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  • 三角矩阵分上三角矩阵下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零,下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如,由于带三角矩阵的矩阵...

    详细的代码可见github:

    https://github.com/AbitGo/myClassWork/tree/master/workspace_ds

    三角矩阵是方形矩阵的一种,因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零,下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如,由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解,在解多元线性方程组时,总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解;又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积,很容易计算。有鉴于此,在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个所有顺序主子式不为零的可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个单位下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。

    具体实现类:

    package com.company.ch5;

    public class HuffmanTree {

    public int[][] huffmanfiCoding(int[] w){

    //字符个数

    int n = w.length;

    //结点数

    int m = 2*n -1;

    HuffmanNode[] HN = new HuffmanNode[m];

    int i;

    for(i = 0;i

    测试类:

    package com.company.ch4.Matrix;

    public class TriangularMatrixTest {

    public static void main(String[] args) {

    System.out.println("上三角矩形");

    TriangularMatrix triangularMatrix1 = new TriangularMatrix(8,true,99);

    triangularMatrix1.autoGenerate();

    triangularMatrix1.disPlay();

    System.out.println("下三角矩形");

    TriangularMatrix triangularMatrix2 = new TriangularMatrix(8,false,88);

    triangularMatrix2.autoGenerate();

    triangularMatrix2.disPlay();

    }

    }

    测试结果:

    上三角矩形

    991223434

    9999234345

    99999934564

    999999994567

    9999999999567

    99999999999967

    999999999999997

    9999999999999999

    下三角矩形

    088888888888888

    12888888888888

    2348888888888

    345688888888

    45678888888

    56789108888

    678910111288

    7891011121314

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  • 代码如下 为何输出结果什么也没有? #include<stdio.h> #define row 4 #define col 4 void main(void) { int det[row][col]={{1,2,3,4},{2,4,6,8},{2,0,4,6},{1,1,1,1}};...int r,c,i,flag=0,tmp=0;...

    代码如下 为何输出结果什么也没有?
    #include<stdio.h>
    #define row 4
    #define col 4
    void main(void)
    {
    int det[row][col]={{1,2,3,4},{2,4,6,8},{2,0,4,6},{1,1,1,1}};
    int r,c,i,flag=0,tmp=0;
    for(r=1;r<row;r++)
    for(i=0;det[r][0]!=0;i++)
    if(0= =det[r][0]-det[0][0]*i)
    for(c=0;c<col;c++)
    det[r][c]-=det[0][c]*i;
    for(r=1;r<row;r++)
    {
    if(flag= =3)
    break;
    for(c=1,flag=0;c<col;c++)
    {
    if(det[r][c]= =0)
    flag++;
    if(3= =flag)
    {
    for(c=1;c<row;c++)
    tmp=det[r][c],det[r][c]=det[row-1][c],det[row-1][c]=tmp;
    break;
    }
    }
    }
    for(r=2;r<row;r++)
    {
    if(det[r][1]>det[1][1])
    for(c=1;c<col;c++)
    tmp=det[r][c],det[r][c]=det[1][c],det[1][c]=tmp;
    for(i=0;det[r][1]!=0;i++)
    if(0= =det[r][1]-det[1][1]*i)
    for(c=1;c<col;c++)
    det[r][c]-=det[1][c]*i;
    }
    for(r=3;r<row;r++)
    for(i=0;det[r][2]!=0;i++)
    if(0= =det[r][2]-det[2][2]*i)
    for(c=1;c<col;c++)
    det[r][c]-=det[2][c]*i;
    for(r=0;r<row;r++)
    {
    for(c=0;c<col;c++)
    printf("%d “,det[r][c]);
    printf(”\n");
    }
    }

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  • 初等矩阵矩阵可逆性矩阵的LU分解概念LU分解过程LU分解的意义代码实现 矩阵的LU分解 概念 矩阵的分解实际上就是将一个矩阵分解成为几个矩阵乘积的形式。不同类型的矩阵分解有不同的目的,如矩阵的LU分解的目的是...

