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  • 文章目录初等变换初等矩阵等价标准形参考 初等变换 定义\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}定义​ 下面的三种变换叫做 λ\lambdaλ -矩阵初等变换: (1) 矩阵的两行(列)互换位置; (换行) (2) ...

    1. 80相似标准形01——lambda矩阵
    2. 81相似标准形02——初等变换、初等矩阵、相抵 (等价)、相抵标准形
    3. 82相似标准形03——不变因子、行列式因子、相抵标准形的唯一性、用求行列式因子法求标准形
    4. 83相似标准形04——相似与λ-矩阵的相抵
    5. 84相似标准形05——有理标准形的不变因子、矩阵的有理标准形
    6. 85相似标准形06——初等因子、初等因子与不变因子的求法
    7. 86相似标准形07——若尔当(Jordan)标准形
    8. 87相似标准形08——Jordan标准形
    9. 88相似标准形09——JJordan-Chevalley分解、幂零矩阵与幂零变换、幂零矩阵的判别、中国剩余定理、可换线性变换的性质
    10. 89相似标准形10——J循环不变子空间

    初等变换

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }} 下面的三种变换叫做 λ\lambda -矩阵的初等变换:

    (1) 矩阵的两行(列)互换位置; (换行)

    (2) 矩阵的某一行(列)乘以非零的常数 c;c ; (倍行)

    (3) 矩阵有某一行 (列)加另一行 (列)的 φ(λ)\varphi(\lambda) 倍, φ(λ)\varphi(\lambda) 是一个多项式。 (( 倍法化零)

    初等矩阵

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义2} }} 和数字矩阵的初等变换一样,可以引进初等矩阵。

    1. 互换矩阵: 用 P(i,j)P(i, j) 表示由单位矩阵经过第 ii 行第 jj 行互换位置所得的初等矩阵,

    image-20210526111354021

    1. 倍法矩阵 :用P(i(c))P(i(c)) 表示用非零常数 cc 乘单位矩阵第 ii 行所得的初等矩阵。

    image-20210526111333473

    1. 消法矩阵 :将单位矩阵的第 jj行乘一个多项式φ(λ)\varphi(\lambda) 加到第 ii 行上,记为P(i,j(φ(λ)))P(i, j(\varphi(\lambda)))

    image-20210526111225995

    同数字矩阵的证明一样,

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{命题1} }}同数字矩阵一样,对一个 s×ns \times nλ\lambda -矩阵 A(λ)A(\lambda) 作一次初等行变换就相当于在A(λ)A(\lambda) 的左边乘上相应 s×ss \times s 的初等矩阵; 对 A(λ)A(\lambda) 作一次初等列变换就相当于 A(λ)A(\lambda)在的右边乘上相应的 n×nn \times n 的初等矩阵。

    同数字矩阵一样可以证明: 对 λ\lambda -矩阵作初等变换不改变 λ\lambda -矩阵的秩.

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{性质1} }} 初等 λ\lambda -矩阵是可逆的, 且它们的逆也是初等 λ\lambda -矩阵
    P(i,j)1=P(i,j),P(i(c))1=P(i(c1)),P(i,j(φ))1=P(i,j(φ)) 。  P(i, j)^{-1}=P(i, j), \\P(i(c))^{-1}=P\left(i\left(c^{-1}\right)\right), \\P(i, j(\varphi))^{-1}=P(i, j(-\varphi)) \text { 。 }
    由此得出初等变换具有可逆性:设 λ\lambda -矩阵 A(λ)A(\lambda) 用初等变换变成 B(λ)B(\lambda), 这相当于对 A(λ)A(\lambda) 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B(λ)B(\lambda) 就变回 A(λ)A(\lambda), 而这逆矩阵仍是初等矩阵,因而由 B(λ)B(\lambda) 可用初等变换变回 A(λ)A(\lambda)

    相抵 (等价)

    3\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义3} }} λ\lambda- 矩阵 A(λ)A(\lambda) 经过一系列初等变换将A(λ)A(\lambda) 化为 B(λ)B(\lambda) 记为 A(λ)B(λ)A(\lambda) \rightarrow B(\lambda) ,称 A(λ)A(\lambda)B(λ)B(\lambda) \large\color{red}{\boxed{\color{green}{ 相抵 }}} (等价),

    \Large\color{violet}{注:} 相抵 (等价)是 λ\lambda -矩阵之间的一种关系,

    3\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{性质3} }} (1) 反身性:每一个 λ\lambda -矩阵与它自身相抵。

