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  • 初等矩阵 千次阅读
    2020-02-23 16:25:35

     由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

    三种初等变换对应有三种初等矩阵。

    (1)把单位矩阵E的第i, j行对换,得初等矩阵。

    (2)以数k≠0乘以单位矩阵E的第i行(或第i列),得初等矩阵

    (3)以数k乘以单位矩阵的第j行加到第i行上或以k乘以单位矩阵的第i列加到第j列上,得初等矩阵

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  • 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系, 概括来说就是: 左行右列. 也就是说左乘初等矩阵进行的是行初等变换;而右乘初等矩阵进行的是列初等变换. 假设 Am×n=(a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1aj2......

    矩阵的初等变换与初等矩阵的关系, 概括来说就是: 左行右列. 也就是说左乘初等矩阵进行的是行初等变换;而右乘初等矩阵进行的是列初等变换.

    假设
    A m × n = ( a 11 a 12 . . . a 1 n . . . . . . . . . . . . a i 1 a i 2 . . . a i n . . . . . . . . . . . . a j 1 a j 2 . . . a j n . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ) A_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix} Am×n=a11...ai1...aj1...am1a12...ai2...aj2...am2.....................a1n...ain...ajn...amn
    那么具体有如下几种情况:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    A E ( i , j ( c ) ) = ( a 11 . . . a 1 i . . . a 1 j + c a 1 i . . . a 1 n a 21 . . . a 2 i . . . a 2 j + c a 2 i . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a m 1 . . . a m i . . . a m j + c a m i . . . a m n ) AE(i,j(c))=\begin{pmatrix} a_{11}& ... & a_{1i} & ... & a_{1j}+ca_{1i} & ... & a_{1n} \\ a_{21}& ... & a_{2i} & ... & a_{2j}+ca_{2i} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... &... & ... & ... \\ a_{m1}& ... & a_{mi} & ... & a_{mj}+ca_{mi} & ... & a_{mn} \\ \end{pmatrix} AE(i,j(c))=a11a21...am1............a1ia2i...ami............a1j+ca1ia2j+ca2i...amj+cami............a1na2n...amn

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  • 7.3 初等矩阵

    千次阅读 2020-08-29 16:17:45
    初等矩阵 之前在解一个线性系统所创建的增广矩阵问题时,采用的主要是针对某一元素去执行操作 ,在矩阵的内部进行元素矩阵的操作==> 回忆:矩阵可以表示变换 上述的基本操作 能不能通过矩阵 来表示呢 ? ==> 即...

    初等矩阵

    之前在解一个线性系统所创建的增广矩阵问题时,采用的主要是针对某一元素去执行操作 ,在矩阵的内部进行元素矩阵的操作==>在这里插入图片描述
    回忆:矩阵可以表示变换
    上述的基本操作 能不能通过矩阵 来表示呢 ?
    ==> 即:找到一个矩阵E 满足 E * A = A’

    举例 之前学习的单位矩阵 ==>
    在这里插入图片描述
    其实这个单位矩阵也可以看作是一个变换矩阵,只不过所作的变换是 没有变换 而已。

    把 单位矩阵中的 元素 做出改变 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 加(减)另一行
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 减 第三行
    即满足
    >
    在这里插入图片描述

    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的一行 加(减) 另一行的若干倍
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 >
    在这里插入图片描述
    找到一个变换矩阵 :让矩阵的两行进行交换
    即满足
    >
    在这里插入图片描述
    对应的变换矩阵 ==>
    改变两行,因为在结果矩阵中 需要改变两行。
    在这里插入图片描述
    综上,矩阵的三个基本操作,都可以使用一个变换矩阵完成。
    在这里插入图片描述

    矩阵的初等变换 ==>在这里插入图片描述
    对应 矩阵的初等变换 的变换矩阵 ==> 初等矩阵 ==>
    在这里插入图片描述
    初等矩阵:对单位矩阵进行依次初等变换得到的结果矩阵,记作E。

