矩阵的初等变换
 
@(线性代数)
 
理解清楚$E_i(k),E_{ij},E_{ij}(k)$的含义。
 
$E_i(k)$：单位矩阵的第i行或者第i列乘以k倍得到的矩阵。
 $E_{ij}$：单位矩阵第i行和第j行交换或者第i列和第j列交换得到的矩阵。
 $E_{ij}(k)$：单位矩阵的第j行乘以k倍加到第i行，即被操作的行在前；那么也可以理解为第i列乘以k倍加到第j列。
 
再注意常用的三个求逆公式：
 $E_i^{-1}(k)=E_i(\frac{1}{k}),指数为-1，很自然联想到倒数$
 $E_{ij}^{-1}=E_{ij},仅仅交换行，不改变逆矩阵$
 $E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k),可以考虑成综合上面两种形式，一个大动一个不动变成这里的轻微动$
 
看具体例子：
 
$E_i^{-1}(k)=E_i(\frac{1}{k})$
 
$${\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
 
注意这里不是从左边的式子进行推导得出而是看左边的式子如何从单位矩阵操作得来，根据这个操作代入公式，运用在新的单位矩阵上。
 本例是求倍乘矩阵的逆，是对第二行乘以3倍得到，那么逆就是对单位矩阵第二行除以3倍。
 
$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$
 
$${\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
 如如不动。
 
$E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)$
 
$${\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 5& 1\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -5& 1\end{array}\right]$$
 同样也是找到操作的模式再用对应的公式去操作单位矩阵。
 这里是把第二行乘以5倍加到第三行，那么逆就是第二行乘以-5倍加到第三行。
 
以上。

 
文章目录
 
行初等变换的概念
初等变换的实现
初等变换的性质
初等变换矩阵的行列式

 
行初等变换的概念
 
 
对矩阵的初等变换主要包括以下三种操作：
 
将某行乘以 $(c̸=0)$；
将某行的 $c$ 倍加到另外一行上；
交换两行；
 
与行初等变换类似的有一个列初等变换，操作是在列上进行，同时一个矩阵要实现列初等变换：需要右乘列初等变换矩阵。
 

 
初等变换的实现
 
 
初等变换的三种操作都可以 “左乘一个矩阵” 来实现，比如，对于矩阵：
 假设存在矩阵：
 $$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right)$$
 
将第 $3$ 行乘以 $5$：(左)乘以 将单位矩阵的 $(3,3)$ 元素替换成 $5$ 得到矩阵 $Q_3(5)$：也可以理解为：要将第三个维度进行拉伸 ；
 $$Q_3(5)=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$$
 $$\begin{array}{rl}{Q}_3(5)A& =\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -10& -10& 15& 10\end{array}\right]\end{array}$$
 

 
将 $1$ 行乘以 $10$ 加到第 $2$ 行上：(左)乘以将单位矩阵的第 $1$ 行乘以 $10$ 加到第 $2$ 行上得到矩阵 $R_{2,1}(10)$ ：
 $$R_{2,1}(10)=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 10& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
 $$\begin{array}{rl}{R}_{2,1}(10)A& =\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 10& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 23& 34& 32& 99\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right]\end{array}$$
 

 
交换第 $1$ 行和第 $3$ 行：(左)乘以将单位矩阵交换第 $1$ 行和第 $3$ 行得到矩阵 $S_{1,3}$：
 $$S_{1,3}=\left(\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
 $$\begin{array}{rl}{S}_{1,3}A& =\left[\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 9\\ 3& 4& 2& 9\\ -2& -2& 3& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}-2& -2& 3& 2\\ 3& 4& 2& 9\\ 2& 3& 3& 9\end{array}\right]\end{array}$$
 

 
总结，对矩阵的初等变换都可以通过左乘如：$Q_i(c),R_{i,j}(c),S_{i,j}$ 来实现。
 

 
初等变换的性质
 
 
若方阵 $A$ 可逆，则一定可以通过初等变换得到单位矩阵 $I$；
针对行初等变换矩阵：$Q_i(c),R_{i,j}(c),S_{i,j}$，若 $c̸=0,i̸=j$，行初等变换矩阵都是可逆的，并有如下等式：
 $$\begin{array}{rl}{Q}_i(c{)}^{-1}& =Q_i(1/c)\\ R_{i,j}(c{)}^{-1}& =R_{i,j}(-c)\\ S_{i,j}^{-1}& =S_{i,j}\end{array}$$
 

