从事软件开发的经历中，数学知识之于自己的重要性愈来愈重，花一日时间对初中数学进行了回顾，应对基本的初中数学理论还是游刃有余，但回顾的过程确实能让自己感觉清晰许多。
初中数学主要以认识一些基础数学特征识别为基础，如方程式、函数、基础图形、基础统计学的认识，而课本知识主要以这些基本数学特征与生活中的实际应用结合，引导学生通过所学的数学知识解生活中遇到的问题。回想当初在初中数学的学习过程中，似乎少几分将知识应用至生活的觉悟。
回到初中数学的知识，记录几点自认为较重要的点。
数
幂、指数、平方根、实数、有理数、无理数的概念
表达式与方程式
数字与字母之积的式子称为单项式，多个单项式之和称为多项式。
方程式的解的过程一般是利用表达式的常见的几个公式变换，约分得到。
表达式 \( ax^2 + bx + c \)。 \( x^2 \) 称为为二次项，a 称为二次项系数；x 称为一次项，b 称为一次项系数；c 称为常数项。
\( (a \pm b)^2 = a^2 + b2 \pm 2ab \)
函数
类似 \( y = ak + b \) 形式的函数称为正比例函数，函数图像为直线
类似 \( y = \frac{a}{k} \) 形式的函数称为反比例函数
图形
三角形可通过边角边、角边角求证全等
直接三角形具备勾股定理 \( a^2 + b^2 = c^2 \))
三点可确定一个圆，称为外接圆
线与圆的三种关系：相割、相切、相离
扇形的弧长公式：\( \theta\times\frac{\pi{R}}{180} \)
扇形的面积公式: \( \theta\times\frac{\pi{R^2}}{3600} \)
解三角形
解直角三角形的五个元素：三条边及两个角的过程
\( \sin30^{\circ}=\frac{1}{2} \)
\( \sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \tan45^{\circ}=1 \)
\( \tan60^{\circ}=\sqrt{3} \)
基础统计
样本中存在中位数、平均数、众数的概念
评判样本误差的方式有方差、平均差、标准差
学无止境，适时地反刍当初的知识别有一番风味。

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来一起复习下初中三角函数, 我记得当初我数学能考65分
  
 
  
 
  
勾股定理: 直角三角形两直角边a,b的平方等于斜边c的平方
      
  
三角函数:
  
   
sinA  = a / c
    
cosA = b / c
    
tanA = a / b
    
cotA = b / a  
 
  
  
 
  
已知两条边求角度：
  
    sinA  = a /c.  那么我们知道a和c的长度要计算A的角度,  A角度 =  arcsin(a,c)
  
    cosA = b /c.  A角度 = arccos(b,c)
  
    tanA = a /b.  A角度 = arctan(a,b)
  
    cotA = b /a.  A角度 = arccot(b,a)
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一、有理数 
二、整式的加减 
三、一元一次方程 
四、图形初步认识 
五、相交与平行线 
六、平面直角坐标系 
七、三角形 
八、二元一次方程 
九、不等式与不等式组 
十、数据的书集、整理与描述 
十一、全等三角形 
十二、轴对称 
十三、实数 
十四、一次函数 
十五、整式的乘除与图式分解 
十六、分式 
十七、反比例函数 
十八、勾股弦定理 
十九、四边形 
二十、数据的分析 
二十一、二次根式 
二十二、一元二次议程 
二十三、旋转 
二十四、圆 
二十五、概率初步 
二十六、二次函数 
二十七、相似 
二十八、锐角三角函数 
二十九、投影与视图 

江苏省小学升初中数学题：求图中阴影面积



分析：小学升初中数学题应该是要考察图形的分割与拼接，而此题中的阴影面积实际最终需要用到三角函数的知识，无法简单通过图形的分割与拼接求得。如果是小学数学题，其真实图形很可能是如下样子：


假设图中蓝色线包围的图形为图形1，蓝色阴影部分为图形2，以正方形顶点为圆点，边长为半径的圆称为大圆，以正方形中心为圆心，10为直径的圆称为小圆。
显然有$S_{阴影}=2 *(S_1-S_2)$
其中$S_1=S_{正方形}-\frac{1}{4}S_{大圆}=10*10-\frac{1}{4}*\pi *10^2=21.5$
$S_2=\frac{1}{4}(S_{正方形}-S_{小圆})=\frac{1}{4}(10*10-\pi * 5^2)=5.375$
所以有：$S_{阴影}=2 *(S_1-S_2)=2*(21.5-5.375)=32.25$


但如果是求原题中的图形中的阴影部分的面积，如果使用纯几何的方式求解的话，需要做辅助线。添加如下几条辅助线。


对于一半的阴影部分面积（不妨取下半部分）$S_{半}=S_{扇形OEF}+S_{\triangle OAE}+S_{\triangle OAF}-S_{扇形AEF}$
要计算两个扇形的面积的关键是要求得$\angle EAF $以及$\angle EOF$的大小
易求得$AE=AF=10，OE=OF=5，OA=5\sqrt{2}$，在$\triangle OAE$中已知OA，AE，OE三条边的长度，由余弦定理$cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$可知：$cos \angle EAO= \frac{AE^2+OA^2-OE^2}{2*OA*AE}=\frac{10^2+(5\sqrt{2})^2-5^2}{2*10*5\sqrt{2}}=0.884$，则$\angle EAO = arc\;cos0.884=27.871^{\circ}$，根据对称性知$\angle FAO = \angle EAO$,所以$\angle EAF = 2\angle EAO=55.742^{\circ}$
在$Rt\triangle AHE$中，已知斜边AE以及$\angle EAO$，很容易求得EH的长度($EH=AE*sin\angle EAO =4.675$)，进而在$Rt\triangle OHE$中求得$\angle EOH$的大小：$sin \angle EOH=\frac{EH}{OE}=4.675/5=0.935$，所以$\angle EOH = arc\;sin0.935=69.228^{\circ}$。
$\angle EOF=2 \angle EOH=69.228^{\circ} * 2=138.456^{\circ}$
$S_{\triangle OAE}=S_{\triangle OAF}=\frac{1}{2}*OA*EH=0.5*5\sqrt{2}*4.675=16.526$
$S_{扇形OEF}=\frac{138.456}{360}*3.14*5^2=30.191$
$S_{扇形AEF}=\frac{55.742}{360}*3.14*10^2=48.62$
则$S_{阴影}=2S_{半}=2(S_{扇形OEF}+S_{\triangle OAE}+S_{\triangle OAF}-S_{扇形AEF})=2(30.191+16.526*2-48.62)=29.246$
注：因为中间计算结果有效数字保留位数的原因，可能造成最终结果与精确值略有差异，精确结果实际约等于29.27625
最后总结：

可以利用Python作图求阴影部分面积，相关博客可参考Python求阴影部分面积