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  • 小学数学中,学生学习的数的取值范围,主要是大于或等于0的数,对于负数只是略有接触,并不涉及到运算。进入初中后,学生学习的数的...实数的有关概念及实数的性质和运算,是初中数学的基础知识,也是中考的必考内容...

    小学数学中,学生学习的数的取值范围,主要是大于或等于0的数,对于负数只是略有接触,并不涉及到运算。

    进入初中后,学生学习的数的范围有两次扩充。七年级上册第一章(有理数)的学习,是数的范围的第一次扩充。学习内容增加了负数,把学生学习的数的取值范围,扩充到了有理数范围内。

    七年级下册第六算(实数)的学习,是数的取值范围的第二次扩充。实数的有关概念及实数的性质和运算,是初中数学的基础知识,也是中考的必考内容之一。学生学好本章,非常重要。要学好本章,首先要把算术平方根、平方根这两个概念要区分清楚并掌握牢。

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    1、算术平方根和平方根的概念。

    ①算术平方根:若一个正数x²=a,则这个正数x叫a的算术平方根。另外,0的算术平方根是0

    如3²=9,则3是9的算术平根,表示为√9=3

    ②平方根:若一个x²=a,则这个数x叫a的平方根。

    如(±3)²=9,则±3是9的平方根,表示为±√9=±3

    注意:非负数才有算术平方根和平方根,即a≥0,像√-9则无意义。

    2、算术平方根与平方根的区别与联系。

    ①区别:一是个数不同。除了0的算术平方根和平方根都是0外,正数的算术平方根只有一个,而正数的平方根有两个,且互为相反数。二是表示方法不同,非负数的算术平方根表示为√a,平方根表示为±√a。

    ②联系:算术平方根是平方根中的一个。

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    常见例题解析。

    例1、求下列各数的算术平方根和平方根。

    625,(-3)²,√16,0.49,121/144,5

    解:625的算术平方根是25,平方根是±25

    (-3)²的算术平方根是3,平方根是±3

    √16的算术平方根是2,平方根是±2

    0.49的算术平方根是0.7,平方根是±0.7

    121/144的算术平方根是11/12,

    平方根是±11/12

    5的算术平方根是√5,平方根是±√5

    注意:1、要求一个数的平方根和算术平方根,首先应知道哪个数的平方等于它。这就要求学生记牢一些常见数的平方等多少,一般应牢记从1到20以内的所有整数的平方。

    2、要确定求的是哪个具体数的平方根或算术平方根。如(-3)²=9,√16表示16的算术平方根等于4,让求的是4的算术平方根和平方根。

    3、求带分数的平方根时,应把它化为假分数

    4、当在有理数范围内无法找到平方根或算术平方根时,应用二次根号直接表示出来。比如5的平方根是±√5。

    例2、已知a-2的算术平方根是0,3a+b-1的算术平方根是5,求b-a²的算术平方根。

    解:∵0的算术平方根是0

    ∴a-2=0,a=2

    ∵25的算术平方根是5

    ∴3a+b-1=25,又∵a=2

    ∴3×2+b-1=25,b=20

    ∴b-a²=20-2²=16,16的算术平方根是4。

    答:b-a²的算术平方根是4。

    例3、已知一个正数x的两个平方根是2a-3,

    5-a,求a和x的值。

    解:∵一个正数的两个平方根互为相反数,而互为相反数的两个数的和为0。

    ∴2a-3+5-a=0解得a=-2

    2a-3=2×(-2)-3=-7

    x=(-7)²=49

    答:a值为-2,x值为49。

    3、算术平方根的性质:√a≥0且a≥0(热门考点)

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    例1、已知√a+2+(b+5)²+丨c-1丨=0,那么a-b+c的值为____。

    注意:非负数的和为0,则每个数都等于0。初中常见的三个非负数形式①算术平方根。②实数的偶次方。③绝对值。

    解:∵√a+2≥0,(b+5)²≥0,丨c-1丨≥0

    又∵√a+2+(b+5)²+丨c-1丨=0

    ∴√a+2=0,b+5=0,c-1=0

    ∴a=-2,b=-5,c=1

    ∴a-b+c=-2-(-5)+1=4

    例2、已知a,b为有理数,且√a-5+2√5-a=b+4,求a,b的值。

    分析:可根据被开方数应大于或等于0求解。

    解:∵a-5≥0,5-a≥0

    ∴a=5

    又∵√a-5+2√5-a=b+4,

    ∴b+4=0,b=-4

    4平方根的性质:正数有两个平方根,且它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根。

    例1、已知一个正数的两个平方根分别是x+3和x-1,求这个正数。

    解:∵正数的两个平方根互为相反数,互为相反数的两个数和为0

    ∴x+3+x-1=0

    ∴x=-1,

    ∴x+3=-1+3=2

    ∴这个正数等于2²=4

    例2、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m的值是____(易错题)

