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  • 线性方程组是线性代数学课的考虑范畴,会使用matlab解决,可以效率更快。matlab种逆矩阵是左除和右除。初等变换法就是一个rref函数

    线性方程组是线性代数学课的考虑范畴,会使用matlab解决,可以效率更快。matlab种逆矩阵是左除和右除。初等变换法就是一个rref函数

    逆矩阵

    两种格式熟记即可

    X=A\B % 表示求解矩阵方程AX=B的解
    X=B/A % 表示求解矩阵方程XA=B的解
    

    例子:求解下列线性方程组

    x1+2x2+3x3=2
    x1+3x2+5x3=4
    x1+3x2+6x3=5

    >> A=[1 2 3;1 3 5;1 3 6];
    >> B=[2 4 5]';
    >> X=A\B
    
    X =
    
        -1
         0
         1
    
    >> 
    

    初等变换法

    总所周知初等变换法就是用来求解齐次线性方程组的
    格式

    rref(A) % A是系数矩阵
    

    例子:求解下列线性方程组

    x1-8x2+10x3+2x4=0
    2x1+4x2+5x3-x4=0
    3x1+8x2+6x3-2x4=0

    >> A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2];
    >> rref(A)
    
    ans =
    
        1.0000         0    4.0000         0
             0    1.0000   -0.7500   -0.2500
             0         0         0         0
    
    >> 
    
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  • 矩阵初等变换与线性方程求解

    千次阅读 2019-07-06 21:33:29
      初等变换、阶梯矩阵、最简矩阵、初等矩阵矩阵求逆之初等变换法矩阵的秩、线性方程组的解:一个/无穷个、齐次线性方程组的零解和非零解、线性方程组的求解方法(齐次、非齐次)。 笔记 ...

    知识点

      初等变换、阶梯矩阵、最简矩阵、初等矩阵、矩阵求逆之初等变换法、矩阵的秩、线性方程组的解:一个/无穷个、齐次线性方程组的零解和非零解、线性方程组的求解方法(齐次、非齐次)。

    笔记

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  • 别说了,先附上代码 #include #include using namespace std; void print(double **a,int n) { int i,j; for(i=0;...} cout中间过程的矩阵初等行变化: "; shunxu_G_S(a,n); return 0; 运行结果如下:

    别说了,先附上代码

    
    
    #include <iostream>
    #include<stdio.h>
    using namespace std;
    void print(double **a,int n)
    {
        int i,j;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            for(j=0;j<n+1;j++)
            {
                printf("%.4lf ",a[i][j]);
            }
            cout<<endl;
        }
    
    }
    void shunxu_G_S(double **a,int n)
    {
        /*先做消去*/
        int k,i,j;
        int c[n];
        for(k=0;k<n-1;k++)
        {
            for (i = k + 1; i < n; i++)
                c[i] = a[i][k] / a[k][k];
    
            for(i=k+1;i<n;i++)
            {
                for(j=0;j<n+1;j++)
                {
                    a[i][j]=a[i][j]-c[i]*a[k][j];
                }
            }
            print(a,n);
            cout<<endl;
        }
        /*在做回代*/
        double x[n];
        x[n-1]=a[n-1][n]/a[n-1][n-1];
        for (i = n - 2; i >= 0; i--)
        {
            double sum = 0;
            for (j = i + 1; j < n; j++)
            {
                sum += a[i][j] * x[j];
            }
            x[i] = (a[i][n] - sum) / a[i][i];
        }
        cout<<"方程组的解为"<<endl;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            printf("%.4lf ",x[i]);
        }
    
    
    }
    
    int main()
    {
         double **a;
        int n;
        cout << "输入系数矩阵的阶数n:" << endl;
        cin >> n;
        cout << "依次输入增广矩阵的每一个元素A[i][j]:" << endl;
        a = new double *[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] = new double[n+1];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < n+1; j++)
                {cin >> a[i][j];}
        cout<<"中间过程的矩阵初等行变化: "<<endl;
        shunxu_G_S(a,n);
    
    
        return 0;
    
    
    

    运行结果如下:在这里插入图片描述

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  • 为消去未知数X2,以a22、a12分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减,得: 类似的消去X1可得: 当a11*a22-a12 *a21 != 0时,方程组的解: (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中...