    (2) 对称性: 若 A(λ)A(\lambda)B(λ)B(\lambda) 相抵,则 B(λ)B(\lambda)A(λ)A(\lambda) 相抵。

    (3) 传递性: 若 A(λ)A(\lambda)B(λ)B(\lambda) 相抵, B(λ)B(\lambda)C(λ)C(\lambda) 相抵,则 A(λ)A(\lambda)C(λ)C(\lambda) 相抵。

    1\Large\color{violet}{例 1} 证明 (d1(λ)d2(λ))(d2(λ)d1(λ))\left(\begin{array}{ll}d_{1}(\lambda) & \\ & d_{2}(\lambda)\end{array}\right) 与\left(\begin{array}{ll}d_{2}(\lambda) & \\ & d_{1}(\lambda)\end{array}\right) 相抵
    (d1(λ)d2(λ))(0d2(λ)d1(λ)0)(d2(λ)d1(λ)) \left(\begin{array}{ll}d_{1}(\lambda) & \\ & d_{2}(\lambda)\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cc}0 & d_{2}(\lambda) \\ d_{1}(\lambda) & 0\end{array}\right)\\ \rightarrow\left(\begin{array}{ll}d_{2}(\lambda) & \\ & d_{1}(\lambda)\end{array}\right)
    \Large\color{violet}{注:}A(λ)=diag(d1(λ),d2(λ),,dn(λ))A(\lambda)=\operatorname{diag}\left(d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda)\right)B(λ)=diag(di(λ),di2(λ),,din(λ))\quad B(\lambda)=\operatorname{diag}\left(d_{i}(\lambda), d_{i_{2}}(\lambda), \cdots, d_{i_{n}}(\lambda)\right),

    其中 di1(λ),di2(λ),,din(λ)d_{i_{1}}(\lambda), d_{i_{2}}(\lambda), \cdots, d_{i_{n}}(\lambda)d1(λ),d2(λ),,dn(λ)d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{n}(\lambda)的一个置换, 则同理可证 A(λ)B(λ).A(\lambda) \simeq \boldsymbol{B}(\lambda) .

    \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{相抵的充要条件} }}

    应用初等变换与初等矩阵的关系即得,矩阵 A(λ)A(\lambda)B(λ)B(\lambda) 相抵的充要条件为有一系列初等矩阵 P1,P2,,Pl,Q1,Q2,,QtP_{1}, P_{2}, \cdots, P_{l}, Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{t}, 使
    A(λ)=P1P2PlB(λ)Q1Q2Qt A(\lambda)=P_{1} P_{2} \cdots P_{l} B(\lambda) Q_{1} Q_{2} \cdots Q_{t}

    相抵标准形

    这一节主要是证明任意一个 λ\lambda - 矩阵可以经过初等变换化为某种对角形。为此,首先给出下面的引理.

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{引理1} }}A(λ)=(aij(λ))m×nA(\lambda)=\left(a_{i j}(\lambda)\right)_{m \times n} 为一非零λ\lambda-矩阵,若某 aij(λ)a_{i j}(\lambda) 不是 a11(λ)a_{11}(\lambda) 的倍式, 则 A(λ)A(\lambda)必相抵于矩阵 B(λ)=(bij(λ))m×n\boldsymbol{B}(\lambda)=\left(\boldsymbol{b}_{i j}(\lambda)\right)_{m \times n}, 其中 b11(λ)0b_{11}(\lambda) \neq \mathbf{0},且 b11(λ)b_{11}(\lambda) 整除 B(λ)\boldsymbol{B}(\lambda) 中的任意元 bij(λ)\boldsymbol{b}_{i j}(\lambda),且 0deg(b11(λ))<deg(a11(λ)).\quad 0 \leq \operatorname{deg}\left(b_{11}(\lambda)\right)<\operatorname{deg}\left(a_{11}(\lambda)\right) .

    λ\lambda- 矩阵 A(λ)A(\lambda) 的左上角元素 a11(λ)0a_{11}(\lambda) \neq 0 ,并且 A(λ)A(\lambda) 中至少有一个元素不能被它除尽 (不全是它的公倍数),那么一定可以找到一个与 A(λ)A(\lambda) 相抵的矩阵 B(λ)B(\lambda), 它的左上角元素也不为零,但是次数比 a11(λ)a_{11}(\lambda) 的次数低。

    【证明】: 根据 A(λ)A(\lambda) 中不能被 a11(λ)a_{11}(\lambda) 除尽的元素所在的位置,分三种情况来讨论:

    1. A(λ)A(\lambda) 的第一列中有一个元素 ai1(λ)a_{i 1}(\lambda) 不能被 a11(λ)a_{11}(\lambda) 除尽,则有
      ai1(λ)=a11(λ)q(λ)+r(λ) a_{i 1}(\lambda)=a_{11}(\lambda) q(\lambda)+r(\lambda)
      其中余式 r(λ)0r(\lambda) \neq 0, 且次数比 a11(λ)a_{11}(\lambda) 的次数低.

