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  • 2020-10-18 20:30:17


    玩转线性代数(18)初等变换与初等矩阵
    的笔记

    标准形

    初等行变换

    对矩阵的行进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。

    初等列变换

    对矩阵的列进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。

    初等变换

    初等行变换与初等列变换统称初等变换。

    行阶梯形矩阵

    初等行变换,至如下形式:

    (1) 如果有零行,则位于矩阵的下方;

    (2) 各非零行的首非零元的列标随着行标的增大而严格增大.

    行最简形

    首非零元为1和首非零元所在列其它元素为0的行阶梯形矩阵

    标准形

    标准形是对矩阵进行初等变换(一般在行最简形的基础上再进行初等列变换)将A化成如下形式:
    F = ( E r 0 0 0 ) F=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} F=(Er000), 0 \textbf{0} 0为零矩阵, r ≤ m , r ≤ n . r \leq m, r \leq n. rm,rn.

    初等矩阵

    对矩阵进行一次初等变换相当于左乘了一个将单位矩阵进行了同样变换的矩阵。

    定义

    由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
    初等矩阵共有三种类型:

    1. 互换两行或两列
      互换E中第i,j两行/列的初等矩阵用 E n ( i , j ) E_n(i,j) En(i,j)表示
    2. 数乘
      以数 k ( ≠ 0 ) k(\neq 0) k(=0)乘E的第i行/列( r i × k r_i×k ri×k),用 E n ( i ( k ) ) E_n(i(k)) En(i(k))表示。
    3. 倍加
      以k乘E的第j行加到第i行上( r i + k r j r_i+kr_j ri+krj),与以k乘E的第i列加到第j行上,
      E n ( i j ( k ) ) E_n(ij(k)) En(ij(k))表示。
      参见原文

    性质

    设A是一个m×n矩阵,
    对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的n阶初等矩阵。
    对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

    可逆

    初等矩阵的逆变换就是对自身再做一次同类型的初等变换得到的矩阵。
    ∣ E ( i , j ) ∣ = − 1 ; ∣ E ( i ( j ) ) ∣ = k ( k ≠ 0 ) ; ∣ E ( i , j ( k ) ) ∣ = 1 |E(i,j)|=-1;|E(i(j))|=k(k\neq 0);|E(i,j(k))|=1 E(i,j)=1;E(i(j))=k(k=0);E(i,j(k))=1,所以初等矩阵均可逆,由于
    E ( i , j ) E ( i , j ) = E , E ( i ( k ) ) E ( i ( 1 k ) ) = E , E ( i j ( − k ) ) E ( i j ( k ) ) = E ( i j ( k ) ) E ( i j ( − k ) ) = E E(i,j)E(i,j)=E, \\ E(i(k))E(i(\frac{1}{k}))=E,\\ E(ij(-k))E(ij(k))=E(ij(k))E(ij(-k))=E E(i,j)E(i,j)=E,E(i(k))E(i(k1))=E,E(ij(k))E(ij(k))=E(ij(k))E(ij(k))=E
    有:
    E ( i , j ) − 1 = E ( i , j ) , E ( i ( k ) ) − 1 = E ( i ( 1 k ) ) , E ( i j ( k ) ) − 1 = E ( i j ( − k ) ) E(i,j)^{-1}=E(i,j), \\ E(i(k))^{-1}=E(i(\frac{1}{k})),\\ E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k)) E(i,j)1=E(i,j),E(i(k))1=E(i(k1)),E(ij(k))1=E(ij(k))

    等价矩阵

    相关定义

    行等价

    矩阵A经有限次初等行变换化为B,则A与B行等价,记 A r ∼ B A^r \sim B ArB

    列等价

    矩阵A经有限次初等列变换化为B,则A与B列等价,记 A c ∼ B A^c \sim B AcB

    等价

    矩阵A经有限次初等变换化为B,则A与B等价,记 A ∼ B A \sim B AB

    性质

    反身性: A ∼ A A \sim A AA;
    对称性:若 A ∼ B A\sim B AB,则 B ∼ A B \sim A BA;
    传递性:若 A ∼ B , B ∼ C A\sim B,B \sim C AB,BC,则 A ∼ C A \sim C AC

