精华内容
下载资源
问答
  • 简谐运动公式的推导高中并不要求,但是如果不推导就显得特别不爽。所以以下是我的推导过程(绝对没有超纲)一、1.首先,对于简谐运动(以弹簧振子举例),我们知道: (1) (这里的k数值虽然与弹簧劲力系数相同,但...

    简谐运动公式的推导高中并不要求,但是如果不推导就显得特别不爽。

    所以以下是我的推导过程(绝对没有超纲)


    b93005e0810b790f6631469b990ab054.png

    一、

    1.首先,对于简谐运动(以弹簧振子举例),我们知道:

    (1)

    (这里的k数值虽然与弹簧劲力系数相同,但物理意义表示为回复力与位移的比值)


    (2)

    2.我们还知道:

    (3)

    3.要求周期,就要找到周期与其简谐运动本身的联系,由

    我们可知我们所求的

    隐藏在(2)中。

    4.我们需要联立上述公式以期望得出关于关于

    的公式,

    由于(3)牛顿第二定律的

    可以用(1)带入,而且
    属于已知条件,

    所以我们迫切需要知道

    ,这样我们的问题就解决了。

    5.我们来求加速度:

    对于(2)我们知道进行一次求导其导函数为

    其物理意义为简谐运动某质点的瞬时速度。

    知道了速度之后我们要知道瞬时加速度,就需要二次求导,得

    (4)

    于是我们得到了加速度。

    6.将(1)(4)代入(3),我们得

    与(2)联立我们得 (5)

    7.由

    代入(5),我们终于得到简谐运动周期公式

    二、那对于单摆又是怎样的呢?

    4a8a93d74a4a5d1d9f9cea6a8efd36b6.png

    我们知道:在单摆振幅极小时我们将其近似看做简谐运动,

    其回复力

    此时可近似看做

    这里的

    也就是所谓的回复力与位移比值

    将此处

    代入简谐运动公式我们就得到了
    单摆周期公式(振幅极小时):


    下次还是快乐的学习时光。

    f0947c9a73b151ab27f354e3a0d20d26.png
    展开全文
  • 其振动表达式为 x1=6×10^(-2)cos(5t+丌),x2=2×10^(-2)cos(5t-丌)=2×10^(-2)cos(5t+丌)故合振动x=x1+x2=8×10^(-2)cos(5t+丌)振幅8x10 ^(dao-2),相丌。合振动的...

    展开全部

    两个同方向同频32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433636232率的简谐运动,其振动表达式为 x1=6×10^(-2)cos(5t+丌),

    x2=2×10^(-2)cos(5t-丌)=2×10^(-2)cos(5t+丌)故合振动x=x1+x2=8×10^(-2)cos(5t+丌)振幅8x10 ^(dao-2),初相丌。

    合振动的振幅=分振动振幅差(即A=0.04);初相位取分振动振幅大的那个分振动的振幅(即φ=-π/2)。

    当频率一致时,用向量加减的方法很好做。画出t=0时两个函数的向量,x1是指向y轴负方向的长为0.08的向量,x2是指向y轴正方向的长0.04的向量,相加得到一个长0.04指向y负方向的向量。所以得到初相为-pi/2。根据得到向量的长短也可以得到相加后的振幅,而频率也不会变化。

    扩展资料:

    在三角函数模型中我们会遇到三角函数图像y=Asin(ωx+φ)。物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期、和频率等都是与这个解析式中的常数有关。

    A就是这个简谐运动的振幅(amplitude of vibration),它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;

    这个简谐运动的周期(period)是T=2π/ω,这是做间歇运动的物体往复运动一次所需要的时间;

    这个简谐运动的频率(frequency)由公式f=1/T=|ω|/2π(这里的频率不是指角速率)它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数。

    参考资料来源:百度百科-初相

    展开全文
  • 简单的一点瞎扯: (一)线性...将特解带入原微分方程可以得到其特征方程,从而求出其特征根,从而可以进一步将通解表示出来,因为通解为指数形式,所以可以根据欧拉公式将其表示成三角函数形式,然后根据三角函数的...

