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    本课程来自深度之眼,部分截图来自课程视频。
    【第一章 线性代数】1.4矩阵的初等变换
    在线LaTeX公式编辑器

    任务详解:

    主要介绍了矩阵的初等变换,逆矩阵的另外一种求法,矩阵的秩,线性方程组的解等知识点。
    掌握目标:
    1、了解由高斯消元法引入矩阵的初等变换
    2、掌握矩阵的三种初等变换,了解行最简型矩阵,了解矩阵的标准型
    3、掌握三种初等矩阵,掌握求逆的另一种方法
    4、掌握可逆的又一个充要条件

    1.矩阵的初等变换

    引例:求解线性方程组

    {2x1x2x3+x4=2,x1+x22x3+x4=4,4x16x2+2x32x4=4,3x1+6x29x3+7x4=9.(1)\begin{cases}2x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=2,①\\\\x_{1}+x_{2}-2x_{3}+x_{4}=4,②\\\\4x_{1}-6x_{2}+2x_{3}-2x_{4}=4,③\\\\3x_{1}+6x_{2}-9x_{3}+7x_{4}=9.④\end{cases} \tag{1}
    式(1)中①和②互换,③÷2得
    {x1+x22x3+x4=4,2x1x2x4+x4=2,2x13x2+x3x4=2,3x1+6x29x3+7x4=9,(B1)\begin{cases}x_{1}+x_{2}-2x_{3}+x_{4}=4,①\\\\2x_{1}-x_{2}-x_{4}+x_{4}=2,②\\\\2x_{1}-3x_{2}+x_{3}-x_{4}=2,③\\\\3x_{1}+6x_{2}-9x_{3}+7x_{4}=9,④\end{cases}\tag{B1}
    式(B1)中②-③,③-2①,4-3①得:
    {x1+x22x3+x4=4,2x22x3+2x4=0,5x2+5x33x4=6,3x23x3+4x4=3,(B2)\begin{cases}x_{1}+x_{2}-2x_{3}+x_{4}=4,①\\\\2x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=0,②\\\\-5x_{2}+5x_{3}-3x_{4}=-6,③\\\\3x_{2}-3x_{3}+4x_{4}=-3,④\end{cases}\tag{B2}
    式(B2)中②÷2,③+5②,④-3②得:
    {x1+x22x3+x4=4,x2x3+x4=02x4=6 x4=3(B3)\begin{cases}x_{1}+x_{2}-2x_{3}+x_{4}=4,①\\\\x_{2}-x_{3}+x_{4}=0②\\\\ 2x_{4}=-6③\\\ x_{4}=-3④\end{cases}\tag{B3}
    式(B3)中③和④互换,④-2③得:
    {x1+x22x3+x4=4,x2x3+x4=0x4=3 0=0(B4)\begin{cases}x_{1}+x_{2}-2x_{3}+x_{4}=4,①\\\\x_{2}-x_{3}+x_{4}=0②\\\\ x_{4}=-3③\\\ 0=0④\end{cases}\tag{B4}
    以上例子实际上是把线性方程组的系数,连带常数项(等号右边的数字)看做是一个矩阵(行话叫:增广矩阵),然后对这个增广矩阵做了一系列的变化,最后可以判断方程组的解的形态。

    定义1

    下面三种变换称为矩阵的初等行变换
    (i)对调两行(对调i,j两行,记作rirjr_i\leftrightarrow r_j
    (ii)以数k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,记作ri×kr_i×k);
    (iii)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krjr_i+kr_j).
    把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c”).
    矩阵的初等行变换与初等列变换,统称初等变换。
    注意:这里的可逆是操作可逆,和逆矩阵不一样。
    显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换;变换rirjr_i\leftrightarrow r_j的逆变换就是其本身;变换ri×kr_i×k的逆变换为ri×(1k)r_i×(\frac{1}{k})(或记作ri÷kr_i÷k;变换ri+krjr_i+kr_j的逆变换为ri+(k)rjr_i+(-k)r_j,(或记作rikrjr_i-kr_j)。
    如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与B行等价,记作ArBA\overset{r}{\sim}B;如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A与B列等价,记作AcBA\overset{c}{\sim}B;如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A~B.
    矩阵之间的等价关系具有下列性质:
    (i)反身性:A~A;
    (ii)对称性:若A~ B,则B~A;
    (iii)传递性:若A~ B,B~ C,则A~C.