    形式最简单的等价矩阵是标准形

    定理1

    设A与B为 m × n m×n m×n矩阵,则

    1. A r ∼ B ⇔ p l ⋯ p 1 A = B ⇔ A^r \sim B \Leftrightarrow p_l\cdots p_1 A=B \Leftrightarrow ArBplp1A=B 存在m阶可逆矩阵P,使 P A = B PA=B PA=B.
    2. A c ∼ B ⇔ A^c \sim B \Leftrightarrow AcB 存在n阶可逆矩阵Q,使 A Q = B AQ=B AQ=B.
    3. A ∼ B ⇔ A \sim B \Leftrightarrow AB 分别存在m、n阶可逆矩阵P、Q,使 P A Q = B PAQ=B PAQ=B.

    定理2

    设A为可逆矩阵,则存在有限个初等矩阵 P 1 , P 2 , ⋯ , P l P_1,P_2 ,\cdots ,P_l P1P2Pl,使 A = P 1 P 2 ⋯ P l A=P_1P_2 \cdots P_l A=P1P2Pl

    对可逆矩阵A进行初等变换,化为最简形F,
    p 1 p 2 . . . p s A q 1 q 2 . . . q t = F = ( E r 0 0 0 ) n p_1p_2...p_sAq_1q_2...q_t=F=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}_n p1p2...psAq1q2...qt=F=(Er000)n,故
    A = p z − 1 p z − 1 − 1 . . . p 1 − 1 ( E r 0 0 0 ) n q t − 1 q t − 1 − 1 . . . q 1 − 1 A=p_z^{-1}p_{z-1}^{-1}...p_1^{-1}\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}_n q_t^{-1}q_{t-1}^{-1}...q_1^{-1} A=pz1pz11...p11(Er000)nqt1qt11...q11
    因为A可逆,所以F主对角线应没有零元,所以F=E。
    所以
    A = p z − 1 p z − 1 − 1 . . . p 1 − 1 q t − 1 q t − 1 − 1 . . . q 1 − 1 A=p_z^{-1}p_{z-1}^{-1}...p_1^{-1} q_t^{-1}q_{t-1}^{-1}...q_1^{-1} A=pz1pz11...p11qt1qt11...q11
    例见原文

    推论

    方阵A可逆的充要条件是 A c ∼ E A^c \sim E AcE A r ∼ E A^r \sim E ArE
    证明思路:
    A可逆,则 A = P 1 P 2 ⋯ P l A=P_1P_2 \cdots P_l A=P1P2Pl,所以A与E行等价或列等价;A与E行等价,则有 A = P 1 P 2 ⋯ P l E A=P_1P_2 \cdots P_lE A=P1P2PlE,可逆。列等价也一样。

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  • 初等变换与初等矩阵(黄金考点) 1)初等行(列)变换有三种。 两行(列)互换; ...4)初等矩阵性质(求逆): 5)初等变换和初等矩阵:利用两者关系求解,将文字语言装换成数学语言。 例题1:

    初等变换与初等矩阵(黄金考点)

    1)初等行(列)变换有三种

    两行(列)互换;

    image-20211011201617419

    一行(列)加另一行(列)的倍数;

    image-20211011201641025

    一行(列)乘以一个非零数。

    image-20211011201658102


    2)初等矩阵:

    将单位矩阵进行一次初等行或列变换就可以等到初等矩阵。

    在这里插入图片描述

    image-20211011201922664

    image-20211011201950265


    3)初等矩阵与初等变换的关系:(重点)

    (黄金考点)

    对于一个矩阵进行初等行(列)变换,相等对此矩阵左(右)乘一个相应的初等矩阵。

    image-20211011202428659

    行变换乘左,列变换乘右。

    例题1:

    image-20211011202818337


    4)初等矩阵的性质(求逆):