    A、-3,B、-1,C、1,D、-3或1

    分析:因为2m-4与3m-1是同一个数的平方根,它可能是两个数,则互为相反数;也可能是同一个数,则相等。

    解:①(2m-4)+(3m-1)=0

    解得m=1

    ②2m-4=3m-1

    解得m=-3

    所以应选D

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    注意:这两题的区别,例1是一个正数的两平方根,例2是一个数的平方根,例2缺了个词语“两”,解答方式就有所不同。

    5、算术平方根小数点位置的移动规律:被开方数的小数点每移动两位,算术平方根的小数点向相同的方向移动一位。

    例1、已知√23≈4.80,√230≈15.17,

    则√0.0023的值约为____,√23000的值为____

    分析:因为0.0023是23的小数点向左移动4位得到的,所以0.0023的算术平方根,应是23的算术平方根向左移两位。即√0.0023≈0.0480。

    而23000则是230的小数点向右移两位得到的,所以23000的算术平方根应是230的算术平方根向右移一位。即√23000=151.7

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  • 知识点归纳总结第一章数与式第节实数考点实数的分类与实数的有关概念<实数的分类>然数实数理数实数是有理数和理数的总称定义为与数轴上的点相对应的数有理数整数和分数统称为有理数整数正整数零和负整数统称为...
  • 本章知识多考查实数的有关概念,以及实数的性质和运算。常见的热门考点有平方根和立方根的概念,求法及应用,算术平方根的性质及应用,实数的分类、比较大小及运算。本章热门考点可概括为三个概念,一个关系,四个...

    实数一章既是初中数学的基础知识,也是中考必考的知识点之一。

    本章内容考试时的出题类型多以选择、填空为主,一般在中考时占6到9分。

    本章知识多考查实数的有关概念,以及实数的性质和运算。常见的热门考点有平方根和立方根的概念,求法及应用,算术平方根的性质及应用,实数的分类、比较大小及运算。

    本章热门考点可概括为三个概念,一个关系,四个性质,两种运算,一个技巧和两种思想。下面我就这些内容进行逐一解读。

    一、三个概念。

    1、算术平方根和平方根的概念。

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    例、1(2019,武汉)计算√16的结果是____

    2、(2019,台州)若一个数的平方等于5,则这个数等于____。

    解:1、√16表示16的算术平方根,也就是看哪个正数的平方等于16。因为4²=16,所以应填4

    2、( )²=5,也就是求5的平方根。当数a(a≥0)的平方根在有理数范围内找不到时,应表示为±√a,所以此题应填±√5。

    注意:正数的算术平方根只有一个,且为正。正数的平方根有两个且互为相反数。0的算术平方根和平方根都是0。

    2、立方根概念。

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    例:1(2018.济宁)³√-1的值是____。

    解:因为(-1)³=-1,所以³√-1的值为-1。

    2(2016河南)计算(-2)°-³√8=____。

    解:因为任何不等0的实数的0次方都等于1,8的立方根是2,所以原式=1-2=-1。

    注意:任何实数都有一个立方根,并且和它的符号相同。

    3、实数概念

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    例:1(2019.玉林)下列各数中,是有理数的是( )

    A,π B,1.2 C,√2 D,³√3

    因为π,√2,³√3都是无限不循环小数,即无理数。有理数包括有限小数和无限循环小数,1.2是有限小数,所以应选B。

    2、(2018.荷泽)下列各数:-2,0,1/3,

    0.020020002...,π,√9,其中无理数的个数是( )。

    A,4 B,3 C,2 D,1。

    解:0.020020002...,π是无理数,应选C。

    注意:无理数定义中的两个关键词①无限,不知道小数点后有多少位。②不循环。

    无理数常见的表现形式有3种①化简后带π的。如2π,π/3等。②开方开不尽的,如√2,³√4等。③无限不循环小数形式的,如2.010010001...等。

    二、一个关系:实数与数轴上的点一一对应。

    例:1(中考,泰安)如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别是M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是( )

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    分析:因为n+q=0,所以n与q互为相反数,原点应在N和Q中间,由图可知点P离原点最远。在数轴上,离原点越远,则这个数的绝对值越大。因此应填p。