    矩阵的LU分解

    概念

    矩阵的分解实际上就是将一个矩阵分解成为几个矩阵乘积的形式。不同类型的矩阵分解有不同的目的,如矩阵的LU分解的目的是为了提高计算效率

    LU分解实际上是将一个矩阵AA分解成为两个矩阵LLUU的乘积,即 A=LUA = L \cdot U

    L:Lower triangle matrix 下三角矩阵
    U:Upper triangle matrix 上三角矩阵

    以方阵为例,演示上三角矩阵和下三角矩阵,

    1. 下三角矩阵
      (000000) \begin{pmatrix}*&amp;0&amp;0&amp;0\\*&amp;*&amp;0&amp;0\\*&amp;*&amp;*&amp;0\\*&amp;*&amp;*&amp;*\end{pmatrix}
      下三角矩阵:有效信息均在主对角线及其下方,而上方的元素均为0。
    2. 上三角矩阵
      (000000)\begin{pmatrix}*&amp;*&amp;*&amp;*\\0&amp;*&amp;*&amp;*\\0&amp;0&amp;*&amp;*\\0&amp;0&amp;0&amp;*\end{pmatrix}
      上三角矩阵:有效信息均在主对角线及其上方,而下方的元素均为0。

    矩阵分解中,经常是把矩阵分解成一个“单位下三角矩阵”(即主对角线元素均为1) 和一个上三角矩阵,不保证上三角矩阵的主对角线元素为1。

    回顾之前的Gauss-Jordan消元法,前向过程最终是将矩阵经过初等变换生成了一个上三角矩阵。因为初等变换的过程又可以视为将一系列初等矩阵乘在矩阵左边,所以可以写为,
    Ep...E3E2E1A=UE_p \cdot...\cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E1 \cdot A = U
    等式左边只保留AA
    E11E21E31...Ep1Ep...E3E2E1A=E11E21E31...Ep1UE_1^{-1}\cdot E_2^{-1}\cdot E_3^{-1}\cdot ...\cdot E_p^{-1}\cdot E_p \cdot...\cdot E_3 \cdot E_2 \cdot E1 \cdot A = E_1^{-1}\cdot E_2^{-1}\cdot E_3^{-1}\cdot ...\cdot E_p^{-1}\cdot U
    IA=E11E21E31...Ep1UI\cdot A=E_1^{-1}\cdot E_2^{-1}\cdot E_3^{-1}\cdot ...\cdot E_p^{-1}\cdot U
    因为最终想使得 A=LUA = L \cdot U如果一切顺利(并不是所有矩阵都能够进行LU分解),
    L=E11E21E31...Ep1L=E_1^{-1}\cdot E_2^{-1}\cdot E_3^{-1}\cdot ...\cdot E_p^{-1}

    LU分解过程

    具体的举一个例子进行演示,
    (123456335)(123036094)(1230360014) \begin{pmatrix}1&amp;2&amp;3\\4&amp;5&amp;6\\3&amp;-3&amp;5\end{pmatrix}\Longrightarrow\begin{pmatrix}1&amp;2&amp;3\\0&amp;-3&amp;-6\\0&amp;-9&amp;-4\end{pmatrix}\Longrightarrow\begin{pmatrix}1&amp;2&amp;3\\0&amp;-3&amp;-6\\0&amp;0&amp;14\end{pmatrix}
    通过Gauss-Jordan消元法可以将原矩阵转化为上面这样的上三角矩阵。将每一步所对应的初等矩阵求逆后相乘得到单位下三角矩阵,
    (100410001)1(100010301)1(100010031)1=(100410001)(100010301)(100010031)=(100410331) \begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\-4&amp;1&amp;0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\0&amp;1&amp;0\\-3&amp;0&amp;1\end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\0&amp;1&amp;0\\0&amp;-3&amp;1\end{pmatrix}^{-1}\\=\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\4&amp;1&amp;0\\0&amp;0&amp;1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\0&amp;1&amp;0\\3&amp;0&amp;1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\0&amp;1&amp;0\\0&amp;3&amp;1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\4&amp;1&amp;0\\3&amp;3&amp;1\end{pmatrix}
    两个矩阵满足,
    (100410331)(1230360014)=(123456335) \begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\4&amp;1&amp;0\\3&amp;3&amp;1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&amp;2&amp;3\\0&amp;-3&amp;-6\\0&amp;0&amp;14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&amp;2&amp;3\\4&amp;5&amp;6\\3&amp;-3&amp;5\end{pmatrix}
    之所以很顺利的完成了矩阵A的LU分解的原因是因为整个消元过程中仅涉及到某一行减去另一行的某个倍数这样单一的初等操作,而不需要交换两行的位置。