    回忆使用 高斯-约旦消元法把矩阵化为行最简形式的过程。
    ==>
    寻找一系列的初等矩阵E,使得:
    Ep * … * E3 * E2 * E1 * A = rref(A)

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  • 参考:张宇高等数学基础30讲 文章目录1. 矩阵的逆1.1 逆矩阵的定义1.2 逆矩阵性质与重要公式1.3 用定义求逆矩阵1.4 例题... 初等变换与初等矩阵 1. 矩阵的逆 1.1 逆矩阵的定义 定义:设 A,B\pmb{A},\pmb{B}AAA,BBB .
    • 参考:张宇高等数学基础30讲

    1. 矩阵的逆

    1.1 逆矩阵的定义

    • 定义:设 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是n阶方阵 E \pmb{E} EEE 是n阶单位阵,若 A B = B A = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{B}\pmb{A} = \pmb{E} AAABBB=BBBAAA=EEE,则称 A \pmb{A} AAA可逆矩阵,并称 B \pmb{B} BBB A \pmb{A} AAA逆矩阵,并称 B \pmb{B} BBB A \pmb{A} AAA 的逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,记作 A − 1 \pmb{A}^{-1} AAA1注意逆矩阵是相互的,即有
      { A − 1 = B B − 1 = A \left\{ \begin{aligned} \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} \\ \pmb{B}^{-1} = \pmb{A} \end{aligned} \right. {AAA1=BBBBBB1=AAA
    • A \pmb{A} AAA 可逆的充要条件 ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0,当 ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0 时, A \pmb{A} AAA 可逆,且
      A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^* AAA1=AAA1AAA
      其中 A ∗ \pmb{A}^* AAA 是矩阵 A \pmb{A} AAA 的伴随矩阵

    1.2 逆矩阵性质与重要公式

    • 欲利用定义法证明 A − 1 = B \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} AAA1=BBB,只需证明 A B = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{E} AAABBB=EEE 即可,下面用此方法证明一些常用性质和公式。设 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是同阶可逆矩阵,则

      公式证明
      ( A − 1 ) − 1 = A (\pmb{A}^{-1})^{-1} = \pmb{A} (AAA1)1=AAA A − 1 A = E \pmb{A}^{-1}\pmb{A} = \pmb{E} AAA1AAA=EEE
      ( k A ) − 1 = 1 k A − 1    , k ≠ 0 (k\pmb{A})^{-1} = \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1}\space\space ,k\neq 0 (kAAA)1=k1AAA1  ,k=0 ( k A ) − 1 ⋅ 1 k A − 1 = E (k\pmb{A})^{-1} · \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} = \pmb{E} (kAAA)1k1AAA1=EEE
      ( A B ) (\pmb{A}\pmb{B}) (AAABBB) 也可逆,且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (\pmb{A}\pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} (AAABBB)1=BBB1AAA1 A B B − 1 A − 1 = A ( B B − 1 ) A − 1 = A A − 1 = E \pmb{A}\pmb{B}\pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} =\pmb{A}(\pmb{B}\pmb{B}^{-1})\pmb{A}^{-1} = \pmb{A}\pmb{A}^{-1} = \pmb{E} AAABBBBBB1AAA1=AAA(BBBBBB1)AAA1=AAAAAA1=EEE
      A T \pmb{A}^T AAAT 也可逆,且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (\pmb{A}^T)^{-1} = (\pmb{A}^{-1})^T (AAAT)1=(AAA1)T A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E \pmb{A}^T(\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^{-1}\pmb{A})^T = \pmb{E}^T = \pmb{E} AAAT(AAA1)T=(AAA1AAA)T=EEET=EEE
      ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1     , ∣ A ∣ − 1 ≠ 0 \vert\pmb{A}^{-1}\vert = \vert\pmb{A}\vert^{-1}\space\space\space,\vert\pmb{A}\vert^{-1}\neq 0 AAA1=AAA1   ,AAA1=0 ∣ A − 1 A ∣ = ∣ E ∣ ⇒ ∣ A − 1 ∣ ∣ A ∣ = 1 ⇒ ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 \vert\pmb{A}^{-1}\pmb{A}\vert = \vert\pmb{E}\vert \Rightarrow \vert\pmb{A}^{-1}\vert\vert\pmb{A}\vert = 1 \Rightarrow \vert\pmb{A}^{-1}\vert = \vert\pmb{A}\vert^{-1} AAA1AAA=EEEAAA1AAA=1AAA1=AAA1

