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  • 熟悉初中教材,能准确把握教学重点难点,教学风格细致最值问题之费马点模型人类每天为解决最大最小问题而忙碌着,大自然亦是如此。最早指出自然界中到处都潜藏着最大最小问题的人,大概是费马。Q:Who is 费马?费马...

    熊俐老师

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    同济大学硕士毕业;以数学第一及总分第一考入研究生;具有较强的逻辑思维能力,解题方法独特;从研究生开始就从事初中数学教学辅导工作;熟悉初中教材,能准确把握教学重点难点,教学风格细致

    最值问题之费马点模型

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    人类每天为解决最大最小问题而忙碌着,大自然亦是如此。最早指出自然界中到处都潜藏着最大最小问题的人,大概是费马。

    Q:Who is 费马?

    费马(1601-1665),1601年8月30日出生于法国南部卢兹,他在大学里学的是法律,后来的全职工作是律师,并把几乎全部业余时间用于数学研究。然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌:他是解析几何的发明人之一;对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨,概率论的主要创始人,以及独承17世纪数论天地的人,成为17世纪最著名的数学家之一,人称“业余数学家之王”。

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    Q:What is 费马点?

    在已知∆ABC所在平面上求一点P,使它到三角形三顶点的距离之和为最小

    这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,这个问题中所求的点被人们称为“费马点”。

    值得一提的是这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个

    Q:Where is 费马点?

    三角形的费马点分为两种情况:

    1、若三角形的三个内角均小于120°,那么费马点与三角形三个顶点连线所构成的夹角均为120°

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    2、若三角形有一内角大于或等于120°,则此钝角的顶点就是距离和最小的点(费马点)

    Q:How to find 费马点?

    首先我们来看第一种情况:

    当三角形三个内角均小于120°时。

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    假设∆ABC内有任意一点P,此时PA+PB+PC并不是最小的,因此我们要找到费马点!任取∆ABC的一个顶点A,以A为旋转中心,将∆ACP逆时针旋转60°到∆ADE位置,这样就通过旋转构造了全等三角形和一个等边三角形AEP。

    易知PA=PE,PC=ED,因此PA+PB+PC的长就等于DE+EP+PB,显然当D、E、P、B四点共线时,距离之和最短。所以当E、P、B共线时,∠APB=120°;而当D、E、P共线时,∠AED=∠APC=120°,所以点P应该与三个顶点的连线所构成的夹角均为120°,这就是费马点的位置。

    接下来我们再看第二种情况:

    若三角形有一内角大于或等于120°时。

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    在∆ABC内任取一点P,然后绕点A逆时针旋转∆ACP使得D、A、B三点共线。

    ∴∆ADE≌∆ACP,AE=AP

    ∵∠BAC≥120°

    ∴∠EAP=180°-∠BAP-∠DAE

              =180°-∠BAP-∠CAP

              =180°-∠BAC

              ≤60°

    ∴AP≥EP(大角对大边)

    ∴AP+PB+PC≥EP+PB+DE>BD=AB+AC

    ∴A是费马点

    Q:还有没有其他找法?

    如图,以∆ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则有结论:

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    (1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°;

    (2)P到A、B、C三顶点距离的和最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

    这样去做等边三角形之后再连接,其实也就是手拉手模型,那么我们来简单证明一下:

    (1)证明:由手拉手模型易证∆AFC≌∆ABE

    ∴CE=BE

    同理可证:∆BCF≌∆BDA,CF=AD

    ∴AD=BE=CF

    ∵∆AFC≌∆ABE

    ∴∠AFC=∠ABE

    ∴∠BPF=∠BAF=60°(8字模型)

    ∴∠BPC=120°

    同理可证:∠APB=∠APC=120°

    ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°

    (2)证明并不困难,给一点小提示:在FC上取一点Q,使得FQ=AP,接下来的证明过程就交给各位同学自行完成了

    Q:你学会了吗?

    让我们来考验一下各位小学霸吧!

    【例1】如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,求AP+BP+PD的最小值。

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    【分析】首先很容易知道△ABD是一个等腰三角形,所以它的费马点肯定在AC这条线段上,然后题目让我们求的最小值,其实就是问费马点到三个顶点的距离之和。

    根据前面的方法和总结,我们可以以AB为边往外做一个等边三角形。

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    所以前面的结论很快就知道AP+BP+PD=DE。而由题干给出的角度条件,很容易就得出∆ADE是一个等腰直角三角形,所以DE就很容易求出来了。

    接下来看看中考真题吧!

