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matlab逆矩阵/初等变换法求解线性方程组
2020-07-14 09:03:20线性方程组是线性代数学课的考虑范畴,会使用matlab解决,可以效率更快。matlab种逆矩阵是左除和右除。初等变换法就是一个rref函数线性方程组是线性代数学课的考虑范畴,会使用matlab解决,可以效率更快。matlab种逆矩阵是左除和右除。初等变换法就是一个rref函数
逆矩阵
两种格式熟记即可
X=A\B % 表示求解矩阵方程AX=B的解 X=B/A % 表示求解矩阵方程XA=B的解
例子:求解下列线性方程组
x1+2x2+3x3=2
x1+3x2+5x3=4
x1+3x2+6x3=5>> A=[1 2 3;1 3 5;1 3 6]; >> B=[2 4 5]'; >> X=A\B X = -1 0 1 >>
初等变换法
总所周知初等变换法就是用来求解齐次线性方程组的
格式rref(A) % A是系数矩阵
例子:求解下列线性方程组
x1-8x2+10x3+2x4=0
2x1+4x2+5x3-x4=0
3x1+8x2+6x3-2x4=0>> A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2]; >> rref(A) ans = 1.0000 0 4.0000 0 0 1.0000 -0.7500 -0.2500 0 0 0 0 >>
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矩阵初等变换与线性方程组求解
2019-07-06 21:33:29初等变换、阶梯矩阵、最简矩阵、初等矩阵、矩阵求逆之初等变换法、矩阵的秩、线性方程组的解:一个/无穷个、齐次线性方程组的零解和非零解、线性方程组的求解方法(齐次、非齐次)。 笔记 ...展开全文 -
顺序高斯消去法求解线性方程组(附上中间过程矩阵初等行变换)
2020-03-08 16:46:29别说了,先附上代码 #include #include using namespace std; void print(double **a,int n) { int i,j; for(i=0;...} cout中间过程的矩阵初等行变化: "; shunxu_G_S(a,n); return 0; 运行结果如下:别说了,先附上代码
#include <iostream> #include<stdio.h> using namespace std; void print(double **a,int n) { int i,j; for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n+1;j++) { printf("%.4lf ",a[i][j]); } cout<<endl; } } void shunxu_G_S(double **a,int n) { /*先做消去*/ int k,i,j; int c[n]; for(k=0;k<n-1;k++) { for (i = k + 1; i < n; i++) c[i] = a[i][k] / a[k][k]; for(i=k+1;i<n;i++) { for(j=0;j<n+1;j++) { a[i][j]=a[i][j]-c[i]*a[k][j]; } } print(a,n); cout<<endl; } /*在做回代*/ double x[n]; x[n-1]=a[n-1][n]/a[n-1][n-1]; for (i = n - 2; i >= 0; i--) { double sum = 0; for (j = i + 1; j < n; j++) { sum += a[i][j] * x[j]; } x[i] = (a[i][n] - sum) / a[i][i]; } cout<<"方程组的解为"<<endl; for(i=0;i<n;i++) { printf("%.4lf ",x[i]); } } int main() { double **a; int n; cout << "输入系数矩阵的阶数n:" << endl; cin >> n; cout << "依次输入增广矩阵的每一个元素A[i][j]:" << endl; a = new double *[n]; for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = new double[n+1]; for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n+1; j++) {cin >> a[i][j];} cout<<"中间过程的矩阵初等行变化: "<<endl; shunxu_G_S(a,n); return 0;
运行结果如下:
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行列式和矩阵:求解逆矩阵的伴随矩阵法和初等变换法。
2020-04-25 14:33:49为消去未知数X2,以a22、a12分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减,得: 类似的消去X1可得: 当a11*a22-a12 *a21 != 0时,方程组的解: (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中...1、二阶与三阶行列式
有如下二元一次方程组
为消去未知数X2,以a22、a12分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减,得:
类似的消去X1可得:
当a11*a22-a12 *a21 != 0时,方程组的解:
(2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得,其中分母a11*a22-a12 *a21
是由方程组(1)的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组(1)中的位置,排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表,称为二阶行列式,并记作:
数aij称为行列式的元素。
设有9个数排成3行3列的数表:
对应的行列式:
上述定义表明三阶行列式含6项,每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号,其规律遵循下图所示的对角线法则:图中有三条实线看做是平行于主对角线的联线,三条虚线看做是平行于副对角线的联线,实线上三元素的乘积冠正号,虚线上三元素的乘积过负号.
三阶行列式可以写成:
因此可以把行列式推广到更一般的形式,假设有n^2个数,排成n行n列,其行列式为:
称为n阶行列式。
2、代数余子式
在n阶行列式中,把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式,记作Mij:
Aij叫做(i,j)元aij的代数余子式。
例如四阶行列式:
其中(3,2)元a32的余子式和代数余子式分别是:
3、矩阵
由mxn个数aij排列成的m行n列数表:
称为m行n列矩阵,简称mxn矩阵,为表示整体通常加括号:
这m×n个数称为矩阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵的第i行第j列,称为矩阵的A的(i,j)元。 m×n的矩阵A,也记做Amxn。
行数与列数都等于n的阵称为n阶矩阵或阶方阵.n阶矩阵A也记作An
叫做n阶单位矩阵,简称单位阵.这个方阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线)上的元素都是1,其他元素都是0。
4、矩阵运算
(1)矩阵加法
设有两个m×n矩阵A=(aij)和B=(aij),那么矩阵A与B的和,记作A+B.规定为:
应该注意,只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算。
(2)数和矩阵相乘
(3)矩阵相乘
设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bj)是一个s×n矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C =(cij),其中:
并把此乘积记作: C=AB
5、转置矩阵、伴随矩阵
(1)把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT.例如矩阵
转置后:
(2)行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij构成如下矩阵:
称为矩阵A的伴随矩阵,并且:AA*=A*A=|A|E
6、逆矩阵
对于n阶矩阵A·如果有一个n阶矩阵B.使 AB=BA=E,则说矩阵A是可逆的.并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵。
A的逆阵记作A-1.即若AB=BA=E,则B=A-1
若|A| != 0,则矩阵A可逆,且:A-1 =( 1/(|A|))A* 其中A*为矩阵A的伴随阵.
7、矩阵初等变换
矩阵的三种初等变换:下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(i)对调两行(对调i.j两行·记作ri—rj);
(ii)以k != 0乘某一行中的所有元素(第i行乘记作ri x k)
(iii)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj)
把定义中的“行”换成“列”即得矩阵的初等列变换的定义,初等行变换和初等列变换统称初等变换
如果A经过一系列的初等行变换变成B,则有可逆矩阵P,使PA=B,那么如何求P?推理过程如图:
因此,如果对矩阵(A ,E)做初等行变换,那么等把A变换成B时,E就是P,于是就可以得到所求的可逆矩阵P。
利用此方法求逆矩阵:
首先利用初等变换把(A,E)变化成(F,P),其中F为A的行最简形,如果F=E,则A可逆,并由PA=E可知P=A-1,运算如下:
因为A~E,所以A可逆,且逆矩阵是:
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