    如果一个矩阵在消元的过程中需要交换两行的位置,则这个矩阵是无法进行LU分解的。

    LU分解的意义

    LU分解的提出目的是加速线性系统求解的效率,假设在解一个线性系统 Ax=bAx=b

    1. LU分解的复杂度为 O(0.5n3)O(n3)O(0.5n^3) - O(n^3)
      主对角线下的元素大约为 0.5n20.5n^2个。对于这些元素在高斯消元的过程中都要消为0,整个过程是用矩阵的一行加减kk倍的另一行。在加减的过程中,每次加减都是对一行的nn个元素进行操作,所以整个事件的消耗为O(0.5n3)O(0.5n^3)
    2. 将矩阵AA进行LU分解后,整个线性系统就变成了 LUx=bL\cdot U\cdot x = b。令Ux=yU\cdot x = y,则整个线性系统转化为Ly=bL\cdot y=b
    3. 已知LLbb,可以求出yy,求yy的过程的复杂度约为 O(0.5n2)O(n2)O(0.5n^2)-O(n^2)。因为对于一个标准下三角矩阵而言,通过它和bb求取一个矩阵是一个十分简单的过程。
    4. Ux=yU\cdot x = y,目前UUyy都已知,求取xx就变得十分容易,大概也需要复杂度为O(0.5n2)O(n2)O(0.5n^2)- O(n^2)的操作。因为上三角矩阵具有与下三角矩阵相同的性质。

    整体上使用了复杂度为 O(0.5n3)+2O(0.5n2)O(0.5n^3) + 2\cdot O(0.5n^2) 的操作。

    对比传统的求解线性系统的形式,

    1. 传统形式所需操作的复杂度为O(2n3)O(2\cdot n^3),因为增广矩阵中有 2n22n^2个元素,某一行加减k倍的另一行将矩阵化为行最简形式时,每一步都是在对一行中的n个元素进行操作,故复杂度为O(2n3)O(2n^3)
    2. x=A1bx = A^{-1}\cdot b,乘法过程所需操作的复杂度为 O(n2)O(n^2)

    整体上传统形式的复杂度为 O(2n3)+O(n2)O(2n^3) + O(n^2)

    代码实现

    # -*- coding:utf-8 -*-
    from .matrix import Matrix
    from .vector import Vector
    from .global import EPSILON
    
    
    def lu(matrix):
    	assert matrix.row_num == matrix.col_num()
    	n = matrix.row_num()
    	# 将matrix以行向量的形式存储
        A = [matrix.row_vector(i) for i in range(n)]
        # 定义下三角矩阵L
        L = [[1.0 if i==j else 0.0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    
    	# 矩阵A的高斯消元过程
        for i in range(n):
            # 判断A[i][i]位置上的元素是否可以是主元
            # 如果是0,则无法进行LU分解
            if A[i][i] < EPSILON:
                return None, None
            else:
                for j in range(i+1, n):
                    k = self.A[j][i] / self.A[i][i]
                    A[j] -= k * A[i]
                    L[j][i] = p
    
        return Matrix(L), Matrix([A[i].underlying_list() for i in range(n)])
    
    

    非方阵LU分解

    之前讲解的LU分解都是针对方阵而言,具体形式可以表示为,
    在这里插入图片描述
    一个nn阶方阵,其分解得到的 LL矩阵和 UU矩阵都是 nn阶的方阵。但是,实际上LU分解可以用于非方阵,如,
    在这里插入图片描述
    AA是一个行数小于列数的矩阵,则分解的结果如上;反之,如果AA是一个行数大于列数的矩阵,则分解结果可以表示为如下形式,
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • Doolittle三角矩阵分解

    2020-09-24 15:50:01
    首先对一个行列式不为零的矩阵来说,一定可以通过初等行变换 将 该矩阵转化成一个初等矩阵和一个上三角矩阵相乘的形式。 A=L⋅UA=L\cdot UA=L⋅U 此时如果L 是一个单位下三角矩阵 ,表明矩阵A 可以进行Doolittle ...