    1.3 用定义求逆矩阵

    • 定义法适用于求抽象矩阵的逆矩阵
      方法说明
      依定义即求一个矩阵 B \pmb{B} BBB,使得 A B = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{E} AAABBB=EEE,则 A \pmb{A} AAA 可逆,且 A − 1 = B \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} AAA1=BBB
      A \pmb{A} AAA 分解成若干个可逆矩阵的乘积因为两个可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵,即若 A = B C \pmb{A} = \pmb{B}\pmb{C} AAA=BBBCCC,其中 B , C \pmb{B},\pmb{C} BBB,CCC 均可逆,则 A \pmb{A} AAA 可逆,且 A − 1 = ( B C ) − 1 = C − 1 B − 1 \pmb{A}^{-1} = (\pmb{B}\pmb{C})^{-1} = \pmb{C}^{-1}\pmb{B}^{-1} AAA1=(BBBCCC)1=CCC1BBB1
      一些简单分块矩阵的逆 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 均是可逆方阵,则 [ A O O B ] − 1 = [ A − 1 O O B − 1 ] ,     [ O A B O ] − 1 = [ O A − 1 B − 1 O ] \begin{bmatrix}\pmb{A} &\pmb{O} \\\pmb{O} &\pmb{B}\end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix}\pmb{A}^{-1} &\pmb{O} \\\pmb{O} &\pmb{B}^{-1}\end{bmatrix},\space\space\space\begin{bmatrix}\pmb{O} &\pmb{A} \\\pmb{B} &\pmb{O}\end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix}\pmb{O} &\pmb{A}^{-1} \\\pmb{B}^{-1} &\pmb{O}\end{bmatrix} [AAAOOOOOOBBB]1=[AAA1OOOOOOBBB1],   [OOOBBBAAAOOO]1=[OOOBBB1AAA1OOO]

