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  • §2.4 初等函数的求导问题 基本初等函数的导数公式已经有了,而函数的四则运算法则、复合函数求导的锁链规则也推导出来了。因此,我们可以说:一切初等函数的求导问题业已完全解决了!剩下的就靠我们勤加练习,...

    §2.4  初等函数的求导问题

    基本初等函数的导数公式已经有了,而函数的四则运算法则、复合函数求导的锁链规则也推导出来了。因此,我们可以说:一切初等函数的求导问题业已完全解决了!剩下的就靠我们勤加练习,熟能生巧

    下面,我们做一次课堂练习,并用mathematica来加以检验。




    §2.5  高阶导数

    我们知道,变速直线运动的速度是位置函数对时间的导数,即 或 

    而加速度  又是速度  对时间  的导数,即

     或 

    这种导( 函 )数的导数 或 叫做的二阶导数,记作

       或  

    一、高阶导数的定义

    相应地,把的导数 叫做函数一阶导数

    类似地, 二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,…,一般地,阶导数的导数叫做  阶导数,分别记作

    或     

    函数具有阶导数,称函数阶可导的如果函数在点具有阶导数那未在点处的某一邻域内必具有一切低于阶的导数

    二、几个基本的高阶导数公式

    【公式1

    证明:记   

     , , … ,

    一般地   

     

    【特款】当  时,

    【公式2】 

    证明: 记 

    一般地有

    【特款】

    证明:

    利用上面得到的阶导数公式有

    【公式3

     证明: 

    , 一般地有:

    【特款】当 为正整数 ) 时, 有

     

    【公式4】    (为实数 )

    证明: 记 

    一般地, 有

    这一公式的证明与中学的二项展开公式的证明完全类似,同学们可与之对应起来看。

    证明:时,(1)式显然成立。

    假设当时,(1)式仍然成立,即:

    于是有 

    三、求函数高阶导数举例

    【例1】求函数  的 阶导数。

    解: 

    当  时, 有

    【例2】设, 求 

    解:利用莱布尼兹公式,有







    §2.6  隐函数的导数,由参数方程所确定的函数的导数

    一、隐函数的导数

    1、显函数的概念

    函数表示两个变量之间的对应关系,其特点是:等号左端是因变量,而右端是含有自变量的表达式。用这种方式表示的函数叫做显函数

    2、隐函数的概念

    在二元方程中,当取区间内的任一值时,相应地总有满足该方程的唯一的值存在, 那末称方程 在区间内确定了一个隐函数

    例如, 在  内确定了一个隐函数。

    把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化

    例如,可将上述方程中的解出来,得,将隐函数化成了显函数。

    一般来说,将隐函数显化是有一定困难的,有时甚至是不可能的。

    例如,二元方程 ,对于区间内任意取定的值,上式成为一个以为未知数的五次方程, 据代数理论,该方程至少有一个实根, 故方程在内确定了一个隐函数但这个函数却很难显化出来。

    例如,在时,方程变为   ,可求得 

    时,方程变为 ,若记

    计算得到       

    据零点定理,在(3,4)内有一零点,利用两分法可求得

    既然二元方程可确定一个一元(隐)函数,隐函数导数又该如何求呢?

    如果能将此隐函数显化,求导自然不成问题。如果隐函数不能显化,有没有直接地求导方法呢?

    有的,下面用一个例子来介绍这一方法。

    3、隐函数的直接求导法

    左边的导数为

    右边的导数为       

    这两个导数应相等,于是有      

    解出,得    

    【例2】求椭圆在点处的切线方程。

    解:方程两边对求导数, 注意到的隐函数, 有

    ,      

    代入上式得:

    切线方程为       

    【例3】求由方程所确定的隐函数的二阶导数

    【解法1】

    上式两边再对求导, 注意到仍是的函数, 有

     = 

     

    【解法2】对  两边关于求导, 注意到 仍是的函数, 有

    4、对数求导法

    先对两边取对数,然后对方程两边关于求导,最后解出

    【例4】求的导数。

    解:

    两边对求导, 注意到的函数

    【例5】求的导数。

    解:

    二、由参数方程所确定的函数的导数

    我们知道,函数表示半径为1的上半圆周。若令,则 ,故

    参数方程 也表示此半圆周。

    反过来说, 此参数方程也确定了一个之间的函数关系 

    一般地,参数方程  确定了之间的函数关系, 称此函数为由参数方程(1)所确定的函数。

    如何求由参数方程(1)所确定的函数导数? 一个直接的方法是, 从(1)中消去参数, 将(1)化成之间的函数关系, 然后求其导数。 但是, 如果从(1)式中消去有困难, 需要寻求一种直接由参数方程(1)求的方法。

