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    2021-01-14 16:24:11

    合振动的初相位确定方法

    梁沙莎

    ( 延安大学西安创新学院 建筑工程系 陕西 长安区 710100) 引言

    振动是自然界中最常见的运动形式之一,同时也是近代物理学和科学技术众多领域中的重要课题。随着生产技术的发展,动力结构又向大型化,复杂化,轻量化和高速化发展的趋势,由此而带来的工程振动问题更为突出。振动在当今不仅作为基础科学的一个重要分支,而且正走向工程科学发展的道路,它在地震学、建筑力学、机械、航空、航天、等工业技术部门中占有越来越重要的地位。因此,掌握同方向同频率简谐振动合成中初相位的确定方法,从而为研究现代科学技术振动和动态问题是十分重要的,更为初学者探讨振动问题打下良好的基础。 一、简谐振动基本概念

    物体运动时,如果离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦函数(或按正弦函数)的规律随时间变化,这种运动称为简谐振动,简称谐振动[1]。简谐振动是一种最简单和最基本的振动,一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。而振动的合成问题实际上是个运动合成问题,合振动的求解方法是用矢量求和的方法。同方向同频率的的合成是简谐振动合成最简单的形式,对于这种合成的求解,可以用代数法,也可以用几何法。各种相关资料中都只有这个合成的结果,却没有对合成振动初相位两个步的探讨挑选其中的一个最佳二、简谐振动合成分析

    由相关计算可知,这个合成的运动是简谐振动。若两个分振动的表达式是:

    ϕ

    值的比较,和用什么样的方法进一

    ϕ

    值。下面就此问题进行深究。

    A cos(wt +ϕ) x 1=11

    x 2=A 2cos(wt +ϕ2)

    则合振动的表达式是:

    x =A cos(wt +ϕ)

    合振动的振幅是:

    2212

    A =

    A +A +2A 1A 2cos(ϕ1-ϕ2) ①

    说明:合振动的振幅与两个分振动的振幅合振动的初相位: 1

    A 1,A 2和初相位ϕ1, ϕ2都有关

    A sin ϕ1+A 2sin ϕ2

    tg ϕ=

    ② A 1cos ϕ1ϕ+1A cos ϕA 1sin +2A sin ϕ222

    sin ϕ=或

    A A 2cos ϕ2 ③ A 1cos ϕ1+

    cos ϕ=或 ④

    A

    说明:合振动的初相们与分振动的振幅A 1,A 2和初相位ϕ1, ϕ2都有关。由此可见,这是确实合振动的振幅A 和初相位ϕ的确定与简谐振动确定振幅和

    初相的不同之处是:这里的振幅和初相位不是由初始条件确定的,完全由两个分振动的振幅和初相位决定。

    三、简谐振动合成初相位的确定方法

    各种科技资料中,都只给出了初相位的计算公式,但这是一个三角函数表达式。对于确定的

    A 1,A 2,ϕ1, ϕ2,就是在一个同期中,ϕ

    也应该有两个

    值,这是数字计算所给出的结果,毋庸质疑。问题是:怎样从这两个

    ϕ

    值中确

    定这个合振动的初相位?怎样进行挑选?一般的科技资料中都没有给出。对于这类问题,初次接触是不易解决的。我们学习土木工程专业的学生研究振动很有必要。因为我国是一个多地震的区域,各种建筑物的设计中必须考虑防震的因素,

    因此,必须深刻理解、牢固掌握、灵活运用有关地震方面的振动知识,确定合振的初相位

    ϕ对于ϕ

    值的确定,可以按以下几种情况,通过不同途径计算和挑选。

    (一)当

    ϕ1≠ϕ2时

    ϕ

    方法I :通过计算、比较、确定

    由②、③、④中的任意两式分别计算可各得两个部分即为所挑选出的

    ϕ

    值,两组

    ϕ

    值的重叠

    ϕ值。

    方法II :通过计算,结合旋转矢量图确定ϕ。

    由旋转矢量法可知:振幅矢量A 1, A , A 都以角速度w 沿逆时针方向转动,因此,在旋转过程中,平行四边形的形状不会发生变化,可用t=0时刻讨论ϕ的

    值,所需要的那个

    取值。

    ϕ

    由图可知,A 与x 轴的夹角就是ϕ,且ϕ1

    (二)当

    说明两个简谐振动是反相位的,从旋转矢量图上可以看出,合振幅A 与

    A 1和A 2共线,由①式知:

    A =A 1-A 2

    ϕ1-ϕ2=±π时

    算 ,只需用A 与A 1或A 2的指向关系,就可用ϕ1或ϕ2表示ϕ,从而确定了ϕ:

    当A 1>A 2时,A 与A 1同指向,则ϕ=ϕ1,

    当A 1

    1

    在此情况,可不必用②、③、④式进行计

    说明两个简谐振动是同相位的,从旋转矢量图上可以看出,振幅矢量A 与

    A 1和A 2同指向,则有 ϕ=ϕ1=ϕ2

    在此情况下,也不必用②、③、④式进行计算,只用A 与A 1和A 2的指向关系就可确定ϕ。

    四、例证

    A =42+32+2x 4x 3-(-π]5π6x 23cos(10t +) 6

    6=1求合振动的表达式。

    x 1=4cos(10t +

    π

    )

    π5πϕ14≠ϕI cos +3cos(-) πcos 4=) 616sin ϕ

    解:用

    +3(-) =

    可解得: 222

    取它们的重叠部分,则有

    313=4x +3(-) =

    221211

    =4x

    5π[4sin +3sin(-)]还可计算: tg ϕ=

    5

    [4cos +3sin(-)]π7ϕ=π66可解得:或

    66π

    ϕ=

    同样,由cos ϕ与tg ϕ的重叠部分,则有

    6πϕ=

    同样,由sin ϕ与tg ϕ的重叠部分,则有

    6

    则合振动的表达式:

    π

    x =A cos(ωt +ϕ)

    π

    =1cos(10t +)

    6

    方法II :

    5

    ϕ-ϕ=-(-π) =π12由于

    66 ,可用情况(二)进行计算。

    由于A 1>A 2,说明:旋转矢量A 与A 1同指向,则

    π

    ϕ=ϕ1=

    6

    通过上文对简谐振动合成分析,探讨了同方向同频率简谐振动合成中初相位

    π

    五、结论(很重要,可以参照摘要加以扩充)

    的确定方法,提出了一种初相位的简便确定方法。

    ϕ1≠ϕ2时,两组ϕ值的重叠部分即为所挑选出的ϕ值,所需要的那个ϕ值。(即就取介于ϕ1和ϕ2之间的那个为ϕ值。)

    (二)当ϕ1-ϕ2=±π时,用A 与A 就可用ϕ11或A 2的指向关系,或ϕ2表示ϕ,从而确定了ϕ:

    当A 1>A 2时,A 与A 1同指向,则ϕ=ϕ1,

    当A 1

    ϕ。 (三)当ϕ=ϕ2时,用A 与A 1和A 2的指向关系就可确定

    (一)当

    通过具体例子,证明这种方法是正确可行的,结论是正确的。对于我国这样一个地震多发国家的建筑物设计人员,有着不可忽视的作用;也为探讨振动问题的科技人员提供理论基础。 参考文献

    《普通物理学》程守洙编(高等教育出版社)1998年版[1] 《大学物理》朱峰主编(清华大学出版社)2004年版

    《高等数学》同济大学应用数学系主编(高等教育出版社)2002年(5)版

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    将t=0代入剩下的两个选项中的一个。如果y_p是0.05且该选项振动方程在t=0处导函数小于零的话就选这个,否则选剩下的那个。(导函数小于零的推断是由P点在向下运动得出的)

    x=λ/4处介质质点的合振动方程

    把 x=λ/4 分别代入两zhidao个波动方程,得两个振动方程为:

    y1 = Acos(2πνt - π/4) 和 y2 = 2Acos(2πνt + π/4)

    用旋转矢量图法很容易得到,合振动的振幅为 A,初相位版 π/4,所以合振动方程为:

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    v = - 2πνAsin(2πνt + π/4)

    ad3ecfbe08b7a4b1778d1ba27078350b.png

    扩展资料:

    根据该运动方程式,可以说位移是时间t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。简谐运动的数学模型是一个线性常系数常微分方程,这样的振动系统称为线性系统。线性系统是振动系统最简单最普遍的数学模型。但一般情况下,线性系统只是振动系统在小振幅条件下的近似模型。

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    合振动的振幅=分振动振幅差(即A=0.04);初相位取分振动振幅大的那个分振动的振幅(即φ=-π/2)。

    当频率一致时,用向量加减的方法很好做。画出t=0时两个函数的向量,x1是指向y轴负方向的长为0.08的向量,x2是指向y轴正方向的长0.04的向量,相加得到一个长0.04指向y负方向的向量。所以得到初相为-pi/2。根据得到向量的长短也可以得到相加后的振幅,而频率也不会变化。

    扩展资料:

    在三角函数模型中我们会遇到三角函数图像y=Asin(ωx+φ)。物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期、和频率等都是与这个解析式中的常数有关。

    A就是这个简谐运动的振幅(amplitude of vibration),它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;

    这个简谐运动的周期(period)是T=2π/ω,这是做间歇运动的物体往复运动一次所需要的时间;

    这个简谐运动的频率(frequency)由公式f=1/T=|ω|/2π(这里的频率不是指角速率)它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数。

    参考资料来源:百度百科-初相

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  • 合振动的初相位确定方法.doc

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空空如也

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初相位公式