    1.4 例题

    1. A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 均是n阶方阵,且 A B = A + B \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{A}+\pmb{B} AAABBB=AAA+BBB。证明 A − E \pmb{A}-\pmb{E} AAAEEE 可逆,并求 ( A − E ) − 1 (\pmb{A}-\pmb{E})^{-1} (AAAEEE)1
      思路:用定义法,找 ( A − E ) (\pmb{A}-\pmb{E}) (AAAEEE) 乘以什么得 E \pmb{E} EEE
      ∵ A B = A + B ∴ A B − A − B + E = E ∴ A ( B − E ) − ( B − E ) = E ∴ ( A − E ) ( B − E ) = E ∴ ( A − E ) − 1 = B − E \begin{aligned} &\because \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{A}+\pmb{B}\\ &\therefore \pmb{A}\pmb{B} - \pmb{A}-\pmb{B} + \pmb{E} = \pmb{E}\\ &\therefore \pmb{A}(\pmb{B} - \pmb{E})- (\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E}\\ &\therefore (\pmb{A} - \pmb{E})(\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E}\\ &\therefore (\pmb{A}-\pmb{E})^{-1} = \pmb{B} - \pmb{E} \end{aligned} AAABBB=AAA+BBBAAABBBAAABBB+EEE=EEEAAA(BBBEEE)(BBBEEE)=EEE(AAAEEE)(BBBEEE)=EEE(AAAEEE)1=BBBEEE
      其中倒数第二个等式 ( A − E ) ( B − E ) = E (\pmb{A} - \pmb{E})(\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E} (AAAEEE)(BBBEEE)=EEE 成立就证明了 A − E \pmb{A}-\pmb{E} AAAEEE 可逆。也可在此式两边取行列式,则有
      ∣ A − E ∣ = 1 ∣ B − E ∣ ≠ 0 ⇒ ( A − E ) 可 逆 |\pmb{A} - \pmb{E}| = \frac{1}{|\pmb{B} - \pmb{E}|} \neq 0 \Rightarrow (\pmb{A}-\pmb{E})可逆 AAAEEE=BBBEEE1=0(AAAEEE)
    2. A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是同阶可逆矩阵,且 A − 1 + B − 1 \pmb{A}^{-1}+\pmb{B}^{-1} AAA1+BBB1 是可逆矩阵,证明 A + B \pmb{A}+\pmb{B} AAA+BBB 是可逆矩阵,并求 ( A + B ) − 1 (\pmb{A}+\pmb{B})^{-1} (AAA+BBB)1
      思路:用拆分法,找出可逆矩阵 M , N \pmb{M},\pmb{N} MMM,NNN 使得 A = M N \pmb{A} = \pmb{M}\pmb{N} AAA=MMMNNN,则 A − 1 = N − 1 M − 1 \pmb{A}^{-1} = \pmb{N}^{-1}\pmb{M}^{-1} AAA1=NNN1MMM1
      ∵ A , B 可 逆 ∴ A + B = A ( E + A − 1 B ) = A ( B − 1 + A − 1 ) B ∵ A , ( B − 1 + A − 1 ) , B 都 可 逆 ∴ ( A + B ) − 1 = B − 1 ( B − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 \begin{aligned} &\because \pmb{A},\pmb{B} 可逆 \\ &\therefore \pmb{A} + \pmb{B} = \pmb{A}(\pmb{E}+\pmb{A}^{-1}\pmb{B}) = \pmb{A}(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1})\pmb{B}\\ &\because \pmb{A},(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1}),\pmb{B} 都可逆 \\ &\therefore (\pmb{A} + \pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1})^{-1}\pmb{A}^{-1} \end{aligned} AAA,BBBAAA+BBB=AAA(EEE+AAA1BBB)=AAA(BBB1+AAA1)BBBAAA,(BBB1+AAA1),BBB(AAA+BBB)1=BBB1(BBB1+AAA1)1AAA1

    2. 伴随矩阵

    2.1 伴随矩阵的定义

    • 定义:将行列式 ∣ A ∣ |\pmb{A}| AAA n 2 n^2 n2 个元素的代数余子式按照如下形式(就是第 i i i 行元素的代数余子式写在第 i i i 列)排列成的矩阵称为 A \pmb{A} AAA伴随矩阵,记作 A ∗ \pmb{A}^* AAA,即
      A ∗ = [ A 11 A 21 … A n 1 A 12 A 22 … A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n … A n n ] − 1 \pmb{A}^* = \begin{bmatrix} &A_{11} &A_{21} &\dots &A_{n1}\\ &A_{12} &A_{22} &\dots &A_{n2}\\ &\vdots &\vdots & &\vdots\\ &A_{1n} &A_{2n} &\dots &A_{nn}\\ \end{bmatrix}^{-1} AAA=A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann1

