第一章 三角形的证明
1.2直角三角形
一、知识点梳理
1.直角三角形的性质定理：
①直角三角形的两个锐角互余
②直角三角形两条直角边的平方等于斜边的平方
2.直角三角形的判定定理：
①有两个角互余的三角形是直角三角形
②如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三
角形
3.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题成为另一个命题的逆命题。
4.逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理成为另一个定理的逆定理。
5.直角三角形全等的证明：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
二、经典题型总结
题型一：利用直角三角形的性质求线段长
题型二：利用互逆命题的关系写逆命题
题型三：利用“斜边、直角边”(HL)证明两直角三角形全等
题型四：与直角三角形有关的动点、最值问题
题型五：与直角三角形有关的综合提升题
三、解题技巧点睛
1.在直角三角形中求斜边上的高的时候可以考虑使用面积相等的方法(等积法)
2.在等腰直角三角形(或等腰等边三角形)内部出现三角形的题型中，有时可以考虑用旋转的方法构造全等三角形解题
3.灵活运用勾股定理的逆定理，若题干中未明确直角三角形，而是给定了几条边的长度，那么就可以考虑一下是否需要逆定理
4.灵活运用①直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半
②直角三角形中斜边的中线长等于斜边的一半
四、易错点分析
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.
五、典型例题分析
题型一：利用直角三角形的性质求线段长
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是(　　)
题型二：利用互逆命题的关系写逆命题
例题：判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a>b,那么a2>b2
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab<0,那么a>0,b<0.
题型三：利用“斜边、直角边”(HL)证明两直角三角形全等
题型：在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF
题型四：与直角三角形有关的综合提升题
例题：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线l，AM⊥l于点M，BN⊥l于点N.
(1)求证：MN=AM+BN；
(2)如图②，若过点C作直线l与线段AB相交，AM⊥l于点M，BN⊥l于点N(AM＞BN)，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由.
六、中考真题再现
(2019.安徽.12题)命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　 　．
(2019.赤峰.26题)【问题】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】
(1)如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】
(2)如图3，若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C)，受(1)的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；
【拓展引申】
(3)如图4，在(1)的条件下，M是AB边上任意一点(不含端点A、B)，N是射线BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．
七、习题巩固训练
1.已知一个直角三角形的周长是2，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为　 　．
2.如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若AC＝9，BC＝5，则CD的长为　 　．
3.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°(点A，B，P是网格线交点)．
4.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6 cm，腰AB上的高CE＝8 cm，则△ABC的周长等于________ cm.
5.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，∠DCB＝60°，AB+BC＝8，则AC的长是　 　．
6.△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为△ABC内的一点，AP＝2，BP＝5，∠APC＝120°，则PC的长为(　　)
7.如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离　 　．(变/不变)
8.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，BE＝12，则AB的长为　 　．
9.如图，在中，D是AB的中点，，，交AC于点若，，则_________．
10.根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：
(1)写出逆命题；
(2)判断逆命题是真命题还是假命题；
(3)根据逆命题画出图形，写出已知，求证．
11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.
12.如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若，求BE的长.
13.如图所示，在Rt△ABC中，，D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．
(1)证明：DC＝DG；
(2)若DG＝5，EC＝2，求DE的长．
15．如图、已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD＝4cm，求PE的长．
16．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
17．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等ACB．
(1)求∠B的度数；
(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB．
18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别是AC、BD的中点，求线段MN的长为．
19．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
(1)如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
(2)如图2，CD与AB交点为F，若AD＝BD，EF＝3，DE＝4，求CD的长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF．
(1)△BCD的形状为　 　；
(2)随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
(3)当点F落在边AC上时，若AC＝6，请直接写出DE的长．

初中数学中，三角形是必考考点，而有关三角形的知识点也有很多，全等三角形、三角形角平分线、垂直平分线、等腰三角形和等边三角形、直角三角形、勾股定理等，这些知识点每个都会成为考点，而在解题之前，首先要了解与之相关的性质和定理，今天，黄小将就为大家整理了初中阶段有关三角形的知识点，一起来看看吧。
1、全等三角形
性质：(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2)全等三角形的周长相等、面积相等。
(3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
全等三角形的判定：
①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
方法总结：出现两等边三角形、两等腰直角三角形通常用 SAS 证全等；等腰直角三角形常见辅助线添法--连结直角顶点和斜边中点；两直角三角形证全等常用方法：SAS,AAS,HL；出现等腰直角三角形或正方形可能用到 K 型全等。
2、角平分线
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。
角平分线通常用于求点到直线距离、三角形面积角度。拓展三个概念：
重心：三角形中线的交点，重心分中线上下比为2:1。
内心：三角形角平分线的交点，内心到三边的距离相等。
外心：三角形垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等。
角平分线常见的四种辅助线做法：
①如下图，由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；
② 如下图，以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；
③ 如下图，当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形， 利用等腰三角形的“三线合一” 性质证题；
④如下图，过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰 ”
3、垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
如何判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
