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  • 初等变换求逆矩阵矩阵秩.ppt
  • 矩阵变换法求逆矩阵C++源代码,通过测试
  • 初等变换求逆矩阵

    千次阅读 2015-12-19 21:15:24
    对于一个矩阵初等变换,有三种: 1. 交换两行。 2. 将某一行的所有元素乘以一个非零实数kk。 3. 将某一行jj,加上某一行i(i≠ji(i \not = j)乘以一个非零实数kk,即Aj=Aj+Ai∗kA_j = A_j + A_i * k。可以发现...

    设要求出 n 阶矩阵A的逆矩阵 B

    对于一个矩阵的初等行变换,有三种:
    1. 交换两行。
    2. 将某一行的所有元素乘以一个非零实数k
    3. 将某一行 j ,加上某一行i(ij)乘以一个非零实数 k ,即Aj=Aj+Aik

    可以发现的是,每种变换其实都可以等价于乘以某个矩阵,事实上称其为初等矩阵。

    那么,当我们不停地对 A 进行初等变换,并且用另外一个矩阵C不停地乘上这种变换对应的初等矩阵,那么当 A 变为I()时, C 就是A的逆矩阵了。
    怎么样将 A 变为I?我们类似于高斯消元一样,一行一行一列一列地扫过去。由于最终要保证 Ai,i=1 ,其他为 0
    设当前扫到第i行,那么对于 Ai,1i1=0 。但是对于 j<iAj,i 可能不等于0。但我们初等变换中可以先对第 i 行除以Ai,i,即保证 Ai,i=1 ,接着用 i 整行去消j<i。那么 Aj,i 就等于0了。那么我们这样一行一行地消下去即可。我们对 A 中做的所有操作,顺便对C同时做就好了。反正都是乘上同一个矩阵。

    一开始没有操作时 C 就是I

    最后我们用 O(N3) 的复杂度求出了逆矩阵。

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  • 复数矩阵求逆,用了STL中的vector表示矩阵,用了complex类表示复数,求矩阵使用了初等变换矩阵的方法
  • ```python ```def compute_inverse(A): row, col = A.shape ...从线代角度来看感觉没什么问题,但是测试的时候发现对4阶以下的矩阵能够正确求得其逆矩阵,但是高于5阶就只能偶尔正确,不知道出现了什么问题
  • 下面是通过初等变换求解逆矩阵的,非用伴随矩阵! 比如: 1 2 3 2 2 1 3 4 3 则把下面矩阵: 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1 通过初等变换变为: 1 0 0 x x x 0 1 0 x x x 0 0 1 x x x 则x矩阵就是要求的...
  • 1. 将矩阵A变换为单位矩阵的同时,经过同等变换的单位矩阵将变换为矩阵A的逆矩阵 2. 逆矩阵的计算示例 (行变换) 3.逆矩阵的计算示例 (列变换) 4. 利用初等变换求逆矩阵 ...

    1. 将矩阵A变换为单位矩阵的同时,经过同等变换的单位矩阵将变换为矩阵A的逆矩阵

     

     2. 逆矩阵的计算示例 (行变换)

    3. 逆矩阵的计算示例 (列变换)

     

    4. 利用初等变换求逆矩阵

     

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  • 在我们学习逆矩阵的过程中,肯定会遇到这样一种求逆矩阵的方法:若A是一个n阶可逆矩阵, (虚竖线打不出,凑合着看吧!)这一过程中经历了一系列初等变换,并且我们下结论说: 中的 就是A的逆矩阵!按逻辑,你还不...

    a40dfb04a9be9bb98468fba9b52d603b.png

    在我们学习逆矩阵的过程中,肯定会遇到这样一种求逆矩阵的方法:

    若A是一个n阶可逆矩阵,

    (虚竖线打不出,凑合着看吧!)这一过程中经历了一系列初等行变换,并且我们下结论说:

    中的
    就是A的逆矩阵!
    按逻辑,你还不能确定这个就是它的逆矩阵,你现在还没有理由确定,所以我们暂定这个
    =B

    我的意思就是

    将一系列的初等行变换补到表达中去的话,将会是如下这个样子:

    则对左边左半部分 有

    对左边右半部分有

    也即

    此时,我们才有理由说

    中的
    就是A的逆矩阵!

    这里就是我们的行变换!

    那我们要进行列变换该怎么办,只要右乘矩阵就可以。

    而为什么可以这样,就还得了解矩阵的线性组合了。(这以后我再试着说一说吧,我们老师还没讲到那里来,也有一些逻辑关系要弄清。有兴趣的话,私下我们一起交流啊!!)

