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  • 知识点总结:1】 利润问题:利润公式、化简求最值,注意自变量取值范围。2】 与几何图形的结合:篱笆问题、拱形桥3】 只有几何问题的题型:利用解直角三角形来设函数关系式,进而求最值: 动点4】 线段和周长最短...
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    知识点总结:

    1】 利润问题:利润公式、化简求最值,注意自变量取值范围。

    2】 与几何图形的结合:篱笆问题、拱形桥

    3】 只有几何问题的题型:利用解直角三角形来设函数关系式,进而求最值: 动点

    4】 线段和周长最短(将军饮马问题): 动点

    5】 函数中存在特殊图形的情况:等腰三角形寻找两腰相等,平行四边形寻找对边平行且相等,直角三角形运用相似比和勾股定理: 动点

    6】 求面积:直接表示法,割补法: 动点

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    例1、某工厂现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品.现准备增加一批同类机器以提高生产总量.在试生产中发现,由于其他生产条件没有改变,因此,每增加一台机器,每台机器平均每天将减少生产4件产品.

    (1)如果增加x台机器,每天的生产总量为y件,请写出y与x之间的函数关系式;

    (2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?

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    例2、如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC,BC为斜边在的同侧作两个等要直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是______________

    d864e2c0cd4c73cedf86fe60980079e5.png

    例3、如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米,现以O为原点米,OM所在的直线为x轴建立直角坐标系。

    (1)直接写出点M的坐标及抛物线顶点P的坐标;(2)求这条抛物线的解析式;

    (3)若有搭建一个矩形的“支撑架”AD-DC-CB,使C,D点在抛物线上,A,B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?

    73782f0476f437886f418e4b1e839000.png

    例4、如图,一元二次方程的二根x1,x2(x1<x2)是抛物线与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).

    (1)求此二次函数的解析式;

    (2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;

    (3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.

    8824964f371f738d84efe24cf64c28a4.png

    例5、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2+mx+n经过A(3,0)、B(0,-3)两点,点P是直线AB上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.

    (1)求抛物线的解析式

    (2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当△ABM的面积最大时,求△ABM的AB边上的高;

    练习

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    1、(泰安市一模)如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合),不管E、F怎样动,始终保持AE⊥EF.设BE=x,DF=y,则y是x的函数,函数关系式是(  )

    a395010a6a69c1f3bcc9e1bd21d9528e.png

    2、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=,AD=5,BC=3,

    1) 求经过A、C、D三点的抛物线的解析式

    2) 在抛物线对称轴上找一点P使PA+PB最小,求出最小值和P的坐标

    3) 若点M是直线AC上方抛物线上一个动点,设点M的横坐标为m,△ACM的面积为S,求S与m的函数关系式,并求出m取何值时,S取得最大值

    15ae408bbe8a8dc7ac5c611ed031b8d2.png

    3、如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=.

    (1)求这个二次函数的表达式.

    (2)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

    4d02fd62dccc7504e980502e1e1d5b9e.png

    4、如图,在平面直角坐标系中,△OAB是等腰三角形,BO=BA=5,OA=6,OH⊥AB于点H,点P从点H出发,沿线段HO向点O运动,点Q从点O出发,沿y轴正半轴方向运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,点P运动到O即停止,设运动时间为t秒.

    (1)求点B坐标和OH的长;

    (2)设△OPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求t为何值时,△OPQ的面积最大,最大值是多少?

    (3)当△OPQ为等腰三角形时,求运动时间t的值.

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    0 1  定义式

    e311c31e4f07afadc98fd9c0a232057e.png

    cfcbc6f13cffa54be910678fa3e6e168.png0 2  函数公式

    倒数关系:

    f52cc59ed6b7902caa85f9ea99a94b8e.png   

    80a21499f36f63b3625f1859df3f249a.png  

    bd49aac49de4c47aa939239c4aa2371b.png

    商数关系:

    ① 619a601a60739a0597d01f55b3aa744f.png    ② ec251e28ac8e8575c124b7180d7f5feb.png 

    平方关系:

