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  • 初等矩阵

    2020-02-23 16:25:35
    由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应有三种初等矩阵。 (1)把单位矩阵E的第i, j行对换,得初等矩阵。 (2)以数k≠0乘以单位矩阵E的第i行(或第i列),得初等矩阵 (3)...

     由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

    三种初等变换对应有三种初等矩阵。

    (1)把单位矩阵E的第i, j行对换,得初等矩阵。

    (2)以数k≠0乘以单位矩阵E的第i行(或第i列),得初等矩阵

    (3)以数k乘以单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘以单位矩阵的第i列加到第j列上,得初等矩阵

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  • 7.4 初等矩阵和可逆性

    2020-08-29 16:38:57
    如果矩阵A可逆的话,即存在一系列的初等矩阵E,满足 ==> ==> 在等式左右两端 乘以 A的逆 ==> 乘法结合律 即矩阵A的逆 等于 对单位矩阵 进行 第一个初等变换,第二个初等变换 … 这个过程 等同于 ==>...

    初等矩阵和可逆性

    初等矩阵:对单位矩阵 进行 一次 初等变换 得到。

    初等矩阵一定是可逆的。
    ==> 因为初等变换是可逆的,所以初等矩阵是可逆的。
    在这里插入图片描述
    对于一般矩阵,如果可逆的话,怎样得到逆矩阵呢?
    根据之前的分析 ==> 如果矩阵A可逆的话,即存在一系列的初等矩阵E,满足 ==>
    在这里插入图片描述
    ==> 在等式左右两端 乘以 A的逆
    在这里插入图片描述
    ==> 乘法结合律
    在这里插入图片描述
    即矩阵A的逆 等于 对单位矩阵 进行 第一个初等变换,第二个初等变换 …

    这个过程 等同于 ==>在这里插入图片描述
    与使用线性系统的视角的求逆方法是一样的,只不过解决问题的视角不一样
    之前将求解矩阵的逆的问题 转换成 一个求解线性系统的问题。
    而这一次 将解矩阵的逆的问题 和 初等变换联系在了一起。

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  • 任何一个可逆矩阵A都可以经初等行变换,变换到单位矩阵E。 A也可经初等列变换,变换到E。 A每经过一次初等行变换,就相当于在A的左边乘一个初等矩阵。 A每经过一次初等列变换,就相当于右乘一个初等矩阵。 左...

    任何一个可逆矩阵A都可以经初等行变换,变换到单位矩阵E。
    A也可经初等列变换,变换到E。
    A每经过一次初等行变换,就相当于在A的边乘一个初等矩阵。
    A每经过一次初等列变换,就相当于乘一个初等矩阵。
    左(行)右(列)

    初等变换的逆变换还是初等变换。
    初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。
    所以A一定可以写成一系列初等矩阵的乘积


    初等变换(初等矩阵)有三种,并且由后两个可以表示出第一个(见评论)。

    1. E(i,j).

      • 假设对任意的A:
        E(i,j) A:交换A的i、j两行
        A E(i,j):交换A的i、j两列

      • 又因为E(i,j) = E(i,j) E = E E(i,j),所以 E(i,j) 是 交换 单位矩阵E的i、j两行(或者列,其实结果是一样的)得到的。

      • 验证:以A E(i,j)为例,E(i,j) A同理。
        A =(a1, a2, … an) ai是列向量, 以下皆为列向量。
        E =(e1, e2, … en) = (… ei … ej …)
        所以 E(i,j) = (… ej … ei …),而 E(i,j) 是对称矩阵,为了方便,记一个矩阵M的转置为 M’
        所以 E(i,j) = E(i,j)’ = (… ej … ei …)’
        A E(i,j) = (a1, a2, …, an)(… ej … ei …)’ = ∑ ak ek’ + ai ej’ + aj ei’

