地点：学院大自习室；人物：小刚，小慧，小明．
讨论内容：初等矩阵与初等变换、等价与矩阵分解．
记录：
5.1 标准型
我：“研究了矩阵的加减乘逆、分块、转置等运算后，下面要研究的重点是矩阵与矩阵之间的关系，我们已经知道矩阵之间有相等的关系，只要同型矩阵的对应元素相同，则矩阵相等。那么当一个矩阵经过某种变换后，变换前后的矩阵之间有什么关系呢？”
小慧：“在第一章中我们学了矩阵的初等行变换，主要用于求解线性方程组。初等变换非常重要，初等变换是线性代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法,它贯穿于线性代数教材的始终。我们先来回顾一下关于初等变换的相关定义吧！”
【王老师】主题：初等变换的相关定义
矩阵的初等变换包括初等行变换和初等列变换，下面来看相关定义：
1. 初等行变换：只对矩阵的行进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。
2. 初等列变换: 只对矩阵的列进行对换、数乘和倍加三种变换。
3. 初等变换：初等行变换与初等列变换统称初等变换。
4. 行阶梯形矩阵
对矩阵进行初等行变换，化为如下形式:
(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方,如果有的话;
(2) 各非零行的首非零元(从左至右的一个不为零的元素)的列标随着行标的增大而严格增大.
5.行最简形: 在行阶梯形矩阵的基础上加首非零元为1和首非零元所在列其它元素为0两个条件.
6. 标准形   
标准形是对矩阵进行初等变换(一般在行最简形的基础上再进行初等列变换)将A化成如下形式：
5.2 初等矩阵
小明：“我注意到一个问题，对矩阵进行初等变换时不能用等号，我们最喜欢的是等式啊，初等变换能否用等式来表示呢？”
小慧：“是啊，怎么才能解决这个问题呢？”
我：“关于这个问题我们李老师引入的特别好。”
初等矩阵: 由单位矩阵Ｅ经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.　　　　　
显然,初等矩阵都是方阵,每类初等变换都有与之相应的初等矩阵,显然一共会有三种类型的初等矩阵，下面分别给出这三类矩阵，同时给出这些初等矩阵的表示方法．
小慧：”初等矩阵联结矩阵的乘法和初等变换，能够让我们更深入地理解矩阵乘法和初等变换，初等矩阵和分块矩阵、逆矩阵以及伴随矩阵结合在考研题目中经常出现．这节课王老师讲了几个题目，你们来学习一下．”
5.3 等价矩阵
我：“初等矩阵的引入可以将对矩阵的每一步初等变换用等式来表示，或者说初等矩阵将矩阵的初等变换和矩阵乘法联系起来了，这个问题解决了，还有一个问题：那就是矩阵与初等变换后的矩阵的关系是怎样的？如何来描述呢？”
小慧：“以前我们学过等价的线性方程组嘛，只要它们同解就是等价的，而同解变换正好对应增广矩阵的初等行变换，所以矩阵之间也借用等价来表示它们在初等变换后的关系。”
小明：“根据初等矩阵的性质，对矩阵Ａ经过一次初等变换所得矩阵Ｂ可以用初等矩阵和A的乘积来表示，那么经过多次初等变换后的矩阵应该如何表示呢？显然，同样根据初等的矩阵的性质可以得到如下定理：”
我：“这个定理的意义在于两个等价的矩阵可以用矩阵乘法来表示。另外还有一个问题，有限个初等矩阵的乘积是一个可逆矩阵，反过来一个可逆矩阵能否分解成有限个初等矩阵的乘积呢？”
小慧：“我来解答这个问题”
对可逆矩阵A进行初等变换，化为最简形F，
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3.1矩阵初等变换
1. 解线性方程组的矩阵转化
设有方程组记那么对该方程组有三种等价变换：
(1) 交换方程次序；
(2) 用不等于的数乘某个方程；
(3) 一个方程加上另一个方程的倍．
可以等价转化为增广矩阵三种行变换.
2. 矩阵初等行变换与列变换的定义
下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行(对调两行,记作);
(2) 以数乘以某一行的所有元素(第行乘记作);
(3) 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的倍加到第行上,记作).
