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  • 文章目录矩阵分块法常用的分块法1) 按行分块2) 按列分块3) 分块对角矩阵(又称准对角矩阵)分块矩阵的运算分块矩阵的初等变换分块初等矩阵性质参考 矩阵分块法 定义1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{...


    矩阵线性代数笔记整理汇总,超全面

    1. 02矩阵01 ——概念、运算和基本矩阵、对角矩阵、方幂、数量矩阵、转置矩阵、对称矩阵、逆矩阵、奇异矩阵、三角矩阵、矩阵乘积的行列式与秩
    2. 03矩阵02——初等变换与高斯消元法、行阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵、行阶梯形状与方程组解的关系、相抵
    3. 04矩阵03——逆矩阵、逆矩阵的求解、可逆矩阵的判别、伴随矩阵、以及性质、可逆矩阵的等价条件、克拉默法则的另一种推导法、矩阵乘积的秩的性质
    4. 05矩阵04——分块矩阵、分块矩阵的运算、分块矩阵的初等变换、分块初等矩阵的性质、按行分块、按列分块

    矩阵分块法

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1 } }} 对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.

    我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

    例如将 3×43 \times 4 矩阵 A=(a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34)A=\left(\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{array}\right) .

    分成子块的分法很多, 下面举出三种分块形式:

    image-20210103190403142 image-20210103190443336

    分法(1) 可记为 A=(A11A12A21A22)A=\left(\begin{array}{cc}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right).

    其中
    A11=(a11a12a21a22),A12=(a13a14a23a24) , A21=(a31a32),A22=(a33a34) A_{11}=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right), A_{12}=\left(\begin{array}{ll}a_{13} & a_{14} \\ a_{23} & a_{24}\end{array}\right) \text { , }\\ A_{21}=\left(\begin{array}{ll}a_{31} & a_{32}\end{array}\right), A_{22}=\left(\begin{array}{ll}a_{33} & a_{34}\end{array}\right)
    A11,A12,A21,A22A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}AA 的子块, 而 AA 形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵. 分法 (2) 及 (3) 的分块矩阵可类似写出, 这里略.

    常用的分块法

    设有 s×ns \times n 矩阵 A=(aij)sn,A=\left(a_{i j}\right)_{s n}, 则对 AA 有以下三种最常用的分块方法:

    1) 按行分块

    即把 AA 的每一行当作一个子块, 这时每个子块为一行向量,也就是说,矩阵 AA 是由一个行向量组组成 :
    A=(α1α2αs) A=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{s} \end{array}\right)

    2) 按列分块

    即把 AA 的每一列当作一个子块,这时每个子块为一列向量,也就是说,矩阵 AA 是由一个列向量组组成 :
    A=(β1,β2,,βn) A=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)
    B1,B2,,BmB_{1}, B_{2}, \cdots, B_{m} 表示 BB 的行向量,于是
    B=(B1B2Bm) B=\left(\begin{array}{c} B_{1} \\ B_{2} \\ \vdots \\ B_{m} \end{array}\right)
    这就是 BB 的一种分块.按分块相乘,就有
    AB=(a11B1+a12B2++a1mBma21B1+a22B2++a2mBman1B1+an2B2++anmBm) A B=\left(\begin{array}{c} a_{11} B_{1}+a_{12} B_{2}+\cdots+a_{1 m} B_{m} \\ a_{21} B_{1}+a_{22} B_{2}+\cdots+a_{2 m} B_{m} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{n 1} B_{1}+a_{n 2} B_{2}+\cdots+a_{n m} B_{m} \end{array}\right)
    用这个式子很容易看出 ABA B 的行向量是 BB 的行向量的线性组合; 将 ABA B 进行另一种分块乘法,从结果中可以看出 ABA B 的列向量是 AA 的列向量的线性组合.