    A(λ)A(\lambda) 作初等行变换. \quadA(λ)A(\lambda) 的第 ii 行减去第 1 行的 q(λ)q(\lambda) 倍,得
    A(λ)=(a11(λ)ai1(λ))(a11(λ)r(λ)) A(\lambda)=\left(\begin{array}{cc} a_{11}(\lambda) & \cdots \\ \vdots & \vdots \\ a_{i 1}(\lambda) & \cdots \\ \vdots & \vdots \end{array}\right) \longrightarrow\left(\begin{array}{cc} a_{11}(\lambda) & \cdots \\ \vdots & \vdots \\ r(\lambda) & \cdots \\ \vdots & \vdots \end{array}\right)
    再将此矩阵的第 1 行与第 ii 行互换,得:
    A(λ)(r(λ)a11(λ))=B(λ) A(\lambda) \longrightarrow\left(\begin{array}{cc} r(\lambda) & \cdots \\ \vdots & \vdots \\ a_{11}(\lambda) & \cdots \\ \vdots & \vdots \end{array}\right)=B(\lambda)
    B(λ)B(\lambda) 左上角元素 r(λ)r(\lambda) 符合引理的要求,故 B(λ)B(\lambda) 即为所求。

    1. A(λ)A(\lambda) 的第一行中有一个元素 a1i(λ)a_{1 i}(\lambda) 不能被 a11(λ)a_{11}(\lambda) 除尽,这种情况的证明与 1)) 类似,但是
      A(λ)A(\lambda) 进行的是初等列变换.

    2. A(λ)A(\lambda) 的第一行与第一列中的元素都可以被a11(λ)a_{11}(\lambda) 除尽,但 A(λ)A(\lambda) 中有另一个元素 aij(λ)(i>1,a_{i j}(\lambda)(i>1,j>1j>1 ) 不能被 a11(λ)a_{11}(\lambda) 除尽。 设
      ai1(λ)=a11(λ)φ(λ) a_{i 1}(\lambda)=a_{11}(\lambda) \varphi(\lambda)
      A(λ)A(\lambda) 作下述初等行变换:
      A(λ)=(a11(λ)a1j(λ)ai1(λ)aij(λ))φ(λ)i(a11(λ)a1j(λ)0aij(λ)a1j(λ)φ(λ)) \begin{array}{c} A(\lambda)=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}(\lambda) & \cdots & a_{1 j}(\lambda) & \cdots \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{i 1}(\lambda) & \cdots & a_{i j}(\lambda) & \cdots \\ \vdots & & \vdots & \vdots \end{array}\right) \\ 第一行的 -\varphi(\lambda)加到i行 \longrightarrow\left(\begin{array}{cccc} a_{11}(\lambda) & \cdots & a_{1 j}(\lambda) & & \cdots \\ \vdots & & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & a_{i j}(\lambda)-a_{1 j}(\lambda) \varphi(\lambda) & \cdots \\ \vdots & & & \vdots & & \vdots \end{array}\right) \end{array}

    i1(a11(λ)aij(λ)+(1φ(λ))a1j(λ)0aij(λ)a1j(λ)φ(λ))=A1(λ). \begin{array}{ll} i行加到 1行 \longrightarrow\left(\begin{array}{cccc} a_{11}(\lambda) & \cdots & a_{i j}(\lambda)+(1-\varphi(\lambda)) a_{1 j}(\lambda) & \cdots \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & a_{i j}(\lambda)-a_{1 j}(\lambda) \varphi(\lambda) & \cdots \\ \vdots & & \vdots & \vdots \end{array}\right) \\ =A_{1}(\lambda) . & & & & \end{array}
    矩阵 A1(λ)A_{1}(\lambda) 的第一行中,有一个元素
    aij(λ)+(1φ(λ))a1j(λ) a_{i j}(\lambda)+(1-\varphi(\lambda)) a_{1 j}(\lambda)
    不能被左上角元素 a11(λ)a_{11}(\lambda) 除尽,这就化为已经证明了的情况 2).

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论1} }} A(λ)OA(\lambda) \neq O \Rightarrow 相抵于 C(λ)=(c11(λ)OOC1(λ))C(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}c_{11}(\lambda) & O \\ O & C_{1}(\lambda)\end{array}\right) 使得c11(λ)0c_{11}(\lambda) \neq 0, 且 C1(λ)C_{1}(\lambda) 中所有元都是 c11(λ)c_{11}(\lambda) 的倍式.