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“”换成“”)．
初等变换：
矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
3. 初等变换的可逆性
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,具体为：
逆变换
逆变换
逆变换
4. 矩阵等价定义及性质
矩阵等价：
如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵就称矩阵与等价，记作
等价关系的性质：
(1)反身性: 
(2)对称性: 若,则
(3)传递性: 若则
5. 行阶梯矩阵的定义
满足如下条件的矩阵称为行阶梯矩阵：
(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；
(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元．
6. 行最简形
行最简形矩阵：
若行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元为且这些非零元所在的列的其他元素都为零，
则称为行最简形矩阵.
定理
对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换把变为行最简形矩阵.
7. 标准形
矩阵标准形的定义
矩阵总可经过初等变换化为标准形此标准形由 三个数唯一确定，其中就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.
说明：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.
8. 例题
求矩阵的等价标准形.
课堂索引：08 第三章 初等变换(1)
3.1 矩阵初等变换
例题答案
所求等价标准形为
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秩 (I)
对任意矩阵  作一系列初等行、列变换, 都可以将其化为一个标准形
问题 4.65 下列结论等价:
(1) 存在初等矩阵  使得
(2) 存在可逆矩阵  使得 .
为了方便, 我们称矩阵 为相抵的, 如果  可以由  经过一系列初等 行、列变换得到.
用相抵的语言来说, 任意矩阵  都与某个  相抵, 这样的 称为  在相抵下的标准形. 从矩阵初等变换的过程来看,  的标准形的唯一性并不明显. 不过, 数学是美的, 更是和谐的, 我们的确有
问题 4.66 矩阵  的在相抵下的标准形  是唯一的, 称  为  的秩, 记为 .
只需证明: 若  与  相抵, 则 . 利用相抵的定义和分块矩阵乘法不难得到.
矩阵的秩是矩阵的非常重要的不变量, 有很多的应用. 首先我们利用标准形和秩给出矩阵相抵的若干等价条件.
问题 4.67 设 , 则下列结论等价:
(1)  与  相抵;
(2) 存在初等矩阵  使得
(3) 存在可逆矩阵  使得 ;
(4)  有相同的标准形;
(5) .
利用矩阵的秩, 我们很容易给出矩阵可逆的另一个判别法则.
问题 4.68 设 , 则 当且仅当  可逆当且仅当.
这样, 我们把方阵的行列式与秩建立了一个比较松散的联系. 对于一般的矩阵, 如果  是方阵,  可能为零; 如果  不是方阵, 无法定义行列式. 此时, 行列式似乎与秩的关系不大了. 然而, 事情并不是这样的. 我们先来看一个简单而有趣的例子.
问题 4.69 设  不全为零, 试求 的秩.
问题并不难, 不过其中隐含了很多东西, 例如如下提到的 (I)-(VII) 共七个方面的问题.
(I) 首先注意到  的地位是一样的. 我们通过初等变换把  或  的位置与  互换. 例如, 第  列互换就把第一行的  的位置互换了. 不过, 我们最好立刻把第  行换了, 这样的效果用矩阵语言来表述就是
这样作完后得到的还是反对称矩阵(为什么?)
(II) 初等变换是计算矩阵的秩的常规方法. 将  的前两行互换, 第一行乘以, 第二行乘以 , 就能得到两个 , 再利用这两个  可以把前两行和前两列的其他元素都化为零, 从而把  化成对角形
仔细计算一下可得右下角的  是零! 由此所有的  的秩都是 , 这个结论有一点奇怪.
(III) 上面的  其实不用计算就可以知道是零, 原因是反对称矩阵的行列式有独特的性质.
问题 4.70 设 , .
(1) 若  为奇数, 则 ;
(2) 若  为偶数, 则  为一个以 为变量的多项式的平方. 特别地, 如果 , 则 .
由此,  是三阶反对称矩阵, 自然不是可逆的, 从而 .
(IV) 从分块矩阵的角度来看, 记, 其中
这样, 利用  可逆, 我们可以作分块矩阵的初等变换把  和  化为零. 具体过程为
其中, 
, 
容易得到, 从而计算得 . 前面也说过了, 不用计算而直接利用行列式也能得到 . 实际上我们还有其他方法得到这一点. 只需注意到  是反对称的, 于是  也是反对称的. 于是
故 .
