精华内容
下载资源
问答
  • 初中数学直角三角形性质推荐PPT课件.pptx
  • 初中数学直角三角形性质推荐PPT学习教案.pptx
  • 全等三角形、三角形角平分线、垂直平分线、等腰三角形和等边三角形、直角三角形、勾股定理等,这些知识点每个都会成为考点,而在解题之前,首先要了解与之相关的性质和定理,今天,黄小将就为大家整理了初中阶段有关...
    eb4af8d18bfbb8e2ceaf8d798a495634.png

    初中数学中,三角形是必考考点,而有关三角形的知识点也有很多,全等三角形、三角形角平分线、垂直平分线、等腰三角形和等边三角形、直角三角形、勾股定理等,这些知识点每个都会成为考点,而在解题之前,首先要了解与之相关的性质和定理,今天,黄小将就为大家整理了初中阶段有关三角形的知识点,一起来看看吧。

    24fe0062228151c099b59d1e8f004b94.png

    1、全等三角形

    性质:(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。

    (2)全等三角形的周长相等、面积相等。

    (3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

    全等三角形的判定:

    ①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

    ②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

    ③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

    ④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。

    ⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

    方法总结:出现两等边三角形、两等腰直角三角形通常用 SAS 证全等;等腰直角三角形常见辅助线添法--连结直角顶点和斜边中点;两直角三角形证全等常用方法:SAS,AAS,HL;出现等腰直角三角形或正方形可能用到 K 型全等。

    7b3c186febb9357d9d3c36090a590ea1.png

    2、角平分线

    性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。判定定理:到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。拓展:三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。

    角平分线通常用于求点到直线距离、三角形面积角度。拓展三个概念:

    重心:三角形中线的交点,重心分中线上下比为2:1。

    内心:三角形角平分线的交点,内心到三边的距离相等。

    外心:三角形垂直平分线的交点,外心到三个顶点的距离相等。

    角平分线常见的四种辅助线做法:

    ①如下图,由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线,可以用角的平分线性质定理解题;

    c086fc1d0d22f2a70e9b2125f202d494.png

    ② 如下图,以角的平分线为轴,将图形翻折,在角的平分线两侧构造全等三角形,使已知与结论发生关系出现新的条件;

    8072fc4936f2ca25c0ca1fbb664741ef.png

    ③ 如下图,当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段,可延长这条线段与角的另一边相交,构成等腰三角形, 利用等腰三角形的“三线合一” 性质证题;

    006ae3ea248e002b16ec6dc7c2f57565.png

    ④如下图,过角的一边上的点,作另一边的平行线,构成等腰三角形——“角平分线+平行,必出等腰 ”

    4a8fe7f3433abb1a7d445758c8a87313.png

    3、垂直平分线

    性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

    如何判定:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

    拓展:三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。

    相关方法总结:出现一点到两点距离相等的题型,一般要用到垂直平分线;题中看到线段垂直平分线,要想到垂直平分线垂直且平分线段,垂直平分线上点到线段两端点距离相等,相等边所对应角相等;翻折题型中常用到垂直平分线、勾股定理。

    4、等腰三角形

    性质定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)

    等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)

    判断:一个三角形的两个相等的角所对的边也相等(等角对等边)

    ddb3569c9e21b8fa5be7b1b8252f1138.png

    5、等边三角形

    性质定理:等边三角形的三条边都相等;等边三角形的三个内角都相等,都等于60度。等边三角形的每一条边都能运用三线合一这一性质。

    判断定理:三条边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有两个角是 60°的三角形是等边三角形;有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

    方法总结:出现等腰三角形通常要分类讨论,在选择题和填空题中,切勿因为没有分类讨论而导致搞错答案。

    b467a7aebdc685b3ab05144e0c3f12e8.png

    6、直角三角形和勾股定理

    有一个角是直角的三角形是直角三角形,在直角三角形中,斜边中线等于斜边的一半;30度所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形常用面积法求斜边上的高。

    勾股定理:直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边 c 的平方,即 a2+b2=c2。

    勾股数一定是正整数,常见勾股数:3,4,5;5,12,13;6,8,10,;7,24,25;8,15,17;9,12,15。

    方法总结:

    当不明确直角三角形的斜边长,应把已知最长边分为直角边和斜边两种情况讨论。无理数在数轴上的表示和线段长表示通常用到勾股定理。翻折题型常用勾股定理(口诀:翻折求边找直角,勾股定理设未知量)

    如果三角形的三边长 a,b,c 有关系 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理,常用于判断三角形的形状,先确定最大边(可以设为c)

    c790962e958940f5f890b7d09df456e3.png

    7、锐角三角函数与解直角三角形

    常见角度的三角函数值:

    b35f608b7a83c5e1767301031195ef88.png

    直角三角形中边与角的关系

    0016cf0bc9c8d5da5a7e3ab2a8879f8d.png

    锐角三角函数应用知识小结:

    8be5613d685ac8904643b1fd06d47ffd.png
    展开全文
  • 直角三角形性质定理:①直角三角形的两个锐角互余②直角三角形两条直角边的平方等于斜边的平方2.直角三角形的判定定理:①有两个角互余的三角形是直角三角形②如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个...

    第一章 三角形的证明

    1.2直角三角形

    一、知识点梳理

    1.直角三角形的性质定理:

    ①直角三角形的两个锐角互余

    ②直角三角形两条直角边的平方等于斜边的平方

    2.直角三角形的判定定理:

    ①有两个角互余的三角形是直角三角形

    ②如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三

    角形

    3.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题成为互逆命题,其中一个命题成为另一个命题的逆命题。

    4.逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理成为另一个定理的逆定理。

    5.直角三角形全等的证明:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

    二、经典题型总结

    题型一:利用直角三角形的性质求线段长

    题型二:利用互逆命题的关系写逆命题

    题型三:利用“斜边、直角边”(HL)证明两直角三角形全等

    题型四:与直角三角形有关的动点、最值问题

    题型五:与直角三角形有关的综合提升题

    三、解题技巧点睛

    1.在直角三角形中求斜边上的高的时候可以考虑使用面积相等的方法(等积法)

    2.在等腰直角三角形(或等腰等边三角形)内部出现三角形的题型中,有时可以考虑用旋转的方法构造全等三角形解题

    3.灵活运用勾股定理的逆定理,若题干中未明确直角三角形,而是给定了几条边的长度,那么就可以考虑一下是否需要逆定理

    4.灵活运用①直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半

    ②直角三角形中斜边的中线长等于斜边的一半

    四、易错点分析

    原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确,其逆命题也不一定错误;正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题,每一个定理不一定有逆定理,如果这个定理存在着逆定理,则一定是真命题.

    五、典型例题分析

    题型一:利用直角三角形的性质求线段长

    例题:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(  )

    f97ee3d1de43eb48f811cf08854ad13b.png

    题型二:利用互逆命题的关系写逆命题

    例题:判断下列命题的真假,写出逆命题,并判断逆命题的真假

    (1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;

    (2)如果a>b,那么a2>b2

    (3)如果两个数互为相反数,那么它们的和为零;

    (4)如果ab<0,那么a>0,b<0.

    题型三:利用“斜边、直角边”(HL)证明两直角三角形全等

    题型:在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证:Rt△ABE≌Rt△CBF

    7b59350e7f69d1989fa5155e00a1fec5.png

    题型四:与直角三角形有关的综合提升题

    例题:如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线l,AM⊥l于点M,BN⊥l于点N.

    (1)求证:MN=AM+BN;

    (2)如图②,若过点C作直线l与线段AB相交,AM⊥l于点M,BN⊥l于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.

    a8f89c644944688b8bb1bccc32389241.png

    六、中考真题再现

    (2019.安徽.12题)命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为   

    (2019.赤峰.26题)【问题】

    如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.

    【探究发现】

    (1)如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点D移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;

    【数学思考】

    (2)如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程;

    【拓展引申】

    (3)如图4,在(1)的条件下,M是AB边上任意一点(不含端点A、B),N是射线BD上一点,且AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验,发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4,请你直接写出BQ的最大值.

    a564d4ff69fe4a5cfaede1a68c492759.png

    七、习题巩固训练

    1.已知一个直角三角形的周长是2,斜边上的中线长为2,则这个三角形的面积为   

    2.如图,已知点D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=5,则CD的长为   

    39d7f303042e745012f9e564e6b79d38.png

    3.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=   °(点A,B,P是网格线交点).

    e0df43dab2ba83351eba602a51832a7f.png

    4.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC边上的高AD=6 cm,腰AB上的高CE=8 cm,则△ABC的周长等于________ cm.