    证明: \Rightarrow 存在相抵矩阵 B(λ)=(bij(λ))B(\lambda)=\left(b_{i j}(\lambda)\right), 使得 b11(λ)b_{11}(\lambda) 整除 B(λ)B(\lambda) 中所有元

     将 B(λ) 第 1 行的适当倍数加到下面的 行  将 B(λ) 第 1 列的适当倍数加到右面的列 }\left.\begin{array}{l}\text { 将 } B(\lambda) \text { 第 } 1 \text { 行的适当倍数加到下面的 行 } \\ \text { 将 } B(\lambda) \text { 第 } 1 \text { 列的适当倍数加到右面的列 }\end{array}\right\} \Rightarrow 得所需之 C(λ)C(\lambda)

    c11(λ)=?c_{11}(\lambda)=? 三种初等变换不会改变 λ\lambda -矩阵所有元的最大公因式

    c11(λ)c_{11}(\lambda)C(λ)C(\lambda) 所有元的最大公因式相差非零常数倍

    c11(λ)\Rightarrow c_{11}(\lambda)A(λ)A(\lambda) 所有元的最大公因式相差非零常数倍!

    A(λ) 相抵于 (d1(λ)ooD1(λ)) 其中 d1(λ) 整除 D1(λ) 所有元, 且 d1(λ) 与 A(λ) 所有元的最大公因式相差非零常数 倍 A(\lambda) \stackrel{\text { 相抵于 }}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cc}d_{1}(\lambda) & o \\ o & D_{1}(\lambda)\end{array}\right) \begin{array}{c}\text { 其中 } d_{1}(\lambda) \text { 整除 } D_{1}(\lambda) \text { 所有元, 且 } d_{1}(\lambda) \text { 与 } A(\lambda) \\ \text { 所有元的最大公因式相差非零常数 倍 }\end{array}

    D1(λ) 相抵干 (d2(λ)OOD2(λ))D_{1}(\lambda) \stackrel{\text { 相抵干 }}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cc}d_{2}(\lambda) & O \\ O & D_{2}(\lambda)\end{array}\right) 其中 d2(λ)d_{2}(\lambda) 整除 D2(λ)D_{2}(\lambda) 所有元, 且 d2(λ)d_{2}(\lambda)D1(λ)D_{1}(\lambda) 所有元的最大公因式相差常数倍

    特别地, d1(λ)d2(λ)d_{1}(\lambda) \mid d_{2}(\lambda) \quad…重复如上过程 \ldots \ldots
     相执于 D(λ)=(d1(λ)d2(λ)odr(λ)oo), 其中 di(λ)di+1(λ)(1ir1) \stackrel{\text { 相执于 }}{\longrightarrow} D(\lambda)=\left(\begin{array}{llll} d_{1}(\lambda) & & & & \\ & d_{2}(\lambda) & & & o \\ & & \ddots & & \\ & & & d_{r}(\lambda) & \\ & & o & & o \end{array}\right), \text { 其中 } d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)(1 \leq i \leq r-1)

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }} 任意一个非零的 s×ns \times nλ\lambda- 矩阵 A(λ)A(\lambda)相抵于下列形式的矩阵 ,r(A(λ))=rr(A(\lambda))=r
    (d1(λ)d2(λ)dr(λ)00), \left(\begin{array}{llllll} d_{1}(\lambda) & & & & & & \\ & d_{2}(\lambda) & & & & \\ & & \ddots & & & & \\ & & & d_{r}(\lambda) & & & \\ & & & & 0 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 0 \end{array}\right),
    其中 di(λ)(i=1,2,,r)d_{i}(\lambda)(i=1,2, \cdots, r) 是首项系数为 1 的多项式,且
    di(λ)di+1(λ)(i=1,2,,r1). d_{i}(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda) \quad(i=1,2, \cdots, r-1) .
    这个矩阵称为 A(λ)A(\lambda)相抵标准形

    注:我把这种方法称为“降次剥皮法”

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{推论2} }}任 - n\boldsymbol{n} 阶可逆 λ\lambda-矩阵都可表示为有限个初等λ\lambda-矩阵之积