    有关Doolittle三角矩阵分解的思路和代码实现。

    什么是Doolittle分解

    首先对一个行列式不为零的矩阵来说,一定可以通过初等行变换 将 该矩阵转化成一个初等矩阵和一个上三角矩阵相乘的形式。
    A=LUA=L\cdot U
    此时如果L 是一个单位下三角矩阵 ,表明矩阵A 可以进行Doolittle 分解 ,当然,Doolittle分解的三角形 并不唯一;
    设矩阵D是 可逆对角矩阵,则有
    DD1=E D \cdot D^{-1}=E ,故
    A=LDD1UA=L\cdot D \cdot D^{-1} \cdot U
    同时,又可变化为

    A=(LD)(D1U)A=(L\cdot D )\cdot( D^{-1} \cdot U)
    就相当于,又产生了一组 L 和 U。
    Doolittle 分解唯一的充要条件是 N-1 阶顺序主子式大于零,如果在n-1阶子式中有不为零的项,可通过初等行变换,消除这种现象。

    使用程序进行矩阵分解。

    首先将一个矩阵分解为两个矩阵的乘积可以通过待定系数法 进行实现,矩阵如下所示。

    {a11a12a13a21a22a23a31a32a33}={100l2110l31l321}{r11r12r130r22r2300r33} \left\{ \begin{matrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right\} =\left\{ \begin{matrix} 1& 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{matrix} \right\} \cdot \left\{ \begin{matrix} r_{11}& r_{12} & r_{13} \\ 0 & r_{22} & r_{23} \\ 0 & 0 & r_{33} \end{matrix} \right\}
    容易求得 矩阵L的第一列和矩阵U的第一行比较容易计算,即 满足如下公式

    {r1,j=a1,jj{1,2,3...n}li,1=ai,1a1,1j \begin{cases} r_{1 ,j} =a_{1,j} & j \subset \{1,2,3...n\} \\ l_{i,1}= \frac{a_{i,1}}{a_{1,1}} & j \end{cases}
    同时此公式可以作为矩阵的初始化 使用。
    下面开始计算非特殊位置
    {ri,j=ai,jm=1i1li,mrm,ji{2,3,..n},j{i,i+1...n}lj,i=aj,im=1i1lj,mrm,ii{2,3,..n1},j{i+1...n} \begin{cases} r_{i,j}=a_{i,j}-\sum_{m=1}^{i-1}l_{i,m}\cdot r_{m,j} &i \subset\{2,3,..n\},j \subset\{i,i+1...n\}\\ \\ l_{j,i}=a_{j,i}-\sum_{m=1}^{i-1}l_{j,m}\cdot r_{m,i} &i \subset\{2,3,..n-1\},j \subset\{i+1...n\}\\ \end{cases}
    经过分析可知 ,求元素l或r的任意元素,只和其所在行列的上层元素有关,如
    将l和u矩阵合并在一起,就会有如下结果
    {r11r12r13l21r22r23l31l32r33} \left\{ \begin{matrix} r_{11}& r_{12} & r_{13} \\ l_{21} & r_{22} & r_{23} \\ l_{31} & l_{32} & r_{33} \end{matrix} \right\}
    如果求r22r_{22} 就需要知道r12r_{12}l21l_{21}的值,即
    在这里插入图片描述所以说,我们可以用迭代的方式求出两个矩阵的所有元素。

    同时,i和j,k的元素有重叠的部分,可以放在一个for循环之下执行。
    {i{2,3,..n}j{i,i+1...n} \begin{cases} i \subset\{2,3,..n\}\\j \subset\{i,i+1...n\} \end{cases}
    {i{2,3,..n1},j{i+1...n} \begin{cases} i \subset\{2,3,..n-1\},\\j \subset\{i+1...n\} \end{cases}

    取重合部分 ,i[2,3,..n1],j[i+1,i+2.....n]i\subset[2,3,..n-1],j\subset[i+1,i+2.....n] 进行大循环,同时我们可以使用if 判断 来去除一些元素

    #初始化 第一行 和第一列
    lu[0]=A[0]
    for i in range(1,n):# n 是矩阵的阶数
        lu[i][0]=A[i][0]/A[0][0]
    # 初始化结束,求其他数值
    for  i in range(1,n):
        for j in range(i,n):
            lu[i][j]=A[i][j]-sum([lu[i][k]*lu[k][j] for k in range(0,i)])
            if i< n-1 and j!=i:# 通过判断排除 这里是由ij 代替了k
                lu[j][i]=(A[j][i]-sum([lu[j][k]*lu[k][i] for k in range(0,i)]))/lu[i][i]
         