    例题:

    ,用初等变换求A的逆矩阵。

    解:

    这一题还有个很神奇很巧合的解法

    法二:

    真的是太巧合了。


    开开心心地开始学线代!

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  • c#好像没有自带的矩阵类,而很多的算法中需要用到矩阵类,今天分享一个c#实现的矩阵类,包含了矩阵的加,乘法,转置求(伴随矩阵求逆:当行列式的值特别大或特别小的时候不适用。初等变换:求效率要高,不受行列...

    c#好像没有自带的矩阵类,而很多的算法中需要用到矩阵类,今天分享一个c#实现的矩阵类,包含了矩阵的加,乘法,转置求逆(伴随矩阵求逆:当行列式的值特别大或特别小的时候不适用。初等变换:求逆效率要高,不受行列式值的影响)。求行列式的值等功能具体代码如下:

     /// <summary>
        /// 矩阵类
        /// </summary>
       public class Mat
        {
            double[,] Array;//存储矩阵中的元素
            public double[,] Element => Array;//获取矩阵中的元素
            public int Rows => Element.GetLength(0);//行
            public int Cols => Element.GetLength(1);//列
            public double this[int i,int j]//索引器
            {
                get
                {
                    return Array[i, j];
                }
                set
                {
                    Array[i, j] = value;
                }
            }
            /// <summary>
            /// 构造函数
            /// </summary>
            /// <param name="r">矩阵的行</param>
            /// <param name="c">矩阵的列</param>
            /// <param name="n">矩阵的元素</param>
            public Mat(int r,int c,params double [] n)
            {
                Array = new double[r, c];
                for (int i = 0; i < Rows; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < Cols; j++)
                    {
                        Array[i, j] = n[i * Cols + j];
                    }
                }
            }
            /// <summary>
            /// 构造r行n列的空矩阵
            /// </summary>
            /// <param name="r">行</param>
            /// <param name="c">列</param>
            public Mat(int r,int c)
            {
                Array = new double[r, c];
            }
            /// <summary>
            /// 将一个二位数组构造为矩阵
            /// </summary>
            /// <param name="array"></param>
            public Mat(double [,] array)
            {
                this.Array = array;
            }
            /// <summary>
            /// 将n个行列相同的矩阵向下累加
            /// </summary>
            /// <param name="mats"></param>
            public Mat(params Mat []mats)
            {
                this.Array = new double[mats.Length * mats[0].Rows, mats[0].Cols];
                for (int n = 0; n < mats.Length; n++)
                {
                    for (int i = 0; i < mats[0].Rows; i++)
                    {
                        for (int j = 0; j < mats[0].Cols; j++)
                        {
                            Array[n * mats[0].Rows + i, j] = mats[n][i, j];
                        }
                    }
                }
            }
            /// <summary>
            /// 矩阵的加法
            /// </summary>
            /// <param name="m1">左矩阵</param>
            /// <param name="m2">右矩阵</param>
            /// <returns></returns>
            public static Mat operator +(Mat m1, Mat m2)
            {
                Mat res = new Mat(m1.Rows, m1.Cols);
                for (int i = 0; i < m1.Rows; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < m1.Cols; j++)
                    {
                        res[i, j] = m1[i, j] + m2[i, j];
                    }
                }
                return res;
            }
            /// <summary>
            /// 矩阵的乘法
            /// </summary>
            /// <param name="m1">左矩阵</param>
            /// <param name="m2">右矩阵</param>
            /// <returns></returns>
            public static Mat operator *(Mat m1, Mat m2)
            {
                Mat res = new Mat(m1.Rows, m2.Cols);
                for (int i = 0; i < m1.Rows; i++)
                {
                    for (int k = 0; k < m2.Cols; k++)
                    {
                        double sum = 0;
                        for (int j = 0; j < m1.Cols; j++)
                        {
                            sum += m1[i, j] * m2[j, k];
                        }
                        res[i, k] = sum;
                    }
                    