    A(λ)A(\lambda)nn 阶可逆λ\lambda-矩阵,则存在 P1(λ),,Ps(λ),Q1(λ),,Qt(λ)P_{1}(\lambda), \cdots, P_{s}(\lambda), \boldsymbol{Q}_{1}(\lambda), \cdots, \boldsymbol{Q}_{t}(\lambda), 使得
    Ps(λ)P1(λ)A(λ)Q1(λ)Qt(λ)=diag(d1(λ),,dr(λ),0,,0), \boldsymbol{P}_{s}(\lambda) \cdots \boldsymbol{P}_{1}(\lambda) \boldsymbol{A}(\lambda) \boldsymbol{Q}_{1}(\lambda) \cdots \boldsymbol{Q}_{t}(\lambda)=\operatorname{diag}\left(\boldsymbol{d}_{1}(\lambda), \cdots, \boldsymbol{d}_{\boldsymbol{r}}(\lambda), \mathbf{0}, \cdots, \mathbf{0}\right),
    因为初等λ\lambda-矩阵和 A(λ)A(\lambda) 都是可逆λ\lambda-矩阵, 所以上式左边的行列式是非零常数, 因此 r=n\boldsymbol{r}=\boldsymbol{n}, 且 d1(λ)dn(λ)\boldsymbol{d}_{1}(\lambda) \cdots \boldsymbol{d}_{\boldsymbol{n}}(\lambda) 是非零常数, 因而 di(λ)\boldsymbol{d}_{\boldsymbol{i}}(\lambda) 是非零常数. 又di(λ)\boldsymbol{d}_{i}(\lambda) 首项系数为1,则 di(λ)=1\boldsymbol{d}_{\boldsymbol{i}}(\lambda)=\mathbf{1}, 故 A(λ)=P11(λ)Ps1(λ)Qt1(λ)Q11(λ).\boldsymbol{A}(\lambda)=\boldsymbol{P}_{1}^{-1}(\lambda) \cdots \boldsymbol{P}_{s}^{-1}(\lambda) \boldsymbol{Q}_{t}^{-1}(\lambda) \cdots \boldsymbol{Q}_{1}^{-1}(\lambda) .

    因为初等λ\lambda-矩阵的逆还是初等 λ\lambda -矩阵, 所以 A(λ)A(\lambda) 可表为有限个初等λ\lambda-矩阵之积.

    2\Large{\color{violet}{例2}} 用初等变换化 λ\lambda -矩阵 A(λ)=(1λ2λ1λλλ2λ1+λ2λ3+λ1λ2)A(\lambda)=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 \lambda-1 & \lambda \\ \lambda & \lambda^{2} & -\lambda \\ 1+\lambda^{2} & \lambda^{3}+\lambda-1 & -\lambda^{2}\end{array}\right) 为标准形。
    解 :
    A(λ)(1λ2λ11λλ201+λ2λ3+λ11)(12λ11λ0λ2λ1λ3+λ11+λ2)(12λ11λ0λ2λ0λ3λλ2+λ)(1000λ2λ0λ3λλ2+λ)(1000λλ20λ2+λλ3λ)(1000λ00λ2+λλ2λ)(1000λ000λ2+λ)=B(λ) \begin{aligned} A(\lambda) & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 \lambda-1 & 1 \\ \lambda & \lambda^{2} & 0 \\ 1+\lambda^{2} & \lambda^{3}+\lambda-1 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 \lambda-1 & 1-\lambda \\ 0 & \lambda^{2} & \lambda \\ 1 & \lambda^{3}+\lambda-1 & 1+\lambda^{2}\end{array}\right) \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 \lambda-1 & 1-\lambda \\ 0 & \lambda^{2} & \lambda \\ 0 & \lambda^{3}-\lambda & \lambda^{2}+\lambda\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda^{2} & \lambda \\ 0 & \lambda^{3}-\lambda & \lambda^{2}+\lambda\end{array}\right) \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & \lambda^{2} \\ 0 & \lambda^{2}+\lambda & \lambda^{3}-\lambda\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{2}+\lambda & -\lambda^{2}-\lambda\end{array}\right) \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda^{2}+\lambda\end{array}\right)=B(\lambda) \end{aligned}

    参考

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

    展开全文
  • 初等变换   a = np.array([[1,2,3], [2,3,-5], [4,7,1]]) b = np.array([[3,2,0,5,0],[3,-2,3,6,-1],[2,0,1,5,-3],[1,6,-4,-1,4]]) #计算秩 r1 = np.linalg.matrix_rank(a) ...