    对于参数方程     

    可以想象:由函数求出其反函数, 将此反函数代入,得到了复合函数 

    于是, 可运用复合函数与反函数求导法, 进行如下求导。

                         (2)

     或           

    (2)式便是我们希望寻找的求导公式,当然,它的成立是需要一些条件:

    【1】函数有单调连续反函数

    【2】函数  可导, 且 

    对(2)关于再求导,可得到二阶导数。只要求导时别忘了仍是的函数

                      (3)

    书上给出了这一公式,要准确而长久地记住它,并不容易。解题时,应少套这一公式,多摸仿这一公式的推导过程。

    【例6】 求参数方程  的二阶导数

    : 






    from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/

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  • 初等函数Z=acos xc +bsin yd为基础,通过fij=〈[Z〉/n]将Z值变换,采用VB编程在计算机上自动生成花型.当n分别为2、3、4时,改变参数a、b、c、d的值均能生成许多丰富多彩的图案效果.文中采用德国STOLL电脑横机配套的M1...
  • 1.1映射 举例: ...1.2.1初等函数1:幂函数 1.2.2初等函数:指数函数 1.2.3对数函数 1.2.4三角函数 1.2.5反三角函数 1.3特殊函数 1.3.1分段函数 ...

     1.1映射

     

     举例:

     

    1.2函数

     

    举例1:

     

    举例2:

     

    1.2.1初等函数1:幂函数

     

     

     1.2.2初等函数:指数函数

     

     

    1.2.3对数函数

     

     

    1.2.4三角函数

     

     1.2.5反三角函数

     

     

    1.3特殊函数

    1.3.1分段函数

     

     

     

     

     

     

     

    函数性质:

    1)有界性

     

     

    有界函数与无界函数的定义:

     

     

     

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  • 预备知识 --函数

    2018-03-07 16:58:05
    函数的定义几个特殊的函数(1)符号函数(2)分段函数...2π反函数与复合函数(1) 反函数(2) 复合函数复合函数举例初等函数符号函数:就是非初等函数极坐标极坐标与直角坐标系的关系举例邻域符号函数不是初等函数...

    函数的定义



    几个特殊的函数

    (1)符号函数


    (2)分段函数 



    函数的特性

    (1)函数的有界性


    题目释义:若X包含于D,存在M大于0,对任意的小x属于大X,有.....

    (2)函数的单调性


    (3) 函数的奇偶性


    (4) 函数的周期性

     周期为:2π


    反函数与复合函数

    (1) 反函数

    (2) 复合函数


    复合函数举例


    初等函数


    符号函数:就是非初等函数


    极坐标


    极坐标与直角坐标系的关系


    举例


    邻域




    符号函数不是初等函数

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  • 复变函数->概述

    2020-11-27 11:09:37
    绪论复变函数历史简介复变函数特征举例初等函数的特征函数可导性的特征幂级数表示的特征复变函数的几何特征 复变函数历史简介 高等数学主要研究函数 一元函数是实数集到实数集的映射 复变函数就是复数集到复数集的...

    复变函数历史简介

    高等数学主要研究函数
    一元函数是实数集到实数集的映射
    复变函数就是复数集到复数集的映射
    从整数到有理数到实数到复数

    数系的扩充与方程求解密切相关
    解方程 x2=2,x^{2}=2, 发现无理数 ;
    解方程 x2=1,x^{2}=-1, 在实数范围内无解 !

    代数方程及确定其根的分布是古典代数学研究的核心问题
    16世纪意大利数学家给出了三次方程与四次方程的根式解
    费罗 ( Ferro ) 考虑缺项三次方程 x3+px=qx^{3}+p x=q
    费罗 ( Ferro )) 考虑缺项三次方程 x3+px=qx^{3}+p x=q
    x=q2+q24+p3273q2+q24+p3273 x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}

    p,q取一些特殊值就会要开负数根

    该求根公式就涉及到负数开平方!