        • x? 指示第 ? 列
          ak ek’ = ak(0, … ,xk=1, 0, …) = (0, … ,xk=ak, 0, …)
          ai ej’ = ai(0, … ,xj=1, 0, …) = (0, … ,xj=ai, 0, …)
          aj ei’ = ai(0, … ,xi=1, 0, …) = (0, … ,xi=aj, 0, …)
      • 所以A E(i,j)就相当于交换了A的i、j两列。
      • 以上是对假设的循环论证(等价性证明),所以:
      • 定义:E(i,j) 是 交换 单位矩阵E的i、j两行(列)得到的矩阵。
    2. Ei(k) k !=0
      定义:Ei(k) 是 E 的第 i 行(列)乘以 k 得到的矩阵。
      性质:Ei(k)A A的第 i 行乘以 k ;AEi(k) A的第 i 列乘以 k。
      性质的证明很简单,跟1. 类似,略。

    3. 造了右边的记号,更形象: E(ikj)
      定义:把 E 的第 i 行乘以 k 加到第 j 行;或者 把 E 的第 j 列乘以 k 加到第 i 列。
      性质E(ikj)A 把 A 的第 i 行乘以 k 加到第 j 行;AE(ikj) 把 A 的第 j 列乘以 k 加到第 i 列。

    性质的证明:E=(e1, e2 … en)

    E=E=e1..en

    E(ikj)=..ej+eik..=E+0..eik..0

    AE(ikj)=A+(...aj...)0..eik..0

    AE(ikj)=A+ajeik=A+aj(0,...,xi=k,0,...)=A+(0,...,xi=kaj,0,...)

    所以相当于把第 j 列乘以 k 倍 加到 第 i 列上。

    下面表格总结了初等变换与行列式的几何意义

    初等矩阵 初等变换【左(右)乘上它相当于初等行(列)变换】 A中向量组(n-有序单形)的几何变换 行列式(就是n-平行体有符号的面积、体积
    E(i,j) 交换第i、j两行(列) 镜像(反射),变成了手性对映体 变号 改变定向
    Ei(k) 第 i 行(列)乘以k 伸缩变换 体积乘以k
    E(ikj) 第 i 行乘以 k 加到第 j 行 或者 第 j 列乘以 k 加到第 i 列 错切变换 体积不变
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  • 7.3 初等矩阵

    2020-08-29 16:17:45
    初等矩阵 之前在解一个线性系统所创建的增广矩阵问题时,采用的主要是针对某一元素去执行操作 ,在矩阵的内部进行元素矩阵的操作==> 回忆:矩阵可以表示变换 上述的基本操作 能不能通过矩阵 来表示呢 ? ==> 即...

    初等矩阵

    之前在解一个线性系统所创建的增广矩阵问题时,采用的主要是针对某一元素去执行操作 ,在矩阵的内部进行元素矩阵的操作==>在这里插入图片描述
    回忆:矩阵可以表示变换
    上述的基本操作 能不能通过矩阵 来表示呢 ?
    ==> 即:找到一个矩阵E 满足 E * A = A’

    举例 之前学习的单位矩阵 ==>
    在这里插入图片描述
    其实这个单位矩阵也可以看作是一个变换矩阵,只不过所作的变换是 没有变换 而已。

    把 单位矩阵中的 元素 做出改变 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 加(减)另一行
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 减 第三行
    即满足
    >
    在这里插入图片描述

    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 加(减) 另一行的若干倍
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的两行进行交换
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 ==>
    改变两行,因为在结果矩阵中 需要改变两行。
    在这里插入图片描述
    综上,矩阵的三个基本操作,都可以使用一个变换矩阵完成。
    在这里插入图片描述

    矩阵的初等变换 ==>在这里插入图片描述
    对应 矩阵的初等变换 的变换矩阵 ==> 初等矩阵 ==>
    在这里插入图片描述
    初等矩阵:对单位矩阵进行依次初等变换得到的结果矩阵,记作E。

    回忆使用 高斯-约旦消元法把矩阵化为行最简形式的过程。
    ==>
    寻找一系列的初等矩阵E,使得:
    Ep * … * E3 * E2 * E1 * A = rref(A)

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