    2(2019,自贡)实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是。

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    A,丨m丨﹤1 B,1-m>1

    C,mn>0 D,m+1>0

    分析:由图上点的位置关系可知m﹤0,n>0,且丨m丨﹥1,m+1<0,,mn<0,应选B。

    三、四个性质。

    1、算术平方根性质:√a≥0,a≥0

    1(2019,安顺)已知a,b满足√(a+1)+(2a+b)²=0,则a的b次方的值为( )。

    A,1 B,-1 C,2 D,-1/2。

    分析:因为√(a+1)≥0,(2a+b)²≥0,

    √a+1+(2a+b)²=0,

    所以√(a+1)=0,(2a+b)²=0,

    所以a+1=0,a=-1,

    2a+b=0,b=2。

    所以a的b次方等于(-1)²=1

    2(中考,济宁)若√(2x-1)+√(1-2x)+1有意义,则x的取值范围是( )。

    A,x≥1/2 B,x≤1/2

    C,x=1/2 D,x≠1/2

    分析:因为√(2x-1)+√(1-2x)+1有意义,所以,2x-1≥0且1-2x≥0,所以x=1/2。

    2、平方根的性质:一个正数有两个互为相反数的平方根,0的平方根是0,负数没有平方根。

    例:1、若一个正数的两平方根分别是a-1和2a+3,求a的值。

    分析:因为正数的两平方根互为相反数,互为相反数的两个数和为0,所以a-1+2a+3=0,

    解得a=-2/3

    2、若一个正数的平方根分别是a-1和2a+3,求a的值。

    分析:①当a-1和2a+3是这个数的两个平方根时,则有

    a-1+2a+3=0,

    解得a=-2/3

    ②当a-1和2a+3是这个数的同一个平方根时,则有

    a-1=2a+3

    解得a=-4。

    答:a值为-2/3或-4。

    注意这两题的区别:第一题比第二题多了一个“两"字,答案就不一样。

    3、立方根的性质:①³√a³=a,(³√a)³=a

    ②两个数的互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数。

    例1下列各组数中,互为相反数的一组是( )

    A,√2²与√(-2)² B,-³√8与³√-8

    C,³√27与³√-27 D,³√1³与³√(-1)²

    应选C

    2、若³√(1-2x)与³√3y-2互为相反数,

    求4x-6y的值。

    解:由题意得:(1-2x)+(3y-2)=0

    移项得1-2=2x-3y

    所以2x-3y=-1,

    4ⅹ-6y=2(2x-3y)=2×(-1)=-2

    4、实数的性质。

    (1)、a的相反数为-a。

    (2)、丨a丨当a≥0时,等于a;当a≤0时,等于-a。

    例:1、(2019,青岛)-√3的相反数是( )

    A,-√3 B,-√3/3

    C,±√3 D,√3

    应选D。

    2、绝对值是√7的数是____。

    应填±√7。

    3、实数a在数轴上对应点的位置如图所示,计算丨π-a丨+丨√2-a丨的结果为____。

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    分析:因为a是2点多,π是3点多,√2是1点多。所以π-a>0,丨π-a丨=π-a。

    √2-a<0,丨√2-a丨=-(√2-a)=a-√2。

    所以丨π-a丨+丨√2-a丨

    =(π-a)+(a-√2)

    =π-a+a-√2

    =π-√2

    四、两种运算。

    1、估算

    例:1、(2018,福建)已知m=√4+√3,则以下对m的估算确的是( )。

    A,2

    C,4﹤m<5 D,5

    分析:因为√4等于2,√3等于1点多,

    所以√4+√3应等于3点多,应选B。

    2、已知a是√8的整数部分,b是√8的小数部分,求(-a)³+(b+2)²的值。

    解:因为√8的整数部分是2,小数部分是

    √8-2,所以a=2,b=√8-2,

    (-a)³+(b+2)²

    =(-2)³+(√8-2+2)²

    =-8+8

    =0。

    答:(-a)³+(b+2)²的值为0。

    2、计算。

    1、(2019.十堰)(-1)³+丨1-√2丨+³√8

    解:原式=-1+√2-1+2=√2。

    2、(2019.广西北部湾经济区)

    (-1)²+(√6)²-(-9)+(-6)÷2

    解:原式=1+6+9-3=13

    五、一个技巧:比较实数大小的技巧。

    1、在数轴上右边的数总比左边的数大。

    2、正数>0>负数,两个负数绝对值大的反而小

    例:1(2015.河南)下列各数中,最大的数是( )

