这是最近在上课的过程中作业题里面遇到的一个问题。
关于初等函数，《高等数学》（同济七版）中是这样子定义的：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

这个定义中，有两个需要注意的：(1) 有限次；(2) 可用一个式子表示(这句话很容易忽略，但是必不可少的)。
分段函数貌似不能用一个式子表达，所以不是初等函数。但是，存在这样的函数，它既可以用分段函数的形式表示，也可以用一个式子来表达，所以分段函数也有可能是初等函数。这个例子为绝对值函数：



这个函数还可以写成

$f(x) = |x| = \sqrt{x^2}.$

根据初等函数的定义, 这是一个初等函数. 故函数$f(x) = |x|$可以写成分段函数，但它是一个初等函数.

所以结论就是：分段函数不一定是初等函数。

视频19 
三 初等函数的连续性
基本初等函数：有限运算， 能够用一个式子表达
基本初等函数在其定义区间内是连续的


1. 连续函数的和、乘积、商的连续性
（1） 有限个在某个点连续的函数的代数和任然是在该点连续的函数
（2）有限个某个点连续的函数他们的乘积仍然是在该点连续的函数
（3）两个在某点连续的函数他们的商仍然是在该点连续的函数，只要分母在该点处的函数值不等于0




证明（3）
设 f(x),g(x) 在x0 点处连续


则有lim(x->x0) f(x) = f(x0),lim(x->x0)=g(x0) <>0


证明 三角函数的连续性
例 y=sinx , y=cosx 在(-∞，+∞)内是连续的
y=tanx,y=cotx 在其定义域内是连续的


证明正切余切函数


y = tanx = sinx/cosx
y = cotx = cosx/sinx


利用连续函数商的连续， 可知tanx，cotx在定义域内连续的。


习题 1，2，3，5，6，7


2 反函数与复合函数的连续性
如果函数  y = f(x) 在 区间 Ix 区间上是连续的 ， （单调增或单调减少），则其反函数x=φ（y）一定存在
，也在对应的区间 Iy = {y|y=f(x),x属于Ix} 上单调增加（减少）且连续


例如： y=sinx 在Ix [-π/2,π/2] , 上是单调增且连续，因此其反函数y=arcsinx在[-1,1]上单调增， 且连续。
y=cosx在Ix[0,π]上是单调减， 因此其反函数在[-1,+1]这个区间是单调减且连续


y=tanx 在 （-π/2,π/2） 内单调增且连续，其反函数在y=arctanx在（-∞，+∞）去区间内单调增且连续
y=cotx 在 （0，π） 内单调减且连续，则其反函数y=arccotx 在 （-∞，+∞） 内单调减且连续




（2） 设 当 x->x0 时， u=φ(x)极限存在， 且lim(x->x0) φ(x) = a, 而 y = f(u) 在 对应点 u= a 点处连续，
则当x->x0时， 复核函数f[φ(x)] 的 极限存在，且 lim(x->x0)f[φ(x)] = f(a)


证明：


例如： 求 lim(x->0) ln(1+x)/x 

§1.10  连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算性质

由函数在一点连续的定义，不难发现，函数连续的问题仍是一个函数的极限问题，而函数极限的四则运算法则业已证明，因此，我们只要稍加改动，便可将它们移植到函数的连续。很自然地，我们有下述定理：

【定理一】有限个在某点连续的函数之和仍是一个在该点连续的函数。

【定理二】有限个在某点连续的函数的乘积仍是一个在该点连续的函数。

【定理三】两个在某点连续的函数的商仍是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。

例如：我们已知函数，在上连续，据上述定理，， 在 上也是连续的；而正切与余切函数，则需在分母不为零的点(即函数各自的定义域内)处才连续。

二、反函数与复合函数的连续性

【定理四】

如果函数在区间上单值，单增（或单减）且连续，则它的反函数也在区间上单值，单增（或单减）且连续。

这一定理的证明从略，但对定理中的一个重要条件：

直接函数在其定义区间内必须是单值，单调，连续

要特别加以注意。

其实，这一定理可简记成：若直接函数在其定义区间上单值，单调，连续，则其反函数在其对应区间上亦然。

另外，区间实际上是直接函数的值域。

下面， 我们来讨论反三角函数的连续性问题。

在上单值、单增、连续，其值域为。反函数 在上亦单值、单增、连续。

由于函数只与对应法则和定义域有关， 而与自变量的选取与关。通常，我们也用来记的反函数。

的反函数在上亦是单值、单减、连续。

的反函数则在上单值、单增、连续。

三、复合函数的连续性定理

【定理五】

设函数当时的极限存在且等于，即



而函数在点连续， 则复合函数当时的极限存在且等于， 即

                 (1)

证明：

因在连续，则 。

，，当  时，

又 ，对于上述，，当时，有



综合上述两个步骤有：

，，当  时，有



进而有：

故 



2、（1）式还可写成形式            (3)