    【例2】(2016年株洲中考)已知P是∆ABC内一点,且它到三角形的三个定点距离之和最小,则P叫∆ABC的费马点(Fermat point)。

    已经证明:在三个内角均小于120°的∆ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,P就是的费马点。若点P是腰长为√2的等腰Rt∆DEF的费马点,则PD+PE+PF=__________。

    【分析】此题没有给出图形,而且对费马点原理做出了提示,所以题目貌似并不超出考试大纲的要求,但是如果考生平时对费马点知识掌握不牢固,要想快速解出该题答案也是有难度的,实际上该题只要能把图做出来,找到费马点在哪里,基本上离答案不远了。

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    小结:可以看出,只要知道费马点的位置,问题就转换成勾股定理的相关计算,此题对费马点原理的提示是比较清晰,有些考题可能就不是这样,它更多的以探究题的形式出现,难度就会增加很多,比如下面武汉2019年中考题的一道填空压轴题。

    【例3】(2019年武汉中考填空压轴)问题背景:如图1,将∆ABC绕点A逆时针旋转60°得到∆ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE。

    问题解决:如图2,在∆MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4√2。点O是∆MNG内一点,则点O到∆MNG三个顶点的距离之和的最小值是__________。

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    【分析】此题没有提到费马点,但它的确是一道费马知识的问题。如果你平时不熟悉费马点,可能都意识不到问题背景给你的提示有什么用。而且,此题的问题背景,P点并不在三角形内部,和费马点的辅助线思路还是有一些区别,尽管他们都是旋转60°的思路。繁殖,如果考生知道本题求O点到三角形三个定点的最小值,就意味着O是费马点,这样,按照费马点的位置特点,就比较容易做出该题了。

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    根据条件易得∠NME=135°,这是一个非常特殊的角度,所以很容易想到∠EMF=45°。而∆MGE是等边三角形,所以ME=MG=4√2,所以计算出EM=EF=4。所以NF=10,再由勾股定理即可算出NE=2√29。

    Q:最后还想说点啥?

    中考是选拔性考试,总是要出一些稍微有难度的题目,把优秀的学生筛选出来,把他们送进高中的学堂。所以,现在的教材虽然剔除了一些看似比较难的知识点,但这并不代表这些知识点就不会出现在中考题中,它会以探究题、创新题等形式出现。所以这些知识点,我们仍然要引起重视,在平时的学习中加以总结、提炼,才能在决定命运的考场上立于不败之地。

    我们在数学学习过程中,是否需要“模型”?俗话说“成也模型,败也模型”,我们掌握一定的模式,能让我们快速找到解决问题的途径。如果死守模式,不会融会贯通,也是“假模式”。我们平时教学中的每一道典型例题都是一种模型,取一个好听的名字知识让学生好记,能“顾名思义”。求线段和最值问题,不管是“将军饮马”问题、“胡不归”问题、“阿式圆”问题,及“费马点”问题,本质都是将直线拉直(将直线同一侧的两条线段转化为异侧),再利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”寻找到答案。

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    第六期:换元法巧算

    第五期:带系数多线段最值问题

    第四期:函数中的面积问题探究

    第三期:整数解问题初级探究

    第二期:存在性问题剖析

    第一期:韦达定理逆定理及其应用

    展开全文
  • 最值问题 例1如图AOB30MN分别是边OAOB上的定点PQ分别是边OBOA 上的动点记OPMOQN当MP+PQ+QN最小时则的数量关系 举一反三 1如图AOB20点MN分别是边OAOB上的定点点P
  • 1三角函数有界性在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性,这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外,在解三角形问题中,两大利器就是正弦定理和余弦定理,它们两个的基本操作...

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    1

    三角函数有界性

    在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性,这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外,在解三角形问题中,两大利器就是正弦定理和余弦定理,它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”,将多元问题降元,转变成一元问题,再结合三角函数的有界性即可求解出最值。

    1利用y=Asin(wx+Ψ)求解

    例题1:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a=√3,A=π/3,试求b+c的最大值。6f0442550382491ab31cc9b2febd465f.png

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    例题2:已知△ABC为等腰直角三角形,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,具体如下图所示,求平面四边形ABDC面积的最大值。

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    变式1:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知bcosC+√3bsinC-a-c=0(1)求B;(2)若b=√3,求2a+c的取值范围变式2:在△ABC中,a2+c2=b2+√2ac,(1)求B的大小;(2)求√2cosA+cosC的最大值。

    2换元为二次函数求解

    例题:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=btanA,且B为钝角。(1)证明:B-A=π/2(2)求sinA+sinC的取值范围

