；
②整理出方法3只是为了说明这种方法也是可行的，但是碰到这类题目我们一般不采用方法3；
其中本题目求解中省略了求函数\(g(x)\)的两个最值的大量的篇幅。如果补充就等于我们一次做了2-3个题目，
从效率上说很不划算。
\(\fbox{例6}\)【定轴动区间问题】
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①y=ax²；
②y=ax²+k；
③y=a(x - h)²；
④y=a(x - h)²+k；
⑤y=ax²+bx+c.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下；
|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.
7.顶点决定抛物线的位置.
几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：
∴顶点是:
对称轴是直线:
(2)配方法：
运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)²+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.
(3)运用抛物线的对称性
：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线y=ax²+bx+c中，a、b、c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小，这与y=ax²中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线
(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；
③
(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧.
(3)的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置.
当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点(0，c)：
①c=0，抛物线经过原点;
②c>0，与y轴交于正半轴；
③c<0，与y轴交于负半轴.
以上三点当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：y=ax²+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：y=a(x - h)²+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式:y=a(x-x1)(x-x2).
12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线y=ax²+bx+c得交点为(0, c).
(2)与y轴平行的直线X=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(h, ah²+bh+c)
(3)抛物线与轴的交点
二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点Û△>0Û抛物线与x轴相交；
②有一个交点(顶点在x轴上)Û△=0Û抛物线与x轴相切；
③没有交点Û△<0Û抛物线与轴相离.
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时L与G有两个交点;
②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；
③方程组无解时L与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点为A(x1,0),B(x2,0)，由于x1、x2是方程ax²+bx+c=0的两个根，故