    

    完整代码

    # Doolittle.py
    A=[[2,2,-5],[1,-3,1],[1,5,2]]
    A=[[2,-1,0,1],[1,3,0,1],[0,1,-1,2],[1,0,0,1]]
    n=len(A)
    # //创建一个和矩阵A同阶的矩阵
    lu=[[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    # 初始化
    lu[0]=A[0]
    for i in range(1,n):
        lu[i][0]=A[i][0]/A[0][0]
    # 初始化结束
    for  i in range(1,n):
        for j in range(i,n):
            lu[i][j]=A[i][j]-sum([lu[i][k]*lu[k][j] for k in range(0,i)])
            if i< 4-1 and j!=i:
                lu[j][i]=(A[j][i]-sum([lu[j][k]*lu[k][i] for k in range(0,i)]))/lu[i][i]
    
    
    #将大矩阵可视化分解
    L=[[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    U=[[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    for  i in range(0,n):
        for j in range(0,n):
            if i==j:
                L[i][j]=1
                U[i][j]=lu[i][j]
            if i>j:
                L[i][j]=lu[i][j]
            else:
                U[i][j]=lu[i][j]
    print("原矩阵")
    print("\n".join(["".join(str(i)) for i in A]))
    print("矩阵L")
    print("\n".join(["".join(str(i)) for i in L]))
    print("矩阵U")
    print("\n".join(["".join(str(i)) for i in U]))
    
    
    

    测试用例

    原矩阵
    [2, 2, -5]
    [1, -3, 1]
    [1, 5, 2]
    矩阵L
    [1, 0, 0]
    [0.5, 1, 0]
    [0.5, -1.0, 1]
    矩阵U
    [2, 2, -5]
    [0, -4.0, 3.5]
    [0, 0, 8.0]
    
    原矩阵
    [2, -1, 0, 1]
    [1, 3, 0, 1]
    [0, 1, -1, 2]
    [1, 0, 0, 1]
    矩阵L
    [1, 0, 0, 0]
    [0.5, 1, 0, 0]
    [0.0, 0.2857142857142857, 1, 0]
    [0.5, 0.14285714285714285, -0.0, 1]
    矩阵U
    [2, -1, 0, 1]
    [0, 3.5, 0.0, 0.5]
    [0, 0, -1.0, 1.8571428571428572]
    [0, 0, 0, 0.4285714285714286]
    
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    万次阅读 2018-05-17 10:13:33
    矩阵初等变换:1.交换矩阵的两行2.以数K不等于0乘以矩阵某一行3.把矩阵某一行的K倍添加到某一行上
  • O(n5)O(n^5)O(n5) 做法: 先求出 AAA 的伴随矩阵 A∗...首先介绍矩阵初等变换(以下为初等行变换): 交换两行,记做 ri:left-right_arrow:rjr_i\leftrightarrow r_jri​:left-right_arrow:rj​ 将一行的所有元乘上数
  • 矩阵初等行变换的标准型

    千次阅读 2013-11-12 12:02:37
    ...矩阵初等行变换的标准型 ...一、矩阵初等行变换的标准型---行标准型 m×n矩阵A= a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn 的行标准形式是满足一
  • 矩阵分解 三角分解(LU分解)

    万次阅读 多人点赞 2017-11-17 11:32:17
    在线性代数中, LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种,可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积(有时是它们和一个置换矩阵的乘积)。LU分解主要应用在数值分析中,用来解线性方程、求...
  • 矩阵初等变换表白公式

    千次阅读 2019-10-09 01:23:08
    最近在复习线性代数的知识,突发灵感,...小套路:让她做完这道题后,如果名字是三个字就把她的名字填入下三角的上面三个地方,如果是两个字就填在下三角的对角线上。 转载于:https://www.cnblogs.com/lkldeblog...
  • 1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质. 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3.理解...
  • 初等行变换求矩阵的逆