    2.2 伴随矩阵的定义与重要公式

    1. 对任意 n 阶方阵 A \pmb{A} AAA,都有伴随矩阵 A ∗ \pmb{A}^* AAA,且有公式

      公式证明
      A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E \pmb{A}\pmb{A}^* = \pmb{A}^*\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} AAAAAA=AAAAAA=AAAEEE可以用归纳法证明,给出一个2阶的例子,设 A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{bmatrix} AAA=[a11a21a12a22] A ∗ = [ A 11 A 21 A 12 A 22 ] \pmb{A}^*=\begin{bmatrix}A_{11} &A_{21} \\ A_{12} &A_{22}\end{bmatrix} AAA=[A11A12A21A22],则有 A A ∗ = [ a 11 A 11 + a 12 A 12 a 11 A 21 + a 12 A 22 a 21 A 11 + a 22 A 12 a 21 A 21 + a 22 A 22 ] = [ ∣ A ∣ 0 0 ∣ A ∣ ] = ∣ A ∣ E \pmb{A}\pmb{A}^* = \begin{bmatrix}&a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12} &a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}\\&a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12} &a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vert\pmb{A}\vert &0\\0 &\vert\pmb{A}\vert\end{bmatrix} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} AAAAAA=[a11A11+a12A12a21A11+a22A12a11A21+a12A22a21A21+a22A22]=[AAA00AAA]=AAAEEE
      ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \vert\pmb{A}^*\vert = \vert\pmb{A}\vert^{n-1} AAA=AAAn1 ∵ A ∗ A = ∣ A ∣ E ∴ ∣ A ∗ A ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ ∴ ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ = ∣ A ∣ n ∴ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \begin{aligned}&\because \pmb{A}^*\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\pmb{A}\vert = \vert \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} \vert \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\vert\vert\pmb{A}\vert = \vert\pmb{A}\vert^n \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\vert = \vert\pmb{A}\vert^{n-1}\end{aligned} AAAAAA=AAAEEEAAAAAA=AAAEEEAAAAAA=AAAnAAA=AAAn1
      ( A + B ) ∗ ≠ A ∗ + B ∗ (\pmb{A}+\pmb{B})^* \neq \pmb{A}^* + \pmb{B}^* (AAA+BBB)=AAA+BBB-
    2. 交换律
      { A E = E A A k E = k E A A A ∗ = A ∗ A A B = B A = E    ( 要 求 A − 1 = B ) \left\{ \begin{aligned} &\pmb{A}\pmb{E} = \pmb{E}\pmb{A}\\ &\pmb{A}k\pmb{E} = k\pmb{E}\pmb{A}\\ &\pmb{A}\pmb{A}^* = \pmb{A}^*\pmb{A} \\ &\pmb{A}\pmb{B} = \pmb{B}\pmb{A} = \pmb{E} \space\space(要求 \pmb{A}^{-1} = \pmb{B}) \end{aligned} \right. AAAEEE=EEEAAAAAAkEEE=kEEEAAAAAAAAA=AAAAAAAAABBB=BBBAAA=EEE  (AAA1=BBB)

    2.3 用伴随矩阵求逆矩阵

    • 用伴随矩阵求逆矩阵,适用于求数值矩阵的逆矩阵
      1. ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0,则 A \pmb{A} AAA 可逆,且
        { A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 \left\{ \begin{aligned} &\pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^*\\ &\pmb{A}^* = |\pmb{A}|\pmb{A}^{-1}\\ \end{aligned} \right. AAA1=AAA1AAAAAA=AAAAAA1
    • 例题:已知 A = [ a b c d ] \pmb{A} = \begin{bmatrix}a &b \\c &d\end{bmatrix} AAA=[acbd],写出 A \pmb{A} AAA 可逆的一个充要条件,并求 A − 1 \pmb{A}^{-1} AAA1
      ∵ A 可 逆 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ∴ 充 要 条 件 : ∣ A ∣ = a d − b c ≠ 0 ∴ A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 a d − b c [ d − b − c a ] \begin{aligned} &\because \pmb{A}可逆 \Leftrightarrow |\pmb{A}| \neq 0 \\ &\therefore 充要条件:|\pmb{A}| = ad-bc \neq 0\\ &\therefore \pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^* = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d &-b \\-c &a\end{bmatrix} \end{aligned} AAAAAA=0AAA=adbc=0AAA1=AAA1AAA=adbc1[dcba]