    把引例中的方程系数用矩阵表示,然后用矩阵初等变化来做:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵,其特点是:非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0。
    用归纳法不难证明(这里不证):对于住何矩阵Am×nA_{m×n},总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
    利用初等行变换,把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,是一种很重要的运算。由引例可知,要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵。
    由行最简形矩阵B5,即可写出方程组的解(2),反之,由方程组的解(2)也可写出矩阵B5。由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的(行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的).
    对行最简形矩阵再施以初等列变换,可变成一种形状更简单的矩阵,称为标准形。例如:
    在这里插入图片描述
    矩阵F称为矩阵B的标准形,其特点是:F的左上角是一个单位矩阵,其余元素全为0.
    对于m×n矩阵A,总可经过初等变换(行变换和列变换,只用其中一种是做不到标准形的)把它化为标准形:
    在这里插入图片描述
    此标准形由m,n,r三个数完全确定,其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成一个集合,标准形F是这个集合中形状最简单的矩阵.

    定理1

    设A与B为m×n矩阵,那么:
    (i)ArBA\overset{r}{\sim}B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P,使PA=B;
    (ii)AcBA\overset{c}{\sim}B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B;
    (ii)ABA\sim B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.
    三种初等矩阵(对应三种初等变换),矩阵的本质就在于此:矩阵就是用来做变换的。
    初等变换中的交换两列,对应的矩阵就是下面的矩阵;
    在这里插入图片描述
    以数k≠0乘某一行中的所有元素,对应的初等矩阵是下面的矩阵;
    在这里插入图片描述
    把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去,对应的初等矩阵是下面的初等矩阵。

    在这里插入图片描述
    性质1:(人话版:)初等行变换,左边乘对应初等矩阵,初等列变换,右边乘对应初等矩阵。
    (原版)设A是一个m×n矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
    性质2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1P2PiP_1,P_2…,P_i,使A=P1P2PiA=P_1P_2…P_i
    推论:方阵A可逆的充分必要条件是:ArEA\overset{r}{\sim}E或者AcEA\overset{c}{\sim}E
    证明:
    先证明必要条件,就是ArEA\overset{r}{\sim}E可以推出A可逆
    因为:对于矩阵A,总可经过初等变换(行变换和列变换,只用其中一种是做不到标准形的)把它化为标准形
    所以A=P1P2...PlA=P_1P_2...P_l(这里E为1,可以省略),其中P1P2...PlP_1P_2...P_l是初等矩阵,每一个初等矩阵都可逆
    再根据AB=AB|AB|=|A||B|,上式可以写为A=P1P2...Pl|A|=|P_1||P_2|...|P_l|,由于初等矩阵对应的行列式P1P2...Pl|P_1||P_2|...|P_l|都不为0,所以A0|A|\neq0,A可逆;
    再证明充分条件,
    首先,A可以用初等矩阵变换得来,写为:A=P1P2...PmFPm+1...PlA=P_1P_2...P_mFP_{m+1}...P_l,其中F为A的标准形,F左边是若干个初等行变换,右边是若干个初等列变换。F的长相应该是下面这个(不过应该是n*n的方阵,偷懒用上面的图)
    在这里插入图片描述
    由于A可逆,所以A0|A|\neq0,因此P1P2...PmFPm+1...Pl0|P_1||P_2|...|P_m|F||P_{m+1}|...|P_l|\neq 0,由于初等矩阵可逆,所以他们各自的行列式都不为0,所以可知:F0|F|\neq 0
    根据行列式的计算可知|F|的计算是对角线上的元素相乘得来,要使得F0|F|\neq 0,则对角线上不能为0,ErE_r是都为1的,所以r=n,即ErE_r就是一个单位矩阵。