    3) 分块对角矩阵(又称准对角矩阵)

    nn 级矩阵 A=(aij)nA=\left(a_{i j}\right)_{n} 中非零元素都集中在主对角线附近时,有时可将 AA 分块成下面的分块对角矩阵(准对角矩阵).
    A=(A1OA2OAl) A=\left(\begin{array}{llll} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{l} \end{array}\right)
    其中 AiA_{i}nin_{i} 级方阵 (i=1,2,,l)(i=1,2, \ldots, l). 例如:

    image-20210103191152463

    1\Large\color{violet}{例1 } 试用不同方法将 Am×n,Bn×1A_{m \times n}, B_{n \times 1} 进行分块, 计算AB并写出AB=0A B=0 的充分必要条件.
    【解】 (\left(\right. 方法1) 对于 m×nm \times n 矩阵 A,A=(α1α2αm),A, A=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{m}\end{array}\right),
    AB=(α1α2αm)B=(α1Bα2BαmB).A B=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{m}\end{array}\right) B=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1} B \\ \alpha_{2} B \\ \vdots \\ \alpha_{m} B\end{array}\right) .
    这时 AB=0A B=0 的充分必要条件是 αiB=0(1im).\alpha_{i} B=0(1 \leq i \leq m) .
    解 (方法2) 对于 n×ln \times l 矩阵 B,B=(B1B2Bl)B, B=\left(\begin{array}{llll}B_{1} & B_{2} & \cdots & B_{l}\end{array}\right),

    AB=A(B1B2Bl)=(AB1AB2ABl)A B=A\left(\begin{array}{llll}B_{1} & B_{2} & \cdots & B_{l}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}A B_{1} & A B_{2} & \cdots & A B_{l}\end{array}\right)

    这时 AB=0A B=0 的充分必要条件是 ABi=0(1il).A B_{i}=0(1 \leq i \leq l) .

    分块矩阵的运算

    分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似, 分别说明如下:

    1. 加法运算
      设矩阵 AABB 的行数相同、列数相同, 采用相同的分块法, 有

    A=(A11A1rAs1Asr),B=(B11B1rBs1Bsr) A=\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & \cdots & A_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1} & \cdots & A_{s r} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} B_{11} & \cdots & B_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{s 1} & \cdots & B_{s r} \end{array}\right)

    其中 AijA_{i j}BijB_{i j} 的行数相同、列数相同, 那么
    A+B=(A11+B11A1r+B1rAs1+Bs1Asr+Bsr) A+B=\left(\begin{array}{ccc} A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1 r}+B_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1}+B_{s 1} & \cdots & A_{s r}+B_{s r} \end{array}\right)

    1. 数乘运算

      A=(A11A1rAs1Asr),λA=\left(\begin{array}{ccc}A_{11} & \cdots & A_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1} & \cdots & A_{s r}\end{array}\right), \quad \lambda 为常数,那么
      λA=(λA11λA1rλAs1λAsr) \lambda A=\left(\begin{array}{ccc} \lambda A_{11} & \cdots & \lambda A_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda A_{s 1} & \cdots & \lambda A_{s r} \end{array}\right)

    2. 分块矩阵的乘法运算

      AAm×lm \times l 矩阵, BBl×nl \times n 矩阵, 分块成

    A=(A11A1tAs1Ast),B=(B11B1rBt1Btr) A=\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & \cdots & A_{1 t} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1} & \cdots & A_{s t} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} B_{11} & \cdots & B_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ B_{t 1} & \cdots & B_{t r} \end{array}\right)

    其中 Ai1,Ai2,,AitA_{i 1}, A_{i 2}, \ldots, A_{i t} 的列数分别等于 B1j,B2j,,BtjB_{1 j}, B_{2 j}, \ldots, B_{t j} 的行数,那么
    AB=(C11C1rCs1Csr) A B=\left(\begin{array}{ccc} C_{11} & \cdots & C_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ C_{s 1} & \cdots & C_{s r} \end{array}\right)
    其中 Cij=k=1tAikBkj(i=1,,s;j=1,,r)C_{i j}=\sum_{k=1}^{t} A_{i k} B_{k j}(i=1, \cdots, s ; j=1, \cdots, r)

    2\Large\color{violet}{例2 }
    A=(1000010012101101),B=(1010120110411120) A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 0 \end{array}\right)
    ABA B.