    44266389e3d68e9567f356e55616b512.png

    简单的一点瞎扯:

    (一)线性系统的振动中一开始首先接触的是自由振动,由无阻尼振动入手,分析弹簧质量系统,根据牛顿第二定律,构造出固有振动微分方程(这是个二阶常微分方程),然后根据二阶常微分方程的解的求解方法,可以将特解求解出来。将特解带入原微分方程可以得到其特征方程,从而求出其特征根,从而可以进一步将通解表示出来,因为通解为指数形式,所以可以根据欧拉公式将其表示成三角函数形式,然后根据三角函数的和差化积公式,将其进一步表示成一个正弦函数的形式,这样我们就知道了无阻尼自由振动的响应为简谐振动,这也与实际情况完全一样。

    ab597d51a0c3a8ff36f6369208777249.png

    由此我们根据振动响应的表达式可以将振幅,初相位,固有频率按照正弦函数的性质将其表示出来。根据固有频率的表达式我们可以得到,固有频率是系统的固有数值特征,与外界的激励无关。而振幅以及初相位则是非系统固有特征,与系统所受激励和初始的状态有关。

    有了上述的概念之后,既然固有频率是系统的固有特性,那么只要知道了该系统的性质,即对于该系统的刚度和质量,便能够将固有频率表示出来。而对于振幅和初相位,则需要在已知外部激励的情况下才能够将其表示出来,由此我们将零时刻的初始条件表示出来带入到系统的自由振动微分方程当中由此便能够将振幅和初相位的表达式构造出来。

    (二)了解了无阻尼自由振动之后,下面我们进行阻尼自由振动。在这里对于阻尼进行一下说明:在振动中将阻力成为阻尼,包括摩擦阻尼、电磁阻尼、介质阻尼、结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法,但是实际系统中阻尼的物理本质仍然很难确定。最常用的一种阻尼是粘性阻尼,其中粘性阻尼与相对速度成正比,即

    ,我们将c定义为粘性阻尼系数。由此根据达朗贝尔原理写出其动力学方程。即阻尼自由振动微分方程(仍为二阶常系数微分方程, 不过解的形式稍微复杂些,属于正常操作)通过对于方程的变式表达,我们在这里定义一个新的量,即表征阻尼强弱的系数
    为阻尼比。将其特解求出后,带入到原方程当中,由此得到其特征方程,根据特征方程求出特征根,然后我们发现,不同的阻尼比大小所对应的特征值的表达形式是不一样的,对于
    的情况(将其成为欠阻尼状态即
    ),其特征值为复数形式(这就有意思了)。而
    (临界阻尼状态),其特征值为重根。
    (过阻尼) ,其特征值有两个实根。

    f6ca71982bb32612e2ec99f8cbcf41e6.png

    对于欠阻尼状态,我们可以将其通解表示出来,此时我们发现对于欠阻尼振动系统的响应(可以根据响应的数学表达式将数学图形表示出来),可以发现该响应是一个以固定频率不断衰减的简谐振动响应。其中我们又定义了系统的阻尼固有频率,然后为了评价阻尼对振幅衰减快慢的影响,我们将相邻两个振幅的比值定义为减幅系数

    (表示阻尼的强度,因为仅当k m确定之后仅与c有关),其中通过
    的表达式我们可以看出
    与t无关,即任意两个相邻振幅之比均为定值,又因为
    中含有指数项,不便于工程中使用,所以在实际中我们采用对数衰减率
    来表示阻尼强度(通过实际的实验得到
    之后可以换算出
    ,实际中
    远小于1,所以可以近似换算)。

    对于过阻尼状态,其特征根为两个不等的负实根,然后可以得到其响应的表达式,同样根据表达式画出其响应图像,可以发现其图像为一种按照指数规律衰减的非周期蠕动,没有振动发生(说白了就是太硬了,振不起来)。

    对于临界阻尼状态,其特征根为二重根,通过响应函数和图像可以得到临界阻尼也是按照指数衰减的的非周期运动,但是衰减的速度要比过阻尼快(因为分母大啊)。而在这里我们将Ccr=

    定义为临界阻尼系数。

    e0759e67ea794a2cf3de39ed99c77f99.png
    展开全文
  • 目录:空山新雨后:大物学习笔记(目录)​zhuanlan.zhihu.com振动的概念任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。(这个范围是非常大的,不要小看这个范围。)例如电压的周期性波动(交流...公式: 。简...