    千次阅读 2018-06-03 00:08:38
    高等代数的理论知识(A | E) 经过初等行变换(E | A-1)(A-1 代表A的逆)matrix_inv &lt;- function(A) { A_zhi &lt;- Matrix::rankMatrix(A)[1] n_row &lt;- dim(A)[1] n_col &lt;- dim(A)[2] ...
  • 其中若L 是对角元素为1的下三角矩阵(单位下三角矩阵),则称该三角分解为 Doolittle 分解(或LU分解) 若其前n -1阶顺序主子式均不为0,则A存在Doolittle分解A = LU, 此外,若A非奇异,则分解唯一 2. 矩阵分解...
  • 矩阵论》学习笔记(四)-1:4.1 矩阵三角分解 矩阵三角分解1.一般方阵- 高斯消去法与矩阵的LU分解2.可逆矩阵- Doolittle/Crout分解3.分块方阵- 拟LU分解与拟LDU分解 文章目录《矩阵论》学习笔记(四)-1:4.1 ...
  • 具体来说高斯消元法的基本思想就是利用矩阵的初等行变换把求解Ax=b\mathbf{Ax=b}Ax=b中的矩阵A\mathbf{A}A转成上三角矩阵,需要注意这里讲解矩阵变换过程中不会利用到矩阵行交换。 矩阵行交换后面某些文章中会讲到,...
  • 矩阵初等行变换的技巧

    万次阅读 2010-01-28 17:45:00
    一般,使用初等行变换来判定一个矩阵是否可逆,和求某矩阵的逆矩阵。 二阶矩阵使用伴随矩阵法比较方便,高阶矩阵使用初等行变换。 一般来说,将一个矩阵化为标准阵遵循下面...此时矩阵就变成了左下三角元素都为0的
  • 引入了n阶实矩阵的特征矩阵的右下三角等价形式,给出了仅用行初等变换化特征矩阵为右下三角等价形式的计算方法,并证明了它的计算复杂度为n3且有较好的内在并行性。值得指出的是右下三角等价形式有助于求解任意大型...
  • 常见的几种矩阵分解方式

    万次阅读 多人点赞 2016-09-25 15:54:23
    首先,对矩阵A通过初等行变换将其变为一个上三角矩阵。对于学习过线性代数的同学来说,这个过程应该很熟悉,线性代数考试中求行列式求逆一般都是通过这种方式来求解。然后,将原始矩阵A变为上三角矩阵的过程,对应的...
  • 例如,我们知道上三角矩阵下三角矩阵是容易求解的,或者对角矩阵是最理想的求解形式,我们通过矩阵的分解去将原本的复杂问题,转化为若干个易于求解的矩阵来运算。一、高斯消去法与LU分解大学本科期间学校讲授的...
  • 初等变换与矩阵、向量组的秩 零矩阵的判定方法 向量空间、正交矩阵与线性变换 方阵的迹及其性质 矩阵的特征值 相似变换与相似对角化 复数的运算法则、复矩阵的共轭与共轭转置 复数的运算法则 ...
  • 注:本文是对Matrix Analysis and Applied ...在矩阵代数中,类似地,一个一般的矩阵也可能可以被分解成几个初等矩阵(Elementary Matrices)的乘积。 Matrices of the form I−uvT\mathbf I − \mathbf {uv}^TI−uvT, w
  • package gaodai.matrix; import gaodai.determinant.DeterminantCalculation; import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.... * 矩阵求逆(初等行变换) * @author 邱万迟 ...
  • 之前介绍的矩阵三角分解系列介绍了利用矩阵初等变换解决了矩阵三角化问题以及具体的三角分解。但是以初等变换工具的三角分解方法并不能消除病态线性方程组不稳定问题,而且有时候对于可逆矩阵有可能也不存在三角...
  • P4783 【模板】矩阵求逆 题目描述 求一个N×NN×NN×N的矩阵的逆矩阵。答案对109+710^9+7109+7取模。 1.逆矩阵的定义 假设 AAA 是一个方阵,如果存在一个矩阵 A−1A^{-1}A−1,使得 A−1A=IA^{-1}A=IA−1A=I 并且 AA...
  • 文章目录二级行列式三级行列式n 级行列式1、排列2、逆序数排列的性质3、n 阶行列式上三角形行列*n* 级行列式的性质行列式计算参考 二级行列式 行列式起源于解线性方程组.任何一个二元一次线性方程组经过变形都可以...
  • 今天看线性代数,做了几道关于利用初等行变换求逆矩阵的题,自己还没学到变换的技巧,查了一下,找了好久才找到技巧。(网上大部分基本都是教你概念的。。。)记录一下方便以后自己回头看。 这里分享一下 方法1 利用...

空空如也

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初等下三角矩阵