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  • 函数的概念及性质,基本初等函数的概念性质图像,初等函数
  • 基本初等函数

    2020-02-29 09:09:50
    数学里的六类基本初等函数,我们已经介绍了指数函数和对数函数,还剩常数函数,幂函数,三角函数和反三角函数,这一期,我们重点介绍后面四类基本初等函数。常数函数一般的,形如的函数称为常数函数,...

     

    数学里的六类基本初等函数,我们已经介绍了指数函数和对数函数,还剩常数函数,幂函数,三角函数和反三角函数,这一期,我们重点介绍后面四类基本初等函数。

     

    常数函数

    一般的,形如

     

    的函数称为常数函数,其中c为任意实数,故常数函数的定义域和值域均为全体实数R。

    也许你会问,这世界为何还有常数函数这种简单的东西,明明是把所有的东西都对应到一个确定的值上面去,事实上,这世界还真有很多这种需要,比如在处理二分类问题的时候,把所有符合条件的对象都对应到“是”,把所有不符合条件的对象都归为“否”,用分类函数写出来便是满足某种条件不满足某种条件把类似的这些函数,都纳入函数范畴处理,会更加通用和方便。

    幂函数

    一般地,形如

     

    的函数称为幂函数,其中x称为幂函数的底数,a称为幂函数的指数,幂函数的定义域和值域均为全体实数R。幂函数是底数为自变量,而指数是个常量,这个指数函数恰好相反。我们结合图像分a>0和a<0两种情况来看幂函数的性质

    (1) a>0

    幂函数α有下列性质:

    (1)、图像都经过点(1,1)(0,0)

    (2)、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数

    (1) a<0

    幂函数α有下列性质:

    (1)、图像都经过点(1,1)

    (2)、函数的图像在区间[0,+∞)上是减函数

    三角函数

    三角函数和反三角函数是一个比较独特的部分,这里仅介绍几类常见的三角函数和反三角函数

    常见的三角函数有

    反三角函数

    常见的反三角函数主要有以下 六类

    至此,我们已经简单介绍完六大类基本初等函数,我们知道其定义域和值域以及一些简单的基本性质,下一期,我们将重点介绍如何用python一劳永逸的生成这些函数图像,敬请期待。

    参考文献

    1,

    https://baike.baidu.com/item/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%87%BD%E6%95%B0/6608669?fr=aladdin

    - - -The end- - - 


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  • 初等函数

    2021-02-04 17:12:13
    由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用于一个解析式表示的函数,称为初等函数,例如: (幂函数复合),(三角函数和幂函数复合)(三角函数和幂函数复合). 应用上常常遇到以为...

    在初等数学中,已经学过下面几类函数:

    图中这五类函数统称为基本初等函数

    由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用于一个解析式表示的函数,称为初等函数,例如:

    f(x)=\sqrt{1-x^2}(幂函数复合), y=sin^2x(三角函数和幂函数复合)y=\sqrt{cot\frac{x}{2}}(三角函数和幂函数复合).

    应用上常常遇到以 e为地的指数函数y=e^x以及y=e^{-x}所产生的双曲函数以及它们的反函数-反双曲函数,它们的定义如下:

    双曲正弦:sh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

    双曲余弦:ch x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

    双曲正切:thx=\frac{sh x}{ch x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

    几个函数图形如下:

    结束!

    展开全文
  • 之前用,绘制了对数函数,有了这三个基础工作的积累,本期,将研究如何利用python把六类基本初等函数一劳永逸的绘制出来。...基本初等函数均是连续函数,这使得其图形看起来是连贯的,前面已经介绍过指数函数和对数...

    之前用,绘制了对数函数,有了这三个基础工作的积累,本期,将研究如何利用python把六类基本初等函数一劳永逸的绘制出来。

    基本初等函数概念

    简单的说基本初等函数是不能再由其他更简单结构的函数通过加减乘除四则运算来结合而成的函数。在数学里,基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数一共6类。基本初等函数均是连续函数,这使得其图形看起来是连贯的,前面已经介绍过指数函数和对数函数,现在把六类函数的形状和定义域和值域整理。

