1. 问题引入
 
 
 
 
 
2. 基本初等函数 （幂函数）
 
 
 
 
3. 整幂函数与根式函数
 
 
 
 
4. 双曲函数与“广义双曲函数”
 
 
 
 
5. 指数函数
 
 
 
 
6. 对数函数
 
 
 
 
7. 指数与对数运算法则
 
 
 
 
8. 三角函数
 
 
 
 
 
 
9. 反正弦函数（反余弦函数）
 
 
 
 
 
10. 三角函数与其反三角函数的复合
 
 
 
 

 
 
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
 
比较头疼的是numpy中的幂函数不支持负数定义域，所以找了很多办法来解决该问题。
 
主函数代码如下：
 
#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
#                     _ooOoo_
#                   o8888888o
#                    88" . "88
#                 ( | -  _  - | )
#                     O\ = /O
#                 ____/`---'\____
#                  .' \\| |// `.
#                 / \\|||:|||// \
#               / _|||||-:- |||||- \
#                | | \\\ - /// | |
#              | \_| ''\---/'' | _/ |
#               \ .-\__ `-` ___/-. /
#            ___`. .' /--.--\ `. . __
#         ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"".
#       | | : `- \`.;`\  _ /`;.`/ - ` : | |
#          \ \ `-. \_ __\ /__ _/ .-` / /
#      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'==
#                     `=---='
'''
@Project ：pythonalgorithms 
@File ：basicfunction.py
@Author ：不胜人生一场醉
@Date ：2021/7/19 17:39 
'''
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
import mpl_toolkits.axisartist as axisartist  # 导入坐标轴加工模块


# -----------------函数------------------
# 给定一个数集A，对A施加一个对应的法则/映射f，记做:f(A)，那么可以得到另外一个数集B，也就是可以认为B=f(A)；
# 那么这个关系就叫做函数关系式，简称函数。
# 三个重要的因素: 定义域A、值域B、对应的映射法则f。


if __name__ == "__main__":
    # 一次函数
    Linearfunction()
    # 二次函数
    Quadraticfunction()
    # 幂函数
    powerfunction()
    # 指数函数
    exponentialfunction()
    # 对数函数
    Logarithmicfunction()

 
一次函数代码如下：
 
# ---------------一次函数------------------
# 一次函数是函数中的一种，一般形如y=ax+b（a，b是常数，a≠0），其中x是自变量，y是因变量。
# 当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数
# 当a=0时，y=b，则为常函数
def Linearfunction():
    fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
    x = np.linspace(-10, 10, 100)
    i = 1
    alist = [-1, 0, 1]
    blist = [-1, 0, 1]
    for a in alist:
        for b in blist:
            plt.subplot(3, 3, i)
            y = x * a + b
            label = '{}*x+{}'.format(a, b)
            plt.plot(x, y, label=label)
            plt.legend()
            i += 1
    plt.show()

    for a in alist:
        for b in blist:
            y = x * a + b
            label = '{}*x+{}'.format(a, b)
            plt.plot(x, y, label=label)
            i += 1
    plt.title("一次函数")
    plt.legend()
    plt.show()

 

 

 
二次函数代码如下：

 
# 二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
# 二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
# 其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。
# 如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。
# 顶点坐标 = (-b/2a,(4ac-b²)/4a
def Quadraticfunction():
   fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
   x = np.linspace(-2, 2, 100)

   alist = [-1, 1]
   blist = [-1, 0, 1]
   clist = [-1, 0, 1]

   for a in alist:
      for b in blist:
         for c in clist:
            y = a * x * x + b * x + c
            label = '{}*x*x+{}*x+{}'.format(a, b, c)
            plt.plot(x, y, label=label)
   plt.title("二次函数")
   plt.legend()
   plt.show()
 

 
幂函数代码如下：
 
# 幂函数是基本初等函数之一。
# 一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
# 例如函数y=x0 、y=x、y=x²、y=x³。
# a = 正数
# a 为>0 的自然数  x定义域(-∞,∞)
# a 为<0 的整数     X定义域(-∞,0),(0,∞)
#
# a >0 的分数
# a=n/m m为奇数，n为偶数，x定义域(-∞,∞)，y定义域[0,+∞）
# a=n/m m为奇数，n为奇数，x定义域(-∞,∞)，y定义域(-∞,∞)
# a=n/m m为偶数，n不限，x定义域[0,∞)，y定义域[0,+∞）
#
# a <0 的分数
# a=n/m m为奇数，n为偶数，x定义域(-∞,0),(0,∞)，y定义域(0,+∞）
# a=n/m m为奇数，n为奇数，x定义域(-∞,0),(0,∞)，y定义域(-∞,0),(0,∞)
# a=n/m m为偶数，n不限，x定义域(0,∞)，y定义域(0,+∞）
def powerfunction():
   plt.figure(figsize=(10, 8))
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
   x = np.linspace(-2, 2, 100)
   alist = [1, 2, 3, 4]
   for a in alist:
      y = np.power(x, a)
      label = 'math.pow(x,{}'.format(a)
      plt.plot(x, y, label=label)

