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  • 初中数学最值问题
    2021-07-29 02:21:33

    依托信息技术进行初中数学教学设计

    教材:人教版七年级一、课程目标(一)教学知识点1.垂线段的定义;2.垂线段的基本性质。(二)能力训练要求1.

    (本文共2页)

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    随着信息技术的不断发展,我国目前已经基本解决教育信息化的基础条件建设、普及应用。为了更加快速地推进教育信息化,以促成教育强国目标的达成,教育部在《教育信息化2.0行动计划》中提出了新要求,要更加坚持深度融合。对于信息技术与课程整合,一直以来都是教育改革的热门话题,但是,在《教育信息化十年发展规划(2011—2020年)》中初次将“整合”的概念改为“深度融合”的理念后,信息化2.0时代的研究热门点,就落在了信息技术与课程教学“深度融合”的相关探索上。“深度融合”的内涵与实质是利用信息技术的优势,在教学环境、教学方法、教学内容、教学资源等进行创新,以促进教学结构性变革。作为一种全新的教学模式,智慧课堂对于有效促进信息技术与学科教学“深度融合”有所帮助。在初中数学的课堂教学中结合智慧课堂的特点,使得课堂教学的结构进行变革,对于目前初中数学教学中存在的问题是能够很好的解决的。并且,能够提供针对性教学,以满足学生的个性化需求,这对于学生自...

    (本文共115页)

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    “直线外一点到直线的距离以垂线段为最短”(后简称“垂线段最短”)是一个几何结论,它可以解决物理中的一些最值问题.例1 某运动员与一平直...

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    性质"垂线段最短"经常用来证明与线段有关的不等关系,下面举几例说一说它们的应用....

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    用垂线段最短来求相关问题的最...

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    在一类几何最值问题中 ,若能注意利用“垂线段最短”这一性质来解题 ,常会收到出奇制胜的效果 ,本文试举例说明 ,以供参考 .例 ...

    (本文共2页)

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    2017年滨州市的一道压轴题,投下了一颗石子,掀起了不少波澜,很多考生叫苦不迭,感觉难度...

    (本文共3页)

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    熊俐老师

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    同济大学硕士毕业;以数学第一及总分第一考入研究生;具有较强的逻辑思维能力,解题方法独特;从研究生开始就从事初中数学教学辅导工作;熟悉初中教材,能准确把握教学重点难点,教学风格细致

    最值问题之费马点模型

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    人类每天为解决最大最小问题而忙碌着,大自然亦是如此。最早指出自然界中到处都潜藏着最大最小问题的人,大概是费马。

    Q:Who is 费马?

    费马(1601-1665),1601年8月30日出生于法国南部卢兹,他在大学里学的是法律,后来的全职工作是律师,并把几乎全部业余时间用于数学研究。然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌:他是解析几何的发明人之一;对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨,概率论的主要创始人,以及独承17世纪数论天地的人,成为17世纪最著名的数学家之一,人称“业余数学家之王”。

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    Q:What is 费马点?

    在已知∆ABC所在平面上求一点P,使它到三角形三顶点的距离之和为最小

    这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,这个问题中所求的点被人们称为“费马点”。

    值得一提的是这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个

    Q:Where is 费马点?

    三角形的费马点分为两种情况:

    1、若三角形的三个内角均小于120°,那么费马点与三角形三个顶点连线所构成的夹角均为120°

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    2、若三角形有一内角大于或等于120°,则此钝角的顶点就是距离和最小的点(费马点)

    Q:How to find 费马点?

    首先我们来看第一种情况:

    当三角形三个内角均小于120°时。

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    假设∆ABC内有任意一点P,此时PA+PB+PC并不是最小的,因此我们要找到费马点!任取∆ABC的一个顶点A,以A为旋转中心,将∆ACP逆时针旋转60°到∆ADE位置,这样就通过旋转构造了全等三角形和一个等边三角形AEP。

    易知PA=PE,PC=ED,因此PA+PB+PC的长就等于DE+EP+PB,显然当D、E、P、B四点共线时,距离之和最短。所以当E、P、B共线时,∠APB=120°;而当D、E、P共线时,∠AED=∠APC=120°,所以点P应该与三个顶点的连线所构成的夹角均为120°,这就是费马点的位置。

    接下来我们再看第二种情况:

    若三角形有一内角大于或等于120°时。

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    在∆ABC内任取一点P,然后绕点A逆时针旋转∆ACP使得D、A、B三点共线。

    ∴∆ADE≌∆ACP,AE=AP

    ∵∠BAC≥120°

    ∴∠EAP=180°-∠BAP-∠DAE

              =180°-∠BAP-∠CAP

              =180°-∠BAC

              ≤60°

    ∴AP≥EP(大角对大边)

    ∴AP+PB+PC≥EP+PB+DE>BD=AB+AC

    ∴A是费马点

    Q:还有没有其他找法?

