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    2009-02-26 19:50:52
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  • 几何初中数学最主要的内容,对大多数孩子来说也是比较难的内容。而我们想要战胜这一比较难的题型,我们就需要多多练题。 经典难题(一) 1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO...

    初中经典几何题,95%的同学都不会做,高手请进来

    几何是初中数学最主要的内容,对大多数孩子来说也是比较难的内容。而我们想要战胜这一比较难的题型,我们就需要多多练题。

    经典难题(一)

    1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.

    求证:CD=GF.(初二)

    2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15度

    求证:△PBC是正三角形.(初二)

    3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.

    求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二)

    4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.

    求证:∠DEN=∠F.

    经典难题(二)

    1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.

    (1)求证:AH=2OM;

    (2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二)

    2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.

    求证:AP=AQ.(初二)

    3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:

    设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.

    求证:AP=AQ.(初二)

    4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.

    求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)

    经典难题(三)

    1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.

    求证:CE=CF.(初二)

    2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.

    求证:AE=AF.(初二)

    3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.

    求证:PA=PF.(初二)

    4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.(初三)

    经典难题(四)

    1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.

    求:∠APB的度数.(初二)

    2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.

    求证:∠PAB=∠PCB.(初二)

    3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.

    (初三)

    4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且

    AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.(初二)

    经典难题(五)

    1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:

      3
    ≤L<2.

    2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.

    3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.

    4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=80度,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=30度,∠EBA=20度,求∠BED的度数.

    答案

    经典难题(一)

    4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。

    经典难题(二)

    1.(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF,

    又∠F=∠ACB=∠BHD,

    可得BH=BF,从而可得HD=DF,

    又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

    (2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,

    从而可得∠BOM=600,

    所以可得OB=2OM=AH=AO,

    得证。

    经典难题(三)

    4.

    魔方格
    证明:作CQ⊥PD于Q,连接EO,EQ,EC,OF,QF,CF,
    所以PC2=PQ*PO(射影定理),
    又PC2=PE*PF,
    所以EFOQ四点共圆,
    ∠EQF=∠EOF=2∠BAD,
    又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF,
    而CQ⊥PD,所以∠EQC=∠FQC,因为∠AEC=∠PQC=90°,
    故B、E、C、Q四点共圆,
    所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EQF=∠BAD.
    ∴CBAD,
    所以BO=DO,即四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB=DC,BC=AD.


    经典难题(四)

    2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.

    可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:

    AEBP共圆(一边所对两角相等)。

    可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。

    经典难题(五)

    2.顺时针旋转△BPC 60度,可得△PBE为等边三角形。

    既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,

    即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。

    3.顺时针旋转△ABP 90度,可得如下图:

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  • 一个初中平面几何问题

    千次阅读 2020-09-16 14:06:29
    :-----------:一个初中平面几何问题 :-------------------------------------:张维海 :--------------:(山东科技大学 电气与自动化工程学院 青岛 266590) 我是1981年初中毕业,读了大概三个月的高中后肄业。后面的...

    一个初中平面几何问题

    张维海
    (山东科技大学 电气与自动化工程学院 青岛 266590)

    我是1981年初中毕业,读了大概三个月的高中后肄业。后面的日子一边在生产队干活,一边继续学习高中的数学。在学习了高中的二次曲线部分,特别是椭圆曲线后,我发现了下面一个初中平面几何定理,并给出了一个非常简洁的证明。1995年~1998年在浙大读博期间,曾经讲给一个师兄听,他听后认为是一个很巧妙的证明。我一直认为初中的平面几何当初是我最感兴趣的学习内容,它引导我喜欢上了数学。当时的年代由于课后习题少,参考书也不多,我曾经养成了自己编题,自己解题的习惯。下面这个结论的发现也许得益于养成的这种习惯。这么多年过去了,证明的过程仍然记忆犹新,作为消遣,写出来与大家共享,并欢迎大家就证明过程提出宝贵意见。我相信若证明正确的话(欢迎大家找错啊),对中学生及其家长是有益的,它不失为一个好的智力开发题。当然若结论或证明过程与前人雷同,则纯属巧合(毕竟平面几何这个学科太过古老,本人也不从事中学数学的教学,担心有不知道的东西已经存在了)。