    5)初等变换和初等矩阵:利用两者关系求解,将文字语言装换成数学语言。

    例题1:

    image-20211011203023166

    例题2:

    image-20211011203338907

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  • 7.4 初等矩阵和可逆性

    千次阅读 2020-08-29 16:38:57
    初等矩阵和可逆性 初等矩阵:对单位矩阵 进行 一次 初等变换 得到。 初等矩阵一定是可逆的。 ==> 因为初等变换是可逆的,所以初等矩阵是可逆的。 对于一般矩阵,如果可逆的话,怎样得到逆矩阵呢? 根据之前的...

    初等矩阵和可逆性

    初等矩阵:对单位矩阵 进行 一次 初等变换 得到。

    初等矩阵一定是可逆的。
    ==> 因为初等变换是可逆的,所以初等矩阵是可逆的。
    在这里插入图片描述
    对于一般矩阵,如果可逆的话,怎样得到逆矩阵呢?
    根据之前的分析 ==> 如果矩阵A可逆的话,即存在一系列的初等矩阵E,满足 ==>
    在这里插入图片描述
    ==> 在等式左右两端 乘以 A的逆
    在这里插入图片描述
    ==> 乘法结合律
    在这里插入图片描述
    即矩阵A的逆 等于 对单位矩阵 进行 第一个初等变换,第二个初等变换 …

    这个过程 等同于 ==>在这里插入图片描述
    与使用线性系统的视角的求逆方法是一样的,只不过解决问题的视角不一样
    之前将求解矩阵的逆的问题 转换成 一个求解线性系统的问题。
    而这一次 将解矩阵的逆的问题 和 初等变换联系在了一起。

    展开全文
  • 矩阵的逆1.1 逆矩阵的定义1.2 逆矩阵性质与重要公式1.3 用定义求逆矩阵1.4 例题2. 伴随矩阵2.1 伴随矩阵的定义2.2 伴随矩阵的定义与重要公式2.3 用伴随矩阵求逆矩阵3. 转置、伴随、逆矩阵、取行列式公式小结3.1 ...
    • 参考:张宇高等数学基础30讲

    1. 矩阵的逆

    1.1 逆矩阵的定义

    • 定义:设 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是n阶方阵 E \pmb{E} EEE 是n阶单位阵,若 A B = B A = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{B}\pmb{A} = \pmb{E} AAABBB=BBBAAA=EEE,则称 A \pmb{A} AAA可逆矩阵,并称 B \pmb{B} BBB A \pmb{A} AAA逆矩阵,并称 B \pmb{B} BBB A \pmb{A} AAA 的逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,记作 A − 1 \pmb{A}^{-1} AAA1注意逆矩阵是相互的,即有
      { A − 1 = B B − 1 = A \left\{ \begin{aligned} \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} \\ \pmb{B}^{-1} = \pmb{A} \end{aligned} \right. {AAA1=BBBBBB1=AAA
    • A \pmb{A} AAA 可逆的充要条件 ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0,当 ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0 时, A \pmb{A} AAA 可逆,且
      A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^* AAA1=AAA1AAA
      其中 A ∗ \pmb{A}^* AAA 是矩阵 A \pmb{A} AAA 的伴随矩阵

    1.2 逆矩阵性质与重要公式

    • 欲利用定义法证明 A − 1 = B \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} AAA1=BBB,只需证明 A B = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{E} AAABBB=EEE 即可,下面用此方法证明一些常用性质和公式。设 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是同阶可逆矩阵,则