     

    初等变换

     

    a = np.array([[1,2,3],
                  [2,3,-5],
                  [4,7,1]])
    b = np.array([[3,2,0,5,0],[3,-2,3,6,-1],[2,0,1,5,-3],[1,6,-4,-1,4]])
    #计算秩
    r1 = np.linalg.matrix_rank(a)
    r2 = np.linalg.matrix_rank(b)
    print(r1)
    print(r2)
    2
    3
    ​
    a = np.array([[3,-2,0,-1],[0,2,2,1],[1,-2,-3,-2],[0,1,2,1]])
    print(np.linalg.inv(a))
    print(np.linalg.det(a))
    print(np.linalg.matrix_rank(a))
    [[  1.   1.  -2.  -4.]
     [  0.   1.   0.  -1.]
     [ -1.  -1.   3.   6.]
     [  2.   1.  -6. -10.]]
    1.0000000000000004
    4
    
    ​
    a = np.array([[3,-2,0,-1],[0,2,2,1],[1,-2,-3,-2],[0,1,2,1]])
    print(np.linalg.inv(a))
    print(np.linalg.det(a))
    print(np.linalg.matrix_rank(a))
    [[  1.   1.  -2.  -4.]
     [  0.   1.   0.  -1.]
     [ -1.  -1.   3.   6.]
     [  2.   1.  -6. -10.]]
    1.0000000000000004
    4
    
    a = np.array([[-1,1,0],[-4,3,0],[1,0,2]])
    print(np.linalg.eigvals(a))
    print(np.linalg.eig(a))
    [2. 1. 1.]
    (array([2., 1., 1.]), array([[ 0.        ,  0.40824829,  0.40824829],
           [ 0.        ,  0.81649658,  0.81649658],
           [ 1.        , -0.40824829, -0.40824829]]))
    
    
    a = np.array([[-2,1,1],[0,2,0],[-4,1,3]])
    print(np.linalg.eigvals(a))
    #对角化
    np.diag(np.linalg.eigvals(a))
    
    ​
    
    ​
    展开全文
  • 一、相似矩阵 定义: 设A,BA,BA,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵PPP,使: 则称BBB是AAA的相似矩阵,或者说AAA和BBB相似。 1.1 线性变换: 首先从函数说起 1.1.1 线性函数: 函数直观的讲,就是把x轴上的点映射到曲线上...

    一、线性变换

    1.1 什么是线性变换

    首先给出一个比较抽象的解释方式:
    A对于一个变换A,找两个向量,如果这个变换满足可加性与齐次性:
    A(α+β)=Aα+AβA(\alpha+\beta)=A\alpha+A\beta
    A(kα)=k(Aα)A(k\alpha)=k(A\alpha)
    线那么这个变换就是线性变换

    1.2 从函数角度理解

    1.2.1 首先复习下函数

    函数客观的讲就是把x轴上的点映射到曲线上,以下是一个正弦函数:
    在这里插入图片描述

    1.2.2 线性函数

    有的函数,比如y=x,是把x轴上的点映射到直线上,这种称之为线性函数:
    在这里插入图片描述

    1.3 从线性函数到线性变换

    线性函数其实就是线性变换,为了看起来更像线性变换,这里换一种标记方法:

    之前的y=x,可以认为是把(a,0)(a,0)映射到了(0,a)(0,a)点,这被称为线性变换T,记作:
    在这里插入图片描述
    矩阵的形式如下:
    在这里插入图片描述
    这里将(a,0)(a,0)替换为平面内所有的点(a,b)(a,b),我们就可以对整个平面做变换,该线性变换记作:
    在这里插入图片描述
    写成矩阵的形式:
    在这里插入图片描述
    我们记:
    在这里插入图片描述
    这时可以得到一个更简便的记法(这种形式看起来更像线性方程y=axy=ax):
    在这里插入图片描述
    我们已经假定y,x\overrightarrow{y},\overrightarrow{x}指代了平面上所有的点,所以干脆可以更简化为:

    线性变换通过矩阵A来表示

    而y=x不过是这个A的一个特殊情况

    1.4 矩阵A与基

    刚才的结论其实是不完整的,还缺少了一个信息:
    y=x是基于直角坐标系的,通过这个转换:
    在这里插入图片描述
    得到的A也是基于直角坐标系的。
    只是在线性变换中,我们不称之为直角坐标系,而是叫做标准正交基。
    标准正交基是:
    在这里插入图片描述
    它们张成的线性空间如下:

    在这里插入图片描述
    这里,对前面的结论进行一个补充:

    线性变换通过指定基下的矩阵A来表示

    注意这个”指定基“,这说明基不一定固定为正交基,由此引出相似矩阵的概念。

    二、相似矩阵

    2.1 定义:

    A,BA,B都是n阶矩阵,若有n阶可逆矩阵PP,使:
    在这里插入图片描述
    则称BBAA的相似矩阵,或者说AABB相似。

    2.2 解释

    在这里插入图片描述
    那怎么得到不同基下的矩阵呢? 这里看下具体的变换细节。

    2.2.1 细节

    首先看一个图,下面给出关于图的解释:
    在这里插入图片描述

    • 有两个基:V1:{i,j}V_1:\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\}{i,j}\{\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}\}
    • V1V2V1\to V2,可以通过P1P^{-1}转换
    • V2V1V2\to V1,可以通过PP转换

