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  • 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系, 概括来说就是: 左行右列. 也就是说左乘初等矩阵进行的是行初等变换;而右乘初等矩阵进行的是列初等变换. 假设 Am×n=(a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1aj2......

    矩阵的初等变换与初等矩阵的关系, 概括来说就是: 左行右列. 也就是说左乘初等矩阵进行的是行初等变换;而右乘初等矩阵进行的是列初等变换.

    假设
    Am×n=(a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1aj2...ajn............am1am2...amn) A_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix}
    那么具体有如下几种情况:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    AE(i,j(c))=(a11...a1i...a1j+ca1i...a1na21...a2i...a2j+ca2i...a2n.....................am1...ami...amj+cami...amn) AE(i,j(c))=\begin{pmatrix} a_{11}& ... & a_{1i} & ... & a_{1j}+ca_{1i} & ... & a_{1n} \\ a_{21}& ... & a_{2i} & ... & a_{2j}+ca_{2i} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... &... & ... & ... \\ a_{m1}& ... & a_{mi} & ... & a_{mj}+ca_{mi} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix}

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  • 第三章,矩阵,06-初等变换与初等矩阵标准形初等行变换初等列变换初等变换行阶梯形矩阵行最简形标准形初等矩阵定义性质可逆等价矩阵相关定义行等价列等价等价性质定理1定理2推论 玩转线性代数(18)初等变换与初等矩阵...


    玩转线性代数(18)初等变换与初等矩阵
    的笔记

    标准形

    初等行变换

    对矩阵的行进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。

    初等列变换

    对矩阵的列进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。

    初等变换

    初等行变换与初等列变换统称初等变换。

    行阶梯形矩阵

    初等行变换,至如下形式:

    (1) 如果有零行,则位于矩阵的下方;

    (2) 各非零行的首非零元的列标随着行标的增大而严格增大.

    行最简形

    首非零元为1和首非零元所在列其它元素为0的行阶梯形矩阵

    标准形

    标准形是对矩阵进行初等变换(一般在行最简形的基础上再进行初等列变换)将A化成如下形式:
    F=(Er000)F=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},0\textbf{0}为零矩阵,rm,rn.r \leq m, r \leq n.

    初等矩阵

    对矩阵进行一次初等变换相当于左乘了一个将单位矩阵进行了同样变换的矩阵。

    定义

    由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
    初等矩阵共有三种类型:

    1. 互换两行或两列
      互换E中第i,j两行/列的初等矩阵用En(i,j)E_n(i,j)表示
    2. 数乘
      以数k(0)k(\neq 0)乘E的第i行/列(ri×kr_i×k),用En(i(k))E_n(i(k))表示。
    3. 倍加
      以k乘E的第j行加到第i行上(ri+krjr_i+kr_j),与以k乘E的第i列加到第j行上,
      En(ij(k))E_n(ij(k))表示。
      参见原文

    性质

    设A是一个m×n矩阵,
    对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的n阶初等矩阵。
    对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

    可逆

    初等矩阵的逆变换就是对自身再做一次同类型的初等变换得到的矩阵。
    E(i,j)=1;E(i(j))=k(k0);E(i,j(k))=1|E(i,j)|=-1;|E(i(j))|=k(k\neq 0);|E(i,j(k))|=1,所以初等矩阵均可逆,由于
    E(i,j)E(i,j)=E,E(i(k))E(i(1k))=E,E(ij(k))E(ij(k))=E(ij(k))E(ij(k))=EE(i,j)E(i,j)=E, \\ E(i(k))E(i(\frac{1}{k}))=E,\\ E(ij(-k))E(ij(k))=E(ij(k))E(ij(-k))=E
    有:
    E(i,j)1=E(i,j),E(i(k))1=E(i(1k)),E(ij(k))1=E(ij(k))E(i,j)^{-1}=E(i,j), \\ E(i(k))^{-1}=E(i(\frac{1}{k})),\\ E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))

