线性方程组是线性代数学课的考虑范畴，会使用matlab解决，可以效率更快。matlab种逆矩阵是左除和右除。初等变换法就是一个rref函数
 
逆矩阵
 
两种格式熟记即可
 
X=A\B % 表示求解矩阵方程AX=B的解
X=B/A % 表示求解矩阵方程XA=B的解
 
例子：求解下列线性方程组
 
 
 
x1+2x2+3x3=2
 x1+3x2+5x3=4
 x1+3x2+6x3=5
 
 
>> A=[1 2 3;1 3 5;1 3 6];
>> B=[2 4 5]';
>> X=A\B

X =

    -1
     0
     1

>> 
 
初等变换法
 
总所周知初等变换法就是用来求解齐次线性方程组的
 格式
 
rref(A) % A是系数矩阵
 
例子：求解下列线性方程组
 
 
 
x1-8x2+10x3+2x4=0
 2x1+4x2+5x3-x4=0
 3x1+8x2+6x3-2x4=0
 
 
>> A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2];
>> rref(A)

ans =

    1.0000         0    4.0000         0
         0    1.0000   -0.7500   -0.2500
         0         0         0         0

>> 

 
 
本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质；然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无限多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法。——线性代数同济版
 
 
  本章主要介绍了矩阵的初等变换的概念及应用与线性方程组的解法。
 


 
目录
 
7.在秩是$r$的矩阵中，有没有等于$0$的$r-1$阶子式？有没有等于$0$的$r$阶子式？
8.从矩阵$\mathbf{A}$中划去一行得到矩阵$\mathbf{B}$，问$\mathbf{A},\mathbf{B}$的秩的关系怎样？
15.写出一个以$$\mathbf{x}=c_1\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$为通解的齐次线性方程组。
16.设有线性方程组$$\left(\begin{array}{ccc}1& \lambda -1& -2\\ 0& \lambda -2& \lambda +1\\ 0& 0& 2\lambda +1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$$问$\lambda$为何值时（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解。
17.$\lambda$取何值时，非齐次线性方程组$$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=1,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda ,\\ x_1+x_2+\lambda x_3={\lambda }^2\end{array}$$（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解。
  
写在最后

 
7.在秩是$r$的矩阵中，有没有等于$0$的$r-1$阶子式？有没有等于$0$的$r$阶子式？
 
解  在秩是$r$的矩阵中等于$0$的$r-1$阶子式可能有，也可能没有；等于$0$的$r$阶子式可能有，也可能没有。例如：
   （i）矩阵$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$的秩为$2$，有等于$0$的$1$阶子式（简称$1$阶零子式，下同），但没有$2$阶零子式；
   （ii）矩阵$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$的秩为$2$，没有$1$阶零子式，也没有$2$阶零子式；
   （iii）矩阵$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$的秩为$2$，有$1$阶零子式，也有$2$阶零子式；
   （iv）矩阵$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$的秩为$2$，没有$1$阶零子式，但有$2$阶零子式；（这道题主要利用了反例的方法说明）
 
8.从矩阵$\mathbf{A}$中划去一行得到矩阵$\mathbf{B}$，问$\mathbf{A},\mathbf{B}$的秩的关系怎样？
 
解  由矩阵秩的性质，有
 $$R(\mathbf{A})-1⩽R(\mathbf{B})⩽R(\mathbf{A}).$$
 （这道题主要利用了矩阵秩的性质证明）
 
15.写出一个以$$\mathbf{x}=c_1\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$为通解的齐次线性方程组。
 
解  把上式改写为
 $$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2c_1-2c_2\\ -3c_1+4c_2\\ c_1\\ c_2\end{array}\right)\underset{c_2=x_4\text{代入}}{\stackrel{\text{以}{c}_1=x_3、}{=}}\left(\begin{array}{c}2x_3-2x_4\\ -3x_3+4x_4\\ x_3\\ x_4\end{array}\right).$$
   由此知所求方程组有两个自由未知数$x_3,x_4$，且对应的方程组为
 $$\{\begin{array}{l}{x}_1=2x_3-2x_4,\\ x_2=-3x_3+4x_4,\end{array}\text{即}\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_3+2x_4=0,\\ x_2+3x_3-4x_4=0.\end{array}$$
 （这道题主要利用了矩阵的运算求解）
 
16.设有线性方程组$$\left(\begin{array}{ccc}1& \lambda -1& -2\\ 0& \lambda -2& \lambda +1\\ 0& 0& 2\lambda +1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$$问$\lambda$为何值时（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解。
 
解  记此方程组为$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，那么当$\lambda \ne 2$且$\lambda \ne \frac{1}{2}$时$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{b})=3$，有唯一解；当$\lambda =-\frac{1}{2}$时，$R(\mathbf{A})=2$，而$R(\mathbf{A},\mathbf{b})=3$，故方程组无解；当$\lambda =2$时，
 $$(\mathbf{A},\mathbf{b})=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -2& 1\\ 0& 0& 3& 3\\ 0& 0& 5& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 3\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
   $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{b})=2<3$，故方程组有无限多解，且同解方程组为
 $$\{\begin{array}{l}{x}_1=-x_2+3,\\ x_3=1,\end{array}\text{得通解}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=c\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)(c\in \mathbb{R}).$$
 （这道题主要利用了线性方程组判定条件求解）
 
17.$\lambda$取何值时，非齐次线性方程组$$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=1,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda ,\\ x_1+x_2+\lambda x_3={\lambda }^2\end{array}$$（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解。
 
解  系数矩阵$\mathbf{A}$的行列式为
 $$\begin{array}{rl}|\mathbf{A}|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|\underset{r_1÷(\lambda +2)}{\stackrel{r_1+r_2+r_3}{=}}(\lambda +2)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|\\ & \underset{r_3-r_1}{\stackrel{r_2-r_1}{=}}(\lambda +2)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0\\ 0& 0& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2(\lambda +2)\end{array}$$
   当$|\mathbf{A}|\ne 0$时，即当$\lambda \ne 1,\lambda \ne -2$时，$R(\mathbf{A})=3$，方程组有唯一解；
   当$\lambda =1$时，增广矩阵成为
 $$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
   可见，$R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})=1<3$，于是方程组有无限多解。因同解方程为$x_1=-x_2-x_3+1$，故通解为
 $$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=c_1\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)(c_1,c_2\in \mathbb{R}).$$
   当$\lambda =-2$时，
 $$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& 1& 1\\ 1& -2& 1& -2\\ 1& 1& -2& 4\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 1& -2& 4\\ 0& -3& 3& -6\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right).$$
   可见$R(\mathbf{A})=2,R(\mathbf{B})=3,R(\mathbf{A})\ne R(\mathbf{B})$，于是方程组无解。（这道题主要利用了增广矩阵的方法求解）
 
写在最后
 
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如下：
 
 
 
 
 

知识点
 
  初等变换、阶梯矩阵、最简矩阵、初等矩阵、矩阵求逆之初等变换法、矩阵的秩、线性方程组的解：一个/无穷个、齐次线性方程组的零解和非零解、线性方程组的求解方法（齐次、非齐次）。
 
笔记