    3c32304ab9f5199f558202a5571d18bc.png   

    75cabd6f9a52238766784beed94e0f32.png   

    7f3e922c09d40c9120f2cdde5d5b0d6a.png 

    cfcbc6f13cffa54be910678fa3e6e168.png0 3  诱导公式

    公式1:设ff7952766ab2341346d0513292e84afe.png为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

    ed11f6ec8daa2a1208df62402a41d98f.png

    公式2:设ff7952766ab2341346d0513292e84afe.png为任意角,8fc7f92614d1ee98c01e3726f593abb7.pngff7952766ab2341346d0513292e84afe.png 的三角函数值之间的关系:

    060085e35b41b1846fdb4b9af96681d3.png

    公式3:任意角6ac6a5411c08bf13981afe052c45129a.pngff7952766ab2341346d0513292e84afe.png的三角函数值之间的关系:

    33332a47a2d976734d364e3de3e200e5.png

    公式4:f06bcf2ceebed3f49d26d8f506450fb4.pngff7952766ab2341346d0513292e84afe.png的三角函数值之间的关系:

    a36cd02b376410e06e61869193378c51.png

    公式5:8c221273767bc939b4c6586e0ee747c2.pngff7952766ab2341346d0513292e84afe.png的三角函数值之间的关系:

    c491d38d718af509a917accb90ec87b8.png

    公式6:6a2997008f6f4562a122ff2c11fdb8cd.png71036a9b0b8ec2784b14f2621790961f.pngff7952766ab2341346d0513292e84afe.png的三角函数值之间的关系:

    1fc26da17e21a5a1e7f888d3f3a7265e.png

    记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限,即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。

    cfcbc6f13cffa54be910678fa3e6e168.png0 4  基本公式 ffcdfa58acfaa3a1da922fd2d67ec191.png 【和差角公式】

    ◆  二角和差公式

    6fda2674b8152c341335f9546707781e.png

    b2a43be6141e100c8be76e5fab71d340.png

    ◆  三角和公式

    b3d7778e6bd55f38c4d03093a606fe3d.png

    【和差化积公式】

    613eb070c5a4e5a370d8c082b86eab48.png

    口诀:

    正加正,正在前,余加余,余并肩,

    正减正,余在前,余减余,负正弦.

    【积化和差公式】

    e7fa64c4c4e9d0073b6ac0d596ea1416.png

    6f9cbb4e7e84d4254bd13642ed7dc705.png

    bcc52a7b7e8821506256e3f14ceae360.png

    96294b8cbb9f0ef050e3dd5b58342df8.png

    【倍角公式】

    ◆  二倍角公式

    f3d088d742cc123b44d2865fcc5ddc82.png

    ◆  三倍角公式

    e641c260deea3d52c18fc0eda48a1b79.png

    f44e21e2a6623c3994e8689b7c180908.png

    48afdf3db7ebdcb4919101639a17cc7e.png

    516388b3f43677408193de6465271bc4.png

    4a692ecd10a740c1a707f6d2660a5d95.png

    ◆  四倍角公式

    sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]

    cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)

    tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)

    ◆  五倍角公式

    8a76b7f7333ac873bc13f33d0af0750c.png

    4adfef55e9516baa7aba829e86a8c2f7.png

    fc0873dce9769fe75ae5cbdbc8c6763f.png

    ◆  半角公式

    033c627f62729f03542cc23891118d05.png

    (正负由928d3cf46e82c24dd65eea98d3829ed5.png所在的象限决定)

    ◆  万能公式

    b0a1440814b0b6c97ea1013462fc7a77.png

    ◆  辅助角公式

    a4dc427e4dc8527d4f1d2a0e5b3af882.png

    ◆  余弦定理

    a7025415d5c5a15cf66a6eff4f3a1768.png

    ◆  三角函数公式算面积

    定理:在△ABC中,其面积就应该是底边对应的高的1/2,不妨设BC边对应的高是AD,那么△ABC的面积就是AD*BC*1/2。而AD是垂直于BC的,这样△ADC就是直角三角形了,显然 a983757b34839b911ab7654e5c92e476.png,由此可以得出,AD=ACsinC,将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到:d92234e0f82fcbbcc2a5663b52600386.png,同理,即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。

    ◆  公式:

    若△ABC中角A,B,C所对的三边是a,b,c:

    则S△ABC=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB.