    2.逆矩阵的另外一种求法

    这么费劲证明上面的东西就是要做这个非常重要事情,因为原来的求逆矩阵的方法太太太麻烦了,这里用上面的定理和推论就可以用比较简单初等变换来求一个逆矩阵,直接看例子吧。
    A=[021302230]A=\begin{bmatrix} 0&-2 &1 \\ 3& 0&-2 \\ -2 & 3 & 0 \end{bmatrix},证明A可逆,并求出A1A^{-1}
    (A,E)=[021100302010230001](A,E)=\begin{bmatrix} 0&-2 &1&1&0&0 \\ 3& 0&-2 &0&1&0\\ -2 & 3 & 0&0&0&1 \end{bmatrix}
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    ArEA\overset{r}{\sim}E,故A可逆,且A1=[634423946]A^{-1}=\begin{bmatrix} 6&3 &4 \\ 4& 2&3 \\ 9 & 4 & 6 \end{bmatrix}
    这个的原理大概是这样的,先把A和E摆一起,(A,E),然后对这个东西做初等行变换,就是要在左边乘上P1P2...PlP_1P2...P_l,把P1P2...PlP_1P2...P_l记为P,则就变成:P(A,E),经过变化后,(A,E)变成了(E,Q),也就是:
    P(A,E)=(E,Q)P(A,E)=(E,Q)
    也就是:
    PA=E,PE=QPA=E,PE=Q
    由PA=E得出P=A1P=A^{-1}
    PE=Q中单位矩阵E可以忽略,P=Q,结合上面就是:Q=A1Q=A^{-1},也就是Q为A的逆矩阵。

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  • 求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是:将矩阵 A 与单位矩阵 I 排成一个新的矩阵 (A I);将此新矩阵 (A I) 做初等行变换,将它化成 (I B) 的形式若 A 是...

    求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是:

    • 将矩阵 A 与单位矩阵 I 排成一个新的矩阵 (A   I);

    • 将此新矩阵  (A  I) 做初等行变换,将它化成 (I  B) 的形式

    • 3db0d5b718b680f5570c7d1482999ceb.png

    若 A 是一个二阶方阵,

    b55979b603f3f0ae3e8a6654e4eaa60d.png

    则它的逆矩阵可以直接使用公式

    043d84fbcae665d59a6fcd93256a0cea.png

    来计算。我们来看几个例子。

    例1:求二阶矩阵

    ba64f26ae9d947eb5d71e389310ef478.png

    的逆矩阵。

    解:因为矩阵是二阶矩阵,我们可以直接利用二阶逆矩阵的公式来求解。

    77031e3df7be6a143ad581852c543765.png

    例2:求矩阵

    bef983a407723f675a3e0be4da37b41e.png

    的逆矩阵。

    解:这是一个三阶的矩阵,最简便有效的方法是初等变换法。(你可以试试用伴随矩阵的方法来求,计算量比初等变换法相差多大)我们将矩阵与单位矩阵排在一起,然后做初等变换

    4790b7452ec52a8525d0782ad5b81bdf.png

    所以我们得到

    3adf0a3e78b948a0e9163f15bd3c9bbe.png

    我们看到的这个矩阵是三阶的,利用初等变换计算逆矩阵已经比伴随矩阵法少了很多的计算量了。实际上,矩阵的阶数越高,节约下来的计算量越多。利用伴随矩阵计算逆矩阵,三阶矩阵的话,需要计算一个三阶行列式,九个二阶行列式。四阶的话,需要计算一个四阶行列式,十六个三阶行列式,手算的话,已经让人难以接受了。

    我们来看一个四阶矩阵的逆矩阵。

    例3:求矩阵

    4c669d4e8e5cf3feaa2c5f95c2cf8ed3.png

    的逆矩阵。

    解:我们将下述矩阵做初等变换

    e55362dd38f51e00ee78d1487f249055.png

    所以,我们得到

    b91e73685f79b5ed2ece3a4841d946a7.png

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  • 摘要:本节我们主要介绍一下矩阵的逆,对于具体的矩阵,我们常见的方法就是利用初等变换(A,E)变换为(E,),或者我们先求出矩阵的行列式与伴随矩阵,然后去确定矩阵的逆;那么对于抽象矩阵该怎么办呢?那么本节就和...