   # 设置图片的右边框和上边框为不显示
   ax.spines['right'].set_color('none')
   ax.spines['top'].set_color('none')

   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
   plt.title("幂指数，a为正整数")
   plt.legend()
   plt.show()

   plt.figure(figsize=(10, 8))
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
   x = np.append(np.linspace(-1, -0.01, 100), np.linspace(0.01, 1, 100))
   alist = [-1, -2, -3]
   for a in alist:
      y = np.power(x, a)
      label = 'math.pow(x,{}'.format(a)
      plt.plot(x, y, label=label)

   # 设置图片的右边框和上边框为不显示
   ax.spines['right'].set_color('none')
   ax.spines['top'].set_color('none')

   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
   plt.title("幂指数，a为负整数")
   plt.legend()
   plt.show()

   # a >0 的分数
   # a=n/m m为奇数，n为奇数，x定义域(-∞,∞)，y定义域(-∞,∞) 4/3
   # a=n/m m为奇数，n为偶数，x定义域[0,+∞)，y定义域[0,+∞）4/3
   # a=n/m m为偶数，n不限，x定义域(-∞,∞)，y定义域[0,+∞） 1/2,3/2
   plt.figure(figsize=(10, 8))
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
   x = np.linspace(-2, 2, 100)
   alist = [1 / 3, 5 / 3, 7 / 3]
   for a in alist:
      # y = np.power(x, a)
      # RuntimeWarning: invalid value encountered in power
      y = np.float_power(abs(x), a) * np.sign(x)
      label = 'math.pow(x,{}'.format(a)
      plt.plot(x, y, label=label)

   # 设置图片的右边框和上边框为不显示
   ax.spines['right'].set_color('none')
   ax.spines['top'].set_color('none')

   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
   plt.title("幂指数，分子分母为奇数")
   plt.legend()
   plt.show()

   plt.figure(figsize=(10, 8))
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
   x = np.linspace(0, 2, 100)
   alist = [1 / 8, 1 / 4, 1 / 2]
   for a in alist:
      y = np.power(x, a)
      # y = np.float_power(abs(x), a) * np.sign(x)
      label = 'math.pow(x,{}'.format(a)
      plt.plot(x, y, label=label)

   # 设置图片的右边框和上边框为不显示
   ax.spines['right'].set_color('none')
   ax.spines['top'].set_color('none')

   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
   plt.title("幂指数，分母为偶数")
   plt.legend()
   plt.show()

   plt.figure(figsize=(10, 8))
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
   x = np.linspace(-2, 2, 100)
   alist = [2 / 3, 4 / 5, 6 / 7, 4 / 3, 8 / 5]
   for a in alist:
      y = np.power(abs(x), a)
      label = 'math.pow(x,{}'.format(a)
      plt.plot(x, y, label=label)

   # 设置图片的右边框和上边框为不显示
   ax.spines['right'].set_color('none')
   ax.spines['top'].set_color('none')

   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
   plt.title("幂指数，分子为偶数分母为奇数")
   plt.legend()
   plt.show()


# 关于负数就不再重复叙述了
# a <0 的分数
# a=n/m m为奇数，x定义域(-∞,0),(0,∞)，y定义域(0,+∞）
# a=n/m m为偶数，x定义域(-∞,0),(0,∞)，y定义域(-∞,0),(0,∞)
# a=n/m m为偶数，n为不限，x定义域(0,∞)，y定义域(0,+∞）
 

 

 

 

 

 
指数函数代码如下：
 
# 指数函数是重要的基本初等函数之一。


# 一般地，y=ax函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。 [1]
# 注意，在指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，
# 否则，就不是指数函数
def exponentialfunction():
   plt.figure(figsize=(10, 8))
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
   # a>0 a!=1
   # 定义域为((-∞,∞)，值域为(0, +∞)，都通过(0, 1)点
   x = np.linspace(-2, 2, 100)
   alist = [1 / 4, 1 / 3, 1 / 2, 2, 3, 4]
   for a in alist:
      y = np.power(a, x)
      label = 'math.pow(x,{}'.format(a)
      plt.plot(x, y, label=label)

   # 设置图片的右边框和上边框为不显示
   ax.spines['right'].set_color('none')
   ax.spines['top'].set_color('none')

   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
   plt.title("指数指数")
   plt.legend()
   plt.show()
 