    常数函数

    一般的,形如

    的函数称为常数函数,其中c为任意实数,故常数函数的定义域和值域均为全体实数R。

    幂函数

    一般地,形如

    的函数称为幂函数,幂函数的定义域和值域均为全体实数R。

    指数函数

    一般地,形如

    的函数称为幂函数,其中a>0, a≠1,指数函数的定义域为全体实数R,值域为(0,+∞)。

    对数函数

    一般地,形式

    的函数称为对数函数,其中a>0, a≠1,指数函数的定义域为(0,+∞),值域为全体实数R。

    三角函数

    常见的三角函数有

    反三角函数

    常见的反三角函数主要有以下 6 个

    完整代码

    知道不同函数的定义非常关键,因为这直接决定了我们画图时候的横坐标可取值范围,先把所有典型函数列出来

    我们需要实现的功能是,我们输入一个函数表达式,程序给我们返回该表达式的图像,完整代码如下

    # -*- coding: utf-8 -*-

    """

    Created on Sun Feb 16 16:10:09 2020

    project name:draw_func_figure

    @author: 帅帅de三叔

    """

    import math #导入绘图模块

    import numpy as np #导入数值计算模块

    import matplotlib.pyplot as plt #导入绘图模块

    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #绘图中文

    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #绘图负号

    import mpl_toolkits.axisartist as axisartist #导入坐标轴加工模块

    def elementary_func_draw(X, expr): #定义绘制函数图形的函数,其中x是自变量,y为因变量

    #X=np.linspace(-10, 10, 100) #自变量

    Y=list(map(lambda x:eval(expr), X))

    fig=plt.figure(figsize=(4, 4)) #新建画布

    ax=axisartist.Subplot(fig, 111) #使用axisartist.Subplot方法创建一个绘图区对象ax

    fig.add_axes(ax) #将绘图区对象添加到画布中

    ax.plot(X, Y, label=expr) #绘制函数图形

    ax.axis[:].set_visible(False) #隐藏原来的实线矩形

    ax.axis["x"]=ax.new_floating_axis(0, 0, axis_direction="bottom") #添加x轴

    ax.axis["y"]=ax.new_floating_axis(1, 0, axis_direction="bottom") #添加y轴

    ax.axis["x"].set_axisline_style("->", size=1.0) #给x坐标轴加箭头

    ax.axis["y"].set_axisline_style("->", size=1.0) #给y坐标轴加箭头

    plt.xlim(-max(X), max(X)) #设置横坐标范围

    plt.ylim(-max(Y), max(Y)) #设置纵坐标范围

    ax.text(-1.0, max(Y), 'y', fontsize=12) #标注y轴

    ax.annotate(s='x', xy=(max(X), 0), xycoords='data', xytext=(+0, +5), textcoords='offset points', fontsize=12) #标注x轴

    plt.legend()

    plt.show()

    plt.savefig("func_figure.png")

    if __name__=="__main__":

    expr=input("请输入函数表达式:")

    if "log" in expr: #画对数函数

    X=np.linspace(0.001, 10, 100)

    elif "asin" in expr: #画反正弦函数

    X=np.linspace(-1, 1, 100)

    elif "acos" in expr: #画反余弦函数

    X=np.linspace(-1, 1, 100)

    else:

    X=np.linspace(-10, 10, 100)

    elementary_func_draw(X, expr)

    接下来就是见证奇迹的时候

    当我输入

    2

    便会画出如下图

    图 1 y=2

    当我输入

    x**2

    便会画出如下图

    图 2 y=x^2

    当我输入

    2**x

    便会画出如下图

    图 3 y=2^x

    当我输入

    math.log(x, 2)

    便会画出如下图

    图 4 y=log_2 x

    当我输入

    math.log10(x)

    便会画出如下图

    图 5 y=log_10 x

    当我输入

    math.log(x)

    便会画出如下图

    图 6 y=ln(x)

    当我输入

    math.sin(x)

    便会画出如下图

    图 7 y=sin(x)

    当我输入

    math.cos(x)

    便会画出如下图

    图 8 y=cos(x)

    当我输入

    math.tan(x)

    便会画出如下图

    图 9 y=tan(x)

    当我输入

    1/math.tan(x)

    便会画出如下图

    图 10 y=cot(x)

    当我输入

    1/math.cos(x)

    便会画出如下图

    图 11 y=sec(x)

    当我输入

    1/math.sin(x)

    便会画出如下图

    图 12 y=csc(x)

    当我输入

    math.asin(x)

    便会画出如下图

    图 13 y=arcsin(x)

    当我输入

    math.acos(x)

    便会画出如下图

    图 14 y=arccos(x)

    当我输入

    math.atan(x)

    便会画出如下图

    图 15 y=arctan(x)

    当我输入

    math.pi/2-math.atan(x)

    便会画出如下图

    图 16 y=arccot(x)

    当我输入

    arcsec(x)

    糟糕,不出图,囧!

