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       我们大概从高中物理课就开始接触“交流电”这个概念,提起交流电,我们不自然的就想起家里使用的市电:50HZ/220V。但是对这两个数字的基本含义,以及对标准交流电的其他物理量没有很确切的概念。这里从新总结一下交流电的“四值”:最大值、有效值、瞬时值、平均值”。

    一、四值的定义:

       1、瞬时值:

    交流电流、电压、电动势在某一时刻所对应的值称为它们的瞬时值。瞬时值随时间的变化而变化。不同时刻,瞬时值的大小和方向均不同。交流电的瞬时值取决于它的周期、幅值和初相位。以正弦交流电为例(从中性面开始计时)。

    2、最大值:

    交变电流的最大值是指交变电流在一个周期内所能达到的最大值,它可以用来表示交变电流的强弱或电压的高低。以正弦交流电为例。则有:Em=nBωS,此时电路中的电流强度及用电器两端的电压都具有最大值,Im=Em/(R+r); Um=ImR

    3、有效值:

    交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的,让交变电流和恒定电流通过相同阻值的电阻,如果在相同的时间内产生的热量相等,我们就把这一恒定电流的数值叫做这一交变电流的有效值。

    交流电的有效值是根据它的热效应确定的。交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母表示, 如I、 U等。

    一个周期内直流电通过电阻R所产生的热量为:

    交流电通过同样的电阻R,在一个周期内所产生热量:

    根据定义,这两个电流所产生的热量应相等,即:

    将代入上式i=Imsinωt,得:

    4、平均值:

    交变电流的平均值是指在某一段时间内产生的交变电流对时间的平均值。 对于某一段时间或某一过程,其平均感应电动势:

    二、正弦交流电的“四值”之间的关系 :

    1、正弦交流电的有效值与最大值的关系: 

    注:I U 电流电压有效值ImUm是电流、电压的最大值

    2、正弦交流电的平均值与最大值和有效值的关系:

    注:IpUp是电流、电压的平均值

    三、“四值”解题方法小结:

    交变电流有四值,即有效值、平均值、最大值和瞬时值.各值何时应用,对照如下情况确定:

    (1)在研究电容器是否被击穿时,要用峰值(最大值).因电容器上标明的电压是它在直流电源下工作时所承受的最大值.

    (2)在研究交变电流的功率和产生的热量时,只能用有效值.

    (3)在求解某一时刻线圈受到的磁力矩时,只能用瞬时值.

    (4)在求交变电流流过导体的过程中通过导体截面积的电量时,要用平均值.

     

     

     

     

     

     

     

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    仿真软件 - Comsol

    仿真模型 - 同轴电缆

    I. 同轴电缆 - 电场

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    https://www.zhihu.com/video/942396348398649344

    II. 同轴电缆 - 磁场

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    https://www.zhihu.com/video/942396452278874112

    主要思想:

    将求解出来的频域结果,手动添加时间项,即

    (求解出的结果是包含幅值和初相位信息的),然后添加时间参数,生成动画的时候,对时间进行累加即可。

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    关于作者

    目前电气工程博士在读,平常喜欢琢磨有限元仿真、Matlab、Latex、三维建模等一切有趣的东西

    一些成果会放在 Github 或者 知乎,也欢迎通过邮箱联系我 dongweihao514@sina.com

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  • 相量和向量区别 正弦量本身是没有方向标量,...相量与坐标轴夹角表示了正弦量的初相位,向量与坐标轴夹角则表示了其在空间中方向。 下面从数学运算角度,再对两者进行观察。 向量 坐标形式:由坐标系下各个

    相量和向量的区别

    正弦量本身是没有方向的标量,为了方便计算而引入相量这种工具,相量表现出了正弦量的有效值和相位;而表示力、电场强度、磁感应强度等的空间向量是有大小、有方向的矢量,箭头代表向量的方向,长度代表向量的大小。二者是有本质区别的。即相量本身是表示正弦量,向量本身则是表示既有大小又有方向的量。相量的模值是正弦量的有效值,向量的模值是表示量的大小。相量与坐标轴的夹角表示了正弦量的初相位,向量与坐标轴的夹角则表示了其在空间中的方向。
    下面从数学运算的角度,再对两者进行观察。