      公式证明
      ( A − 1 ) − 1 = A (\pmb{A}^{-1})^{-1} = \pmb{A} (AAA1)1=AAA A − 1 A = E \pmb{A}^{-1}\pmb{A} = \pmb{E} AAA1AAA=EEE
      ( k A ) − 1 = 1 k A − 1    , k ≠ 0 (k\pmb{A})^{-1} = \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1}\space\space ,k\neq 0 (kAAA)1=k1AAA1  ,k=0 ( k A ) − 1 ⋅ 1 k A − 1 = E (k\pmb{A})^{-1} · \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} = \pmb{E} (kAAA)1k1AAA1=EEE
      ( A B ) (\pmb{A}\pmb{B}) (AAABBB) 也可逆,且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (\pmb{A}\pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} (AAABBB)1=BBB1AAA1 A B B − 1 A − 1 = A ( B B − 1 ) A − 1 = A A − 1 = E \pmb{A}\pmb{B}\pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} =\pmb{A}(\pmb{B}\pmb{B}^{-1})\pmb{A}^{-1} = \pmb{A}\pmb{A}^{-1} = \pmb{E} AAABBBBBB1AAA1=AAA(BBBBBB1)AAA1=AAAAAA1=EEE
      A T \pmb{A}^T AAAT 也可逆,且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (\pmb{A}^T)^{-1} = (\pmb{A}^{-1})^T (AAAT)1=(AAA1)T A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E \pmb{A}^T(\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^{-1}\pmb{A})^T = \pmb{E}^T = \pmb{E} AAAT(AAA1)T=(AAA1AAA)T=EEET=EEE
      ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1     , ∣ A ∣ − 1 ≠ 0 \vert\pmb{A}^{-1}\vert = \vert\pmb{A}\vert^{-1}\space\space\space,\vert\pmb{A}\vert^{-1}\neq 0 AAA1=AAA1   ,AAA1=0 ∣ A − 1 A ∣ = ∣ E ∣ ⇒ ∣ A − 1 ∣ ∣ A ∣ = 1 ⇒ ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 \vert\pmb{A}^{-1}\pmb{A}\vert = \vert\pmb{E}\vert \Rightarrow \vert\pmb{A}^{-1}\vert\vert\pmb{A}\vert = 1 \Rightarrow \vert\pmb{A}^{-1}\vert = \vert\pmb{A}\vert^{-1} AAA1AAA=EEEAAA1AAA=1AAA1=AAA1

    1.3 用定义求逆矩阵

    • 定义法适用于求抽象矩阵的逆矩阵
      方法说明
      依定义即求一个矩阵 B \pmb{B} BBB,使得 A B = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{E} AAABBB=EEE,则 A \pmb{A} AAA 可逆,且 A − 1 = B \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} AAA1=BBB
      A \pmb{A} AAA 分解成若干个可逆矩阵的乘积因为两个可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵,即若 A = B C \pmb{A} = \pmb{B}\pmb{C} AAA=BBBCCC,其中 B , C \pmb{B},\pmb{C} BBB,CCC 均可逆,则 A \pmb{A} AAA 可逆,且 A − 1 = ( B C ) − 1 = C − 1 B − 1 \pmb{A}^{-1} = (\pmb{B}\pmb{C})^{-1} = \pmb{C}^{-1}\pmb{B}^{-1} AAA1=(BBBCCC)1=CCC1BBB1
      一些简单分块矩阵的逆 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 均是可逆方阵,则 [ A O O B ] − 1 = [ A − 1 O O B − 1 ] ,     [ O A B O ] − 1 = [ O A − 1 B − 1 O ] \begin{bmatrix}\pmb{A} &\pmb{O} \\\pmb{O} &\pmb{B}\end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix}\pmb{A}^{-1} &\pmb{O} \\\pmb{O} &\pmb{B}^{-1}\end{bmatrix},\space\space\space\begin{bmatrix}\pmb{O} &\pmb{A} \\\pmb{B} &\pmb{O}\end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix}\pmb{O} &\pmb{A}^{-1} \\\pmb{B}^{-1} &\pmb{O}\end{bmatrix} [AAAOOOOOOBBB]1=[AAA1OOOOOOBBB1],   [OOOBBBAAAOOO]1=[OOOBBB1AAA1OOO]