 
初等变换矩阵的行列式
 
 
行列式可以理解为空间扩大率，初等变换矩阵的行列式如下：
 
 
$\det Q_i(c)=c$ ：相当于把空间扩大了 $c$ 倍；
$\det R_{i,j}(c)=1$ ：只是把空间进行了偏移，空间大小并没有改变；
$\det S_{i,j}=-1$ ：只是把空间进行了镜像，空间大小不变，方向改变；
 

 
由以上性质可得：
 
将第 $i$ 行乘以 $c$，行列式为原来的 $c$ 倍：$$\det \left(Q_i(c)A\right)=\left(\det Q_i(c)\right)(\det A)=c\det A$$
将第 $j$ 行乘以 $c$ 加到第 $i$ 行，行列式值不变：$$\det \left(R_{i,j}(c)A\right)=\left(\det R_{i,j}(c)\right)(\det A)=\det A$$
交换第 $i,j$，行列式的正负号改变，等价于：$$\det \left(S_{i,j}A\right)=\left(\det S_{i,j}\right)(\det A)=-\det A$$

任何一个可逆矩阵A都可以经初等行变换，变换到单位矩阵E。 
 A也可经初等列变换，变换到E。 
 A每经过一次初等行变换，就相当于在A的左边乘一个初等矩阵。 
 A每经过一次初等列变换，就相当于右乘一个初等矩阵。 
 左（行）右（列）
 
初等变换的逆变换还是初等变换。 
 初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。 
 所以A一定可以写成一系列初等矩阵的乘积。
 
 
初等变换（初等矩阵）有三种，并且由后两个可以表示出第一个（见评论）。
 
E(i,j). 
 
  
假设对任意的A： 
 E(i,j) A：交换A的i、j两行 
 A E(i,j)：交换A的i、j两列
又因为E(i,j) = E(i,j) E = E E(i,j)，所以 E(i,j) 是 交换 单位矩阵E的i、j两行（或者列，其实结果是一样的）得到的。
验证：以A E(i,j)为例，E(i,j) A同理。 
 A =(a1, a2, … an) ai是列向量, 以下皆为列向量。 
 E =(e1, e2, … en) = (… ei … ej …) 
 所以 E(i,j) = (… ej … ei …)，而 E(i,j) 是对称矩阵，为了方便，记一个矩阵M的转置为 M’ 
 所以 E(i,j) = E(i,j)’ = (… ej … ei …)’ 
 A E(i,j) = (a1, a2, …, an)(… ej … ei …)’ = ∑ ak ek’ + ai ej’ + aj ei’
 
    
x? 指示第 ? 列 
 ak ek’ = ak(0, … ,xk=1, 0, …) = (0, … ,xk=ak, 0, …) 
 ai ej’ = ai(0, … ,xj=1, 0, …) = (0, … ,xj=ai, 0, …) 
 aj ei’ = ai(0, … ,xi=1, 0, …) = (0, … ,xi=aj, 0, …)
所以A E(i,j)就相当于交换了A的i、j两列。
以上是对假设的循环论证（等价性证明），所以：
定义：E(i,j) 是 交换 单位矩阵E的i、j两行（列）得到的矩阵。
Ei(k) k !=0 
 定义：Ei(k) 是 E 的第 i 行（列）乘以 k 得到的矩阵。 
 性质：Ei(k)A A的第 i 行乘以 k ；AEi(k) A的第 i 列乘以 k。 
 性质的证明很简单，跟1. 类似，略。
造了右边的记号，更形象： $E\bigl(\begin{smallmatrix} i &  \\ k & j \end{smallmatrix}\bigr)$ 
 定义：把 E 的第 i 行乘以 k 加到第 j 行；或者 把 E 的第 j 列乘以 k 加到第 i 列。 
 性质：$E\bigl(\begin{smallmatrix} i &  \\ k & j \end{smallmatrix}\bigr)$A 把 A 的第 i 行乘以 k 加到第 j 行；A$E\bigl(\begin{smallmatrix} i &  \\ k & j \end{smallmatrix}\bigr)$ 把 A 的第 j 列乘以 k 加到第 i 列。
 
性质的证明：E=(e1, e2 … en) 
 
 $$E=E'=\begin{bmatrix}
e1'\\ ..\\ en'\end{bmatrix}$$  

 

 $$E\bigl(\begin{smallmatrix} i &  \\ k & j \end{smallmatrix}\bigr)= \begin{bmatrix}
..\\ ej'+ei'k\\ ..
\end{bmatrix}=E+\begin{bmatrix}
0\\ ..\\ei'k\\ ..\\0
\end{bmatrix}$$  

 

 $$AE\bigl(\begin{smallmatrix} i &  \\ k & j \end{smallmatrix}\bigr) = A+(... aj ...) \begin{bmatrix}
0\\ ..\\ei'k\\ ..\\0
\end{bmatrix}$$  