    3. 转置、伴随、逆矩阵、取行列式公式小结

    • 现有n阶方阵 A \pmb{A} AAA ,设以下公式中所需条件(比如要求 A ≠ 0 \pmb{A}\neq 0 AAA=0)均满足

    3.1 嵌套

    • 相同操作嵌套小结
      公式证明
      ∣ ∣ A ∣ ∣ = ∣ A ∣ \vert\vert\pmb{A}\vert\vert = \vert\pmb{A}\vert AAA=AAA取一次行列式就变成一个数了,第二次操作失效
      ( A T ) T = A (\pmb{A}^T)^T = \pmb{A} (AAAT)T=AAA-
      ( A − 1 ) − 1 = A (\pmb{A}^{-1})^{-1} = \pmb{A} (AAA1)1=AAA-
      ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A (\pmb{A}^*)^* = \vert\pmb{A}\vert^{n-2}\pmb{A} (AAA)=AAAn2AAA ∵ A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ E ∴ ( A ∗ ) − 1 A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ∣ A ∗ ∣ E ∴ ( A ∗ ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ∣ A ∣ n − 1 E ∵ ( A ∗ ) − 1 = ( ∣ A ∣ A − 1 ) − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∴ ( A ∗ ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A ∣ A ∣ n − 1 E = ∣ A ∣ n − 2 A \begin{aligned}&\because \pmb{A}^*(\pmb{A}^*)^* = \vert\pmb{A}^*\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^*)^{-1}\pmb{A}^*(\pmb{A}^*)^* = (\pmb{A}^*)^{-1}\vert\pmb{A}^*\vert\pmb{E}\\&\therefore (\pmb{A}^*)^* = (\pmb{A}^*)^{-1}\vert\pmb{A}\vert^{n-1}\pmb{E} \\&\because (\pmb{A}^*)^{-1} = (\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1})^{-1} = \frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}\\&\therefore (\pmb{A}^*)^* =\frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}\vert\pmb{A}\vert^{n-1}\pmb{E} = \vert\pmb{A}\vert^{n-2}\pmb{A} \\\end{aligned} AAA(AAA)=AAAEEE(AAA)1AAA(AAA)=(AAA)1AAAEEE(AAA)=(AAA)1AAAn1EEE(AAA)1=(AAAAAA1)1=AAA1AAA(AAA)=AAA1AAAAAAn1EEE=AAAn2AAA

    3.2 数乘

    • k k k 为任意常数,有
      公式证明
      ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ \vert k\pmb{A}\vert = k^n\vert\pmb{A}\vert kAAA=knAAA-
      ( k A ) T = k A T (k\pmb{A})^T = k\pmb{A}^T (kAAA)T=kAAAT-
      ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (k\pmb{A})^{-1} = \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} (kAAA)1=k1AAA1 ( k A ) 1 k A − 1 = E (k\pmb{A}) \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} =\pmb{E} (kAAA)k1AAA1=EEE
      ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (k\pmb{A})^* = k^{n-1}\pmb{A}^* (kAAA)=kn1AAA ∵ ( k A ) ( k A ) ∗ = ∣ k A ∣ E ∴ ( k A ) ∗ = ∣ k A ∣ ( k A ) − 1 = k n − 1 ∣ A ∣ A − 1 = k n − 1 A ∗ \begin{aligned}&\because (k\pmb{A})(k\pmb{A})^* =\vert k\pmb{A}\vert \pmb{E} \\&\therefore (k\pmb{A})^* = \vert k\pmb{A}\vert(k\pmb{A})^{-1} = k^{n-1}\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1} = k^{n-1}\pmb{A}^*\end{aligned} (kAAA)(kAAA)=kAAAEEE(kAAA)=kAAA(kAAA)1=kn1AAAAAA1=kn1AAA