    1.4 例题

    1. A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 均是n阶方阵,且 A B = A + B \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{A}+\pmb{B} AAABBB=AAA+BBB。证明 A − E \pmb{A}-\pmb{E} AAAEEE 可逆,并求 ( A − E ) − 1 (\pmb{A}-\pmb{E})^{-1} (AAAEEE)1
      思路:用定义法,找 ( A − E ) (\pmb{A}-\pmb{E}) (AAAEEE) 乘以什么得 E \pmb{E} EEE
      ∵ A B = A + B ∴ A B − A − B + E = E ∴ A ( B − E ) − ( B − E ) = E ∴ ( A − E ) ( B − E ) = E ∴ ( A − E ) − 1 = B − E \begin{aligned} &\because \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{A}+\pmb{B}\\ &\therefore \pmb{A}\pmb{B} - \pmb{A}-\pmb{B} + \pmb{E} = \pmb{E}\\ &\therefore \pmb{A}(\pmb{B} - \pmb{E})- (\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E}\\ &\therefore (\pmb{A} - \pmb{E})(\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E}\\ &\therefore (\pmb{A}-\pmb{E})^{-1} = \pmb{B} - \pmb{E} \end{aligned} AAABBB=AAA+BBBAAABBBAAABBB+EEE=EEEAAA(BBBEEE)(BBBEEE)=EEE(AAAEEE)(BBBEEE)=EEE(AAAEEE)1=BBBEEE
      其中倒数第二个等式 ( A − E ) ( B − E ) = E (\pmb{A} - \pmb{E})(\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E} (AAAEEE)(BBBEEE)=EEE 成立就证明了 A − E \pmb{A}-\pmb{E} AAAEEE 可逆。也可在此式两边取行列式,则有
      ∣ A − E ∣ = 1 ∣ B − E ∣ ≠ 0 ⇒ ( A − E ) 可 逆 |\pmb{A} - \pmb{E}| = \frac{1}{|\pmb{B} - \pmb{E}|} \neq 0 \Rightarrow (\pmb{A}-\pmb{E})可逆 AAAEEE=BBBEEE1=0(AAAEEE)
    2. A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是同阶可逆矩阵,且 A − 1 + B − 1 \pmb{A}^{-1}+\pmb{B}^{-1} AAA1+BBB1 是可逆矩阵,证明 A + B \pmb{A}+\pmb{B} AAA+BBB 是可逆矩阵,并求 ( A + B ) − 1 (\pmb{A}+\pmb{B})^{-1} (AAA+BBB)1
      思路:用拆分法,找出可逆矩阵 M , N \pmb{M},\pmb{N} MMM,NNN 使得 A = M N \pmb{A} = \pmb{M}\pmb{N} AAA=MMMNNN,则 A − 1 = N − 1 M − 1 \pmb{A}^{-1} = \pmb{N}^{-1}\pmb{M}^{-1} AAA1=NNN1MMM1
      ∵ A , B 可 逆 ∴ A + B = A ( E + A − 1 B ) = A ( B − 1 + A − 1 ) B ∵ A , ( B − 1 + A − 1 ) , B 都 可 逆 ∴ ( A + B ) − 1 = B − 1 ( B − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 \begin{aligned} &\because \pmb{A},\pmb{B} 可逆 \\ &\therefore \pmb{A} + \pmb{B} = \pmb{A}(\pmb{E}+\pmb{A}^{-1}\pmb{B}) = \pmb{A}(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1})\pmb{B}\\ &\because \pmb{A},(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1}),\pmb{B} 都可逆 \\ &\therefore (\pmb{A} + \pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1})^{-1}\pmb{A}^{-1} \end{aligned} AAA,BBBAAA+BBB=AAA(EEE+AAA1BBB)=AAA(BBB1+AAA1)BBBAAA,(BBB1+AAA1),BBB(AAA+BBB)1=BBB1(BBB1+AAA1)1AAA1