    如图,以∆ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则有结论:

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    (1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°;

    (2)P到A、B、C三顶点距离的和最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

    这样去做等边三角形之后再连接,其实也就是手拉手模型,那么我们来简单证明一下:

    (1)证明:由手拉手模型易证∆AFC≌∆ABE

    ∴CE=BE

    同理可证:∆BCF≌∆BDA,CF=AD

    ∴AD=BE=CF

    ∵∆AFC≌∆ABE

    ∴∠AFC=∠ABE

    ∴∠BPF=∠BAF=60°(8字模型)

    ∴∠BPC=120°

    同理可证:∠APB=∠APC=120°

    ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°

    (2)证明并不困难,给一点小提示:在FC上取一点Q,使得FQ=AP,接下来的证明过程就交给各位同学自行完成了

    Q:你学会了吗?

    让我们来考验一下各位小学霸吧!

    【例1】如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,求AP+BP+PD的最小值。

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    【分析】首先很容易知道△ABD是一个等腰三角形,所以它的费马点肯定在AC这条线段上,然后题目让我们求的最小值,其实就是问费马点到三个顶点的距离之和。

    根据前面的方法和总结,我们可以以AB为边往外做一个等边三角形。

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    所以前面的结论很快就知道AP+BP+PD=DE。而由题干给出的角度条件,很容易就得出∆ADE是一个等腰直角三角形,所以DE就很容易求出来了。

    接下来看看中考真题吧!

    【例2】(2016年株洲中考)已知P是∆ABC内一点,且它到三角形的三个定点距离之和最小,则P叫∆ABC的费马点(Fermat point)。

    已经证明:在三个内角均小于120°的∆ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,P就是的费马点。若点P是腰长为√2的等腰Rt∆DEF的费马点,则PD+PE+PF=__________。

    【分析】此题没有给出图形,而且对费马点原理做出了提示,所以题目貌似并不超出考试大纲的要求,但是如果考生平时对费马点知识掌握不牢固,要想快速解出该题答案也是有难度的,实际上该题只要能把图做出来,找到费马点在哪里,基本上离答案不远了。

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    小结:可以看出,只要知道费马点的位置,问题就转换成勾股定理的相关计算,此题对费马点原理的提示是比较清晰,有些考题可能就不是这样,它更多的以探究题的形式出现,难度就会增加很多,比如下面武汉2019年中考题的一道填空压轴题。

    【例3】(2019年武汉中考填空压轴)问题背景:如图1,将∆ABC绕点A逆时针旋转60°得到∆ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE。

    问题解决:如图2,在∆MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4√2。点O是∆MNG内一点,则点O到∆MNG三个顶点的距离之和的最小值是__________。

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    【分析】此题没有提到费马点,但它的确是一道费马知识的问题。如果你平时不熟悉费马点,可能都意识不到问题背景给你的提示有什么用。而且,此题的问题背景,P点并不在三角形内部,和费马点的辅助线思路还是有一些区别,尽管他们都是旋转60°的思路。繁殖,如果考生知道本题求O点到三角形三个定点的最小值,就意味着O是费马点,这样,按照费马点的位置特点,就比较容易做出该题了。

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    根据条件易得∠NME=135°,这是一个非常特殊的角度,所以很容易想到∠EMF=45°。而∆MGE是等边三角形,所以ME=MG=4√2,所以计算出EM=EF=4。所以NF=10,再由勾股定理即可算出NE=2√29。

    Q:最后还想说点啥?