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    摘要:本节我们主要介绍一下矩阵的逆,对于具体的矩阵,我们常见的方法就是利用初等行变换(A,E)变换为(E,),或者我们先求出矩阵的行列式与伴随矩阵,然后去确定矩阵的逆;那么对于抽象矩阵该怎么办呢?那么本节就和岩宝来一起探究一下.

    一:根据定义求逆.

    例1. (2011东南大学)假设阶方阵满足

    问:当正整数满足什么条件时, 可逆?当 可逆时,将 表示成关于A的多项式.

    解:因为

    所以

    从而,要使得可逆,即

    从而可得

    练习1.(2014湖南大学)已知

    证明B可逆,并求出其逆.

    二:构造单位矩阵去求解

    如果矩阵可以分解成的形式,我们可以设,利用去求解来确定可逆矩阵.(其中为元素全为1的矩阵)

    例2.(2010华东师范大学)设有阶矩阵

    (1)求,

    (2)求对角阵以及可逆矩阵使得.

    解:(1)令

    则有,于是当且仅当下式成立:

    解得

    因此

    (2)A的特征多项式为

    因此A的特征值为

    重,(重)

    对于特征值-1,解线性方程组得到-1的个线性无关的特征向量为

    其中为标准单位向量

    对于特征值解线性方程组得到特征向量为

    我们取

    于是

    三.关于一些特殊矩阵的求逆问题

    例3.(2016湖南师范大学)已知,设矩阵

    求逆矩阵.

    证明:

    所以可得

    例4.(2012华中科技大学)已知

    证明P可逆的充要条件为可逆,并在已知情况下求

    证明:因为

    所以,因此P可逆等价于等价于等价于可逆,易知

    因此

    练习1.(2015武汉大学)

    (1)证明:

    可逆的充分必要条件为可逆.

    (2)若

    可逆,求出

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  • 在一些需要用单片机、DSP、ARM等系统中用C语言实现高维滤波器的场合,例如卡尔曼滤波器,我们会经常遇到用C语言求解方阵的逆的情况,当阶数为2阶或者3阶的时候我们可以用公式法直接求解,但是当阶数一旦达到4阶或者4...

           在一些需要用单片机、DSP、ARM等系统中用C语言实现高维滤波器的场合,例如卡尔曼滤波器,我们会经常遇到用C语言求解方阵的逆的情况,当阶数为2阶或者3阶的时候我们可以用公式法直接求解,但是当阶数一旦达到4阶或者4阶以上时利用公式求解将会非常的麻烦,而且极易出错,这时我们需要寻求一种可以求解任意阶数的算法。由线性代数的知识可以知道求任意阶数矩阵逆矩阵有2种算法,一种是初等行(列)变换,一种是伴随矩阵法。其中初等行(列)变换由于需要进行行(列)的加减或交换,以及乘上(除以)非零的数这3种步骤,且顺序不固定,因此不适合用C程序进行实现。而伴随矩阵的方法求解步骤固定因此适合用C程序实现。

    算法描述

           根据线性代数的知识,我们可以知道对于N阶方阵A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1N} \\ a_{21}&a_{22} &... &a_{2N} \\ ...&... &... &... \\ a_{N1}&a_{N2} &... &a_{NN} \end{bmatrix},它的伴随矩阵为A^{*}=\begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} &... &A_{N1} \\ A_{12}&A_{22} &... &A_{N2} \\ ...&... &... &... \\ A_{1N}&A_{2N} &... &A_{NN} \end{bmatrix},其中A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}称为元素a_{ij}的代数余子式。则A的逆矩阵为A^{-1}=A^{*}/\left | A \right |,其中\left | A \right |为矩阵A的行列式。