    Girolamo Cardano《Ars Magna》 ( 卡尔达诺, 大衍术 )(1545) 复数出生的证明
    卡尔达诺推广到一般三次方程:
    x3+a1x2+a2x+a3=0 x^{3}+a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{3}=0
    x=y13a1,x=y-\frac{1}{3} a_{1}, 便有
    y3+(a213a12)y=227a13+13a2a1a3 y^{3}+\left(a_{2}-\frac{1}{3} a_{1}^{2}\right)y =-\frac{2}{27} a_{1}^{3}+\frac{1}{3} a_{2} a_{1}-a_{3}

    一个简单的代换就使得缺项式和一般式相互转换

    缺项形式 y3+py=qy^{3}+p y=q

    复数被认为是不可能的(impossible)或者是虚构的(imaginary)
    莱布尼兹 “取负数的平方根,就会产生不可能的数或虚数,虽然这个数的性质很奇妙,但它有用,不可忽视.”
    在十八世纪末,C.Wessel[挪威] , J.R.Argand[瑞士]以及Gauss相继独
    立认识到可以给出复数简单明了的几何解释
    高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法
    1811年的某天,Gauss给Wessel写了封信,说 “我们应当给虚数以 实数一样的地位…”

    复数的出现 → 复数的意义 → 理论的形成
    19{Cauchy(Weierstrass)Riemann复变函数基本理论(19世纪)\left\{ \begin{aligned} 级数理论(Cauchy) \\ 级数理论 ( Weierstrass ) \\ 映照理论( Riemann ) \end{aligned} \right.
    一个大学生如果不熟悉复数,那么代数、三角、积分学和常微分方程与偏微分方程 理论的大部分内容都无法学懂."(G.Polya[美] (1887-1985))

    复变函数特征举例

    初等函数的特征

    在这里插入图片描述

    函数可导性的特征

    实函数导数 f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx(x,ΔxR)f^{\prime}(x)=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}(x, \Delta x \in \mathbb{R})
    复函数导数 f(z)=limΔz0f(z+Δz)f(z)Δz(z,ΔzC)f^{\prime}(z)=\lim\limits _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}(z, \Delta z \in \mathbb{C})
    实函数 f(x)={x2sin1x,x0, 在 x=0 处可导. 0,x=0f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \text { 在 } x=0 \text { 处可导. } \\ 0, \quad x=0\end{array}\right.
    复函数 f(z)={z2sin1z,z0, 在 z=0 处可导吗 ?0,z=0f(z)=\left\{\begin{array}{c}z^{2} \sin \frac{1}{z}, z \neq 0, \text { 在 } z=0 \text { 处可导吗 } ? \\ 0, \quad z=0\end{array}\right.

    sin1z\sin \frac{1}{z}原本在实数集是有界的,但是在复数里便无界了。

    幂级数表示的特征

    f(x)=11+x2=n=0(1)nx2n,x<1,xRf(x)=\frac{1}{1+x^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n},|x|<1, x \in \mathbb{R}

    本来可以任意次求导,但是表示成幂级数就有了开区间限制,实数范围无法表示
    x变成z,就变成了一个开圆盘,作为一个圆,半径为1,若扩大到±i,则z是没有意义的点

    f(z)=11+z2=n=0(1)nz2n,z<1,zCf(\mathrm{z})=\frac{1}{1+z^{2}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} z^{2 n},|z|<1, z \in \mathbb{C}
    f(x)=tanx=k=0nf(k)(0)k!xk+Rn(x)=k=0f(k)(0)k!xkf(x)=\tan x=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+R_{n}(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}
    Rn(x)=f(n+1)(θx)(n+1)!xn+10,x<π2,xRR_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1} \rightarrow 0, \quad|x|<\frac{\pi}{2}, x \in \mathbb{R}
    f(z)=tanz=k=0f(k)(0)k!zk,z<π2,zCf(z)=\tan z=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} z^{k},|z|<\frac{\pi}{2}, z \in \mathbb{C}

    复变函数的几何特征

    f(x)={e1x2,x00,x=0f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.在R上任意次可导 , 且 f(n)(0)=0,n=0,1,f^{(n)}(0)=0, n=0,1, \cdots

    k=0f(k)(0)k!xk=0=f(x)(x=0)\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}=0=f(x)(x=0)

    考虑圆周|z| =r(r=0.5,0.2,0.1)=r(r=0.5,0.2,0.1)w=e1z2(zC,z0)w=e^{-\frac{1}{z^{2}}}(z \in \mathbb{C}, z \neq 0) 下的像 :
    在这里插入图片描述

    0.5,0.2,0.1,随着r逐渐减小,对应像曲线越来越复杂。
    在这里插入图片描述
    如果函数是解析的就可以用多项式去逼近
    高阶导数公式,一个区间解析的函数可以任意次求导
    代数基本定理:n次方程在复平面一定有n个根
    圆盘→泰勒
    圆环→洛朗
    实积分计算可以不必找出原函数,解决了一些难以求解原函数的积分问题
    幅角定理体现函数在某个区间有多少零点

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