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  • 线性方程组是线性代数学课的考虑范畴,会使用matlab解决,可以效率更快。matlab种逆矩阵是左除和右除。初等变换法就是一个rref函数

    线性方程组是线性代数学课的考虑范畴,会使用matlab解决,可以效率更快。matlab种逆矩阵是左除和右除。初等变换法就是一个rref函数

    逆矩阵

    两种格式熟记即可

    X=A\B % 表示求解矩阵方程AX=B的解
    X=B/A % 表示求解矩阵方程XA=B的解
    

    例子:求解下列线性方程组

    x1+2x2+3x3=2
    x1+3x2+5x3=4
    x1+3x2+6x3=5

    >> A=[1 2 3;1 3 5;1 3 6];
    >> B=[2 4 5]';
    >> X=A\B
    
    X =
    
        -1
         0
         1
    
    >> 
    

    初等变换法

    总所周知初等变换法就是用来求解齐次线性方程组的
    格式

    rref(A) % A是系数矩阵
    

    例子:求解下列线性方程组

    x1-8x2+10x3+2x4=0
    2x1+4x2+5x3-x4=0
    3x1+8x2+6x3-2x4=0

    >> A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2];
    >> rref(A)
    
    ans =
    
        1.0000         0    4.0000         0
             0    1.0000   -0.7500   -0.2500
             0         0         0         0
    
    >> 
    
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  • 线性代数同济版 第三章 矩阵初等变换与线性方程组 易错题和总结

    本章先引进矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念,并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质;然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无限多解的充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方程组的方法。——线性代数同济版

      本章主要介绍了矩阵的初等变换的概念及应用与线性方程组的解法。

    7.在秩是 r r r的矩阵中,有没有等于 0 0 0 r − 1 r-1 r1阶子式?有没有等于 0 0 0 r r r阶子式?

      在秩是 r r r的矩阵中等于 0 0 0 r − 1 r-1 r1阶子式可能有,也可能没有;等于 0 0 0 r r r阶子式可能有,也可能没有。例如:
      (i)矩阵 ( 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} (1001)的秩为 2 2 2,有等于 0 0 0 1 1 1阶子式(简称 1 1 1阶零子式,下同),但没有 2 2 2阶零子式;
      (ii)矩阵 ( 1 2 3 4 ) \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} (1324)的秩为 2 2 2,没有 1 1 1阶零子式,也没有 2 2 2阶零子式;
      (iii)矩阵 ( 1 0 0 0 1 1 ) \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix} (100101)的秩为 2 2 2,有 1 1 1阶零子式,也有 2 2 2阶零子式;
      (iv)矩阵 ( 1 1 1 1 1 2 ) \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&2\end{pmatrix} (111112)的秩为 2 2 2,没有 1 1 1阶零子式,但有 2 2 2阶零子式;(这道题主要利用了反例的方法说明

    8.从矩阵 A \bm{A} A中划去一行得到矩阵 B \bm{B} B,问 A , B \bm{A},\bm{B} A,B的秩的关系怎样?

      由矩阵秩的性质,有
    R ( A ) − 1 ⩽ R ( B ) ⩽ R ( A ) . R(\bm{A})-1\leqslant R(\bm{B})\leqslant R(\bm{A}). R(A)1R(B)R(A).
    这道题主要利用了矩阵秩的性质证明

    15.写出一个以 x = c 1 ( 2 − 3 1 0 ) + c 2 ( − 2 4 0 1 ) \bm{x}=c_1\begin{pmatrix}2\\-3\\1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}-2\\4\\0\\1\end{pmatrix} x=c12310+c22401为通解的齐次线性方程组。

      把上式改写为
    ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = ( 2 c 1 − 2 c 2 − 3 c 1 + 4 c 2 c 1 c 2 ) = 以 c 1 = x 3 、 c 2 = x 4 代入 ( 2 x 3 − 2 x 4 − 3 x 3 + 4 x 4 x 3 x 4 ) . \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2c_1-2c_2\\-3c_1+4c_2\\c_1\\c_2\end{pmatrix}\underset{c_2=x_4\text{代入}}{\xlongequal{\text{以}c_1=x_3、}}\begin{pmatrix}2x_3-2x_4\\-3x_3+4x_4\\x_3\\x_4\end{pmatrix}. x1x2x3x4=2c12c23c1+4c2c1c2c2=x4代入c1=x3 2x32x43x3+4x4x3x4.
      由此知所求方程组有两个自由未知数 x 3 , x 4 x_3,x_4 x3,x4,且对应的方程组为
    { x 1 = 2 x 3 − 2 x 4 , x 2 = − 3 x 3 + 4 x 4 , 即 { x 1 − 2 x 3 + 2 x 4 = 0 , x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 = 0. \begin{cases}x_1=2x_3-2x_4,\\x_2=-3x_3+4x_4,\end{cases}\qquad\text{即}\begin{cases}x_1-2x_3+2x_4=0,\\x_2+3x_3-4x_4=0.\end{cases} {x1=2x32x4,x2=3x3+4x4,{x12x3+2x4=0,x2+3x34x4=0.
    这道题主要利用了矩阵的运算求解

    16.设有线性方程组 ( 1 λ − 1 − 2 0 λ − 2 λ + 1 0 0 2 λ + 1 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 1 3 5 ) \begin{pmatrix}1&\lambda-1&-2\\0&\lambda-2&\lambda+1\\0&0&2\lambda+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix} 100λ1λ202λ+12λ+1x1x2x3=135 λ \lambda λ为何值时(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无限多解?并在有无限多解时求其通解。