    中考是选拔性考试,总是要出一些稍微有难度的题目,把优秀的学生筛选出来,把他们送进高中的学堂。所以,现在的教材虽然剔除了一些看似比较难的知识点,但这并不代表这些知识点就不会出现在中考题中,它会以探究题、创新题等形式出现。所以这些知识点,我们仍然要引起重视,在平时的学习中加以总结、提炼,才能在决定命运的考场上立于不败之地。

    我们在数学学习过程中,是否需要“模型”?俗话说“成也模型,败也模型”,我们掌握一定的模式,能让我们快速找到解决问题的途径。如果死守模式,不会融会贯通,也是“假模式”。我们平时教学中的每一道典型例题都是一种模型,取一个好听的名字知识让学生好记,能“顾名思义”。求线段和最值问题,不管是“将军饮马”问题、“胡不归”问题、“阿式圆”问题,及“费马点”问题,本质都是将直线拉直(将直线同一侧的两条线段转化为异侧),再利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”寻找到答案。

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    第六期:换元法巧算

    第五期:带系数多线段最值问题

    第四期:函数中的面积问题探究

    第三期:整数解问题初级探究

    第二期:存在性问题剖析

    第一期:韦达定理逆定理及其应用

    展开全文
  • 本文意在由一组三角形周长最值问题谈在数学问题解决的过程中一些常用的解题策略。问题1点A是∠O内一点,试在∠O的两边上分别确定点B、点C,使得△ABC周长最小分析在∠O的两边取B、C两点,构成△ABC,△ABC周长最小即...

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    “问题是数学的心脏”,是思维的起点,是学生主动探索的动力。学生在数学问题解决的过程中学习数学,提升思维。本文意在由一组三角形周长最值问题谈在数学问题解决的过程中一些常用的解题策略。

    问题1

    点A是∠O内一点,试在∠O的两边上分别确定点B、点C,使得△ABC周长最小

    143268558_2_2018090410530536

    分析

    在∠O的两边取B、C两点,构成△ABC,△ABC周长最小即AB+AC+BC最小。

    143268558_3_20180904105305223

    由于这个问题不含任何数据,从代数角度,用参数表示出△ABC的周长几无可能,而从几何角度处理线段(和)最值问题主要有两条重要依据:① 两点之间线段距离最短;② 直线外一点到直线垂线段最短。

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    所以,考虑转化线段AB、AC,采用的方法是“翻折”,即做点A关于∠O两边的对称点A1、A2,联结A1C、A2B。

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    根据中垂线的性质,AB=A2B,AC=A1C,将△ABC的三边转化为收尾相接的三条折线段,显然A1A2≤A2B+BC+A1C,A1A2与∠O两边的交点即所求点,A1A2长即所求最短周长。

    问题2

    在锐角△ABC三边AB、AC、BC取点E、F、G,若△EFG周长最小,请确定点E、F、G的位置。

    143268558_6_20180904105305379

    分析

    现在点E、点F、点G的位置无一确定,怎样下手?以退为进!(可以先考虑问题的特殊情况,或先考虑问题的一部分,看清楚、想明白了再进。退是手段、进是目的,“难的不会想简单的”是个好主意。在具体实践中,常常是进退互化。——罗增儒教授)

    假设在边BC上任取点G,在边AB、AC上确定点E、F,使得△EFG周长最短。

    143268558_7_20180904105305536

    143268558_2_2018090410530536

    是否感觉回归到了“问题1”

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    做点G关于AB、AC的对称点G1、G2,联结G1G2,交AB、AC于点E、F,则此时△GEF周长最小,其最小周长为G1G2的长度。

    而接下去就要寻找G1G2的长度与点G位置之间的关系。

    143268558_9_20180904105305879

    联结AG、因为AG1=AG=AG2,显然对于△AG1G2有以下特征:① △AG1G2是等腰三角形;② △AG1G2顶角为△ABC的内角∠BAC的两倍,是定值(所有顶角相等的等腰三角形都相似),于是要使得等腰△AG1G2的底边G1G2最短,则其要AG要最短,AG表示的是点A到BC上点的距离,直线外一点到直线垂线段最短,所以AG要最短,则AG⊥BC!

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    此时可以证明CE⊥AB,BF⊥AC,其实E、F、G就是△ABC三边上高的垂足,人们把这样的三角形称之为垂足三角形,又称施瓦兹三角形。

    数学史链接

    施瓦兹三角形问题是关于三角形的极值问题,在锐角三角形的内接三角形中,以垂足三角形的周长为最短,此问题最早由法尼亚诺提出,他用微积分的方法给出了一个解答,因此,这个问题也称为法尼亚诺问题。施瓦兹在一篇论文中,利用垂足三角形的性质及反射原理巧妙地证明了这个问题,施瓦兹三角形因此而得名,他的证明后来被莫利和莫莱推广到2n+1角形的情况。