 
对数函数代码如下：
 
# 一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。
# 对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：
# 如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
# 一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
# 其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
def Logarithmicfunction():
   plt.figure(figsize=(10, 8))
   ax = plt.gca()  # 通过gca:get current axis得到当前轴
   plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 绘图中文
   plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 绘图负号
   # a>0 a!=1
   # 定义域为((-∞,∞)，值域为(0, +∞)，都通过(0, 1)点
   # 当a>1时，单调递增
   # 当0<a<1时，单调递减
   x = np.linspace(0.0001, 2, 100)
   alist = [1 / 4, 1 / 3, 1 / 2, 2, 3, 4]
   for a in alist:
      y = np.log(x) / np.log(a)

 
      label = 'np.log(x) / np.log({})'.format(a)
 
      plt.plot(x, y, label=label)

   # 设置图片的右边框和上边框为不显示
   ax.spines['right'].set_color('none')
   ax.spines['top'].set_color('none')

   # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置
   # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置
   ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
   # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置
   # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5))
   ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
   plt.title("对数指数")
   plt.legend()
   plt.show()

 
 

§1.10  连续函数的运算与初等函数的连续性
 
一、连续函数的四则运算性质
 
由函数在一点连续的定义，不难发现，函数连续的问题仍是一个函数的极限问题，而函数极限的四则运算法则业已证明，因此，我们只要稍加改动，便可将它们移植到函数的连续。很自然地，我们有下述定理：
 
【定理一】有限个在某点连续的函数之和仍是一个在该点连续的函数。
 
【定理二】有限个在某点连续的函数的乘积仍是一个在该点连续的函数。
 
【定理三】两个在某点连续的函数的商仍是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。
 
例如：我们已知函数，在上连续，据上述定理，， 在 上也是连续的；而正切与余切函数，则需在分母不为零的点(即函数各自的定义域内)处才连续。
 
二、反函数与复合函数的连续性
 
【定理四】
 
如果函数在区间上单值，单增（或单减）且连续，则它的反函数也在区间上单值，单增（或单减）且连续。
 
这一定理的证明从略，但对定理中的一个重要条件：
 
直接函数在其定义区间内必须是单值，单调，连续
 
要特别加以注意。
 
其实，这一定理可简记成：若直接函数在其定义区间上单值，单调，连续，则其反函数在其对应区间上亦然。
 
另外，区间实际上是直接函数的值域。
 
下面， 我们来讨论反三角函数的连续性问题。
 
在上单值、单增、连续，其值域为。反函数 在上亦单值、单增、连续。
 
由于函数只与对应法则和定义域有关， 而与自变量的选取与关。通常，我们也用来记的反函数。
 
的反函数在上亦是单值、单减、连续。
 
的反函数则在上单值、单增、连续。
 
三、复合函数的连续性定理
 
【定理五】
 
设函数当时的极限存在且等于，即
 
 
而函数在点连续， 则复合函数当时的极限存在且等于， 即
 
                 (1)
 
证明：
 
因在连续，则 。
 
，，当  时，
 
又 ，对于上述，，当时，有
 
 
综合上述两个步骤有：
 
，，当  时，有
 
 
进而有：
 
故 
 
 
2、（1）式还可写成形式            (3)
 
表明：求函数极限，可使用变量代换。
 
将自变量变化趋势，换成新变量变化趋势，
 
将转化为（其中  ）。
 
3、定理5中的变量变化趋势可换成 ， 其结论仍旧成立。
 
【定理六】
 
设函数在连续，且；而函数在点处亦连续，那么复合函数在处连续。
 
【证明】：只要在定理5中，令即：在  连续。
 
于是，(1)式可表示成：
 
 
这便证明了函数  在点处连续。
 
【例1】求（其中为正整数）
 
解：
 
这里：我们用到了在处的连续，而在
 
时极限存在，且为。
 
注：例一的解法用到了定理5的第(2)式。
 
【例2】求 
 
解：
 
注：例二的解法用到了定理5中的第(3)式。
 
三、初等函数的连续性
 
前面，我们业已证明了三角函数和反三角函数在其定义域内是连续的。最后，我们指出(但不作详细地证明)：
 
1、指数函数在内连续。
 
2、对数函数在内连续。
 
3、幂函数在其定义域(定义域要据的取值而定)内连续。
 
总之，基本初等函数在其定义域内连续。
 
由基本初等函数在其定义域内的连续性，本节介绍的定理1～6可以导出如下重要而常用的结论：
 
一切初等函数在其定义域内都是连续的。
 
最后指出：如果函数在点连续，那么求极限，只需计算即可。这是因为，连续函数在一点的极限值应等于它在该点处的函数值。
 
【例3】求
 
解：是初等函数，在它的定义域内是连续的，而点，据基本结论有：
 
 
 
 
转自：
 
https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxueshang/index.htm