    A,5 B,√3 C,π D,-8

    应选A。

    2(2016.南京)比较大小√5-3____(√5-2)/2

    (填>,

    分析:因为√5等于2点多,所以√5-3结果为负数,而(√5-2)/2结果为正数,所以应填

    六、两种思想。

    1、数形结合的思想。

    例(2019.南京)实数a,b,c,满足a>b,且ac

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    分析:由a>b,acb且acbc,所以应选A。

    2、分类讨论思想。

    例1、已知³√x-1=x-1,求x的值。

    解:在本题中x-1的立方根等于了它本身

    x-1,而立方根等于它本身的数有0,1,

    -1三个,所以应分三类讨论答案。

    当x-1=0时,x=1。

    当x-1=1时,x=2。

    当x-1=-1时,x=0。

    答:x值为1、2、0。

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  • 第二章 实数 2.1平方根的有关概念考点一:算术平方根一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(有些同学容易弄混,所以直接可以理解为,一个非负数开平方出来,其中的正数就是算术...
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    第二章 实数

    2.1平方根的有关概念

    考点一:算术平方根

    一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(有些同学容易弄混,所以直接可以理解为,一个非负数开平方出来,其中的正数就是算术平方根,例:+-√36=+-6,其中6就是算术平方根,+-6整体就是平方根)

    注意:1. 0的算术平方根是0 ①当a≧0时,a

    2.√a≧0(a≧0);(√a)2=a(a≧0);√a2=|a|= ②当a<0时,-a(紫色是一起的,分为两种情况)

    考点二:平方根

    1. 概念:若果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a,那么x叫做a的平方根,记作+-√a(a≧0)(有些同学容易弄混,所以直接可以理解为,一个非负数开平方出来,其中的正数就是算术平方根,例:+-√36=+-6,其中6就是算术平方根,+-6整体就是平方根)

    2. 平方根的性质:一、正数有两个平方根,它们互为相反数

    二、0的平方根是0

    三、负数没有平方根

    注意:一、根号下面的整体必须大于等于0(例子:√x-3(根号下x-3)中隐含着x-3≧0,)

    考点三:开平方

    求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。

    2.2立方根的有关概念

    考点一:立方根

    1. 概念:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或者三次方根。即如果x3=a,那么x叫做a的立方根,记作3 √a,读作“三次根号a”

    2. 立方根的性质:①正数只有一个正立方根

    ②负数只有一个负立方根

    ③0的立方根是0

    注意:一、任何数都有立方根,而且只有一个立方根

    二、若a=b,则3 √a=3 √b;若3 √a=3 √b,则a=b

    三、立方根等于本身的数有0、1、-1

    四、3 √-a=-3 √a 、 3 √a3=a 、 (3 √a)3=a

    开立方的概念:求一个数a的立方根的运算叫做开立方;例:8的立方根为3 √8=2

    考点二:方根中小数点的移动规律

    一、在开平方的运算中,被开方数的小数点,向左(右)移动两位时,其平方根的小数点相应地向左(右)移动一位;

    二、在开立方的运算中,被开方数的小数点,向左(右)移动三位时,其立方根的小数点相应的向左(右)移动一位

    例:1.开立方时:3 √216=6 则3 √0.216=0.3 则3 √216000=60

    2.开平方时:√36=6 则√0.36=0.6 则√3600=60

    2.3实数

    考点一:实数及其分类

    1. 概念:有理数和无理数统称为实数

    2. 分类:

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    考点二:实数的性质

    1. 实数的相反数、倒数、绝对值、与数轴的关系、运算、运算顺序都跟前面的一样,在此不多做补充

    2. 无理数小数部分的确定:

    确定一个非完全平方的算术平方根的小数部分的方法:一、把这个无理数夹在相邻的两个整数之间;二、则较小的整数就是这个数的整数部分,再用无理数减去整数部分就得到它的小数部分

    例:已知a,b分别是6-√13的整数部分和小数部分,则2a-b=√13

    解析:因为9<13<16,所以√9

    3.非负数概念:在实数范围内,正数和零统称为非负数。

    4.非负数性质:①若两个非负数的和为0,那么这两个数一定都为0

    ②非负数有最小值,最小值为0

    ③有限个非负数之和依然为非负数

    注意:1.判断一实数的属性(如有理数、无理数)应遵循:一化简,二辨析,三判

    2.初中常见的无理数有三种类型:①含根号且开放开不尽的数,但切不可以认为带根号的数都是无理数

    ②化简后含π

    ③无限不循环小数,如:0.3030030003......