    拓展证明

    在锐角△ABC中,AG⊥BC于点G,做点G关于AB、AC的对称点G1、G2,联结G1G2交AB于点E,求证:CE⊥AB

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    简证

    因为AG1=AG2,又因为对称性

    所以∠G1=∠AG2G1=∠AGE=∠AGF

    ∠AGC=∠AG2C=90°

    所以∠AGC+∠AG2C=180°

    所以∠EGC+∠EG2C=180°

    所以点E、G、C、G2四点共圆

    因为GC=G2C,所以∠GEC=∠G2EC

    因为对称,∠G1EB=∠GEB=∠AEG2

    所以∠BEC=∠AEC=90°即CE⊥AB。

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    二次函数的最值问题举例(附练习答案)

    二次函数的最值问题举例(附练习、答案)二次函数 是初中函数的主要内容,也是高中学 习的重要基础.在初2 (0)yaxbca中阶段大家已经知道:二次函数在自变量 取任意实数时 的最值情况(当 时,函数在x0a处取得最小值 ,无最大 值;当 时 ,函数在 处取得最大值2bxa24a0a2bx,无最小值.4c本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 在某个范围 内取值时,函数的最 值问题.同时x还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.【例 1】当 时,求函数 的最大值和最小值.2x23y分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值. x解:作出函数的图象.当 时, ,当 时, .1xmin4y2max5y【例 2】当 时,求函数 的最大值和最小值.1x21yx解:作出函数的图象.当 时, ,当 时, .1min2max5y由上述两例可以看到,二次函数在自变量 的给定范围内,对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量 的范围的图象形状各异.下面给出一些常x见情况:【例 3】当 时,求函数 的取值范围.0 x(2)yx解:作出函数 在 内的图象.(2)y0可以看出:当 时, ,无最大值.1xmin1y所以,当 时,函数的取值范围是 .0y【例 4】当 时,求函数 的最小值(其中 为常数).tx25xt分析:由于 所给的范围随着 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位置.t解:函数 的对称轴为 .画出其草图.215y1(1) 当对称轴在所给范围左侧.即 时: 当 时, ;txt2min15yt(2) 当对称轴在所给范围之间.即 时:0当 时, ;1x2min513y(3) 当对称轴在所给范围右侧.即 时:tt当 时, .t22in 1()()3t综上所述:2213,05,1tytt在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题:【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 (件) 与m每件的销售价 (元)满足一次函数 .x1623,054mx(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件销售价 之间的函数关系式;yx(2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为 元,(30)x那么 件的销售利润为 ,又 .mym162x2 (30)162)548,54yxxx(2) 由(1)知对称轴为 ,位于 的范围内,另抛物线开口向下4当 时,42max36032y当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.A 组1.抛物线 ,当 = _____ 时,图象的顶点在 轴上;当 = _____ 2(4)23yxmxmym时,图象的顶点在 轴上;当 = _____ 时,图象过原点.2.用一长度为 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 ________ .l3.求下列二次函数的最值:(1) ; (2) .245yx(1)2yx4.求二次函数 在 上的最大值和最小值,并求对应的 的值.3x2xx5.对于函数 ,当 时,求 的取值范围.2y0y6.求函数 的最大值和最小值.5x7.已知关于 的函数 ,当 取何值时, 的最小值为 0?22(1)ytxttyB 组1.已知关于 的函数 在 上.x2yxa5x(1) 当 时,求函数的最大值和最小值;1a(2) 当 为实数时,求函数的最大值.2.函数 在 上的最大值为 3,最小值为 2,求 的取值范围.23yx0mxm3.设 ,当 时,函数 的最小值是 ,最大值是 0,求0a121yaxb4的值.,b4.已知函数 在 上的最大值为 4,求 的值.2yxa12xa5.求关于 的二次函数 在 上的最大值( 为常数).2t1t练 习第五讲 二次函数的最值问题答案A 组1.4 14 或 2, 32. 6lm3.(1) 有最小值 3,无最大值;(2) 有最大值 ,无最小值.944.当 时, ;当 时, .xmin18y2xmax1y5. y6.当 时, ;当 或 1 时, .xmin36y2xmax3y7.当 时, .54tin0B 组1.(1) 当 时, ;当 时, .xmin1y5xmax37y(2) 当 时, ;当 时, .0aax270a2102. .3. .,b4. 或 .1a5.当 时, ,此时 ;当 时, ,此时 .0tmax2yt1x0tmax2yt1x

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空空如也

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