      记此方程组为 A x = b \bm{Ax}=\bm{b} Ax=b,那么当 λ ≠ 2 \lambda\ne2 λ=2 λ ≠ 1 2 \lambda\ne\cfrac{1}{2} λ=21 R ( A ) = R ( A , b ) = 3 R(\bm{A})=R(\bm{A},\bm{b})=3 R(A)=R(A,b)=3,有唯一解;当 λ = − 1 2 \lambda=-\cfrac{1}{2} λ=21时, R ( A ) = 2 R(\bm{A})=2 R(A)=2,而 R ( A , b ) = 3 R(\bm{A},\bm{b})=3 R(A,b)=3,故方程组无解;当 λ = 2 \lambda=2 λ=2时,
    ( A , b ) = ( 1 1 − 2 1 0 0 3 3 0 0 5 5 ) ∼ ( 1 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 ) . (\bm{A},\bm{b})=\begin{pmatrix}1&1&-2&1\\0&0&3&3\\0&0&5&5\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&0&3\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}. (A,b)=100100235135100100010310.
       R ( A ) = R ( A , b ) = 2 < 3 R(\bm{A})=R(\bm{A},\bm{b})=2<3 R(A)=R(A,b)=2<3,故方程组有无限多解,且同解方程组为
    { x 1 = − x 2 + 3 , x 3 = 1 , 得通解 ( x 1 x 2 x 3 ) = c ( − 1 1 0 ) + ( 3 0 1 ) ( c ∈ R ) . \begin{cases}x_1=-x_2+3,\\x_3=1,\end{cases}\quad\text{得通解}\quad\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}\quad(c\in\R). {x1=x2+3,x3=1,得通解x1x2x3=c110+301(cR).
    这道题主要利用了线性方程组判定条件求解

    17. λ \lambda λ取何值时,非齐次线性方程组 { λ x 1 + x 2 + x 3 = 1 , x 1 + λ x 2 + x 3 = λ , x 1 + x 2 + λ x 3 = λ 2 \begin{cases}\lambda x_1+x_2+x_3=1,\\x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda,\\x_1+x_2+\lambda x_3=\lambda^2\end{cases} λx1+x2+x3=1,x1+λx2+x3=λ,x1+x2+λx3=λ2(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无限多解?并在有无限多解时求其通解。

      系数矩阵 A \bm{A} A的行列式为
    ∣ A ∣ = ∣ λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ ∣ = r 1 + r 2 + r 3 r 1 ÷ ( λ + 2 ) ( λ + 2 ) ∣ 1 1 1 1 λ 1 1 1 λ ∣ = r 2 − r 1 r 3 − r 1 ( λ + 2 ) ∣ 1 1 1 0 λ − 1 0 0 0 λ − 1 ∣ = ( λ − 1 ) 2 ( λ + 2 ) \begin{aligned} |\bm{A}|&=\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{vmatrix}\underset{r_1\div(\lambda+2)}{\xlongequal{r_1+r_2+r_3}}(\lambda+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&\lambda&1\\1&1&\lambda\end{vmatrix}\\ &\underset{r_3-r_1}{\xlongequal{r_2-r_1}}(\lambda+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2(\lambda+2) \end{aligned} A=λ111λ111λr1÷(λ+2)r1+r2+r3 (λ+2)1111λ111λr3r1r2r1 (λ+2)1001λ1010λ1=(λ1)2(λ+2)
      当 ∣ A ∣ ≠ 0 |\bm{A}|\ne0 A=0时,即当 λ ≠ 1 , λ ≠ − 2 \lambda\ne1,\lambda\ne-2 λ=1,λ=2时, R ( A ) = 3 R(\bm{A})=3 R(A)=3,方程组有唯一解;
      当 λ = 1 \lambda=1 λ=1时,增广矩阵成为
    B = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ∼ ( 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) . \bm{B}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}. B=111111111111100100100100.
      可见, R ( A ) = R ( B ) = 1 < 3 R(\bm{A})=R(\bm{B})=1<3 R(A)=R(B)=1<3,于是方程组有无限多解。因同解方程为 x 1 = − x 2 − x 3 + 1 x_1=-x_2-x_3+1 x1=x2x3+1,故通解为
    ( x 1 x 2 x 3 ) = c 1 ( − 1 1 0 ) + c 2 ( − 1 0 1 ) + ( 1 0 0 ) ( c 1 , c 2 ∈ R ) . \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\quad(c_1,c_2\in\R). x1x2x3=c1110+c2101+100(c1,c2R).
      当 λ = − 2 \lambda=-2 λ=2时,
    B = ( − 2 1 1 1 1 − 2 1 − 2 1 1 − 2 4 ) ∼ ( 1 1 − 2 4 0 − 3 3 − 6 0 0 0 3 ) . \bm{B}=\begin{pmatrix}-2&1&1&1\\1&-2&1&-2\\1&1&-2&4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&-2&4\\0&-3&3&-6\\0&0&0&3\end{pmatrix}. B=211121112124100130230463.
      可见 R ( A ) = 2 , R ( B ) = 3 , R ( A ) ≠ R ( B ) R(\bm{A})=2,R(\bm{B})=3,R(\bm{A})\ne R(\bm{B}) R(A)=2,R(B)=3,R(A)=R(B),于是方程组无解。(这道题主要利用了增广矩阵的方法求解

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  • 矩阵初等变换与线性方程求解

    千次阅读 2019-07-06 21:33:29
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    知识点

      初等变换、阶梯矩阵、最简矩阵、初等矩阵、矩阵求逆之初等变换法、矩阵的秩、线性方程组的解:一个/无穷个、齐次线性方程组的零解和非零解、线性方程组的求解方法(齐次、非齐次)。

    笔记

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空空如也

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初等变换法求解矩阵方程