    2. 伴随矩阵

    2.1 伴随矩阵的定义

    • 定义:将行列式 ∣ A ∣ |\pmb{A}| AAA n 2 n^2 n2 个元素的代数余子式按照如下形式(就是第 i i i 行元素的代数余子式写在第 i i i 列)排列成的矩阵称为 A \pmb{A} AAA伴随矩阵,记作 A ∗ \pmb{A}^* AAA,即
      A ∗ = [ A 11 A 21 … A n 1 A 12 A 22 … A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n … A n n ] − 1 \pmb{A}^* = \begin{bmatrix} &A_{11} &A_{21} &\dots &A_{n1}\\ &A_{12} &A_{22} &\dots &A_{n2}\\ &\vdots &\vdots & &\vdots\\ &A_{1n} &A_{2n} &\dots &A_{nn}\\ \end{bmatrix}^{-1} AAA=A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann1

    2.2 伴随矩阵的定义与重要公式

    1. 对任意 n 阶方阵 A \pmb{A} AAA,都有伴随矩阵 A ∗ \pmb{A}^* AAA,且有公式

      公式证明
      A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E \pmb{A}\pmb{A}^* = \pmb{A}^*\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} AAAAAA=AAAAAA=AAAEEE可以用归纳法证明,给出一个2阶的例子,设 A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{bmatrix} AAA=[a11a21a12a22] A ∗ = [ A 11 A 21 A 12 A 22 ] \pmb{A}^*=\begin{bmatrix}A_{11} &A_{21} \\ A_{12} &A_{22}\end{bmatrix} AAA=[A11A12A21A22],则有 A A ∗ = [ a 11 A 11 + a 12 A 12 a 11 A 21 + a 12 A 22 a 21 A 11 + a 22 A 12 a 21 A 21 + a 22 A 22 ] = [ ∣ A ∣ 0 0 ∣ A ∣ ] = ∣ A ∣ E \pmb{A}\pmb{A}^* = \begin{bmatrix}&a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12} &a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}\\&a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12} &a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vert\pmb{A}\vert &0\\0 &\vert\pmb{A}\vert\end{bmatrix} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} AAAAAA=[a11A11+a12A12a21A11+a22A12a11A21+a12A22a21A21+a22A22]=[AAA00AAA]=AAAEEE
      ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \vert\pmb{A}^*\vert = \vert\pmb{A}\vert^{n-1} AAA=AAAn1 ∵ A ∗ A = ∣ A ∣ E ∴ ∣ A ∗ A ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ ∴ ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ = ∣ A ∣ n ∴ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \begin{aligned}&\because \pmb{A}^*\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\pmb{A}\vert = \vert \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} \vert \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\vert\vert\pmb{A}\vert = \vert\pmb{A}\vert^n \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\vert = \vert\pmb{A}\vert^{n-1}\end{aligned} AAAAAA=AAAEEEAAAAAA=AAAEEEAAAAAA=AAAnAAA=AAAn1
      ( A + B ) ∗ ≠ A ∗ + B ∗ (\pmb{A}+\pmb{B})^* \neq \pmb{A}^* + \pmb{B}^* (AAA+BBB)=AAA+BBB-
    2. 交换律
      { A E = E A A k E = k E A A A ∗ = A ∗ A A B = B A = E    ( 要 求 A − 1 = B ) \left\{ \begin{aligned} &\pmb{A}\pmb{E} = \pmb{E}\pmb{A}\\ &\pmb{A}k\pmb{E} = k\pmb{E}\pmb{A}\\ &\pmb{A}\pmb{A}^* = \pmb{A}^*\pmb{A} \\ &\pmb{A}\pmb{B} = \pmb{B}\pmb{A} = \pmb{E} \space\space(要求 \pmb{A}^{-1} = \pmb{B}) \end{aligned} \right. AAAEEE=EEEAAAAAAkEEE=kEEEAAAAAAAAA=AAAAAAAAABBB=BBBAAA=EEE  (AAA1=BBB)