    0b4dec9de3669411d1aafc2cf3405e2f.png

    5.如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC,∠DCB=60°,AB+BC=8,则AC的长是   

    a5c1038b269bc0efc0b06c70bf1f2a89.png

    6.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点P为△ABC内的一点,AP=2,BP=5,∠APC=120°,则PC的长为(  )

    30d78c7e77791a4a72ec2fbf39ae34f6.png

    7.如图,一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上,设木棍中点为,若木棍端沿墙下滑,且沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点到点的距离   .(变/不变)

    3ff810b3b9080d03757590e1daadac1e.png

    8.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,F为CD上一点,且CF=CD,过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E,BE=12,则AB的长为   

    532cdd70b8e17c2b22bd4417e29b6a0b.png

    9.如图,在中,D是AB的中点,,,交AC于点若,,则_________.

    71e852c2edb50d2f5a8a3c9dfd8c674f.png

    10.根据命题“两直线平行,内错角相等.”解决下列问题:

    (1)写出逆命题;

    (2)判断逆命题是真命题还是假命题;

    (3)根据逆命题画出图形,写出已知,求证.

    11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.

    6ce5b1abd73e9e833c75561e2d139901.png

    12.如图所示,以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD,连接DC,以DC为边作等边△DCE,B,E在C,D的同侧,若,求BE的长.

    3af38386c99189c4ac933949c4fefdc8.png

    13.如图所示,在Rt△ABC中,,D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.

    1c73a76b5639c697484c75ad2df0672f.png

    14.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.

    (1)证明:DC=DG;

    (2)若DG=5,EC=2,求DE的长.

    5cabf9a80662abd5bac8dc6fdeef3a9e.png

    15.如图、已知∠AOB=30°,OC平分∠AOB,P为OC上任意一点,PD∥OA交OB于D,PE⊥OA于E.如果OD=4cm,求PE的长.

    7eed9554b53ab47d751233d250e5d649.png

    16.如图,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分别是AC、BD的中点.求证:MN⊥BD.

    20de157bb7577239bf502dd6f4307d62.png

    17.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD为高,且CD,CE三等ACB.

    (1)求∠B的度数;

    (2)求证:CE是AB边上的中线,且CE=AB.

    b817140aafacb089b3fb9258dcade572.png

    18.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AC=26,BD=24,M、N分别是AC、BD的中点,求线段MN的长为.

    a55744b05ee806adb120acd22f2952cd.png

    19.如图,已知AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点,

    (1)如图1,求证:△ECD是等腰三角形;

    (2)如图2,CD与AB交点为F,若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的长.

    eb8fa194f2556c84b171d63d9cae1a54.png

    20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.点D是AB中点,点E为边AC上一点,连接CD,DE,以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF,连接BF.

    (1)△BCD的形状为   

    (2)随着点E位置的变化,∠DBF的度数是否变化?并结合图说明你的理由;

    (3)当点F落在边AC上时,若AC=6,请直接写出DE的长.

    展开全文
  • 初中三年数学几何公式、定理梳理,今天整理给大家,家长可以为孩子收藏,让孩子的几何学习更方便些。1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条...

    0381981b59677e07af724e8c9c6dd6dc.png

    06d1e1ea56c515fa00d4957c21b0bec9.gif

    a16fb4085b81afd14f0e99df88e8630f.png

    84b0aaaa62397605eff3253e743fe8c7.png

    初中三年数学几何公式、定理梳理,今天整理给大家,家长可以为孩子收藏,让孩子的几何学习更方便些。

    839e84d2efab09dea9c53a631d16ceb7.png

    1.过两点有且只有一条直线
    2.两点之间线段最短
    3.同角或等角的补角相等
    4.同角或等角的余角相等
    5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
    6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
    7.平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
    8.如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
    9.同位角相等,两直线平行
    10.内错角相等,两直线平行
    11.同旁内角互补,两直线平行
    12.两直线平行,同位角相等
    13.两直线平行,内错角相等
    14.两直线平行,同旁内角互补
    15.定理三角形两边的和大于第三边
    16.推论三角形两边的差小于第三边
    17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
    18.推论1直角三角形的两个锐角互余
    19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
    20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
    21.全等三角形的对应边、对应角相等
    22.边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
    23.角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
    24.推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等
    26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
    27.定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
    28.定理2:到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
    29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
    30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等