    定理:在ABC△ABC的内部不存在一个点PP到三个顶点的距离和最长。即不存在一个点PP使PA+PB+PCPA+PB+PC最长。
    图1
    证明:如上图所示,以 BBCC 为焦点,过PP做一椭圆,在椭圆上 PP 的两边分别取 P1P_1P2P_2 两个点。根据椭圆的性质,P1B+P1C=PB+PC=P2B+P2CP_1B+P_1C = PB + PC = P_2B+P_2C。因此,我们只需证明 P1AP_1AP2AP_2A 至少有一条大于 PAPA 即可。连接 P1P_1PPP2P_2PP。 考虑 AP1P△AP_1PAPP2△APP_2,由于P1PP2<180\angle {P_1}P{P_2} < 180^。 , 所以P1PA\angle {P_1}PAP2PA\angle {P_2}PA 至少一个为钝角, 而钝角所对应的边一定为最大边,结论由此而证明。

    注1:上面的证明结合了二次曲线的性质,如何用初中平面几何的知识进行证明则是一个有趣的问题。上面证明中直观地使用了P1PP2<180\angle {P_1}P{P_2} < 180^。 ,而这个其实是利用了椭圆的凸性。
    注2:上面的定理是否对凸多边形也成立?若成立如何证明?这个是否可以引申出现代数学的某些东西呢?

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  • 5361. 圆和矩形是否有重叠 给你一个以 (radius,x_center,y_center) 表示的圆和一个与坐标轴平行的矩形 (x1,y1,x2,y2),其中(x1,y1) 是矩形左下角的坐标,(x2,y2) 是右上角的坐标。 如果圆和矩形有重叠的部分,请你...

    5361. 圆和矩形是否有重叠

    给你一个以 (radiusx_centery_center) 表示的圆和一个与坐标轴平行的矩形 (x1y1x2y2),其中 (x1y1) 是矩形左下角的坐标,(x2y2) 是右上角的坐标。

    如果圆和矩形有重叠的部分,请你返回 True ,否则返回 False 。

    换句话说,请你检测是否 存在 点 (xi, yi) ,它既在圆上也在矩形上(两者都包括点落在边界上的情况)。

     

    示例 1:

    输入:radius = 1, x_center = 0, y_center = 0, x1 = 1, y1 = -1, x2 = 3, y2 = 1
    输出:true
    解释:圆和矩形有公共点 (1,0) 
    

    示例 2:

    输入:radius = 1, x_center = 0, y_center = 0, x1 = -1, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 1
    输出:true
    

    示例 3:

    输入:radius = 1, x_center = 1, y_center = 1, x1 = -3, y1 = -3, x2 = 3, y2 = 3
    输出:true
    

    示例 4:

    输入:radius = 1, x_center = 1, y_center = 1, x1 = 1, y1 = -3, x2 = 2, y2 = -1
    输出:false
    

     

    提示:

    • 1 <= radius <= 2000
    • -10^4 <= x_center, y_center, x1, y1, x2, y2 <= 10^4
    • x1 < x2
    • y1 < y2

    判断圆心到正方形中心距离是否大于等于正方形对角线一半+圆的半径,如果是,则不相交,否则相交

    class Solution {
    public:
        bool checkOverlap(int radius, int x_center, int y_center, int x1, int y1, int x2, int y2) {
            double  x=(x1+x2)/2.0,y=(y1+y2)/2.0;
            return (x-x_center)*(x-x_center)+(y-y_center)*(y-y_center)<=(radius+sqrt((x-x1)*(x-x1)+(y-y1)*(y-y1)))*(radius+sqrt((x-x1)*(x-x1)+(y-y1)*(y-y1)));
        }
    };

     