                }
                return res;
            }
            /// <summary>
            /// 矩阵于数相乘
            /// </summary>
            /// <param name="n"></param>
            /// <returns></returns>
            public Mat Mul(double n)
            {
                Mat res = new Mat(Rows, Cols);
                for (int i = 0; i < Rows; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < Cols; j++)
                    {
                        res[i, j] = n * Array[i, j];
                    }
                }
                return res;
            }
            /// <summary>
            /// 行列式的值
            /// </summary>
            public double MatValue
            {
                get
                {
                    if (Rows == 1)
                    {
                        return Array[0,0];
                    }
                    else
                    {
                        double sum = 0;
                        for (int i = 0; i < Cols; i++)
                        {
                            sum += Array[0,i] * GetK(0, i) * Accompany(0, i).MatValue;
                        }
                        return sum;
                    }
                }
            }
            /// <summary>
            /// 伴随矩阵求逆
            /// </summary>
            public Mat Inverser
            {
                get
                {
                    double value = MatValue;
                    Mat matrix = new Mat(Rows, Cols);
                    for (int i = 0; i < Rows; i++)
                    {
                        for (int j = 0; j < Cols; j++)
                        {
                            matrix.Array[i, j] = (GetK(j, i) * Accompany(j, i).MatValue / value);
                        }
                    }
                    return matrix;
                }
            }
            /// <summary>
            /// 矩阵的转置
            /// </summary>
            public Mat TransMat
            {
                get
                {
                    
                    Mat res = new Mat(Cols, Rows);
                    for (int i = 0; i < Rows; i++)
                    {
                        for (int j = 0; j < Cols; j++)
                        {
                            res[j, i] = this[i, j];
                        }
                    }
                    return res;
                }
            }
            /// <summary>
            /// 矩阵第r行第c列的的伴随矩阵
            /// </summary>
            /// <param name="r"></param>
            /// <param name="c"></param>
            /// <returns></returns>
            public  Mat Accompany(int r, int c)
            {
                Mat res = new Mat(Rows - 1, Cols - 1);
                for (int i = 0; i < res.Rows; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < res.Cols; j++)
                    {
                        res[i, j] = this[i < r ? i : i + 1, j < c ? j : j + 1];
                    }
                }
                return res;
            }
    
           
    
            /// <summary>
            /// 初等变换求逆
            /// </summary>
            public Mat Inverser2
            {
                get
                {
                    
                   int  m = Rows;
                  int   n = Cols;
                    double[,] array = new double[2 * m + 1, 2 * n + 1];
                    for (int k = 0; k < 2 * m + 1; k++)  //初始化数组
                    {
                        for (int t = 0; t < 2 * n + 1; t++)
                        {
                            array[k, t] = 0.00000000;
                        }
                    }
                    for (int i = 0; i < m; i++)
                    {
                        for (int j = 0; j < n; j++)
                        {
                            array[i, j] = Array[i, j];
                        }
                    }
    
                    for (int k = 0; k < m; k++)
                    {
                        for (int t = n; t <= 2 * n; t++)
                        {
                            if ((t - k) == m)
                            {
                                array[k, t] = 1.0;
                            }
                            else
                            {
                                array[k, t] = 0;
                            }
                        }
                    }
                    //得到逆矩阵
                    for (int k = 0; k < m; k++)
                    {
                        if (array[k, k] != 1)
                        {
                            double bs = array[k, k];
                            array[k, k] = 1;
                            for (int p = k + 1; p < 2 * n; p++)
                            {
                                array[k, p] /= bs;
                            }
                        }
                        for (int q = 0; q < m; q++)
                        {
                            if (q != k)
                            {
                                double bs = array[q, k];
                                for (int p = 0; p < 2 * n; p++)
                                {
                                    array[q, p] -= bs * array[k, p];
                                }
                            }
                            else
                            {
                                continue;
                            }
                        }
                    }
                    double[,] NI = new double[m, n];
                    for (int x = 0; x < m; x++)
                    {
                        for (int y = n; y < 2 * n; y++)
                        {
                            NI[x, y - n] = array[x, y];
                        }
                    }
                    return new Mat(NI);
                }
            }
            private int GetK(int r,int c)
            {
                return (int)Math.Pow(-1, r + c);
            }
            /// <summary>
            /// 矩阵的ToString方法
            /// </summary>
            /// <returns></returns>
            public override  string ToString()
            {
                string str = "";
                for (int i = 0; i < Rows; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < Cols; j++)
                    {
                        str += Element[i, j].ToString("6").PadLeft(10) ;
                    }
                    str += "\r\n" + "\r\n";
                }
                return str;
            }
        }

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  • 初等变换法求解λ矩阵的不变因子

    千次阅读 2019-08-14 18:19:11
    初等变换法求解λ矩阵的不变因子 当然也可以用行列式因子求解
  • 逆矩阵初等变换法)C++

    千次阅读 2017-06-05 00:57:34
    逆矩阵初等变换法
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    千次阅读 2013-03-27 10:33:09
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    千次阅读 2019-08-07 09:15:46
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空空如也

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初等变换法求逆矩阵