    目录:

    空山新雨后:大物学习笔记(目录)zhuanlan.zhihu.com
    66417b7dbb2b6748597e89a300735e7e.png

    振动的概念

    任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。(这个范围是非常大的,不要小看这个范围。)例如电压的周期性波动(交流电)、水位的高低周期性波动、物体的来回摆动、人的心脏跳动这些都是属于振动。

    机械振动

    物体在一定的位置附近做来回往复的运动。比如弹簧振子、摆动等。只要是实际物体的振动就行了。


    简谐运动

    1.公式:

    简谐振动是特殊的机械振动。这里的
    是振动物体所在的位置在x轴上的投影;
    是振幅,满足
    是时间;
    是初相;
    是角频率,至于这里为什么是角频率先不解释后面再说,这个涉及到了
    旋转矢量图。这个方程也就是物体的位置随着时间的变化的方程。

    2.常见的简谐运动:单摆、弹簧振子、摆动角度很小的复摆

    (1)单摆:如图

    609625b6130326badc86a6805e78f11c.png

    单摆的质量全部集中在摆锤上。常见的就是一根绳子拉住一个重物的来回摆动之类的都是单摆。有时候也说摆锤的质量远远大于摆杆的质量。

    (2)弹簧振子:如图

    85f8f79f7dad383f47442c4c93d29184.png

    在轻弹簧上绑上一个物体。然后给这个系统一个初始速度,之后产生的来回运动就是简谐振动。当有阻力的情况就是阻尼运动,在之后我们会讲到。

    (3)复摆:当时老师一下子就带过了,我都还没有搞明白复摆是什么,后来查了一下才明白。如图:

    74eb638154ec1216feb911f683a25efc.png

    单摆的质量都集中在摆锤上,但是实际上有些时候这是不现实的,比较理想。当一个刚体通过一个不过质心的轴在重力的作用下产生的摆动就是复摆。对于复摆的运动,可以用刚体转动部分的知识求解运动方程,因为作者不考这部分,也就不去推导了,哈哈哈哈。懒的话,可以直接去查一下百度。

    3.推导过程:以弹簧振子为例。根据胡克定理,得到弹簧的回复力与质点位置的关系

    (对于这里是负数的解释,因为我们是以平衡点为原点。当我们x是正数的时候,指向平衡点位置的力一定是朝向x轴负方向的,所以
    一定是正数,而
    是负数,所以加负号。当x是负数的时候同理。)。而
    ,所以
    。以下是解微分方程的步骤(如果以后有空的话,我把微积分也总结一下)。先求解方程
    。易知该方程无实数解。得到一对共轭复根
    。所以通解
    ,再利用振动方程的合成且初始位置不确定得到
    。如果不能理解一个三角函数加另外一个三角函数为什么是三角函数可以看一下下面这个图,这个应该是高中数学知识。

    7138f441a0a63dd82d9ac99d9d89fec0.png

    我们再令

    (很容易知道m、k都是与运动状态无关的,所以其至于物体本身性质有关)。所以就得到了我们的式子

    简谐运动的速度和加速度

    1.公式:

    447f6568dd6fd2c3817e7c0b586fbf18.png

    简谐运动常用物理量

    1. 周期:
      (单位是s)
      1. 定义:完成一次全振动所经历的时间。
      2. 常见物体的振动周期
        1. 弹簧振子:
        2. 单摆:
          是摆长,
          是重力加速度。易知单摆的周期也至于物体本身性质有关与运动状态无关)
        3. 复摆:
          是转动惯量,
          是质量,
          是重力加速度,
          是质心到转轴的距离。这个公式有一个非常广的应用,
          通过测量不规则物体的周期,来计算不规则物体的转动惯量
    2. 频率:
      (频率就是周期的倒数,单位是Hz)
    3. 角频率:
    4. 相位:
      (反映了物体当前的振动状态)
      1. 初相位:
        (反映了物体在开始的时候振动状态)
      2. 相位差:
        (描述两个振动之间的状态差)

    025cd45d4363445af7008810d38df5ec.png

    旋转矢量法

    64ccfce08e0903f2d8873363be0c9de3.png

    如图所示,假设矢量

    与x轴正方向的初始夹角是
    ,并且以
    的角速度沿逆时针旋转。则在t时刻,夹角
    。它在x轴上的投影就是
    。所以当我们旋转矢量
    的时候,矢量在x轴上的投影就是简谐运动。

    如下图把,旋转矢量的坐标标定到坐标轴上就可以得到简谐运动的函数图。

    1853c23fe9517bc3d23e901f11255f95.png

    3104fa936587460ef6f10d31903b7eab.png

    b107ff45e37eb7ed233105f4c8c0f312.png

    a240543e9e4de0b22c62e7de8ea8b06b.png

    旋转矢量法的优越性:

    • 直观展示简谐振动各参量的关系,便于确定
      的象限
    • 便于对两个或多个简谐振动进行比较
    • 便于处理简谐振动叠加问题

    简谐振动和旋转矢量法的比较:

    aa052d4cefe9bac7c42a935b9e0bcf9b.png

    (大部分图片来自网络,侵删)

    展开全文
  • 1)振动是从激励传入结构输出响应的过程,常见的振动分析可分两个方向,一个是正向,从结构推导响应的理论模态分析,比如根据系统的刚度,阻尼,质量,结合力平衡公式,构建物理参数模型,然后根据特征方程得到特解...
  • 而实际中,t=0时,e不一定为零,如右图所示:因此,一般正弦交流量的瞬时表达式应为:e=Emsin(ωt+Φe)u=Umsin(ωt+Φu)i=Imsin(ωt+Φi)相位相和相位差上述公式中(ωt+Φ)称为正弦量的相位,它是表示正弦量变化...
  • 该文研究了基于 FFT 的正弦信号参数估计问题,揭示了频率与相估计间的相互联系,并对相位差分法的估值误差公式进行了推导和仿真验证。两种算法的对比说明相位差分法运算量小,可以在不高的信噪比下获得彼此独立的...
  • 给定N个点的一维数组 的离散傅里叶变换对由下面两式给出:离散傅里叶变换是将离散信号分解为多个离散三角函数,并能给出每个三角函数的幅值 、频率 、初相位 .即找一批函数形如:来叠加出任意给定的离散信号.只要知道...
  • 正弦量

    2020-04-21 19:55:39
    正弦量:振幅 相位角(初相位) 角频率 三者唯一确定一个正弦量 瞬时值 振幅值 周期 频率 相位 初相 角频率 相位差 有效值 相量带着欧拉公式出现了 欧拉公式 因为正弦量是没有虚部 所以看出是这个式子 ...
  • [iOS 水波浪动画作业]

    千次阅读 2017-08-25 10:36:33
    φ(初相位):决定波形与X轴位置关系或横向移动距离(左加右减) ω:决定周期(最小正周期T=2π/|ω|) A:决定峰值(即纵向拉伸压缩的倍数) h:表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离(上加下减) 以上的公式...
  • 给定N个点的一维数组 的离散傅里叶变换对由下面两式给出: 离散傅里叶变换是将离散信号分解为多个离散三角函数,并能给出每个三角函数的幅值 、频率 、初相位 .即找一批函数形如: 来叠加出任意给定的离散信号.只要...
  • 用JS绘制正弦曲线

    2012-05-19 17:24:25
    φ相,x=0时的相位;反映在坐标系上则为图像的左右移动。 k偏距,反映在坐标系上则为图像的上移或下移。 ω角速度, 控制正弦周期(单位角度内震动的次数)。 例子很简单,就是让一张图片在屏幕上做一个正弦...
  • 诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行,难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位相,及根据最值计算A、B的值和周期,及恒等变化时图像及性质的变化,这一知识点内容较多...
  • a series of Fourier

    2016-11-04 15:35:33
    可以看到,信号频谱的作用就是用图形(频谱图)或公式(向量形式)来表示组成这个周期信号的所有不同频率的余弦信号的“三参数” (幅度、相和频率或角频率)。从频谱图上,我们就能看到原周期信号含有的所有频率...
  • 诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行,难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位相,及根据最值计算A、B的值和周期,及恒等变化时图像及性质的变化,这一知识点内容较多,需要多花...
  • 诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行,难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位相,及根据最值计算A、B的值和周期,及等变化时图像及性质的变化,这一知识点内容较多,需要多花时间...
  • 最新高二数学知识点5篇总结 数学被很多学生认为是...诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行,难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位相,及根据最值计算A、B的值和周期,及等变化...
  • 诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行,难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位相,及根据最值计算A、B的值和周期,及等变化时图像及性质的变化,这一知识点内容较多,需要多花时间...
  • 诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行,难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位相,及根据最值计算A、B的值和周期,及等变化时图像及性质的变化,这一知识点内容较多,需要多花时间...
  • 诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行,难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位相,及根据最值计算A、B的值和周期,及等变化时图像及性质的变化,这一知识点内容较多,需要多花时间...
  • 诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行,难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位相,及根据最值计算A、B的值和周期,及等变化时图像及性质的变化,这一知识点内容较多,需要多花时间...

空空如也

空空如也

1 2
收藏数 21
精华内容 8
关键字:

初相位公式