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  • 几何公式和定理(初中)一些常用数学公式1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各...
    几何公式和定理(初中)一些常用数学公式
    1 过两点有且只有一条直线   
    2 两点之间线段最短 
    3 同角或等角的补角相等   
    4 同角或等角的余角相等 
    5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 
    6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 
    7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 
    8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 
    9 同位角相等,两直线平行 
    10 内错角相等,两直线平行 
    11 同旁内角互补,两直线平行 
    12两直线平行,同位角相等 
    13 两直线平行,内错角相等 
    14 两直线平行,同旁内角互补 
    15 定理 三角形两边的和大于第三边 
    16 推论 三角形两边的差小于第三边 
    17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 
    18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 
    19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 
    20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 
    21 全等三角形的对应边、对应角相等 
    22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 
    23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 
    24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 
    25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 
    26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 
    27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 
    28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 
    29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 
    30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
    31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 
    32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 
    33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 
    34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 
    35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 
    36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 
    37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 
    38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 
    39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 
    40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 
    41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 
    42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 
    43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 
    44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 
    45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 
    46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2 
    47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形 
    48定理 四边形的内角和等于360° 
    49四边形的外角和等于360° 
    50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180° 
    51推论 任意多边的外角和等于360° 
    52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 
    53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 
    54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 
    55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 
    56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 
    57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 
    58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 
    59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 
    60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 
    61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 
    62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 
    63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 
    64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 
    65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 
    66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2 
    67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 
    68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 
    69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 
    70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 
    71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 
    72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 
    73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一 
    点平分,那么这两个图形关于这一点对称 
    74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 
    75等腰梯形的两条对角线相等 
    76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 
    77对角线相等的梯形是等腰梯形 
    78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 
    相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 
    79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 
    80 推论2   经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 
    三边 
    81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它 
    的一半 
    82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 
    一半   L=(a+b)÷2     S=L×h 
    83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 
               如果ad=bc,那么a:b=c:d 
    84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 
    85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 
           (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 
    86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 
    线段成比例   
    87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例 
    88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 
    89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 
    90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 
    91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA) 
    92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 
    93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 
    94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 
    95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 
    角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 
    96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 
    分线的比都等于相似比 
    97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 
    98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 
    99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 
    于它的余角的正弦值 
    100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等 
    于它的余角的正切值 
    101圆是定点的距离等于定长的点的集合 
    102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 
    103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 
    104同圆或等圆的半径相等 
    105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 
    径的圆 
    106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直 
    平分线 
    107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 
    108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距 
    离相等的一条直线 
    109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
    110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 
    111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 
     ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 
     ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 
    112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 
    113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 
    114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 
    相等,所对的弦的弦心距相等 
    115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 
    弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 
    116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 
    117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 
    118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 
     对的弦是直径 
    119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 
    120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 
    的内对角 
    121①直线L和⊙O相交   d﹤r 
    ②直线L和⊙O相切   d=r 
    ③直线L和⊙O相离   d﹥r 
    122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 
    123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 
    124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 
    125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 
    126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 
    圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 
    127圆的外切四边形的两组对边的和相等 
    128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 
    129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 
    130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 
    相等 
    131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 
    两条线段的比例中项 
    132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 
    线与圆交点的两条线段长的比例中项 
    133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 
    134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 
    135①两圆外离   d﹥R+r       ②两圆外切   d=R+r 
    ③两圆相交   R-r﹤d﹤R+r(R﹥r) 
    ④两圆内切   d=R-r(R﹥r)     ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r) 
    136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 
    137定理 把圆分成n(n≥3): 
    ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 
    ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 
    138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 
    139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 
    140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 
    141正n边形的面积Sn=pnrn/2   p表示正n边形的周长 
    142正三角形面积√3a/4     a表示边长 
    143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 
     360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 
    144弧长计算公式:L=n兀R/180 
    145扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2 
    146内公切线长= d-(R-r)     外公切线长= d-(R+r) 
    (还有一些,大家帮补充吧)

    实用工具:常用数学公式


    公式分类                    公式表达式 

    乘法与因式分  a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

    三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b 

                |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 

    一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a  -b-√(b2-4ac)/2a 

    根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 

    判别式
    b2-4ac=0   注:方程有两个相等的实根 
    b2-4ac>0   注:方程有两个不等的实根 
    b2-4ac<0   注:方程没有实根,有共轭复数根 

    三角函数公式 

    两角和公式 
    sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 
    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 
    tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 
    ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

    倍角公式 
    tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 
    cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 

    半角公式 
    sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) 
    cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) 
    tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 
    ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

    和差化积
    2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 
    2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 
    sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) 
    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 
    ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

    某些数列前n项和
    1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 
    2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 
    13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 

    正弦定理  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

    余弦定理  b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角

    圆的标准方程  (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 
    圆的一般方程  x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 
    抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 

    直棱柱侧面积  S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h   
    正棱锥侧面积  S=1/2c*h' 正棱台侧面积  S=1/2(c+c')h'   
    圆台侧面积  S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积  S=4pi*r2   
    圆柱侧面积  S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积  S=1/2*c*l=pi*r*l 

    弧长公式  l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式  s=1/2*l*r 

    锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h   
    斜棱柱体积  V=S'L    注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长  
    柱体体积公式 V=s*h 圆柱体  V=pi*r2h 
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空空如也

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