表明：求函数极限，可使用变量代换。

将自变量变化趋势，换成新变量变化趋势，

将转化为（其中  ）。

3、定理5中的变量变化趋势可换成 ， 其结论仍旧成立。

【定理六】

设函数在连续，且；而函数在点处亦连续，那么复合函数在处连续。

【证明】：只要在定理5中，令即：在  连续。

于是，(1)式可表示成：



这便证明了函数  在点处连续。

【例1】求（其中为正整数）

解：

这里：我们用到了在处的连续，而在

时极限存在，且为。

注：例一的解法用到了定理5的第(2)式。

【例2】求 

解：

注：例二的解法用到了定理5中的第(3)式。

三、初等函数的连续性

前面，我们业已证明了三角函数和反三角函数在其定义域内是连续的。最后，我们指出(但不作详细地证明)：

1、指数函数在内连续。

2、对数函数在内连续。

3、幂函数在其定义域(定义域要据的取值而定)内连续。

总之，基本初等函数在其定义域内连续。

由基本初等函数在其定义域内的连续性，本节介绍的定理1～6可以导出如下重要而常用的结论：

一切初等函数在其定义域内都是连续的。

最后指出：如果函数在点连续，那么求极限，只需计算即可。这是因为，连续函数在一点的极限值应等于它在该点处的函数值。

【例3】求

解：是初等函数，在它的定义域内是连续的，而点，据基本结论有：



 

转自：

https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxueshang/index.htm


 

高等数学 · 第一章 函数
第一节 实数
一、实数的定义
二、区间和领域
区间
邻域
三、绝对值
例题
第二节 函数的定义及其表示法
一、常量与变量
二、函数的定义
函数的定义域
参考例题
第三节 函数的几种特性
第四节 反函数和复合函数
一、反函数
参考例题
二、复合函数
参考例题
第五节 初等函数
第六节 总结

第一节 实数
一、实数的定义
有理数与无理数统称为 实数 ，全体实数组成的数集成为实数集，用 $R$ 表示；用 $Q$ 表示有理数集，$Z$ 表示整数集，$N$ 表示自然数集。


二、区间和领域
区间

列举法：$A = \{ 1,2,3,4 \}$
属性法：$A = \{ n | n是小于5的正整数\}$ 或 $B = \{ x | 1 \lt x \lt 2 \}$

像这样由数轴上的“一段”连续的点构成的数集，我们称之为区间，记为$(1,2)$，这是开区间。

如果数集为：$C = \{ y | 1 \le y \le 2 \}$，那么记为$[1,2]$，这是闭区间。
邻域
我们经常会运用一种特殊的开区间$(\alpha - \delta, \alpha + \delta)$，我们称这个开区间为点 $\alpha$ 的邻域，记为$U(\alpha,\delta)$，即

$U(\alpha, \delta) = (\alpha - \delta, \alpha + \delta)$
称点 $\alpha$ 为邻域的中心， $\delta$为邻域的半径。
有时候，我们只考虑点 $\alpha$ 邻近的点，而不考虑点 $\alpha$ ,即考虑点集 $\{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \}$，我们称这个点集为点 $\alpha$ 的 “去心邻域”，记为${U^\circ(\alpha,\delta)}$，即

$U^\circ = \{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \}$
三、绝对值
设 $x$ 是一实数，用 $|x|$ 记 $x$ 的绝对值，其定义如下：

$|x| = 
	\begin{cases} 
	x		& \quad x \ge 0, \\
	-x		& \quad x \lt 0.
	\end{cases}$
$|x|$ 的几何意义是 $x$ 到原点的距离。显然，$|x-y|$ 表示点 $x$ 与点 $y$ 之间的距离。
绝对值有以下性质：设$x,y$ 是实数，则

$|x| \ge 0,$ 当且仅当 $x = 0$ 时才有 $|x| = 0;$
$|-x| = |x|;$
$|xy| = |x||y|;$
$a \gt 0, |x| \lt a$ 当且仅当 $-a \lt x \lt a;$
$-|x| \le x \le |x|;$
$|x + y| \le |x| + |y|;$
$|x - y| \ge ||x| - |y|| \ge |x| - |y|.$

以上性质均可通过其他性质证明，基本上直接运用。

例题
1、已知不等式 $|\frac {2x + 1} { x - 1}| \lt 1$，求$x$的取值范围。

解析：$-4 \lt x \lt {^2/_3}$，通过性质四，再分段求解即可。
第二节 函数的定义及其表示法
一、常量与变量
有些量在所考虑问题的过程中始终不变，保持定量，这些量我们称之为常量；而有些量在所考虑问题的过程中是变化的，他们刻在一定的范围内取不同的值，这些量我们称之为变量。
二、函数的定义
设$x，y$是两个变量，$x$ 的变化范围是实数集 $D$.如果对于任何的$x \in D$，按照一定的法则都有唯一确定的 $y$ 值与之对应，则称变量 $y$ 是变量 $x$ 的函数，记为 $y = f(x)$，称D是函数的定义域，x 为自变量，y为因变量.
对于一个确定的 $x_0 \in D$，与之对应的 $y_0  = f(x_0)$ 称为函数 $y$ 在点 $x_0$ 处的函数值，全体函数值的几何称为函数 $y$ 的值域，记为 $f(D)$ ，即