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    3利用函数单调性求解

    例题:在锐角△ABC中,若b=2,B=2A,则试求c的取值范围。

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    2

    二次函数性质

    将求解的最值问题转换成二次函数的最值问题,这样题目就迎刃而解。

    例题:已知△ABC中,c=2,b=√3a,则试求△ABC面积的最大值。

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    3

    基本不等式及推论

    利用正弦定理或余弦定理,转化为二元问题,再利用基本不等式及其推论求解最值。例题1:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0。(1)求B的大小(2)若a+c=1,求b的取值范围

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    例题2:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a+b=2c,求cosC的最小值。

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    变式1:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=bcosC+csinB

    (1)求B的值;

    (2)若b=2时,求△ABC面积的最大值。

    变式2:在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根。

    (1)求C的大小;

    (2)当a+b=10时,求△ABC周长的最小值。

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    4

    阿波罗尼斯圆

    基本概念:

    一般地,平面内到两定点A,B距离之比为常数λ(λ≠1)的点P的轨迹为圆,此圆称为阿波罗尼斯圆。

    阿波罗尼斯圆的证明:平面内有一动点P,又A,B为两个定点,且有PA=λPB,试求点P的轨迹方程。

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    例题:在△ABC中,AB=2,AC=√2BC,求△ABC面积最大值。

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    变式:在△ABC中,AB=AC,点D是AC的中点,且BD=2,试求△ABC面积的最大值。【来源】高中数学王晖。

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  • 了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值。 如何落实课标的要求 ◆ 加强对平方根、算术平方根、立方根、实数和无理数的概念的理解。在中学数学基础知识中,数学概念...

    本章内容课标的要求

    ● 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。

    ● 2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算会求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根。

    ● 3.了解实数和无理数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数和绝对值。

    ● 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。

    ● 5.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值。

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    如何落实课标的要求

    ◆ 加强对平方根、算术平方根、立方根、实数和无理数的概念的理解。在中学数学基础知识中,数学概念是最基本的内容,也是最普遍的形式。

    所谓数学概念,就是指数学名词和术语,其中尤以数学名词为多。

    学习数学最有意义的是对概念、定理、公式等结论的发现和抽象概括过程,我们把这些需要探究的概念、定理和公式纳入“探究”系列之中。如:通过以下的填空题来加强对平方根、算术平方根、立方根的理解。

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    ◆ 让学生根据平时学习的经验,熟记1-20的数的平方,1-9的数的立方。

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    ◆ 对本章的知识点进行综合训练

    数学是一门系统的科学,数学知识则是由概念和原理组成的体系,每一个概念总要与其他概念发生关系,每一个概念都包含于一定的体系之中。

    有时也可以用类比的方法来进行辨析,类比是根据两个或“两类”对象之间有部分属性相同,从而推出它们在某些方面的某种属性也可能相同的一种逻辑推理的方法。

    它既包含从特殊到一般,又包含从一般到特殊的推理。其特点是:利用某些客观事物的类似的性,以对一个系统的研究作为获得关于另一个系统的信息的手段。

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    请认真完成上述题目

    查看答案请下翻!

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    依托信息技术进行初中数学教学设计

    教材:人教版七年级一、课程目标(一)教学知识点1.垂线段的定义;2.垂线段的基本性质。(二)能力训练要求1.

    (本文共2页)

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    随着信息技术的不断发展,我国目前已经基本解决教育信息化的基础条件建设、普及应用。为了更加快速地推进教育信息化,以促成教育强国目标的达成,教育部在《教育信息化2.0行动计划》中提出了新要求,要更加坚持深度融合。对于信息技术与课程整合,一直以来都是教育改革的热门话题,但是,在《教育信息化十年发展规划(2011—2020年)》中初次将“整合”的概念改为“深度融合”的理念后,信息化2.0时代的研究热门点,就落在了信息技术与课程教学“深度融合”的相关探索上。“深度融合”的内涵与实质是利用信息技术的优势,在教学环境、教学方法、教学内容、教学资源等进行创新,以促进教学结构性变革。作为一种全新的教学模式,智慧课堂对于有效促进信息技术与学科教学“深度融合”有所帮助。在初中数学的课堂教学中结合智慧课堂的特点,使得课堂教学的结构进行变革,对于目前初中数学教学中存在的问题是能够很好的解决的。并且,能够提供针对性教学,以满足学生的个性化需求,这对于学生自...

    (本文共115页)

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初中数学最值问题