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线性代数学习笔记——第十一讲——逆矩阵的计算(利用初等变换求逆矩阵)
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2. 逆矩阵的计算示例 (行变换)
3. 逆矩阵的计算示例 (列变换)
4. 利用初等变换求逆矩阵
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如何通过初等行(列)变换求矩阵的单位矩阵(同时还能求逆)?
2020-04-29 17:59:49今天看线性代数,做了几道关于利用初等行变换求逆矩阵的题,自己还没学到变换的技巧,查了一下,找了好久才找到技巧。(网上大部分基本都是教你概念的。。。)记录一下方便以后自己回头看。 这里分享一下 方法1 利用...今天看线性代数,做了几道关于利用初等行变换求逆矩阵的题,自己还没学到变换的技巧,查了一下,找了好久才找到技巧。(网上大部分基本都是教你概念的。。。)记录一下方便以后自己回头看。
这里分享一下方法1 利用定义(适合简单的小型矩阵)
粗暴!这个没什么好说。
AB=I,则B是A的逆矩阵。然后假设出B的每一个元素,如
a b
c d ,…
最后利用矩阵乘法,解方程。。。。。方法2 伴随矩阵(适合理论推导)
线性代数的书讲的很清楚,伴随矩阵计算量很大,适合理论推导。。
初等行(列)变换
概念我们就不说,
假设现在要对A求逆矩阵,我们做题的难点就在于我们如何把A化为单位矩阵?
(对A进行初等行变换化为单位阵的同时,单位阵进行相同的初等变换就变为了A的逆矩阵。)
技巧来了:
首先用初等变换,化为行阶梯形,再化为标准型。过程如下:
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使用初等变换,首先将第一行的第一个元素化为1
(单位矩阵第一个元素1,利用这个1可以将同列任意一个元素变0)。 -
下面每行减去第一行乘以该行第一个元素的某倍数,从而把第一列除第一个元素外的全部元素都化为0
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最后把矩阵化为上三角矩阵;类似地,从最后一行开始,逐行把上三角矩阵化为单位矩阵。
不需要对调第i行与第j行,只用另外两种初等行变换就能做到!当然有时候利用对调更快。
在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的1,这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵,从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1。除此以外全都为0。
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