$f(D) = \{ y | y = f(x), x \in D \}$
函数的两要素：定义域和对应法则

“两个函数相等”意味着这两个函数的定义域相同，对应法则也相同。
常用的函数表示法：

公式法——分段函数
图像法
表格法

函数的定义域
一般地，自然定义域应如此讨论:

分式的分母不能为零
开偶次方的被开方式子不能为负
当方幂的指数是无理数或含有变数时，方底的式子应为正
对数符号后的式子（真数）不能为负
反正弦、反余弦符号后式子的绝对值不能大于1
有限个函数由四则运算得到的新函数， 其定义域是各函数定义域的交集

参考例题


计算题 : 求函数 $f(x) = \cfrac {1}{x + 1} \arcsin e^x$ 的定义域.

[解析] :

$x + 1$ 作为分母不应该为 $0$.
因为要考虑 $\arcsin x$ 的定义域, 所以 $e ^ x \in [-1,1]$

计算求两者区间的交集就好.


第三节 函数的几种特性

有界性 : $|f(x)| \le M$
单调性 :

单调递增 : 如果$x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2$ , 都存在 $f(x_1) < f(x_2)$
单调递减 : 如果$x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2$ , 都存在 $f(x_1) \gt f(x_2)$


奇偶性

偶函数 : 对于定义域中的任意$x$ , 都存在$f(-x) = f(x)$
奇函数 : 对于定义域中的任意$x$ , 都存在$f(-x) = -f(x)$


其中，对于对于两个在定义域内有定义的函数 :

两个偶函数之和，之积为偶函数
两个奇函数之和为奇函数，之积为偶函数
一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数



周期性 : 必然存在 $f(x+T) = f(x)$

例如 $y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x 均为周期函数.$

第四节 反函数和复合函数
一、反函数
函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$，至于为 $f(D)$. 若对任何 $y \in f(D)$， 在 $D$ 内有唯一确定的 $x$ 使 $y = f(x)$, 则称这样形成的函数 $x$ 为 $y = f(x)$ 的反函数，记为 $x = f^{-1}(y)$, 相应地，也称函数 $y = f(x)$ 是直接函数(原函数).
对于反函数 $x = f^{-1}(y)$, 定义域是 $f(D)$, 值域是 $D$,

1. 单调函数具有反函数

2. 原函数与反函数关于 $y = x$ 对称
参考例题

求 $y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2}$ 的反函数

【解析】由 $y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2} \Rightarrow 2y = e^x - e^{-x}$，等式两边乘以 $e^x$ 可得：

$(e^x)^2  - 2ye^x - 1 = 0$

解关于 $e^x$ 的二次方程，得 $e^x = y \pm \sqrt {y^2 + 1}.$

由于 $e^x \ge 0$, 所以只取 $e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$ .从而

$x = ln(y + \sqrt{y^2 + 1}).$

故反函数为 $y = ln(x + \sqrt{x^2 + 1}).$

二、复合函数
函数 $y = f(u), u \in D_u, u = \varphi(x), x \in D_x.$ 如果函数 $u = \varphi(x)$ 的值域 $\varphi(D)$ 包含在函数 $y = f(u)$ 的定义域 $D_u$ 内, 即 $\varphi(D_x) \subset D_u$, 那么,对任何 $x \in D$. 有 $u = \varphi(x)$ 与之对应,又有 $y = f(u)$ 与 $u$ 对应,从而对于任何 $x \in D$, 有确定的 $y$ 与之对应,形成 $y$ 是 $x$ 的函数,记为 $y = f(\varphi(x))\ \ (x \in D_x)$ , 称之为是由 $y = f(u)$ 和 $u = \varphi(x)$ 复合而成的复合函数. $y$ 是因变量, $x$ 是自变量, 称 $u$ 是中间变量.
参考例题

计算题: 已知 $f(1+x) = x^2$, 求$f(x)$.

[解析] : 令 $1+x = u$, 则 $f(u) = (u-1)^2$, 所以 $f(x) = (x - 1)^2$.

第五节 初等函数

基本初等函数

常值函数 ($y = c$)
幂函数 ($y = x^2$)
指数函数 ($y = a^x$)
对数函数 ($y = log_ax$)
三角函数 ($\begin{cases}
  y = \sin x	\\
  y = \cos x	\\
  y = \tan x	\\
  y = \cot x	\\
   \end{cases}$)
反三角函数 ($\begin{cases} 
y = \arcsin x \\
y = \arccos x \\
y = \arctan x \\
y = arccot \ x
\end{cases}$)(与对应的三角函数互为反函数)


初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成,并且在其定义域内具有统一的解析表达式的函数,称为初等函数.
非初等函数

代表性的例子 : 分段函数

第六节 总结