线性方程组是线性代数学课的考虑范畴，会使用matlab解决，可以效率更快。matlab种逆矩阵是左除和右除。初等变换法就是一个rref函数
逆矩阵
两种格式熟记即可
X=A\B % 表示求解矩阵方程AX=B的解
X=B/A % 表示求解矩阵方程XA=B的解

例子：求解下列线性方程组

x1+2x2+3x3=2

x1+3x2+5x3=4

x1+3x2+6x3=5

>> A=[1 2 3;1 3 5;1 3 6];
>> B=[2 4 5]';
>> X=A\B

X =

    -1
     0
     1

>> 

初等变换法
总所周知初等变换法就是用来求解齐次线性方程组的

格式
rref(A) % A是系数矩阵

例子：求解下列线性方程组

x1-8x2+10x3+2x4=0

2x1+4x2+5x3-x4=0

3x1+8x2+6x3-2x4=0

>> A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2];
>> rref(A)

ans =

    1.0000         0    4.0000         0
         0    1.0000   -0.7500   -0.2500
         0         0         0         0

>> 

知识点
  初等变换、阶梯矩阵、最简矩阵、初等矩阵、矩阵求逆之初等变换法、矩阵的秩、线性方程组的解：一个/无穷个、齐次线性方程组的零解和非零解、线性方程组的求解方法（齐次、非齐次）。
笔记

别说了，先附上代码


#include <iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
void print(double **a,int n)
{
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(j=0;j<n+1;j++)
        {
            printf("%.4lf ",a[i][j]);
        }
        cout<<endl;
    }

}
void shunxu_G_S(double **a,int n)
{
    /*先做消去*/
    int k,i,j;
    int c[n];
    for(k=0;k<n-1;k++)
    {
        for (i = k + 1; i < n; i++)
            c[i] = a[i][k] / a[k][k];

        for(i=k+1;i<n;i++)
        {
            for(j=0;j<n+1;j++)
            {
                a[i][j]=a[i][j]-c[i]*a[k][j];
            }
        }
        print(a,n);
        cout<<endl;
    }
    /*在做回代*/
    double x[n];
    x[n-1]=a[n-1][n]/a[n-1][n-1];
    for (i = n - 2; i >= 0; i--)
    {
        double sum = 0;
        for (j = i + 1; j < n; j++)
        {
            sum += a[i][j] * x[j];
        }
        x[i] = (a[i][n] - sum) / a[i][i];
    }
    cout<<"方程组的解为"<<endl;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        printf("%.4lf ",x[i]);
    }


}

int main()
{
     double **a;
    int n;
    cout << "输入系数矩阵的阶数n:" << endl;
    cin >> n;
    cout << "依次输入增广矩阵的每一个元素A[i][j]:" << endl;
    a = new double *[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        a[i] = new double[n+1];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n+1; j++)
            {cin >> a[i][j];}
    cout<<"中间过程的矩阵初等行变化: "<<endl;
    shunxu_G_S(a,n);


    return 0;



运行结果如下：

1、二阶与三阶行列式

有如下二元一次方程组



为消去未知数X2，以a22、a12分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得：



类似的消去X1可得：



当a11*a22-a12 *a21 ！= 0时，方程组的解：



（2）式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得，其中分母a11*a22-a12 *a21

是由方程组（1)的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组（1)中的位置，排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表，称为二阶行列式，并记作：



 数aij称为行列式的元素。

设有9个数排成3行3列的数表：



对应的行列式：



上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循下图所示的对角线法则：图中有三条实线看做是平行于主对角线的联线，三条虚线看做是平行于副对角线的联线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积过负号．



三阶行列式可以写成：



因此可以把行列式推广到更一般的形式，假设有n^2个数，排成n行n列,其行列式为：



 称为n阶行列式。

2、代数余子式

在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i，j）元aij的余子式，记作Mij：



Aij叫做（i，j）元aij的代数余子式。

例如四阶行列式：



其中（3，2）元a32的余子式和代数余子式分别是：



3、矩阵

由mxn个数aij排列成的m行n列数表：



称为m行n列矩阵，简称mxn矩阵，为表示整体通常加括号：



这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的A的(i，j）元。 m×n的矩阵A，也记做Amxn。

行数与列数都等于n的阵称为n阶矩阵或阶方阵．n阶矩阵A也记作An



叫做n阶单位矩阵，简称单位阵．这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线）上的元素都是1，其他元素都是0。

4、矩阵运算

（1）矩阵加法

设有两个m×n矩阵A=（aij）和B=（aij），那么矩阵A与B的和，记作A+B．规定为：



应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

（2）数和矩阵相乘



（3）矩阵相乘



设A=（aij）是一个m×s矩阵，B=（bj）是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C =（cij）,其中：



并把此乘积记作： C=AB

5、转置矩阵、伴随矩阵

（1）把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT.例如矩阵



转置后：



（2）行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij构成如下矩阵：



称为矩阵A的伴随矩阵，并且：AA*=A*A=|A|E

6、逆矩阵

对于n阶矩阵A·如果有一个n阶矩阵B．使 AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的．并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。

A的逆阵记作A-1．即若AB=BA=E，则B=A-1

若|A| ！= 0，则矩阵A可逆，且：A-1 =( 1/(|A|))A*   其中A*为矩阵A的伴随阵．

7、矩阵初等变换

矩阵的三种初等变换：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

(i)对调两行（对调i.j两行·记作ri—rj);

(ii)以k != 0乘某一行中的所有元素（第i行乘记作ri x k）

(iii)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj)

把定义中的“行”换成“列”即得矩阵的初等列变换的定义，初等行变换和初等列变换统称初等变换

如果A经过一系列的初等行变换变成B，则有可逆矩阵P，使PA=B，那么如何求P？推理过程如图：

 

因此，如果对矩阵（A ，E）做初等行变换，那么等把A变换成B时，E就是P，于是就可以得到所求的可逆矩阵P。

利用此方法求逆矩阵：



 首先利用初等变换把（A，E）变化成（F，P），其中F为A的行最简形，如果F=E，则A可逆，并由PA=E可知P=A-1，运算如下：





因为A~E，所以A可逆，且逆矩阵是：