    向量

    坐标形式:由坐标系下各个轴方向的基向量的大小a=xi+yj+zk=(x,y,z)\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=\left ( x,y,z \right )
    加法:首尾相连,满足三角形法则。a+b=xa+xb,ya+yb\vec{a}+ \vec{b}=(x_{a}+x_{b},y_{a}+y_{b})
    数量积(点乘):ab=abcos(a,b)\vec{a}\cdot \vec{b}=\left |a \right |\left | b \right |\cos \left ( \vec{a},\vec{b} \right )
    向量积(叉乘):a×b=absin(a,b)ez\vec{a}\times \vec{b}=\left |a \right |\left | b \right |\sin \left ( \vec{a},\vec{b} \right )\vec{e_{z}}

    相量

    这里解释一点。正弦量用相量来表示的根由是,一个正弦量首先可以用一个复指数函数进行表示。我们平时常见到的复数是a+bj=rcosθ+rsinθj=rejθa+bj=r\cos \theta +r\sin \theta j=re^{j\theta }的形式。通过这个式子,可以发现复数和正弦量可以对应起来,即一个复数的实部就是复数的幅值乘以一个角度的余弦。当我们把复数中的θ\theta换成ωt+φ\omega t+\varphi,然后我们来看下会发生什么。
    rej(ωt+φ)=rcos(ωt+φ)+rsin(ωt+φ)jre^{j(\omega t+\varphi)}=r\cos(\omega t+\varphi)+r\sin(\omega t+\varphi)jRe[rej(ωt+φ)]=rcos(ωt+φ)Re[re^{j(\omega t+\varphi)}]=r\cos(\omega t+\varphi)
    在只取实部的时候,就表示了一个角频率为ω\omega,幅值为rr,初相位为φ\varphi的正弦量。在正弦量的运算中,频率都是保持一致,并取有效值。所以在这里可以略去ejωte^{j \omega t}。即一个正弦量i=2Icos(ωt+φ)i=\sqrt{2}I \cos(\omega t+\varphi)可以用复数表示为i=Re[2Iejφejωt]=Re[2I˙ejωt]i=Re[\sqrt{2}Ie^{j\varphi}e^{j\omega t}]=Re[\sqrt{2}\dot{I}e^{j\omega t}]。相量I˙=Iejφ\dot{I}=Ie^{j\varphi},其实相量也就是一个复数。所以相量的运算,其实也就是复数的运算,这一点和向量的运算是不同的。
    坐标形式:A˙=Aejφa=a1+ja2\dot{A}=Ae^{j\varphi_{a}}=a_{1}+ja_{2}
    加法:也满足三角形法则,A˙+B˙=(a1+b1)+j(a2+b2)\dot{A}+\dot{B}=(a_{1}+b_{1})+j(a_{2}+b_{2})
    乘法:A˙B˙=ABej(φa+φb)\dot{A}\dot{B}=ABe^{j(\varphi_{a}+\varphi_{b})}
    除法:A˙/B˙=ABej(φaφb)\dot{A}/\dot{B}=ABe^{j(\varphi_{a}-\varphi_{b})}
    注意:相量运算这里没有点乘,叉乘的说法。复数的运算结果还是复数。而向量运算完之后(如点乘),则会变成标量。

    正弦电路中的复功率

    在正弦电路中,复功率的定义为:S˙=U˙I˙=UIej(φuφi)=UIcos(φuφi)+jUIsin(φuφi)\dot{S}=\dot{U}\dot{I^*}=UIe^{j(\varphi_{u}-\varphi_{i})}=UI\cos(\varphi_{u}-\varphi_{i})+jUI\sin(\varphi_{u}-\varphi_{i})。相量说到底就是个复数,在这里复功率的实部表示有功功率,虚部表示无功功率。

    电磁场中的坡印廷矢量

    在电磁场中,反映空间中某点电磁能量流动的能力方向的矢量是坡印廷矢量,它是电磁能流的功率密度。表达式为:S=E×H\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}。它的模值大小反映了单位时间内穿过与电磁能流方向垂直的单位面积的电磁能量,它的方向便是电磁能量流动的方向。当电场强度和磁通密度不随时间变化时,波印廷矢量也便是一个常矢量。