    ◆  反三角函数

    反三角函数主要是三个:   

     y=arcsin(x),定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]   

    y=arccos(x),定义域[-1,1] , 值域[0,π]   

     y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2)    

    sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】

    ◆  反三角函数公式:

    arcsin(-x)=-arcsinx  

    arccos(-x)=π-arccosx 

    arctan(-x)=-arctanx

    arccot(-x)=π-arccotx

    arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx   sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

    当x∈〔—π/2,π/2〕时,有arcsin(sinx)=x  

    当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x

       x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x

       x∈(0,π),arccot(cotx)=x   x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似  

    若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2),

    则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 

    35043ee4de4a245afefc0f20234451ef.png

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  • 二次函数

    2017-08-02 10:05:00
    一、二次函数的基础知识 1、参见各种高三复习的资料,暂略。 2、补充二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)为偶函数,则\(b=0\); 二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)的值域若为\([0,+\infty)\),则\(a>0\)且\(\...

    一、二次函数的基础知识

    • 1、参见各种高三复习的资料,暂略。

    • 2、补充二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)为偶函数,则\(b=0\)

    二次函数\(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)的值域若为\([0,+\infty)\),则\(a>0\)\(\Delta=0\);若值域为\((-\infty,0]\),则\(a<0\)\(\Delta=0\)

    二、二次函数在高中怎么突然变得难学了?

    992978-20170802114451255-2065863929.png

    • 对二次函数的图像和性质的学习研究更细致了,比如二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)

    一般来说初中研究的二次函数的定义域是默认的\(R\),而高中研究定义域往往会变成\(R\)的一个子集,比如\(x\in [3,7]\),或\(x\in[0,+\infty)\)

    • 定义域变化,往往会引起函数的性质的变化,好多学生恰恰没有意识到这一点。

    以配图为例,红色的是函数\(y=2x^2-x-3,x\in R\)的图像,这时候函数的性质比较简单,比如有对称性,对称轴是\(x=\cfrac{1}{4}\),没有单调性,此时只有最小值,

    蓝色的是函数\(y=x^2-5x+2,x\in [1,5]\)的图像,此时定义域变成\(R\)的一个子集,这时候函数的性质就变得复杂了,此时没有了对称性,也没有单调性,但是有了最小值也有最大值。如果定义域变成\(x\in [3,5]\),那么此时又有了单调性,且有最大值和最小值。

    • 有些问题如果借助二次函数求解会变得简单, 比如利用图像确定二次方程的根的分布,如下例题。

    992978-20170719093450505-234958457.png
    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例1}\)如果方程\(x^2+(m-1)x+m^2-2=0\)的两个实根一个小于\(-1\),另一个大于\(1\),那么实数\(m\)的取值范围是\((\qquad)\)

    法1:如果你想到用求根公式表达出\(x_1<-1\)\(x_2>1\),这样的思维往往也没有错,但是思维的层次就有点低了,因为仅仅想到用数来表达,而没有想到借助形来简化运算,况且转化后得到的是无理不等式,求解过程本身就很复杂。

    法2:我们一般利用其对应函数的图像来控制方程根的分布,所以设\(f(x)=x^2+(m-1)x+m^2-2\),做出适合题意的函数\(f(x)\)的大致图像,有图像可知,此时只须满足条件:\(\begin{cases} f(-1)<0 \\ f(1)<0 \end{cases}\)即可,下来解不等式就可以了。即求解\(\begin{cases}1-(m-1)+m^2-2<0 \\ 1+(m-1)+m^2-2<0 \end{cases}\)

    这样的二次不等式的求解应该比法1简单。

    • 转化为二次函数求解,比如求函数\(f(x)=x+\sqrt{3x-2}\)的值域;

    分析:令\(\sqrt{3x-2}=t(t\ge 0)\),则\(x=\cfrac{t^2+2}{3}\),那么原函数就变为\(f(x)=x+\sqrt{3x-2}=\cfrac{t^2+2}{3}+t=g(t)\),这样求原函数\(f(x)\)的值域问题,就转化为了新的二次函数\(g(t)\)的值域问题了,