    2.4二次根式

    考点一:二次根式的有关概念和性质

    1. 二次根式概念:形如√a(a≧0)的式子叫做二次根式,其中“√”叫做二次根号,二次根号下面的数叫做被开方数(注意:二次根式定义中,a≧0是定义的一个组成部分,不能省略,这样说吗,二次根号下面的必须为非负数)

    2. 使二次根式有意义的条件:二次根号下面的必须为非负数

    考点二:最简二次根式

    1. 最简二次根式的满足条件:①被开方数不含分母 ;②被开方数中不含开得尽方的因数或因式

    2. 化成最简二次根式的一般方法:①将被开方数中能开的尽方的因数或因式进行开方 ②化去根号下面的分母(1.如果有带分数就化成假分数;2.若果有小数就化成分数;3.若果是多项式就先因式分解)

    考点三:二次根式的性质(注意下面4和5 的)

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    2.5二次根式的运算

    考点一:二次根式的乘法(考虑根号下面的正负性)

    一般地,二次根式的乘法法则是,√a*√b=√ab(a≧0,b≧0)反过来就是√ab=√a*√b利用它可以进行二次根式的化简

    考点二:二次根式的乘法(考虑根号下面的正负性)

    一般地,二次根式的乘法则是√a/√b=√a/b(a≧0,b>0),反过来就是√a/b=√a/√b(a≧0,b>0),利用它进行二次根式的化简。

    考点三:二次根式的加减法

    一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。例子:2√6+5√6=7√6

    考点四:二次根式的混合运算

    一、二次根式的混合运算跟实数的运算顺序一样,先乘方、后乘除、再加减,有括号的先算括号里面的

    二、在运算过程中,乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算任然适用

    注意:1.被开方数不同的二次根式不能合并。

    2.根号外面的系数因数必须是假分数的形式。

    3.运算结果是根式的,应表示为最简二次根式。

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    《实数》基础知识全掌握——【中考复习】《实数》知识梳理

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    【复习导语】

    实数是初中数学代数中,属于数与式部分的内容,主要考查实数的有关概念、运算和简单应用,各地中考试题在考查时更多关注基础知识和基本技能的考查,突出对运算能力的考查,一般难度不大,往往题型灵活多样,新而不难,是中考试题中主要得分的部分。同时这部分小知识点较多,概念法则易混淆,复习中应引起足够的重视。

    【知识梳理】

    (一)实数的有关概念:

    1.实数的分类

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    注意:0既不是正数也不是负数,π是无理数;

    判断一个数是不是无理数,不能只看形式,要看化简结果.

    2.数轴、相反数、绝对值、倒数

    ①实数与数轴上的点是一一对应的;

    ②相反数:

    代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0.

    几何意义:在数轴上,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.

    ab互为相反数等价于a+b=0a-b b-a互为相反数;

    ③绝对值的几何意义:

    在数轴上,一个数的绝对值是表示这个数的点到原点的距离;

    零的绝对值等于0,互为相反的两个数的绝对值相等.

    a∣=a, 则a≥0,∣a∣=-a, 则a≤0

    ④a的倒数是1/a,倒数是本身的数是±1;0没有倒数,

    ab互为倒数,即 ab=1

    (二)科学记数法与近似数

    1.科学记数法是指把一个数表示成a×10n的形(1≤a<10,n为整数),科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数和绝对值较小的数.当原数绝对值大于1时,n正整数,当原数绝对值小于1时,n负整数.

    2.近似数指根据精确度取其接近准确数的值.取近似数的原则是四舍五入.

    注意:一个近似数的数位与精确度有关,不能随意填上或去掉末尾的0.

    (三)实数的运算

    1.实数的大小比较

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    2.实数的混合运算

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    3.运算律

    加法交换律 a+b=b+a

    加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)

    乘法交换律 ab=ba

    乘法结合律 (ab)c=a(bc)

    乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac

    4.平方根、算术平方根、立方根

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    (四)二次根式及运算

    1.二次根式的性质

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    2.二次根式的运算:

    (1)最简二次根式:最简二次根式的条件:

    ①一是被开方数的因数是整数,因式是整式

    ②二是被开方数中不含有开得尽方的因数或因式.

    (2)同类二次根式:

    几个二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

    (3)合并同类二次根式

    把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

    (4)二次根式的加减本质是合并同类二次根式.

    (5)二次根式的乘除法法则:

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    (6)进行二次根式的混合运算时应注意:

    确定运算顺序,灵活运用运算定律,正确使用乘法公式,在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目进行有理化

    3.三个重要的非负数:

    一个数的绝对值一个数的平方一个非负数的算数平方根均为非负数

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    n个非负数的和为0,则这n个非负数都为0.

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    作者:精准备考初中数学,中学高级教师,教育领域创作者。从教中学数学20余年,重点研究领域:中考数学命题与复习备考、真题详解、圈题预测,初中数学教学。致力于分享教学经验和研究成果,助力考生冲刺高分!

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初中实数的有关概念