    等价矩阵

    相关定义

    行等价

    矩阵A经有限次初等行变换化为B,则A与B行等价,记ArBA^r \sim B

    列等价

    矩阵A经有限次初等列变换化为B,则A与B列等价,记AcBA^c \sim B

    等价

    矩阵A经有限次初等变换化为B,则A与B等价,记ABA \sim B

    性质

    反身性:AAA \sim A;
    对称性:若ABA\sim B,则BAB \sim A;
    传递性:若AB,BCA\sim B,B \sim C,则ACA \sim C

    形式最简单的等价矩阵是标准形

    定理1

    设A与B为m×nm×n矩阵,则

    1. ArBplp1A=BA^r \sim B \Leftrightarrow p_l\cdots p_1 A=B \Leftrightarrow 存在m阶可逆矩阵P,使PA=BPA=B.
    2. AcBA^c \sim B \Leftrightarrow 存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=BAQ=B.
    3. ABA \sim B \Leftrightarrow 分别存在m、n阶可逆矩阵P、Q,使PAQ=BPAQ=B.

    定理2

    设A为可逆矩阵,则存在有限个初等矩阵P1P2PlP_1,P_2 ,\cdots ,P_l,使A=P1P2PlA=P_1P_2 \cdots P_l

    对可逆矩阵A进行初等变换,化为最简形F,
    p1p2...psAq1q2...qt=F=(Er000)np_1p_2...p_sAq_1q_2...q_t=F=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}_n,故
    A=pz1pz11...p11(Er000)nqt1qt11...q11A=p_z^{-1}p_{z-1}^{-1}...p_1^{-1}\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}_n q_t^{-1}q_{t-1}^{-1}...q_1^{-1}
    因为A可逆,所以F主对角线应没有零元,所以F=E。
    所以
    A=pz1pz11...p11qt1qt11...q11A=p_z^{-1}p_{z-1}^{-1}...p_1^{-1} q_t^{-1}q_{t-1}^{-1}...q_1^{-1}
    例见原文

    推论

    方阵A可逆的充要条件是AcEA^c \sim EArEA^r \sim E
    证明思路:
    A可逆,则A=P1P2PlA=P_1P_2 \cdots P_l,所以A与E行等价或列等价;A与E行等价,则有A=P1P2PlEA=P_1P_2 \cdots P_lE,可逆。列等价也一样。

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  • 7.3 初等矩阵

    2020-08-29 16:17:45
    初等矩阵 之前在解一个线性系统所创建的增广矩阵问题时,采用的主要是针对某一元素去执行操作 ,在矩阵的内部进行元素矩阵的操作==> 回忆:矩阵可以表示变换 上述的基本操作 能不能通过矩阵 来表示呢 ? ==> 即...

    初等矩阵

    之前在解一个线性系统所创建的增广矩阵问题时,采用的主要是针对某一元素去执行操作 ,在矩阵的内部进行元素矩阵的操作==>在这里插入图片描述
    回忆:矩阵可以表示变换
    上述的基本操作 能不能通过矩阵 来表示呢 ?
    ==> 即:找到一个矩阵E 满足 E * A = A’

    举例 之前学习的单位矩阵 ==>
    在这里插入图片描述
    其实这个单位矩阵也可以看作是一个变换矩阵,只不过所作的变换是 没有变换 而已。

    把 单位矩阵中的 元素 做出改变 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 加(减)另一行
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 减 第三行
    即满足
    >
    在这里插入图片描述

    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 加(减) 另一行的若干倍
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的两行进行交换
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 ==>
    改变两行,因为在结果矩阵中 需要改变两行。
    在这里插入图片描述
    综上,矩阵的三个基本操作,都可以使用一个变换矩阵完成。
    在这里插入图片描述

    矩阵的初等变换 ==>在这里插入图片描述
    对应 矩阵的初等变换 的变换矩阵 ==> 初等矩阵 ==>
    在这里插入图片描述
    初等矩阵:对单位矩阵进行依次初等变换得到的结果矩阵,记作E。

    回忆使用 高斯-约旦消元法把矩阵化为行最简形式的过程。
    ==>
    寻找一系列的初等矩阵E,使得:
    Ep * … * E3 * E2 * E1 * A = rref(A)

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  • 在做矩阵的逆运算(也就是出除法运算)时,分母的左右取决余原乘式左右; 右除式A/B,相当于A*inv(B)即A右乘B的逆矩阵; 左除式A\B,相当于inv(A)*B即A的逆矩阵左乘B ...