    3.3 穿脱原则

    • 穿脱原则就是展开前后排列顺序相反
      公式证明
      ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ B ∣ ∣ A ∣ \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert = \vert\pmb{A}\vert\vert\pmb{B}\vert = \vert\pmb{B}\vert\vert\pmb{A}\vert AAABBB=AAABBB=BBBAAA-
      ( A B ) T = B T A T (\pmb{A}\pmb{B})^T = \pmb{B}^T\pmb{A}^T (AAABBB)T=BBBTAAAT-
      ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (\pmb{A}\pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} (AAABBB)1=BBB1AAA1-
      ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ (\pmb{A}\pmb{B})^* = \pmb{B}^*\pmb{A}^* (AAABBB)=BBBAAA ∵ ( A B ) ( A B ) ∗ = ∣ A B ∣ E ∴ ( A B ) ∗ = ∣ A B ∣ ( A B ) − 1 ∴ ( A B ) ∗ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ B − 1 A − 1 ∴ ( A B ) ∗ = ( ∣ B ∣ B − 1 ) ( ∣ A ∣ A − 1 ) = B ∗ A ∗ \begin{aligned}&\because (\pmb{A}\pmb{B})(\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert \pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert(\pmb{A}\pmb{B})^{-1} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\vert\vert\pmb{B}\vert\pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = (\vert\pmb{B}\vert\pmb{B}^{-1})(\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1}) = \pmb{B}^*\pmb{A}^*\end{aligned} (AAABBB)(AAABBB)=AAABBBEEE(AAABBB)=AAABBB(AAABBB)1(AAABBB)=AAABBBBBB1AAA1(AAABBB)=(BBBBBB1)(AAAAAA1)=BBBAAA

    3.4 交换操作顺序

    • 求逆、求转置、求伴随,任意两个可以交换执行顺序
      公式证明
      ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^T)^{-1} (AAA1)T=(AAAT)1 ∵ A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E ∴ ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T \begin{aligned}&\because \pmb{A}^T(\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^{-1}\pmb{A})^T = \pmb{E}^T = \pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^T)^{-1} = (\pmb{A}^{-1})^T\end{aligned} AAAT(AAA1)T=(AAA1AAA)T=EEET=EEE(AAAT)1=(AAA1)T
      ( A − 1 ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 (\pmb{A}^{-1})^* = (\pmb{A}^*)^{-1} (AAA1)=(AAA)1 ∵ ( A − 1 ) ( A − 1 ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ E ∴ ( A − 1 ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ A = ∣ A ∣ − 1 A = ( A ∗ ) − 1 \begin{aligned}&\because (\pmb{A}^{-1})(\pmb{A}^{-1})^* =\vert\pmb{A}^{-1}\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^{-1})^* = \vert\pmb{A}^{-1}\vert\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert^{-1}\pmb{A} = (\pmb{A}^*)^{-1}\end{aligned} (AAA1)(AAA1)=AAA1EEE(AAA1)=AAA1AAA=AAA1AAA=(AAA)1
      ( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ (\pmb{A}^*)^T = (\pmb{A}^T)^* (AAA)T=(AAAT) ∵ ( A T ) ( A T ) ∗ = ∣ A T ∣ E ∴ ( A T ) ∗ = ∣ A T ∣ ( A T ) − 1 = ∣ A ∣ ( A − 1 ) T = ∣ A ∣ ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) T = ( A ∗ ) T \begin{aligned}&\because (\pmb{A}^T)(\pmb{A}^T)^* =\vert\pmb{A}^T\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^T)^* =\vert\pmb{A}^T\vert(\pmb{A}^T)^{-1} = \vert\pmb{A}\vert(\pmb{A}^{-1})^T = \vert\pmb{A}\vert( \frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}^*)^T =(\pmb{A}^*)^T\end{aligned} (AAAT)(AAAT)=AAATEEE(AAAT)=AAAT</