    1、二阶与三阶行列式

    有如下二元一次方程组

    为消去未知数X2,以a22、a12分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减,得:

    类似的消去X1可得:

    当a11*a22-a12 *a21 != 0时,方程组的解:

    (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中分母a11*a22-a12 *a21

    是由方程组(1)的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组(1)中的位置,排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表,称为二阶行列式,并记作:

     数aij称为行列式的元素。

    设有9个数排成3行3列的数表:

    对应的行列式:

    上述定义表明三阶行列式含6项,每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号,其规律遵循下图所示的对角线法则:图中有三条实线看做是平行于主对角线的联线,三条虚线看做是平行于副对角线的联线,实线上三元素的乘积冠正号,虚线上三元素的乘积过负号.

    三阶行列式可以写成:

    因此可以把行列式推广到更一般的形式,假设有n^2个数,排成n行n列,其行列式为:

     称为n阶行列式。

    2、代数余子式

    在n阶行列式中,把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式,记作Mij:

    Aij叫做(i,j)元aij的代数余子式。

    例如四阶行列式:

    其中(3,2)元a32的余子式和代数余子式分别是:

    3、矩阵

    由mxn个数aij排列成的m行n列数表:

    称为m行n列矩阵,简称mxn矩阵,为表示整体通常加括号:

    这m×n个数称为矩阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵的第i行第j列,称为矩阵的A的(i,j)元。 m×n的矩阵A,也记做Amxn。

    行数与列数都等于n的阵称为n阶矩阵或阶方阵.n阶矩阵A也记作An

    叫做n阶单位矩阵,简称单位阵.这个方阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线)上的元素都是1,其他元素都是0。

    4、矩阵运算

    (1)矩阵加法

    设有两个m×n矩阵A=(aij)和B=(aij),那么矩阵A与B的和,记作A+B.规定为:

    应该注意,只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算。

    (2)数和矩阵相乘

    (3)矩阵相乘

    设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bj)是一个s×n矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C =(cij),其中:

    并把此乘积记作: C=AB

    5、转置矩阵、伴随矩阵

    (1)把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT.例如矩阵

    转置后:

    (2)行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij构成如下矩阵:

    称为矩阵A的伴随矩阵,并且:AA*=A*A=|A|E

    6、逆矩阵

    对于n阶矩阵A·如果有一个n阶矩阵B.使 AB=BA=E,则说矩阵A是可逆的.并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵。

    A的逆阵记作A-1.即若AB=BA=E,则B=A-1

    若|A| != 0,则矩阵A可逆,且:A-1 =( 1/(|A|))A*   其中A*为矩阵A的伴随阵.

    7、矩阵初等变换

    矩阵的三种初等变换:下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

    (i)对调两行(对调i.j两行·记作ri—rj);

    (ii)以k != 0乘某一行中的所有元素(第i行乘记作ri x k)

    (iii)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj)

    把定义中的“行”换成“列”即得矩阵的初等列变换的定义,初等行变换和初等列变换统称初等变换

    如果A经过一系列的初等行变换变成B,则有可逆矩阵P,使PA=B,那么如何求P?推理过程如图:

     

    因此,如果对矩阵(A ,E)做初等行变换,那么等把A变换成B时,E就是P,于是就可以得到所求的可逆矩阵P。

    利用此方法求逆矩阵:

     首先利用初等变换把(A,E)变化成(F,P),其中F为A的行最简形,如果F=E,则A可逆,并由PA=E可知P=A-1,运算如下:

    因为A~E,所以A可逆,且逆矩阵是:

     

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初等变换法求解矩阵方程