    2.3 用伴随矩阵求逆矩阵

    • 用伴随矩阵求逆矩阵,适用于求数值矩阵的逆矩阵
      1. ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0,则 A \pmb{A} AAA 可逆,且
        { A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 \left\{ \begin{aligned} &\pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^*\\ &\pmb{A}^* = |\pmb{A}|\pmb{A}^{-1}\\ \end{aligned} \right. AAA1=AAA1AAAAAA=AAAAAA1
    • 例题:已知 A = [ a b c d ] \pmb{A} = \begin{bmatrix}a &b \\c &d\end{bmatrix} AAA=[acbd],写出 A \pmb{A} AAA 可逆的一个充要条件,并求 A − 1 \pmb{A}^{-1} AAA1
      ∵ A 可 逆 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ∴ 充 要 条 件 : ∣ A ∣ = a d − b c ≠ 0 ∴ A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 a d − b c [ d − b − c a ] \begin{aligned} &\because \pmb{A}可逆 \Leftrightarrow |\pmb{A}| \neq 0 \\ &\therefore 充要条件:|\pmb{A}| = ad-bc \neq 0\\ &\therefore \pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^* = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d &-b \\-c &a\end{bmatrix} \end{aligned} AAAAAA=0AAA=adbc=0AAA1=AAA1AAA=adbc1[dcba]

    3. 转置、伴随、逆矩阵、取行列式公式小结

    • 现有n阶方阵 A \pmb{A} AAA ,设以下公式中所需条件(比如要求 A ≠ 0 \pmb{A}\neq 0 AAA=0)均满足

    3.1 嵌套

    • 相同操作嵌套小结
      公式证明
      ∣ ∣ A ∣ ∣ = ∣ A ∣ \vert\vert\pmb{A}\vert\vert = \vert\pmb{A}\vert AAA=AAA取一次行列式就变成一个数了,第二次操作失效
      ( A T ) T = A (\pmb{A}^T)^T = \pmb{A} (AAAT)T=AAA-
      ( A − 1 ) − 1 = A (\pmb{A}^{-1})^{-1} = \pmb{A} (AAA1)1=AAA-
      ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A (\pmb{A}^*)^* = \vert\pmb{A}\vert^{n-2}\pmb{A} (AAA)=AAAn2AAA ∵ A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ E ∴ ( A ∗ ) − 1 A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ∣ A ∗ ∣ E ∴ ( A ∗ ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ∣ A ∣ n − 1 E ∵ ( A ∗ ) − 1 = ( ∣ A ∣ A − 1 ) − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∴ ( A ∗ ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A ∣ A ∣ n − 1 E = ∣ A ∣ n − 2 A \begin{aligned}&\because \pmb{A}^*(\pmb{A}^*)^* = \vert\pmb{A}^*\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^*)^{-1}\pmb{A}^*(\pmb{A}^*)^* = (\pmb{A}^*)^{-1}\vert\pmb{A}^*\vert\pmb{E}\\&\therefore (\pmb{A}^*)^* = (\pmb{A}^*)^{-1}\vert\pmb{A}\vert^{n-1}\pmb{E} \\&\because (\pmb{A}^*)^{-1} = (\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1})^{-1} = \frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}\\&\therefore (\pmb{A}^*)^* =\frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}\vert\pmb{A}\vert^{n-1}\pmb{E} = \vert\pmb{A}\vert^{n-2}\pmb{A} \\\end{aligned} AAA(AAA)=AAAEEE(AAA)1AAA(AAA)=(AAA)1AAAEEE(AAA)=(AAA)1AAAn1EEE(AAA)1=(AAAAAA1)1=AAA1AAA(AAA)=AAA1AAAAAAn1EEE=AAAn2AAA