    C语言实现代码

    /***************************************************************************************
     * 函数名称:Matrix_inv
     * 输入参数:x输入的NxN矩阵、y输出的NxN矩阵、N矩阵的阶数
     * 输出参数:1:表示输入矩阵有逆、0:表示输入矩阵的逆不存在
     * 实现功能:通过求伴随矩阵的方法求NxN矩阵的逆
     * 注意事项:需要的动态内存空间最少为:(2*2 + 3*3 + 4*4 + ... + (N-1)*(N-1))*4 = ((N-1)N(2N-1)/6 - 1)*4
     ****************************************************************************************/
    int Matrix_inv(float *x, float *y, int N)
    {
    	float det_x;
    	float recip_det_x;
    	float coff;
    	float *sub_x;
    	int i, j, k, sub_N;
    
    	det_x = Matrix_det(x, N);   //求行列式的值
    	if(det_x == 0)
    	{
    		return 0;     //表示矩阵的逆不存在
    	}
    	else
    	{
    		recip_det_x = 1/det_x;
    		coff = 1;
    		sub_N = N-1;
    		sub_x = (float *)malloc(4*sub_N*sub_N);   //初始值随机,动态分配N-1阶的数组
    		for(i=0; i<N; i++)
    		{
    			for(j=0; j<N; j++)
    			{
    				for(k = 0; k< sub_N; k++)    //提取去除第i行,第j列的数组
    				{
    					if(i<=k)
    					{
    						if(j == 0)                      { memcpy((void *)(&sub_x[k*sub_N]),    (void *)(&x[(k+1)*N+1]),      4*sub_N); }            //第0列时
    						else if(j == sub_N) { memcpy((void *)(&sub_x[k*sub_N]),    (void *)(&x[(k+1)*N]),            4*sub_N); }            //最后第N-1列时
    						else                                {  memcpy((void *)(&sub_x[k*sub_N]),    (void *)(&x[(k+1)*N]),            4*j);
    															         memcpy((void *)(&sub_x[k*sub_N+j]),(void *)(&x[(k+1)*N+j+1]), 4*(sub_N-j)); }
    					}
    					else
    					{
    						if(j == 0)                      { memcpy((void *)(&sub_x[k*sub_N]),    (void *)(&x[(k)*N+1]),      4*sub_N); }            //第0列时
    						else if(j == sub_N) { memcpy((void *)(&sub_x[k*sub_N]),    (void *)(&x[(k)*N]),            4*sub_N); }            //最后第N-1列时
    						else                                {  memcpy((void *)(&sub_x[k*sub_N]),    (void *)(&x[(k)*N]),            4*j);
    															         memcpy((void *)(&sub_x[k*sub_N+j]),(void *)(&x[(k)*N+j+1]), 4*(sub_N-j)); }
    					}
    				}
    				y[j*N+i] = coff*Matrix_det(sub_x, sub_N)*recip_det_x;     //第i行j列的代数余子式,并除上行列式的值
    				coff = -coff;
    			}
    		}
    		free((void *)sub_x);      //使用完后释放内存
    	}
    
    	return 1;     //表示矩阵的逆存在
    }

           从上述代码里我们可以看到,程序的实现步骤主要是:1、首先利用函数Matrix_det(关于行列式的C语言实现请参考博客任意阶数实数方阵的行列式的值的C语言实现详解。里面有关于矩阵行列式求解的具体C语言实现过程。)计算矩阵A的行列式,2、然后判断行列式的值是否为0,若为0则返回0表示矩阵的逆不存在。3、若非零,则逐个求解各元素的代数余子式并除以A的行列式,一共3大步骤。在实现的过程中,使用到了malloc(包含在头文件 <stdlib.h>中)函数动态分配内存,一共4*(N-1)*(N-1)个字节,用于存储N-1阶余子式的各元素,在Matrix_det中也使用了malloc函数进行内存分配,其中首次Matrix_det用求解A的行列式的时候占用的内存大小为((N-1)N(2N-1)/6-1)\times 4,但是用完后会被释放掉,与后面的不存在同时使用的情况。因此只需要考虑后面的Matrix_det使用的字节数量,它的大小为((N-2)(N-1)(2N-3)/6-1)\times 4再加上与它同时使用用于存储N-1阶余子式元素的4*(N-1)*(N-1)个字节一共还是((N-1)N(2N-1)/6-1)\times 4个字节,因此执行此函数需要的总的内存空间最低为((N-1)N(2N-1)/6-1)\times 4。而这些内存都是使用的堆(heap)空间,因此要保证系统的稳定运行heap的大小不能低于该值。程序中使用了memcpy(包含在头文件 <string.h>中)函数进行数据搬移,主要是为了提高程序执行效率,它的效率比直接的单个数的赋值要高。