    整个转换的核心如下:

    在这里插入图片描述
    对上面的图进行解释:

    • v\overrightarrow{v'}V2V_2的点
    • v\overrightarrow{v'}通过PP变为V1V_1下的点,即PvP\overrightarrow{v'}
    • V1V_1下,通过矩阵AA完成线性变换,即APvAP\overrightarrow{v'}
    • 通过P1P^{-1}变回V2V_2下的点,即P1APvP^{-1}AP\overrightarrow{v'}

    综上,我们可以有:
    在这里插入图片描述
    我们可以认为:
    在这里插入图片描述
    那么B和A互为相似矩阵。

    这里还有一个细节:V2V1V_2\to V_1的转换矩阵PP是什么?
    首先看空间中的一个点,假设为mm点:
    在这里插入图片描述
    这时我们知道,不管有没有基,这个点都是客观存在的,然后给出其在i,j\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}的坐标v\overrightarrow{v'}
    在这里插入图片描述
    为了表示v\overrightarrow{v'}i,j\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}下的坐标,我们写成这样:
    在这里插入图片描述
    如果我们知道了i,j\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}i,j\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}下的坐标:
    在这里插入图片描述
    那么有:
    v=ai+j=a(ci+dj)+b(ei+fj)\overrightarrow{v'}=a\overrightarrow{i'}+\overrightarrow{j'}=a(c\overrightarrow{i}+d\overrightarrow{j})+b(e\overrightarrow{i}+f\overrightarrow{j})

    此时,实际上m点的坐标,已经变到了i,j\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}下的v\overrightarrow{v}
    在这里插入图片描述
    继续推导:
    在这里插入图片描述
    所以P其实就是:
    在这里插入图片描述
    这里的i,j\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'}是在i,j\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}下的坐标。

    2.2.2 对角矩阵

    为什么我们需要相似矩阵呢?
    比如A这个矩阵:
    在这里插入图片描述
    可以这样分解:
    在这里插入图片描述
    其中:

    在这里插入图片描述
    B就是对角矩阵,看上去好看很多,相似变换其实就是坐标转换,转换到一个更方便计算的简单坐标系。

    https://www.matongxue.com/madocs/491.html

    2.3 相似的性质:

    1. 反身性:AA(I1AI=A)A\backsim A\quad(I^{-1}AI=A)
    2. 对称性:ABBAA\backsim B\rArr B\backsim A
      (ABP1AP=BA=(P1)1BP1)(A\backsim B\rArr P^{-1}AP=B\rArr A=(P^{-1})^{-1}BP^{-1})
    3. 传递性:AB,BC,ACA\backsim B,B\backsim C,\rArr A\backsim C
      P11AP1=B,P21BP2=CP_1^{-1}AP_1=B,P_2^{-1}BP_2=C
      P21P11AP2P1=C\therefore P_2^{-1}P_1^{-1}AP_2P_1=C
      (P1P2)1A(P1P2)=C\therefore (P_1P_2)^{-1}A(P_1P_2)=C
    4. 相似矩阵的秩相同

    三、对角矩阵

    3.1 矩阵可对角化

    如果矩阵AA能与对角矩阵相似,则称AA可对角化
    例子:
    A=[1122],P=[1121]A=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix},P=\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix} ,则有:
    P1AP=[3000]P^{-1}AP=\begin{bmatrix}3&0\\0&0\end{bmatrix}
    即:A[3000]A\backsim\begin{bmatrix}3&0\\0&0\end{bmatrix}
    从而AA可对角化

    3.2 可对角化的条件

    3.2.1 定理1:n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

    证明:
    必要性:
    如果A可对角化,则存在可逆矩阵P,使得:
    A=[λ10000λ200000λn]A=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&0&\dots&0\\0&\lambda_2&0&\dots&0\\\vdots&\dots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}

    将P按列分块得到P=[X1,X2,...,Xn]P=[X_1,X_2,...,X_n],从而有:

    AP=A[X1,X2,...,Xn]=P[λ1000λ2000λn]=[X1,X2,...,Xn][λ1000λ2000λn]AP=A[X_1,X_2,...,X_n]=P\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}=[X_1,X_2,...,X_n]\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\dots&0\\0&\lambda_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}
    因此有:
    AXi=λiXi(i=1,2,...,n)AX_i=\lambda_iX_i\quad(i=1,2,...,n),所以XiX_i是A的属于特征值λi\lambda_i的特征向量,又由P可逆,知X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n线性无关,故A有n个线性无关的特征向量。

