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  • 2021-07-16 17:19:07

    矩阵初等变换的计算细节:

    1. 随便选一行消元,叫做目标行。一般把目标行放到最下面,即运用第一种初等行变换—交换。
    2. 先用第二种初等行变换,即数乘化简。
    3. 再用第三种初等行变换,即倍加消,消不掉以后换一行消。
    能不能消的判断方法:
    • 目标行 没0肯定可以被消
    • 目标行 有0,只能和剩下的、有0列相同的行消,没有就不能消,要换目标行。简称:有0只能被0消
    行最简形:

    化成阶梯形矩阵以后,再把每行第一个非0元素化成1,每行第一个非0元素所在列其他元素化为0,即可得到行最简形矩阵。

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    1. 将矩阵A变换为单位矩阵的同时,经过同等变换的单位矩阵将变换为矩阵A的逆矩阵

     

     2. 逆矩阵的计算示例 (行变换)

    3. 逆矩阵的计算示例 (列变换)

     

    4. 利用初等变换求逆矩阵

     

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    今天看线性代数,做了几道关于利用初等行变换求逆矩阵的题,自己还没学到变换的技巧,查了一下,找了好久才找到技巧。(网上大部分基本都是教你概念的。。。)记录一下方便以后自己回头看。
    这里分享一下

    方法1 利用定义(适合简单的小型矩阵)

    粗暴!这个没什么好说。
    AB=I,则B是A的逆矩阵。然后假设出B的每一个元素,如
    a b
    c d ,…
    最后利用矩阵乘法,解方程。。。。。

    方法2 伴随矩阵(适合理论推导)

    线性代数的书讲的很清楚,伴随矩阵计算量很大,适合理论推导。。

    初等行(列)变换

    概念我们就不说,假设现在要对A求逆矩阵,我们做题的难点就在于我们如何把A化为单位矩阵?(对A进行初等行变换化为单位阵的同时,单位阵进行相同的初等变换就变为了A的逆矩阵。)
    技巧来了:
    首先用初等变换,化为行阶梯形,再化为标准型

    过程如下:

    1. 使用初等变换,首先将第一行的第一个元素化为1(单位矩阵第一个元素1,利用这个1可以将同列任意一个元素变0)。

    2. 下面每行减去第一行乘以该行第一个元素的某倍数,从而把第一列除第一个元素外的全部元素都化为0

    3. 最后把矩阵化为上三角矩阵;类似地,从最后一行开始,逐行把上三角矩阵化为单位矩阵。

    不需要对调第i行与第j行,只用另外两种初等行变换就能做到!当然有时候利用对调更快。

    在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的1,这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵,从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1。除此以外全都为0。

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    当然也可以用行列式因子法求解

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初等变换法求矩阵的步骤