这里的想法有点奇怪, 对一阶矩阵也就是一个数取转置竟然有意想不到的效果! 这个方法实际上证明了如下更一般的结论.
问题 4.71 设  是反对称矩阵, 则对任意  有 .
(5) 我们在回顾一下 (4) 中的做法. 其中比较隐蔽的是矩阵  的关系! 小心计算一下我们会发现一个奇怪的结论:于是 . 而  是反对称矩阵!
问题 4.72 设  是反对称矩阵, 则对任意 ,  也是反对称矩阵.
这个问题实际上是上一个问题的推广. 特别地, 我们以后会关注重点关注  为可逆矩阵的情形, 此时, 称 与  是合同的. 合同是一类特别的相抵, 它保持矩阵的反对称性, 也保持对称性.
对于我们的情形,  是三阶反对称矩阵, 其对角线上的元素自然都是 , 即 .
(VI) 对于一般的反对称矩阵, 我们也可以用上述方法作初等行列变换, 使得左上角的二阶矩阵是可逆的, 这样就同样可以作初等变换. 于是可得
问题 4.73 证明: 反对称矩阵的秩一定是偶数.
(VII) 上述过程的分块矩阵技巧很有用, 可以推广到一般非反对称矩阵情形.
问题 4.74 , 其中  可逆, 证明:
利用这个结论我们有
问题 4.75 设 ,  的某个 阶子式非零, 则 .
反之, 我们有
问题 4.76 ,  的所有  阶子式都是零.
(1) 对  作任何一种初等行列变换, 得到的矩阵的所有  阶子式也是零;
(2)  的标准形的所有  阶子式也是零, 从而 .
上述结论综合在一起, 我们就得到了用行列式来刻画一般矩阵的秩的方法.
问题 4.77 设 , 则 当且仅当  的某个  阶非零, 且  的所有  阶子式都是零.
有了如上秩的判别法, 如下问题就不难了.
问题 4.78 设 , 证明:
(2) 若 , 则 .
我们稍微停一下. 目前为止, 我们遇到了矩阵中的好几种变换. 在对可逆矩阵作初等变换的时候, 我们偶然间发现了相似的概念, 即
研究矩阵的初等变换下的标准形时, 我们有相抵的概念, 即
在上面的讨论中, 我们又发现了合同的概念, 即
上面的  都是可逆矩阵. 这样, 我们在短时间内发现了矩阵里面的三个主要关系, 其中的相抵是最基本的, 相似和合同实际上是特殊的相抵. 它们有各自的特点, 也有一些共性, 比如如下的性质, 这也是多项式的同余关系和整数中的同余关系所满足的.
问题 4.79 矩阵的相抵(相似、合同)是等价关系, 即它具有如下性质:
(1) 反身性: 对任意矩阵 ,  与自身相抵;
(2) 对称性: 设  与  相抵, 则  与  也相抵;
(3) 传递性: 设  与  相抵,  与 相抵, 则  与  也相抵.