    正弦电磁场中的复坡印廷矢量

    之所以介绍这个。是因为复坡印廷矢量既是一个向量,又是一个相量,比较特殊。上面介绍的正弦电路中的复功率,只是一个相量,或者说只是一个复数比较好理解。而静态场中的坡印廷矢量为一个常矢量,不随时间变化,只是一个单纯的向量。下面针对正弦电磁场中的复坡印廷矢量进行分析。
    首先可以看出来的是在正弦电磁场中的电场强度和磁通密度也都同时有了两重身份:既是向量,又是相量。首先空间中的电场强度E它既是空间位置的函数,还是时间的函数。如果说我选定空间中某一点,那么电场强度就只是时间的函数了。
    E(t)=Exmcos(ωt+φx)ex+Eymcos(ωt+φy)ey+Ezmcos(ωt+φz)ez\vec{E}(t)=E_{xm}\cos(\omega t+\varphi_x)\vec{e_{x}}+E_{ym}\cos(\omega t+\varphi_y)\vec{e_{y}}+E_{zm}\cos(\omega t+\varphi_z)\vec{e_{z}}E(t)=Re[Ex˙2ejωtex+Ey˙2ejωtey+Ez˙2ejωtez]=Re[E˙2ejωt]\vec{E}(t)=Re[\dot{E_{x}}\sqrt{2}e^{j\omega t} \vec{e_{x}}+\dot{E_{y}}\sqrt{2}e^{j\omega t} \vec{e_{y}}+\dot{E_{z}}\sqrt{2}e^{j\omega t} \vec{e_{z}}]=Re[\dot{\vec{E}}\sqrt{2}e^{j\omega t} ]E˙=Ex˙ex+Ey˙ey+Ez˙ez\dot{\vec{E}}=\dot{E_{x}}\vec{e_{x}}+\dot{E_{y}} \vec{e_{y}}+\dot{E_{z}} \vec{e_{z}}
    所以在空间中该点处这时的电磁能流密度就等于
    S˙=E˙×H˙\dot{\vec{S}}=\dot{\vec{E}} \times \dot{\vec{H}}针对这个式子,首先考虑向量的叉乘,即S˙=E˙×H˙=E˙H˙sin(E˙,H˙)ez\dot{\vec{S}}=\dot{\vec{E}} \times \dot{\vec{H}}=|\dot{\vec{E}}||\dot{\vec{H}}|\sin \left ( \dot{\vec{E}},\dot{\vec{H}} \right )\vec{e_{z}}。后面的正弦值是两个相量之间夹角的正弦,而前面部分则是两个向量的模值相乘。E˙\dot{\vec{E}}H˙\dot{\vec{H}}本身在x,y,z三个方向上均有值。需要注意,这个地方写的只是向量叉乘的定义。即叉乘的定义,确定了两个向量叉乘之后向量的模值和方向。当知道向量的坐标后,可以直接在坐标系下进行叉乘的坐标运算,如下所示
    S˙=(Ex˙ex+Ey˙ey+Ez˙ez)×(Hx˙ex+Hy˙ey+Hz˙ez)=[exeyezEx˙Ey˙Ez˙Hx˙Hy˙Hz˙]\dot{\vec{S}}=(\dot{E_{x}}\vec{e_{x}}+\dot{E_{y}} \vec{e_{y}}+\dot{E_{z}} \vec{e_{z}}) \times (\dot{H_{x}}\vec{e_{x}}+\dot{H_{y}} \vec{e_{y}}+\dot{H_{z}} \vec{e_{z}})=\begin{bmatrix} \vec{e_{x}}&\vec{e_{y}} &\vec{e_{z}} \\ \dot{E_{x}}& \dot{E_{y}} & \dot{E_{z}}\\ \dot{H_{x}}& \dot{H_{y}} & \dot{H_{z}} \end{bmatrix}S˙=[Ey˙Ez˙Hy˙Hz˙]ex+[Ez˙Ex˙Hz˙Hx˙]ey+[Ex˙Ey˙Hx˙Hy˙]ez\dot{\vec{S}}=\begin{bmatrix} \dot{E_{y}} & \dot{E_{z}}\\ \dot{H_{y}} & \dot{H_{z}} \end{bmatrix}\vec{e_x}+\begin{bmatrix} \dot{E_{z}} & \dot{E_{x}}\\ \dot{H_{z}} & \dot{H_{x}} \end{bmatrix}\vec{e_y}+\begin{bmatrix} \dot{E_{x}} & \dot{E_{y}}\\ \dot{H_{x}} & \dot{H_{y}} \end{bmatrix}\vec{e_z}S˙=(Ey˙Hz˙Ez˙Hy˙)ex+(Ez˙Hx˙Ex˙Hz˙)ey+(Ex˙Hy˙Ey˙Hx˙)ez\dot{\vec{S}}=(\dot{E_{y}}\dot{H_{z}}-\dot{E_{z}}\dot{H_{y}})\vec{e_x}+(\dot{E_{z}}\dot{H_{x}}-\dot{E_{x}}\dot{H_{z}})\vec{e_y}+(\dot{E_{x}}\dot{H_{y}}-\dot{E_{y}}\dot{H_{x}})\vec{e_z}
    到这一步,可以看到在进行了向量的叉乘坐标运算后,叉乘所得向量的每一个分量都是两个相量相乘然后做差。也就是说最终复坡印廷矢量的三个分量,还是由电场强度、磁通密度各部分分量相量相乘之后得到的。实际上电场强度E˙\dot{\vec{E}}(大小和相位)由电压U˙\dot{U}(标量,或者说电势)所决定,磁通密度B˙\dot{\vec{B}}(大小和相位)由电流I˙\dot{I}所决定。而U˙\dot{U}I˙\dot{I}两个复数之间的相角差,决定了有功、无功的大小分配。所以E˙\dot{\vec{E}}H˙\dot{\vec{H}}各个分量复数之间的相角差,也同样代表了功率因数角。故实际的复坡印廷矢量的表达式为
    S˙=E˙×H˙\dot{\vec{S}}=\dot{\vec{E}} \times \dot{\vec{H^*}}它的实部就是坡印廷矢量的平均值(或有功功率密度),表示能量的流动;虚部是无功功率密度,表示着电磁能量的交换。