    31.推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
    32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合
    33.推论3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
    35.推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
    36.推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
    37.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
    38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
    39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
    40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
    41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
    42.定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形
    43.定理2如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
    44.定理3两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
    45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
    46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a+b=c
    47.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角形
    48.定理四边形的内角和等于360°
    49.四边形的外角和等于360°
    50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°
    51.推论任意多边的外角和等于360°
    52.平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等
    53.平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等
    54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等

    55.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分
    56.平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
    57.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
    58.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形
    59.平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形
    60.矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
    61.矩形性质定理2矩形的对角线相等
    62.矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

    63.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
    64.菱形性质定理1菱形的四条边都相等
    65.菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
    66.菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2
    67.菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
    68.菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    69.正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等
    70.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
    71.定理1关于中心对称的两个图形是全等的
    72.定理2关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
    73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称
    74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
    75.等腰梯形的两条对角线相等
    76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
    77.对角线相等的梯形是等腰梯形
    78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
    79.推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
    80.推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边
    81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
    82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h
    83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc
    如果ad=bc,那么a:b=c:d
    84.(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
    85.(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么
    (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

    86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
    87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
    88.定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
    89.平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
    90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
    91.相似三角形判定定理1两角对应相等,两三角形相似(ASA)
    92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
    93.判定定理2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)
    94.判定定理3三边对应成比例,两三角形相似(SSS)
    95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
    96.性质定理1相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
    97.性质定理2相似三角形周长的比等于相似比
    98.性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方
    99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
    100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
    101.圆是定点的距离等于定长的点的集合
    102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
    103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
    104.同圆或等圆的半径相等
    105.到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
    106.和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线
    107.到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
    108.到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
    109.定理不在同一直线上的三个点确定一条直线
    110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
    111.推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧


    ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

    ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

    112.推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等
    113.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
    114.定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
    115.推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
    116.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
    117.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
    118.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
    119.推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
    120.定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
    121 .①直线L和⊙O相交d﹤r
      ②直线L和⊙O相切d=r
      ③直线L和⊙O相离d﹥r
    122.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
    123.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
    124.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
    125.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
    126.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
    127.圆的外切四边形的两组对边的和相等
    128.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
    129.推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
    130.相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
    131.推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
    132.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
    133.推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
    134.如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

    135.①两圆外离d﹥R+r

    ②两圆外切d=R+r
    ③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
    ④两圆内切d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)
    136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
    137.定理把圆分成n(n≥3):
    ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
    ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
    138.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
    139.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
    140.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
    141.正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长
    142.正三角形面积√3a/4a表示边长
    143.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
    144.弧长计算公式:L=n∏R/180
    145.扇形面积公式:S扇形=n∏R/360=LR/2
    146.内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

    展开全文
  • 初中阶段以直角三角形为基础,认识和了解锐角三角函数,而高中则是广义的三角函数,在平面直角坐标系中定义三角函数,可以是任意角的三角函数。 三角函数有很多公式,如倍角正弦公式:sin2θ=2sinθcosθ。小编曾在...
    69b6ad4c3abed9259699949c54f8f041.gif更多精彩,请点击上方蓝字关注我们!