     

     

     

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  • 如何在C#去求矩阵的逆矩阵

    千次阅读 2008-10-13 19:39:00
    最近有网友问我,怎么去求矩阵的逆,当时就按照以前线性代数上面方法告诉他算法,例如先求矩阵行列式的值,然后再求每一项的代数余子式,然后按照矩阵逆的公式去计算。但是等他向我求代码的时候,发现做法并不是那么...
  • 【第一章 线性代数】矩阵、迹、转置行列式、三角矩阵、行列式性质、余子式克拉姆法则、齐次线性方程组矩阵、矩阵的初等变换矩阵秩、线性方程组解向量方阵特征值和特征向量相似矩阵、矩阵对角化、对阵矩阵...
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  • 本篇笔记首先回顾了伴随矩阵,随后给出了矩阵定义,并通过定理给出了采用伴随矩阵法求矩阵的公式以及推论,由于伴随矩阵法求矩阵计算量过于复杂,一般不常用,更常用方法是后续介绍的初等变换法;...
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  • 3·5 三角函数和、差、积的变换公式 3·6 三角恒等式 3·7 三角级数和 4.三角方程·三角不等式 4·1 三角方程 4·2 三角不等式 4·3 三角函数最大值、最小值 4·4 消去法 4·5 反三角函数 5.三角形与三角函数 ...
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  • 线性代数知识整理

    2020-02-24 09:38:19
    主要的公式有: 3.伴随矩阵性质 4.矩阵性质 5.矩阵——解法 方法一:用伴随 方法二:用初等变换 方法三:用定义 方法四:用单位矩阵恒等变形 方法五:用分块矩阵 6.矩阵秩定理 ...
  • 6.3.4拉普拉斯逆变换 6.3.5拉普拉斯变换的应用 第7章复变函数的积分 7.1复变函数的概念 7.1.1复数和复平面 7.1.2复数的四则运算 7.1.3复变函数 7.2复变函数的微商(导数) 7.3复变函数的积分 7.3.1曲线积分 7.3.2...
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  • 矩阵LU分解

    2019-09-19 23:55:22
    矩阵的高斯消元法,通过行变换化成上三角阵。 可以表示为...E32E31E21A = U, 其中E表示行变换初等矩阵或消元矩阵,系数ij...于是A = LU 其中L等于(...E32E31E21)的逆编辑器不能用上下标写公式真是费劲 而(......
  •  2.4.4 初等矩阵与矩阵初等变换的关系   2.4.5 初等变换法求矩阵   2.5 矩阵的秩   2.5.1 矩阵的r阶子式   2.5.2 矩阵秩的定义及求法   小结   复习题二   第3章 n维向量   3.1 n...
  • 本书介绍了构建更优雅、更有效软件更省时技术、... 18.4 用公式来描述其他难解函数 345 18.5 习题 350 参考答案 351 附录A 4位计算机算术运算表 395 附录B 牛顿法 400 附录C 各种离散函数图像 402 参考文献 412
  • 3.矩阵的逆及逆的运用 4.初等变换 3.矩阵的秩 1.秩的行列式定义 2.利用初等变换求秩 4.矩阵的应用举例 习题二 3.向量 1.向量的引入和向量的概念 1.向量的引入和定义 2.向量的运算 3.量的线性组合和线性相关 2....

空空如也

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初等变换的逆变换公式