    3.2 数乘

    • k k k 为任意常数,有
      公式证明
      ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ \vert k\pmb{A}\vert = k^n\vert\pmb{A}\vert kAAA=knAAA-
      ( k A ) T = k A T (k\pmb{A})^T = k\pmb{A}^T (kAAA)T=kAAAT-
      ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (k\pmb{A})^{-1} = \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} (kAAA)1=k1AAA1 ( k A ) 1 k A − 1 = E (k\pmb{A}) \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} =\pmb{E} (kAAA)k1AAA1=EEE
      ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (k\pmb{A})^* = k^{n-1}\pmb{A}^* (kAAA)=kn1AAA ∵ ( k A ) ( k A ) ∗ = ∣ k A ∣ E ∴ ( k A ) ∗ = ∣ k A ∣ ( k A ) − 1 = k n − 1 ∣ A ∣ A − 1 = k n − 1 A ∗ \begin{aligned}&\because (k\pmb{A})(k\pmb{A})^* =\vert k\pmb{A}\vert \pmb{E} \\&\therefore (k\pmb{A})^* = \vert k\pmb{A}\vert(k\pmb{A})^{-1} = k^{n-1}\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1} = k^{n-1}\pmb{A}^*\end{aligned} (kAAA)(kAAA)=kAAAEEE(kAAA)=kAAA(kAAA)1=kn1AAAAAA1=kn1AAA

    3.3 穿脱原则

    • 穿脱原则就是展开前后排列顺序相反
      公式证明
      ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ B ∣ ∣ A ∣ \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert = \vert\pmb{A}\vert\vert\pmb{B}\vert = \vert\pmb{B}\vert\vert\pmb{A}\vert AAABBB=AAABBB=BBBAAA-
      ( A B ) T = B T A T (\pmb{A}\pmb{B})^T = \pmb{B}^T\pmb{A}^T (AAABBB)T=BBBTAAAT-
      ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (\pmb{A}\pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} (AAABBB)1=BBB1AAA1-
      ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ (\pmb{A}\pmb{B})^* = \pmb{B}^*\pmb{A}^* (AAABBB)=BBBAAA ∵ ( A B ) ( A B ) ∗ = ∣ A B ∣ E ∴ ( A B ) ∗ = ∣ A B ∣ ( A B ) − 1 ∴ ( A B ) ∗ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ B − 1 A − 1 ∴ ( A B ) ∗ = ( ∣ B ∣ B − 1 ) ( ∣ A ∣ A − 1 ) = B ∗ A ∗ \begin{aligned}&\because (\pmb{A}\pmb{B})(\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert \pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert(\pmb{A}\pmb{B})^{-1} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\vert\vert\pmb{B}\vert\pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = (\vert\pmb{B}\vert\pmb{B}^{-1})(\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1}) = \pmb{B}^*\pmb{A}^*\end{aligned} (AAABBB)(AAABBB)=AAABBBEEE(AAABBB)=AAABBB(AAABBB)1(AAABBB)=AAABBBBBB1AAA1(AAABBB)=(BBBBBB1)(AAAAAA1)=BBBAAA

    3.4 交换操作顺序

    • 求逆、求转置、求伴随,任意两个可以交换执行顺序
      公式证明
      ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^T)^{-1} (AAA1)T=(AAAT)1 ∵ A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E ∴ ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T \begin{aligned}&\because \pmb{A}^T(\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^{-1}\pmb{A})^T = \pmb{E}^T = \pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^T)^{-1} = (\pmb{A}^{-1})^T\end{aligned} AAAT(AAA1)T=(AAA1AAA)T=EEET=EEE(AAAT)1=(AAA1)T
      ( A − 1 ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 (\pmb{A}^{-1})^* = (\pmb{A}^*)^{-1} (AAA1)=(AAA)1 ∵ ( A − 1 ) ( A − 1 ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ E ∴ ( A − 1 ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ A = ∣ A ∣ − 1 A = ( A ∗ ) − 1 \begin{aligned}&\because (\pmb{A}^{-1})(\pmb{A}^{-1})^* =\vert\pmb{A}^{-1}\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^{-1})^* = \vert\pmb{A}^{-1}\vert\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert^{-1}\pmb{A} = (\pmb{A}^*)^{-1}\end{aligned} (AAA1)(AA