	

  我们从矩阵的知识网络图可以看出，
矩阵分为两大部分内容，一个是运算，一个是变换(另一种计算)；
运算部分比较基础：加法、数乘为线性运算，矩阵的乘法(前行后列得对应元)，求逆矩阵(初等变换法求逆、伴随阵求逆)
变换部分有三类，目前只学到初等变换，需要掌握用其化行阶梯和行最简；另外还有相似变换和合同变换(第四章内容)
矩阵的幂属于矩阵乘法的一部分，也要大致理解分块矩阵的运算规则，后面讲向量以及矩阵方程的解法时常用到分块矩阵的运算原理
伴随阵求逆在行列式中讲述，也是求逆的一种方法。
(一)第一章需要掌握的知识点
我们在第一节课的时候说过，矩阵和行列式都是线性代数里面的运算工具，因此，其运算规律与性质全都是线代的基础，后面的章节都是奠基在这两个运算工具上去理解的。因此，算法和性质都是要熟练掌握的，具体如下：
矩阵的概念及基本运算(加、减、数乘和乘法)
方阵的幂与多项式，以及转置矩阵的性质
逆阵的定义式及其四条性质
分块矩阵的运算规则的运用
矩阵的初等变换及行阶梯与行最简矩阵的定义
三种初等矩阵及“左乘行变、右乘列变”的定理，及初等变换与初等矩阵的系列定理的推演过程
初等变换法求逆和矩阵的秩
矩阵的秩与方程组的解的关系
(二)第一章需要掌握的重点概念与定理
1、初等矩阵，将单位矩阵进行一次初等变换所得的矩阵，就称为初等矩阵。总共有三种(因为列变换和行变换之后得到的初等矩阵相同)。
注：单位矩阵也是初等矩阵哦(某一行或列乘以数1)。
2、【左乘行变，右乘列变】定理：对矩阵进行一次初等行变换，等于在矩阵的左边乘以一个相应的初等矩阵；对矩阵进行一次初等列变换，等于在矩阵的右边乘以一个相应的初等矩阵。
3、根据上面的定理，我们就可以将定理(任意矩阵都能经过一系列的初等行变换化为行最简形矩阵)用初等矩阵来描述。即
定理：将矩阵A左乘一系列的初等矩阵后可以等于其行最简形矩阵。
4、同理，定理(任意矩阵通过一系列的初等变换都可化为规范形)也可以用初等矩阵来描述。即
定理：将矩阵A左乘一系列初等矩阵，再右乘一系列初等矩阵后可以等于其等价标准形。
5、定理：n阶矩阵可逆的充要条件是它可以表示为一系列初等矩阵的乘积(因为初等矩阵皆可逆，初等矩阵的逆也是初等矩阵)
上述初等变换与初等矩阵定理的演进如下列图所示。
6、初等变换不改变矩阵的秩，矩阵的秩为行阶梯矩阵中非零行的个数。因此，也可以用初等行变换法求秩。
7、线性方程组的解的判别定理
(三)第一章需要掌握的重点算法
~前方高能提示~
~以下是第一章必须掌握的重点算法！~
总的来说，初等行变换求行最简的步骤总结如下：
从上至下，从第一行非零行开始，将其首非零元所在列其下的元素化为0；依次化到行阶梯。具体地，
如果第一列有为“1”的元素，将其所在行对换到第一行，以便简化计算；
以第一个非零行的首非零元为“基准元素”，将其所在列其下的元素均化为0；
接着，将第二个非零行的首非零元为“基准元素”，将其所在列其下的元素均化为0；
依次类推，直至化成【行阶梯矩阵】，即
1)如果有全零行，一定在矩阵最下方；
2)每一行首非零元前面“0”的个数是逐行增加的。
接着，化【行最简形】，化到行阶梯后，从下至上倒数第一行非零行开始，将其首非零元所在列其上的元素化为0，依次化到行最简。具体地，
  1.  从最后一行非全零行开始，其行第一个首非零元为“基准元素”，
       将其所在列其上的元素均化为0；
  2. 以倒数第二行非全零行开始，其行第一个首非零元为“基准元素”，
      将其所在列其上的元素均化为0；
  3. 依次类推，直至化成行【最简形矩阵】，即在行阶梯矩阵的基础上，满足
      1)每一行的首非零元为“1”；
      2)首非零元所在基准列其他元素均为“0”。
(注：在化简的过程中，如果出现某一行首非零元前面的零元素比前一行多，记得先对换两行，再进行化简。)
求矩阵的行最简形在后面的课程中应用非常广泛，包括
第一章中求逆矩阵和矩阵的秩！
第二章中求行列式！
第三章中求极大无关组！方程组的通解！
第四章中求特征值与特征向量！矩阵的对角化！
二次型的正交变换法！
等等。
所以用初等行变换求矩阵的行最简形是非常！十分！格外！特别！重要的内容！要过线代，就必须百分之百地掌握哦！！！！
~~第一章习题册精讲视频~~
【教学笔记】线性代数习题册精讲视频 | 第一章 矩阵及应用 计算与证明题
【教学笔记】线性代数习题册精讲视频 | 第一章矩阵及应用 填空与选择题
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