           三角函数是基本初等函数之一,也是中学阶段很重要的一部分内容。初中阶段以直角三角形为基础,认识和了解锐角三角函数,而高中则是广义的三角函数,在平面直角坐标系中定义三角函数,可以是任意角的三角函数。

          三角函数有很多公式,如倍角正弦公式:sin2θ=2sinθcosθ。小编曾在初中范围内推导出该公式。本文先回顾以前几种推导,由于极限在初中范围,假设2θ是不超过的90°角,其实只要学了广义的三角函数,我们的下面的推导可以打破直角的界限。

          构造倍角,小编想到的是同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半、等腰三角形三线合一以及菱形的对角线平分一组对角,下面一一推导:

    同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍

    假设圆的半径是1,构造单位圆:若∠P=θ,过点P作一半径为1的圆与∠P的两边分别交于点B、C,为构造直角三角形和二倍角2θ,作直径AB,连接AC、OC、BC,过点C作CD⊥AB于点D,

    则∠A=∠P=θ,∠COB=2θ,∠ACB=∠CDO=90°,

    OA=OB=OC=1,

    c087c6e23c6e87e0a79ac9ca81181130.png

    故 AB=OA+OB=2,AC=AB●cosθ=2cosθ,

    BC=AB●sinθ=2sinθ,CD=OC●sin2θ=sin2θ ;

    根据 Rt∆ABC 的面积,我们易有:

    AB●CD=AC●BC=2SABC

    即 2sin2θ=2sinθ×2cosθ,

    故 sin2θ=2sinθcosθ 。证毕。

    等腰三角形三线合一

    构造等腰∆ABC,使AB=AC=1,∠BAC=2θ,过点A作AD⊥BC于点D,∠BAD=θ,过点B作BE⊥AC于点E,

    则 BD=AB●sinθ=sinθ,

    BC=2BD=2sinθ,AD=AB●cosθ=cosθ,

    BE=AB●sin2θ=sin2θ ;

    8c14a18516d36b92b1b2efd188f45d87.png

    而 

    2e27d0323887f66ee1b9146113a0d1e9.png

    证毕。

    菱形的对角线平分一组对角

    构造菱形ABCD,使其边长为1,且∠BAC=2θ,作对角线AC、BD,过点D作DE⊥AB于点E;则AB=AD=1,∠BAO=θ;

    从而 BO=AB●sinθ=sinθ,

    AO=AB●cosθ=cosθ,

    DE=AD●sin2θ=sin2θ ;

    类似于上一种推导,由菱形的面积可得:

    77462c1d079ceddba1a881eaf40076dc.png

    证毕。

          以上三种推导,是小编以前想到的,近来从直角三角形三角函数最初的意义重新推导,寻找某些特殊边的几何意义,从而得到下面的证明:

    矩形对角线形成的等腰三角形和直角三角形

    矩形ABCD中,CD=a,AD=b,AC=c,∠DAC=θ,过点D作DE⊥AC于点E;易得∆AOD是等腰三角形,∠ODA=∠DAC=θ,

    则 ∠DOC=∠ODA+∠DAC=2θ;

    98389995875ae3d949f7ffb30643dc30.png

    证毕。

    4f05f28c9b7bc867cd981d283cc08273.gif

         关于这个推导,我们继续尝试是否可以继续简化,矩形在左下角的Rt∆ABC几乎没有这么涉及,因此我们只需做出直角三角形以及直角三角形斜边上的高以及中线,并根据斜边上的中线等于斜边的一半,问题可以迎刃而解!

           或许通过下面这个图形,

    dacc153bf408e5ef90f22417ea7175f9.png

    你可以很容易得出结论!

          平面几何或许比较简单,但是一些基础图形中或许隐含了我们尚未发现的性质,或者通过一定的构造可以找出一些往后要学习的性质,可能这样有时会很有趣。

    期待您的扫码关注:

    361767a645ad28c9fb32734547071877.png

          如果觉得这篇文字有点道理,麻烦您点“在看”并转发给更多的朋友。

    展开全文
  • 1三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形...
  • 初中数学几何题汇编 三角形知识考点:理解三角形三边的关系及三角形的主要线段(中线、高线、角平分线)和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念,学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识...
  • 如需要电子版,转发、收藏后私信我发送邮箱,同时注明“初中数学常用公式”。点击下方课程链接,查看七年级上学期对应章节内容第1节 几何体与展开图第2节 截面与三视图第3节 数轴、相反数、绝对值第4节 有理数运算...
  • 利用全等三角形性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等.下面介绍证明三角形全等的几种方法,供同学们参考.一、利用公共角证明全等【例题 1】如图 1,已知 AB = AC, AE = AF,BF 交 CE 于点 O.图 1...
  • 写在前面:本文适合初三学生;本文所讲的方法,可供...平面几何是初中数学学习的核心内容之一,也是最大的学习难点之一,尤其是面对圆或平行四边形的压轴题时,不少优等生也会望而却步,因为采用传统平面几何解题的...
  • 某些平面几何问题,由于图形中的几何性质比较隐晦,条件分散,题设与结论间的某些元素的相互关系在所给的图形中不易发现,使之难以思考而感到束手无策.如果我们能对图形作各种恰当的变换,把原图形或原图形中的一...
  • 第十一章 三角形PPT课件教案下载_初中数学人教版八年级上册师梦圆​www.shimengyuan.com11.1 与三角形有关的线段PPT课件教案下载_初中数学人教版八年级上册师梦圆​www.shimengyuan.com11.1.1三角形的边PPT课件教案...
  • 两个目的:一是希望对开始数学不理想,现在想学的好数学的学生提供一个帮助一是发发文章此讲义适合有一些基础的学生(初中鲁教版七上),指的是对定义类题型做着还可以但对不行理解不好的的学生准备的。(望大家看清楚...
  • 判断三角形

    万次阅读 2016-04-05 11:52:01
    1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0, 则△ABC为等腰三角形。 ...若有a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形; 若有a2+b2,则△ABC为钝角三角形。 4、若有(a2-b2)( a2+b2-c2)=0, 则△ABC为等腰三角形
  • 感谢您关注“初中数学”公众号,还未关注的请点击上方蓝字“初中数学”关注数姐,获取更多知识方法。...数姐这次整理了全等三角形判定、性质,最重要的是后面附上了所有证明全等三角形,包括添加各...
  • 理解并掌握旋转的性质.2. 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,欣赏旋转在现实生活中的应用.3. 理解中心对称的有关概念及其基本性质,了解中心对称与旋转的关系. 理解中心对称图形的概念及其基本性质,了解...
  • 推论:①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角...
  • 初中数学

    2021-05-02 21:21:49
    三角形内角和180° 证明方法将三角形放在两条平行线中,然后由平行线的性质来证明 外角,就是三角形一条边与另外一条边的延长线的组成的叫外角 外角等于与其不相邻的角的和 多边形,线段首尾相连的封闭图形,
  • 初一下册数学知识点:三角形◆◆◆ 三角形是初一下学期学习的第四章内容,并且也是初中数学中几何部分的基础图形,这一部分是初中、高中乃至整个数学的基础,是很重要的一部分内容,也是考试的重点和难点。...
  • 另外,在解三角形问题中,两大利器就是正弦定理和余弦定理,它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”,将多元问题降元,转变成一元问题,再结合三角函数的有界性即可求解出最值。1利用y=Asin(wx+Ψ)...
  • 三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质,椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗? 51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题? 52.利用圆锥曲线第二定义解题时,你是否注意到...
  • 三角形!没错,三角形是所有平面图形中稳定性最好的。四边形相对来说,稳定性就要差很多,拉伸与挤压都产生变形。三角形就不会,除非受力过大,三角形被压断了。要将一个四边形让它稳定一些,怎么办呢?很简单,只...
  • 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注: (a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+...
  • 三角形是一个基本几何图形,在初中阶段就会详细学习它的性质,并且会接触到各种形状的三角形,但不管三角形的形状怎么变,它的内角和始终是180°。为了给学生们验证这一定理的正确性,可以制作动态课件来进行演示,...
  • 0时,一元二次方程没有实数根2平行四边形的性质① 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。② 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③ 平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。...
  • 人教版初中数学知识点总结

    千次阅读 2017-03-19 17:13:55
    初中数学知识点总结
  • 《多媒体在初中数学中的运用研究》课题研究报告 石头镇初级中学课题组 李佩佩 一、研究的背景及意义 (一)课题的背景 1、课程改革发展的趋势。 新课程改革强调,重视信息技术与学科的结合,充分利用信息技术资源,...
  • 三角函数的思维导图(上)

    千次阅读 2020-02-05 22:38:45
    通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。 三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 7
收藏数 133
精华内容 53
关键字:

初中直角三角形的性质