相关方法总结：出现一点到两点距离相等的题型，一般要用到垂直平分线；题中看到线段垂直平分线，要想到垂直平分线垂直且平分线段，垂直平分线上点到线段两端点距离相等，相等边所对应角相等；翻折题型中常用到垂直平分线、勾股定理。
4、等腰三角形
性质定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)
判断：一个三角形的两个相等的角所对的边也相等(等角对等边)
5、等边三角形
性质定理：等边三角形的三条边都相等；等边三角形的三个内角都相等，都等于60度。等边三角形的每一条边都能运用三线合一这一性质。
判断定理：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是 60°的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
方法总结：出现等腰三角形通常要分类讨论，在选择题和填空题中，切勿因为没有分类讨论而导致搞错答案。
​6、直角三角形和勾股定理
有一个角是直角的三角形是直角三角形，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半；30度所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形常用面积法求斜边上的高。
勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2＋b2＝c2。
勾股数一定是正整数，常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10,；7,24,25；8,15,17；9,12,15。
方法总结：
当不明确直角三角形的斜边长，应把已知最长边分为直角边和斜边两种情况讨论。无理数在数轴上的表示和线段长表示通常用到勾股定理。翻折题型常用勾股定理(口诀：翻折求边找直角，勾股定理设未知量)
如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理，常用于判断三角形的形状，先确定最大边(可以设为c)
7、锐角三角函数与解直角三角形
常见角度的三角函数值：
直角三角形中边与角的关系
锐角三角函数应用知识小结：

来看这个题，旋转三角形中伴随最值问题。
如图，Rt△BAC和Rt△DAE中，AB=AC=10，AD=AE=4，连接DC，点M、P、N分别是DE，DC，BC的中点。△DAE绕点A旋转，求△PMN面积的最大值。
（视频讲解在文末）
分析：△BAC和△DAE都是等腰直角三角形，又有三个中点M、P、N，直接能够联想到中位线的性质，据此我们就可以先判断出红色三角形PMN的形状。
假设蓝色三角形DAE旋转任意一个角度，我们作两条辅助线，连接BD、EC
根据三角形中位线的性质可以得出：
MP平行且等于1/2EC
NP平行且等于1/2BD
因为AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，因此△BAD≌△CAE，BD=EC。
所以，MP=NP
又因为△BAD旋转90°与△CAE重合，AB⊥AC，AD⊥AE。
所以BD⊥EC，MP⊥NP
到这里，我们就可以得出三角形PMN是等腰直角三角形。
三角形PMN的面积=MN²÷4
只需要求出线段MN的最大值，即可得到三角形PMN面积的最大值。
什么时候MN最大呢？
当ED∥BC，∠BAD=180°时，MN取得最大值。
此时，MN=MA+AN=7√2
三角形PMN的面积最大值=(7√2)²÷4=24.5
本题视频讲解：
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1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：
缺条边的条件：
1.关于角平分线的辅助线
当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：
①角平分线具有对称性；
②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：
(1)截取构全等
如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等
利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。
例：如上右图所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 
(3)作角平分线的垂线构造等腰三角形
如下左图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。
例：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。
求证：DH=（AB-AC）提示：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。
(4)作平行线构造等腰三角形
分为以下两种情况：
①如下左图所示，过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。
②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。
2.由线段和差想到的辅助线
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。
01
在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。
因为AD是∠BAC的角平分线
所以∠BAD=∠CAD
在AB上作AE=AC
又AD=AD
由SAS得：△EAD≌△CAD
所以∠EDA=∠CDA,ED=CD
又因为∠CDA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B
所以∠BDE=∠BDA-∠EDA=(∠C+∠CAD)-∠CDA=(2∠B +CAD ） -（∠B+∠BAD）=∠B
所以△BED为等腰三角形
所以EB=ED=CD
所以AB=AE+EB=AC+CD
02
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。
例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
（法1）证明：将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，
在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）
在△BDM中，MB＋MD＞BD；       （2）
在△CEN中，CN＋NE＞CE；       （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC
（法2）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：     
AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边） （1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上）   （2）
DG＋GE＞DE（同上）     （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
03
在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置。
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，
∴∠BDC＞∠BAC
证法二：连接AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角
∴∠BDF＞∠BAD，
同理，∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
3.由中点想到的辅助线
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
(1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD= SΔACD = 1/2SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。
例1  如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
(2)倍长中线
已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。
如图，延长AD到E，使得AD=AE，连结BE。
4.其他辅助线做法
(1)延长已知边构造三角形
在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．
例4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．
延长AD、BC交于F,
∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,
∴∠DAE=∠CBE,
又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,
∴△ACF≌△BCE,
∴BE=AF,
∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴AD=FD=1/2AF, AD为a∴BE=2a
(2)连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC    求证：AB=CD。
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形全等来解决。
(3)连接已知点，构造全等三角形
例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。
(4)取线段中点构造全等三角形
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
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