    三、为什么说掌握二次函数是高考成败的一个关键

    1、90%的解不等式就是二次不等式,借助二次函数来完成,比如\(x^2+3x+2>0\)

    2、字母系数的二次不等式即含参不等式,比如解关于\(x\)的不等式\(x^2+(a^2+a)x+a^3>0\)

    3、涉及到分类讨论思想,数形结合思想,转化划归思想 比如定轴动区间,动轴定区间问题

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例2}\)已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx(a,b\in R,a\neq 0)\),满足条件\(f(x-1)=f(3-x)\),且方程\(f(x)=2x\)有两个相等实数根,

    (1)求\(f(x)\)的解析式;

    (2)求\(f(x)\)\([0,t]\)上的最大值。

    解析:(1)属于求解析式问题。由\(f(x-1)=f(3-x)\)可知,函数\(f(x)\)的对称轴为\(-\dfrac{b}{2a}=1\),又方程\(ax^2+bx-2x=0\)有两个相等实数根,故\(\Delta=(b-2)^2=0\),联立两式解得\(a=-1,b=2\),则函数\(f(x)=-x^2+2x\);

    (2)到此,问题转化为二次函数在动区间上的最值问题了,往往需要数形结合解决题目。\(f(x)=-(x-1)^2+1\),对称轴是直线\(x=1\),自变量\(x\in [0,t]\)

    \(0\leq t\leq 1\)时,\(f(x)\)在区间\([0,t]\)上单调递增,故\(f(x)_{max}=f(t)=-t^2+2t\)

    \(t>1\)时,\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上单调递增,在区间\([1,t]\)上单调递减,故\(f(x)_{max}=f(1)=1\)

    \(f(x)_{max}=\begin{cases}-t^2+2t,&0\leq t\leq 1\\1,&t>1 \end{cases}\).

    4、用导数解决单调性问题,往往就成了解二次不等式。

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例3}\)已知函数\(f(x)=\cfrac{ax+b}{x}\cdot e^x,a、b\in R,a>0\)

    (1).若函数\(f(x)\)\(x=-1\)处取到极值\(\cfrac{1}{e}\),试求函数\(f(x)\)的解析式和单调区间;

    提示:\(f'(-1)=0,f(-1)=\cfrac{1}{e}\),分别求得\(a-2b=0\)\(a-b=1\),联立求得\(a=2,b=1\);则\(f(x)=\cfrac{2x+1}{x}\cdot e^x\)

    求解单调区间,实质就是解不等式\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}<0\),此时可以通过穿根法解分式不等式。\((-\infty,-1)和(\cfrac{1}{2},+\infty)\)单调递增;\((-1,0)和(0,\cfrac{1}{2})\)单调递减;

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例4}\)已知函数\(f(x)=x^2+2mlnx-(m+4)x+lnm+2\)

    (Ⅱ)当\(m>0\)时,试讨论函数\(f(x)\)的单调性;

    解析:(Ⅱ)\(f'(x)=2x+\cfrac{2m}{x}-(m+4)=\cfrac{2x^2-(m+4)x+2m}{x}=\cfrac{(x-2)(2x-m)}{x}\)

    \(f'(x)=0\),得到\(x=2\)\(x=\cfrac{m}{2}>0\),只需要借助分子函数的图像,即可判断导函数的正负,

    \(0<\cfrac{m}{2}<2\)时,即\(0<m<4\)时,

    \(x\in (0,\cfrac{m}{2})\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\)单调递增,

    \(x\in (\cfrac{m}{2},2)\)时,\(f'(x)<0\)\(f(x)\)单调递减,

    \(x\in (2,+\infty)\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\)单调递增,

    \(\cfrac{m}{2}=2\)时,即\(m=4\)时,此时\(f'(x)\ge 0\)恒成立,当且仅当\(x=2\)时取得等号,故\(f(x)\)\((0,+\infty)\)上单调递增,

    \(\cfrac{m}{2}>2\)时,即\(m>4\)时, \(x\in (0,2)\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\)单调递增,