    当我输入

    arccsc(x)

    糟糕,不出图,二囧!

    这两个函数还有待后面解决,或许通过三角函数关系式,或者重单独重新定义这两个函数,如果你有什么好办法,欢迎留言。

    代码解释

    这里重点解释一下在给两个坐标轴打标签时候的处理方法

    ax.text(-1.0, max(Y), 'y', fontsize=12) #标注y轴

    ax.annotate(s='x', xy=(max(X), 0), xycoords='data', xytext=(+0, +5), textcoords='offset points', fontsize=12) #标注x轴在对y轴标注的时候,位置的横向,我们选定了一个定值 -1.0 ,纵向选择Y的最大值,因为横向是定下来的,从-10到10,故只需要在Y轴稍微偏左一点即可,而纵向是随着横向变化而变化的,最大莫过于max(Y),故取其最大值。

    在对x轴标注的时候,我们不在用到text()函数,改用annotate()函数,因为这个函数更为灵活

    其中

    s='x' 表示要标注的内容;

    xy=(max(X), 0)是为标注设置一个参照点(max(X), 0),即横坐标的最右端;

    xycoords='data' 表示参照点的单位是一个值的形式;

    xytext=(+0, +5)表示标注文本的偏移量,是相对于参照点的偏移量;

    textcoords=‘offset points’表示注释文本的坐标系属性,表示以点为单位,也可以是pixels,表示以像素为单位,还可以是xycoords的属性值

    因为选定了横坐标最右端为参照点,再加上偏移量,任你y轴怎么变化,这个标注会老老实实呆在那个离(max(X), 0)不远处。

    如果你还有不懂的地方欢迎来“三行科创”微信公众号留言,同时交流群免费向大家开放,入群讲缘分。

    参考文献

    1,百度百科:基本初等函数

    2,百度百科:反余切函数

    3,math模块

    - - -The end- - -

    17521754388

    展开全文
  • 基本初等函数,包括了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数五种。由这些基本初等函数经过有限次的四则运算(加减乘除)和函数的复合所得到的函数称为初等函数。 幂函数 power function 公式 $y=x^\...

    基本初等函数

    本文主要记载五种基本初等函数。

    目录

    概述

    幂函数

    指数函数

    对数函数

    三角函数

    反三角函数

    概述

    基本初等函数,包括了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数五种。由这些基本初等函数经过有限次的四则运算(加减乘除)和函数的复合所得到的函数称为初等函数。

    幂函数 power function

    公式

    $y=x^\alpha$

    其中,$x$是自变量,$\alpha$是常数。

    图像和性质

     (1)所有幂函数的图像都过$(1,1)$点。

    (2)当$\alpha$为奇数时,幂函数为奇函数;当$\alpha$为偶数时,幂函数为偶函数。

    (3)考虑幂函数在第一象限中的特征,当$\alpha>0$时,幂函数在$(0,+\infty)$上为增函数;当$\alpha<0$时,幂函数在$(0,+\infty)$上为减函数。

    指数函数 exponential function

    公式

    $y=a^x (a>0, a \neq 1)$

    图像和性质

     

    (1)所有的指数函数都过点$(0,1)$,定义域为$R$,值域为$(0,+\infty)$

    运算

    $a^ra^s=a^{r+s}$

    $(a^r)^s=a^{rs}$

    $(ab)^r=a^rb^r$

    $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

    幂函数和指数函数的对比

    幂函数   $y=x^\alpha$   $x$为底数

    指数函数 $y=a^x$ $x$为指数

    对数函数 logarthmic function

    公式

    $y=log_a x$

    图像和性质

    (1)所有对数函数都过点$(1,0)$

    运算

    $a^b=N \leftrightarrow b=log_a N$

    $a^{log_a N}=N$

    $log_a b=\frac{log_c b}{log_c a}$

    $log_a b=\frac{1}{log_b a}$

    $log_a b*log_b c=log_a c$

    $log_{a^m} {b^n}=\frac{n}{m}log_a b (m \neq 0)$

    $log_a {MN}=log_a M+log_a N$

    $log_a {\frac{M}{N}}=log_a M-log_a N$

    $log_a {M^n}=n*log_a M$

    增长趋势的比较

    随着x的增加,指数函数爆炸增长,幂函数逐渐增长,对数函数缓慢增长。

    三角函数

    反三角函数

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/liuyingsme/p/10201678.html

    展开全文
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初等函数和基本初等函数