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  • 初等矩阵

    千次阅读 2020-05-14 10:18:52
    初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。 性质: 1.单位矩阵交换ij两行的得到Pij,Pij*A得到的矩阵是交换A的ij两行得到的矩阵,A*Pij得到的矩阵为交换A的ij两列得到的矩阵 2.单位矩阵第i行乘以常数k...

    初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

    性质:

    单位矩阵交换ij两的得到Pij,Pij*A得到的矩阵是交换A的ij两得到的矩阵

    单位矩阵交换ij两的得到Pij,A*Pij得到的矩阵为交换A的ij两得到的矩阵

     

    单位矩阵第i乘以常数k得到初等方阵Di(k),Di(k)*B为B的第i行乘以k得到的新矩阵;

    单位矩阵第i乘以常数k得到初等方阵Di(k),B*Di(k)为B的第i列乘以k得到的新矩阵;

     

    将单位矩阵的第i的k倍加到第j得到初等方阵Pij(k),Pij(k)*C得到的是矩阵C的第i行的k倍加到第j行得到的矩阵;

    将单位矩阵的第i的k倍加到第j得到初等方阵Pij(k),C*Pij(k)得到的是矩阵C的第i列的k倍加到第j列得到的矩阵

    注:单位矩阵某一行或某一列乘以同一个数,初等矩阵的变化相同,同样,交换ij行和交换ij列效果也相同,因此在第二条中,都是根据单位矩阵行的变化确定矩阵A或B的变化。当然,初等矩阵一样,但位于原矩阵不同侧时,最后的结果还是不同的

    例:

    D=\begin{bmatrix} 2 &0 &0 \\ 0 &1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

    B=\begin{bmatrix} 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

    DB=\begin{bmatrix} 2 & 2 &2 \\ 1 & 1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} ,BD=\begin{bmatrix} 2 & 1 &1 \\ 2 & 1 &1 \\ 2 & 1 &1 \end{bmatrix}

    但将第i行乘以某个数后加到第j行,与将第i列乘以某个数后加到第j列,初等矩阵的变化不同,因此要做区分。至于到底是看矩阵的行变化还是列变化,只要开初等矩阵在原矩阵的哪边就行,在左边,则为行变化,在右边,则为列变化

    D=\begin{bmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}

    既可以看作是第一列加到第三列,也可以是第三行加到第一行

    如果是DB,那么就是把B的第三行加到第一行,如果是BD,那么就是把B的第一列加到第三列。

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  • 7.3 初等矩阵

    千次阅读 2020-08-29 16:17:45
    初等矩阵 之前在解一个线性系统所创建的增广矩阵问题时,采用的主要是针对某一元素去执行操作 ,在矩阵的内部进行元素矩阵的操作==> 回忆:矩阵可以表示变换 上述的基本操作 能不能通过矩阵 来表示呢 ? ==> 即...

    初等矩阵

    之前在解一个线性系统所创建的增广矩阵问题时,采用的主要是针对某一元素去执行操作 ,在矩阵的内部进行元素矩阵的操作==>在这里插入图片描述
    回忆:矩阵可以表示变换
    上述的基本操作 能不能通过矩阵 来表示呢 ?
    ==> 即:找到一个矩阵E 满足 E * A = A’

    举例 之前学习的单位矩阵 ==>
    在这里插入图片描述
    其实这个单位矩阵也可以看作是一个变换矩阵,只不过所作的变换是 没有变换 而已。

    把 单位矩阵中的 元素 做出改变 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 加(减)另一行
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 减 第三行
    即满足
    >
    在这里插入图片描述

    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 加(减) 另一行的若干倍
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的两行进行交换
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 ==>
    改变两行,因为在结果矩阵中 需要改变两行。
    在这里插入图片描述
    综上,矩阵的三个基本操作,都可以使用一个变换矩阵完成。
    在这里插入图片描述

    矩阵的初等变换 ==>在这里插入图片描述
    对应 矩阵的初等变换 的变换矩阵 ==> 初等矩阵 ==>
    在这里插入图片描述
    初等矩阵:对单位矩阵进行依次初等变换得到的结果矩阵,记作E。

    回忆使用 高斯-约旦消元法把矩阵化为行最简形式的过程。
    ==>
    寻找一系列的初等矩阵E,使得:
    Ep * … * E3 * E2 * E1 * A = rref(A)

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  • 初等变换与初等矩阵(黄金考点) 1)初等行(列)变换有三种。 两行(列)互换; 一行(列)加另一行(列)的倍数; 一行(列)乘以一个非零数。 2)初等矩阵: 将单位矩阵进行一次初等行或列变换就可以等到初等...

    初等变换与初等矩阵(黄金考点)

    1)初等行(列)变换有三种

    两行(列)互换;

    image-20211011201617419

    一行(列)加另一行(列)的倍数;

    image-20211011201641025

    一行(列)乘以一个非零数。

    image-20211011201658102


    2)初等矩阵:

    将单位矩阵进行一次初等行或列变换就可以等到初等矩阵。

    在这里插入图片描述

    image-20211011201922664

    image-20211011201950265


    3)初等矩阵与初等变换的关系:(重点)

    (黄金考点)

    对于一个矩阵进行初等行(列)变换,相等对此矩阵左(右)乘一个相应的初等矩阵。

    image-20211011202428659

    行变换乘左,列变换乘右。

    例题1:

    image-20211011202818337


    4)初等矩阵的性质(求逆):

    5)初等变换和初等矩阵:利用两者关系求解,将文字语言装换成数学语言。

    例题1:

    image-20211011203023166

    例题2:

    image-20211011203338907

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  • 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系, 概括来说就是: 左行右列. 也就是说左乘初等矩阵进行的是行初等变换;而右乘初等矩阵进行的是列初等变换. 假设 Am×n=(a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1aj2......

    矩阵的初等变换与初等矩阵的关系, 概括来说就是: 左行右列. 也就是说左乘初等矩阵进行的是行初等变换;而右乘初等矩阵进行的是列初等变换.

    假设
    A m × n = ( a 11 a 12 . . . a 1 n . . . . . . . . . . . . a i 1 a i 2 . . . a i n . . . . . . . . . . . . a j 1 a j 2 . . . a j n . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) A_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix} Am×n=a11...ai1...aj1...am1a12...ai2...aj2...am2.....................a1n...ain...ajn...amn
    那么具体有如下几种情况:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    A E ( i , j ( c ) ) = ( a 11 . . . a 1 i . . . a 1 j + c a 1 i . . . a 1 n a 21 . . . a 2 i . . . a 2 j + c a 2 i . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m 1 . . . a m i . . . a m j + c a m i . . . a m n ) AE(i,j(c))=\begin{pmatrix} a_{11}& ... & a_{1i} & ... & a_{1j}+ca_{1i} & ... & a_{1n} \\ a_{21}& ... & a_{2i} & ... & a_{2j}+ca_{2i} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... &... & ... & ... \\ a_{m1}& ... & a_{mi} & ... & a_{mj}+ca_{mi} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix} AE(i,j(c))=a11a21...am1............a1ia2i...ami............a1j+ca1ia2j+ca2i...amj+cami............a1na2n...amn

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  • 初等矩阵左乘 右乘与初等变换

    万次阅读 2020-12-19 11:01:37
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  • 矩阵初等变换

    千次阅读 2016-10-13 09:26:31
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    千次阅读 2019-12-12 11:18:11
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  • 线性方程组是线性代数学课的考虑范畴,会使用matlab解决,可以效率更快。matlab种逆矩阵是左除和右除。初等变换法就是一个rref函数
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