    \(x\in (2,\cfrac{m}{2})\)时,\(f'(x)<0\)\(f(x)\)单调递减,

    \(x\in (\cfrac{m}{2},+\infty)\)时,\(f'(x)>0\)\(f(x)\)单调递增,

    综上所述,当\(0<m<4\)时, \(x\in (0,\cfrac{m}{2})\)时,\(f(x)\)单调递增, \(x\in (\cfrac{m}{2},2)\)时,\(f(x)\)单调递减,\(x\in (2,+\infty)\)时,\(f(x)\)单调递增,

    \(m=4\)时,\(f(x)\)\((0,+\infty)\)上单调递增,

    \(m>4\)时, \(x\in (0,2)\)时,\(f(x)\)单调递增, \(x\in (2,\cfrac{m}{2})\)时,\(f(x)\)单调递减, \(x\in (\cfrac{m}{2},+\infty)\)时,\(f(x)\)单调递增。

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例5}\)【二次函数恒成立模型】

    • 已知[仿二次]函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0\)\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}{a=b=0}\\{c\ge 0}\end{array}\right.\)

    • 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a\neq 0)\)\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)

    • 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a\neq 0)\)\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{\Delta \leq 0}\end{array}\right.\)

    • 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a> 0)\)\([m,n]\)上恒成立的充要条件的写法有两种形式:

    其一是\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}{m<-\cfrac{b}{2a}<n}\\{f(-\cfrac{b}{2a})\ge 0}\end{array}\right.\)

    其二是\(\Delta \leq 0\)\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)

    • 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a> 0)\)\([m,n]\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{f(m)\leq 0}\\{f(n)\leq 0}\end{array}\right.\)

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例10}\)【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第6题】

    已知函数\(f(x)=x^2+2(a-2)x+4\),如果对\(x\in [-3,1]\)\(f(x)>0\)恒成立,则实数\(a\)的取值范围是_______。

    【法1:二次函数在定区间上恒成立,分类标准为\(\Delta\)+对称轴】

    \(f(x)=x^2+2(a-2)x+4\),对称轴为\(2-a\)\(\Delta=4(a-2)^2-16=4(a^2-4a)\)

    由对\(x\in [-3,1]\)\(f(x)>0\)恒成立,可以分为以下几种,

    \(\Delta <0\)或②\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta\ge 0}\\{2-a\leq -3}\\{f(-3)>0}\end{array}\right.\)或③\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta\ge 0}\\{2-a\ge 1}\\{f(1)>0}\end{array}\right.\)

    解①得到,\(0<a<4\)

    解②得到,\(a\in \varnothing\)

    解③得到,\(-\cfrac{1}{2}<a\leq 0\)

    综上所述,\(a\in(-\cfrac{1}{2},4)\)

    【法2:二次函数在定区间上恒成立,分类标准仅仅为对称轴】

    \(f(x)=x^2+2(a-2)x+4\),对称轴为\(2-a\)

    由对\(x\in [-3,1]\)\(f(x)>0\)恒成立,只需要\(f(x)_{min}>0\)即可;

    针对对称轴和给定区间的位置关系可以分为以下几种,

    \(\left\{\begin{array}{l}{2-a\leq -3}\\{f(-3)>0}\end{array}\right.\)或②\(\left\{\begin{array}{l}{-3<2-a<1}\\{f(2-a)>0}\end{array}\right.\)或③\(\left\{\begin{array}{l}{2-a\ge 1}\\{f(1)>0}\end{array}\right.\)

    解①得到,\(a\in \varnothing\)

    解②得到,\(1<a<4\)

    解③得到,\(-\cfrac{1}{2}<a\leq 1\)

    综上所述,\(a\in(-\cfrac{1}{2},4)\)

    【法3:分离参数法+分类讨论】

    转化为\(2xa>-x^2+4x-4\)在区间\(x\in [-3,1]\)上恒成立,

    ①当\(x=0\)时,\(a\in R\)都成立;

    ②当\(0<x\leq 1\)时,\(a>\cfrac{-x^2+4x-4}{2x}=-\cfrac{x}{2}-\cfrac{2}{x}+2=g(x)\)恒成立,

    \(a>g(x)_{max}\),用对勾函数可以求得当\(0<x\leq 1\)时的\(g(x)_{max}=g(1)=-\cfrac{1}{2}\)

    \(a>-\cfrac{1}{2}\)