 

 $$AE\bigl(\begin{smallmatrix} i &  \\ k & j \end{smallmatrix}\bigr)=A+a_{j}e_{i}'k=A+a_{j}(0, ... ,xi=k, 0, ...)=A+(0, ... ,xi=ka_{j}, 0, ...)$$  

 所以相当于把第 j 列乘以 k 倍 加到 第 i 列上。
 
 
下面表格总结了初等变换与行列式的几何意义
 
初等矩阵
初等变换【左（右）乘上它相当于初等行（列）变换】
A中向量组（n-有序单形）的几何变换
行列式（就是n-平行体有符号的面积、体积）
E(i,j)
交换第i、j两行（列）
镜像（反射），变成了手性对映体
变号 改变定向
Ei(k)
第 i 行（列）乘以k
伸缩变换
体积乘以k
$E\bigl(\begin{smallmatrix} i &  \\ k & j \end{smallmatrix}\bigr)$
第 i 行乘以 k 加到第 j 行 或者 第 j 列乘以 k 加到第 i 列
错切变换
体积不变

矩阵的初等变换
 
 
 
矩阵的初等变换分为初等行变换和初等列变换
 初等变换矩阵与矩阵之间用箭头连接，不能用等号
 
 
初等行变换
 
交换两行
用k(k≠0)乘以某一行
某一行的1倍加到某一行上去
 
定理1
 任何矩阵都可通过初等变换化为标准形(行变换和列变换都可以)
 
等价:A经初等变换得到B，叫做A等价于B，记作
 
 
等价的性质
 
 
初等方阵
 
初等方阵:对单位阵E做一个初等变换得到的矩阵就是初等方阵 。
 
初等方阵均可逆
其逆矩阵也是初等方阵。
初等方阵的转置也是初等方阵。
 
初等方阵:
 
交换第i,j行，记作E(i,j)，行列式等于-1，逆矩阵为E(i,j)
用k(k≠0)乘某行，记作E(i(k)),k≠0，行列式等于k，逆矩阵为E(i(1/k))
将第j行的l倍，加到第i行，记作E(i,j(k))，行列式等于1，逆矩阵为E(i,j(-l))
 
定理2:设A是任意矩阵，用第i种初等方阵左(右)乘A，相当与对A实施第i中行(列)变换。
 
定理3:任意矩阵A都存在初等方阵p1,p1···ps,Q1,Q2,···,Qt，使得ps,···,p1AQ1,···,Qt为A的标准形。
 推论:如果A,B等价，则存在可逆矩阵p、Q，使得PAQ=B
 
定理4:A可逆的充分必要条件是A的标准形为E。
 定理5:A可逆的充要条件是A可以表示成一些初等方阵的乘积。
 
初等行变换法求逆矩阵
 
 
注意事项:
 
先第一列，在第二列···，以此类推
写整行，对整行操作
第一列处理后，第一行不在主动变换
做变换时矩阵与矩阵用箭头连接
只做初等行变换
不管是否可逆，如果左边化不成单位阵，那么该矩阵不可逆。
 
矩阵的秩
 
一个矩阵，任取k行k列所组成的k阶行列式就是k阶子式
 矩阵的秩: 一个矩阵A的非零子式的最高阶数k就是矩阵的秩，表示为r(A)=k
 
 
 
对于一个矩阵Am×n，0 ≤ r(A) ≤ min{m,n}
 
 
 
  
r(A)=m，取所有的行，称之为行满秩
 r(A)=n，取所有的列，称之为列满秩
 如果是行满秩或者列满秩，我们统称为满秩
 
 
 
 
 
 
如果r(A)<min{m,n}，那么就称之为降秩
 
 
 
 
如果A是方阵，A满秩的充分必要条件是A可逆
 
 
定理1: r(A)=r的充要条件是有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子式全为0
 
阶梯形:
 
若有零行，零行在非零行的下边
自上而下，左起第一个非零元素称为首非零元，首非零元左边零的个数随行数增加而严格增加
 
行简化阶梯形*
 
阶梯形
非零行的首非零元是1
首非零元所在的列的其余元素是0
 
如何判断是否为行简化阶梯形
 
画折线(判断是否为阶梯形)
判断非零行的首非零元是否为1
判断非零行的首非零元所在的行的 其他元素是否为0
 
 
 
一般地，阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
 
 
 
 
初等变换不改变矩阵的秩
 
 
例：
 
 
秩的性质
 
性质1: 
 性质2: 任意矩阵乘以可逆矩阵，他的秩不变
 性质3: 矩阵A为m×n的方阵，P为m阶可逆方阵，Q为n阶可逆方阵，r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)