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    静态系统的Matlab编程仿真

    静态系统:也称为无记忆系统。一般地,无记忆系统的数学描述是代数方程(组)。

    静态系统的仿真过程就是相应的代数方程的数值计算或求解过程。

    试仿真得出一个幅度调制系统的输入输出波形。设输入被调制信号是一个幅度为2v,频率为1000Hz的余弦波,调制度为0.5,调制载波信号是一个幅度为5v,频率为10KHz的余弦波。所有余弦波的初相位为0。

    建立数学模型:

    根据题设,该调幅系统的输入输出关系表达式为:
    y(t)=(M+maMcos2πfmt)×Acos2πfcty(t)=(M+m_aMcos2πf_mt)×Acos2πf_ct\,
    其中,M=2M=2是被调信号的振幅,fmf_m=1000是其频率。A=5A=5是载波信号的幅度,fc=104f_c=10^4是其频率。ma=0.5m_a=0.5是调制度。

    编程实现:

    连续函数必须进行离散化才能够存储于计算机中。只要时间离散化过程满足取样定理,那么就不会引起失真。在这个系统中的信号最高工作频率为(fm+fc)=11KHz(f_m+f_c)=11KHz,根据取样定理,只要离散取样率高于该频率的2倍即可无失真。在计算量和数据存储量许可的条件下,取样率可以设置更高,以使仿真计算的结果波形图显示更加光滑。这里,我们设置取样率为10510^5,即在一个载波周期上取样10次,相应的取样间隔为Δt=105sΔt=10^{-5}s。本例中,取样间隔也作为仿真步进。程序代码如下:
    dt = 1e-5;                              % 仿真采样间隔
    T = 3*1e-3;                             % 仿真终止时间
    t = 0:dt:T                              % 时间从0开始到T结束,采样间隔为dt
    input = 2 * cos(2 * pi * 1000 * t);     % 输入信号
    carrier = 5*cos(2 * pi * 10000 * t);    % 载波信号
    output = (2 + 0.5 * input).*carrier;    % 输出信号
    % 作图。将图分成 3 个区域。
    subplot(3,1,1); plot(t,input);xlabel('时间 t');ylabel('输入信号');
    subplot(3,1,2); plot(t,carrier);xlabel('时间 t');ylabel('载波信号');
    subplot(3,1,3); plot(t,output);xlabel('时间 t');ylabel('输出信号');
    

    运行结果:

    在这里插入图片描述

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空空如也

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初相位的计算