    ③当\(-3\leq x<0\)时,\(a<\cfrac{-x^2+4x-4}{2x}=-\cfrac{x}{2}-\cfrac{2}{x}+2=g(x)\)恒成立,

    \(a<g(x)_{min}\),用对勾函数可以求得当\(-3\leq x<0\)时的\(g(x)_{min}=g(-2)=4\)

    \(a<4\)

    综上所述,以上情况取交集,得到\(a\in(-\cfrac{1}{2},4)\)

    解后反思:

    ①当针对参数分类讨论时,最后的结果必须求并集;当针对自变量分类讨论时,最后的结果必须求交集;

    ②整理出方法3只是为了说明这种方法也是可行的,但是碰到这类题目我们一般不采用方法3;

    其中本题目求解中省略了求函数\(g(x)\)的两个最值的大量的篇幅。如果补充就等于我们一次做了2-3个题目,

    从效率上说很不划算。

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例6}\)【定轴动区间问题】

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7272367.html

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    二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)

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    244b08834703f2ff8c9274665ee5ce54.png

    二次函数

    知识网络:

    7831d16cc854f54276132c20d17fff60.png

    知识点梳理: 1. 定义: 一般地,如果 y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y=ax²的性质 (1)抛物线y=ax²的顶点是坐标原点,对称轴是y轴. (2)函数y=ax²的图像与a的符号关系.  ①当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点; ②当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点. (3)顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为y=ax²(a≠0). 3.二次函数 y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成: y=a(x - h)²+k 的形式,其中 7a39d2e6970b96abd9304245743c3c59.png 5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ①y=ax²; ②y=ax²+k; ③y=a(x - h)²; ④y=a(x - h)²+k; ⑤y=ax²+bx+c. 6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.  ①a的符号决定抛物线的开口方向: 当a>0时,开口向上; 当a<0时,开口向下; |a|相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地,y轴记作直线x=0. 7.顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法: faca931432c1520fee91c42dc7cec233.png ∴顶点是: aa646795eafbcb766596e884d9cb73ee.png 对称轴是直线: 8604fd1c47ddf9e02b3606f07393cc9a.png (2)配方法: 运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y=a(x-h)²+k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线x=h. (3)运用抛物线的对称性 :由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线y=ax²+bx+c中,abc的作用 (1)a决定开口方向及开口大小,这与y=ax²中的a完全一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线 8604fd1c47ddf9e02b3606f07393cc9a.png ,故: ①b=0时,对称轴为y轴; ② a6f2e438ae7355c77cf42ca2bae60765.png (即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧; ③ c2adbb96034c9f832014a29883b3e9b3.png (即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. (3)的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置.  当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c):  ①c=0,抛物线经过原点;  ②c>0,与y轴交于正半轴;  ③c<0,与y轴交于负半轴. 以上三点当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 c2adbb96034c9f832014a29883b3e9b3.png 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 29526dc7080909ae7e124378e3914928.png 11.用待定系数法求二次函数的解析式  (1)一般式:y=ax²+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.  (2)顶点式:y=a(x - h)²+k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.  (3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y=a(x-x1)(x-x2). 12.直线与抛物线的交点  (1)y轴与抛物线y=ax²+bx+c得交点为(0, c).  (2)与y轴平行的直线X=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(h, ah²+bh+c) (3)抛物线与轴的交点   二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:   ①有两个交点Û△>0Û抛物线与x轴相交;   ②有一个交点(顶点在x轴上)Û△=0Û抛物线与x轴相切;   ③没有交点Û△<0Û抛物线与轴相离.

    512400a2c8bd672984f2d5cddd61a187.png

    (4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax²+bx+c=k的两个实数根.  (5)一次函数y=kx+n(k≠0)的图像L与二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像G的交点,由方程组 49f52894c3601ec74c14e977fe3162ca.png 的解的数目来确定: ①方程组有两组不同的解时L与G有两个交点;  ②方程组只有一组解时L与G只有一个交点; ③方程组无解时L与G没有交点. (6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点为A(x1,0),B(x2,0),由于x1、x2是方程ax²+bx+c=0的两个根,故 a07f3df526d09ef356cc37ac47785cb5.png 3617e249e940e2aef3fc6a76aa317fd5.png

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