    3.2.2 定理2:矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的
    3.2.3 推论1:若n阶矩阵有n个互不相同的特征值λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n,则A可对角化,且:

    在这里插入图片描述

    3.2.4 定理三

    在这里插入图片描述

    https://wenku.baidu.com/view/58dcd9d376eeaeaad1f33024.html

    3.3 对角矩阵的性质

    3.3.1 对角矩阵的秩等于其对角线上非零元素的个数。

    四、可逆矩阵

    4.1 定义

    设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得:
    AB=BA=IAB=BA=I
    则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵,记为A1=BA^{-1}=B

    单位矩阵I:
    I1=II^{-1}=I
    (kI)1=1kI,(k0)(kI)^{-1}={1\over k}I,(k\ne0)

    对角矩阵:

    D=[d1000d2000dn],(d1,d2,...dn0);D1=[1d10001d20001dn]\begin{bmatrix}d_1&0&\dots&0\\0&d_2&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&d_n\end{bmatrix},(d_1,d_2,...d_n\ne0);\quad D^{-1}=\begin{bmatrix}{1\over d_1}&0&\dots&0\\0&{1\over d_2}&\dots&0\\\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&{1\over d_n}\end{bmatrix}

    4.2 定理

    4.2.1 定理1:设A可逆,则它的逆是唯一的

    证明:
    设有B和C满足:AB=BA=I,AC=CA=I
    则:B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

    4.2.2 定理2:设A为n阶矩阵,则下列命题等价:
    1. A是可逆的
    2. AX=0只有零解
      12AXAX=01\to2:设A是可逆的,且X是AX=0的解,则:
      X=IX=(A1A)X=A1(AX)=A10=0X=IX=(A^{-1}A)X=A^{-1}(AX)=A^{-1}0=0
      所以,AX=0只有零解
    3. A与I行等价
      23AB2\to3:A经过初等行变换到B(行阶梯矩阵)
      BX=0BBBX=0BX=0只有零解,B的对角元均非零,否则B的最后一行的元全为零,则BX=0有非零解(矛盾)
      B=I则,B经初等行变换后得到的行最简化矩阵=I
    4. A可表为有限个初等矩阵的乘积
      343AIE1,E2,...Ek使Ek,...E1A=I3\to4:由3,可得A可经初等行变换得到I,所以存在初等矩阵E_1,E_2,...E_k,使得E_k,...E_1A=I
      A=E11....Ek1I=E11...Ek1A=E_1^{-1}....E_k^{-1}I=E_1^{-1}...E_k^{-1}
    4.2.3 推论:设A为n阶矩阵,则AX=b有唯一解的充要条件是A可逆

    证明:
    充分性:
    AX=bX=A1bAX=b有唯一解:X=A^{-1}b
    必要性:
    AX=bXA设AX=b有唯一解X,但A不可逆
    AAX=0ZA不可逆\rArr AX=0有非零解Z
    Y=X+Z令Y=X+Z
    AY=A(X+Z)=AX+AZ=b+0=bAY=A(X+Z)=AX+AZ=b+0=b
    YAX=b则Y为AX=b的解,矛盾
    所以可得A可逆

    4.3 性质

    设A,B皆为n阶可逆矩阵,数λ0\lambda\ne0,则:

    1. A1A^{-1}可逆,且(A1)1=A(A^{-1})^{-1}=A
    2. λA\lambda A可逆,且(λA)1=1λA1(\lambda A)^{-1}={1\over\lambda}A^{-1}
    3. ABAB可逆,且(AB)1=B1A1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
      (AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AA1=I(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I
    4. ATA^T可逆,且(AT)1=(A1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
      AT(A1)T=(A1A)T=IA^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I
    5. 逆矩阵行列式和原矩阵行列式的关系
      在这里插入图片描述

    https://wenku.baidu.com/view/84eda27b27284b73f24250ce.html?sxts=1591611918853

    五、过渡矩阵

    过渡矩阵是基与基之间的一个可逆线性变换,在一个空间V下可能存在不同的基。假设有两组基分别为A,B。由基A到基B可以表示为B=AP,过渡矩阵P=A1BP=A^{-1}B,它表示的是基与基之间的关系。

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    已知矩阵A 相似于矩阵B,借助初等变换的方法,可以构造性的获得演化矩阵P。即找到具体的可逆矩阵P,使B = P^(-1)AP,由B =P^(-1)AP,可得AP =PB,将P 的元素设为未知量,由矩阵的乘法及两矩阵相等可得一齐次线性方程组,由方程组的一个非零解即可得到一个要求的演化矩阵P。
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空空如也

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初等变换法求相似矩阵