     

    目录

    正交矩阵;

    实对称矩阵;

    为什么实对称矩阵一定可以对角化;

    AB=0 r(A)+r(B)<=n 证明;

    初等矩阵;

    初等矩阵的逆矩阵;

    矩阵的左除右除;


    正交矩阵;

    如果:AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则:

     

    1)逆也是正交阵 对于一个正交矩阵来说,它的逆矩阵同样也是正交矩阵。

    2)积也是正交阵 如果两个矩阵均为正交矩阵,那么它们的乘积也是正交矩阵。

    3)A的各行是单位向量且两两正交

    4)A的各列是单位向量且两两正交

    5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R

    6)|A|=1或-1

    7) 

    8)正交矩阵通常用字母Q表示。

    实对称矩阵

    如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji),(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵

    主要性质:

    • 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
    • 2.实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。
    • 3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
    • 4.若A具有k重特征值λ0 必有k个线性无关的特征向量,或者说秩r(λ0E-A)必为n-k,其中E单位矩阵
    • 5.实对称矩阵A一定可正交相似对角化。

    为什么实对称矩阵一定可以对角化

     

    实对称阵的特征值都是实数,所以n阶阵在实数域中就有n个特征值(包括重dao数),并且实对版称阵的每个特征值权的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的,从而n阶矩阵共有n个无关特征向量,所以可对角化。

    判断方阵是否可相似对角化的条件:

    • (1)充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性无关的特征向量;
    • (2)充要条件的另一种形式:An可相似对角化的充要条件是:An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k;
    • (3)充分条件:如果An的n个特征值两两不同,那么An一定可以相似对角化;
    • (4)充分条件:如果An是实对称矩阵,那么An一定可以相似对角化。

    AB=0 r(A)+r(B)<=n 证明:

    AB=0,则说明B的列向量都是AX=0的解

    因此B的列向量是AX=0解集的属子集

    则B列向量组的秩,不大于方程组AX=0的基础解系的个数,即n-r(A)

    即r(B)<= n-r(A)
    因此:r(A)+r(B)<=n

    初等矩阵

    初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。

    初等矩阵都可逆

    初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵(可看作逆变换)。

    例如:

    • 交换矩阵中某两行(列)的位置;
    • 用一个非零常数k乘以矩阵的某一行(列);
    • 将矩阵的某一行(列)乘以常数k后加到另一行(列)上去。

    若某初等矩阵左乘矩阵A,则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换,按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说,想对矩阵A做变换,但是 不是直接对矩阵A去做处理,而是通过一种间接方式去实现。

    初等矩阵的逆矩阵

    1、行交换(列交换)的初等矩阵,逆矩阵还是本身;

    2、某一行(或列)乘以一个倍数回的初等矩阵答,逆矩阵,是这一行(或列)除以这个倍数的初等矩阵;

    3、某一行(或列)乘以一个倍数,加到另一行(或列)的初等矩阵,逆矩阵,是这一行(或列)乘以这个倍数的相反数,加到另外那一行(或列)的初等矩阵。

    初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵(可看作逆变换)。例如,交换矩阵中某两行(列)的位置;用一个非零常数k乘以矩阵的某一行(列);将矩阵的某一行(列)乘以常数k后加到另一行(列)上去。

    矩阵的左除右除

    在做矩阵的逆运算(也就是出除法运算)时,分母的左右取决余原乘式左右;

    右除式A/B,相当于A*inv(B)即A右乘B的逆矩阵;

    左除式A\B,相当于inv(A)*B即A的逆矩阵左乘B

     

     

     

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