    【解】 把 ABA 、 B 分块成

    image-20210103191831247


    AB=(EOA1E)(B11EB21B22)=(B11EA1B11+B21A1+B22) A B=\left(\begin{array}{cc}E & O \\ A_{1} & E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}B_{11} & E \\ B_{21} & B_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}B_{11} & E \\ A_{1} B_{11}+B_{21} & A_{1}+B_{22}\end{array}\right)

     而 A1B11+B21=(1211)(1012)+(1011)=(3402)+(1011)=(2411)A1+B22=(1211)+(4120)=(3331) \begin{aligned} \text { 而 } A_{1} B_{11}+B_{21} &=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & -1\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cc}-3 & 4 \\ 0 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2 & 4 \\ -1 & 1\end{array}\right) \\ A_{1}+B_{22} &=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\right) \end{aligned}

    于是
    AB=(1010120124331131) A B=\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)

    1. 分块矩阵的转置

    A=(A11A1rAs1Asr)A=\left(\begin{array}{ccc}A_{11} & \cdots & A_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1} & \cdots & A_{s r}\end{array}\right)

    AT=(A11TA1rTAs1TAsrT)A^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}A_{11}^{\mathrm{T}} & \cdots & A_{1 r}^{\mathrm{T}} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{s 1}^{\mathrm{T}} & \cdots & A_{s r}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)

    1. 分块对角矩阵的运算

    AAnn 级矩阵,且 AA 可分成如下分块对角矩阵.

    A=(A1OA2OAl) A=\left(\begin{array}{cccc} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{l} \end{array}\right)

    分块对角矩阵的性质:

    1. A=A1A2Al|A|=\left|A_{1}\right|\left|A_{2}\right| \ldots\left|A_{l}\right|

    2. Ai0(i=1,2,,l),\left|A_{i}\right| \neq 0(i=1,2, \ldots, l),A0,|A| \neq 0,
      A1=(A11OA21OAl1). A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} A_{1}^{-1} & & & O \\ & A_{2}^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{l}^{-1} \end{array}\right) .
      A,BA, B 是两个 nn 级矩阵,且采用相同的分法可把它们都分成分块对角矩阵:
      A=(A1OA2OAl),B=(B1OB2OBl) A=\left(\begin{array}{ccc} A_{1} & & O \\ & A_{2} & \\ & \ddots & \\ O & & & A_{l} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc} B_{1} & & & O \\ & B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & B_{l} \end{array}\right)
      则有

    AB=(A1B1OA2B2OAlBl),A B=\left(\begin{array}{cccc}A_{1} B_{1} & & & O \\ & A_{2} B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{l} B_{l}\end{array}\right),A+B=(A1+B1OA2+B2OAl+Bl)A+B=\left(\begin{array}{cccc}A_{1}+B_{1} & & & O \\ & A_{2}+B_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{l}+B_{l}\end{array}\right)

    3\Large\color{violet}{例3 }nn 级矩阵 DD 分块为
    D=(AOCB) D=\left(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array}\right)
    其中 A,BA, B 分别是 kk 级和 rr 级的可逆矩阵, CCr×kr \times k 级矩阵,OOk×rk \times r 级零知阵,求 D1.D^{-1} .

    【解】 \quad 因为 D=AB|D|=|A||B|, (行列式定理)所以当 ABA,B 可逆时,DD 也可逆。

    D1=(X11X12X21X22)\quad D^{-1}=\left(\begin{array}{cc}X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22}\end{array}\right)
    于是 (AOCB)(X11X12X21X22)=(AX11AX12CX11+BX21CX12+CX22)\quad\left(\begin{array}{ll}A & O \\ C & B\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A X_{11} & A X_{12} \\ C X_{11}+B X_{21} & C X_{12}+C X_{22}\end{array}\right)
    =(EkOOEr)=\left(\begin{array}{cc}E_{k} & O \\ O & E_{r}\end{array}\right)

    由此可得

    image-20210103193310242

    所以 D1=(A1OB1CA1B1)\quad D^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & O \\ -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1}\end{array}\right)

    4\Large\color{violet}{例4 }
    A=(1200025000002100002100002),B=(10101230120401240014) A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)
    用矩阵分块的方法 :(1) 计算 A2,AB;A^{2}, A B ; (2) 求 A1A^{-1}.

    【解】把矩阵A,B进行如下分块

    image-20210103193814714

    并令
    A=(A1OOA2),B=(B11B12B21B22) A=\left(\begin{array}{ll} A_{1} & O \\ O & A_{2} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{array}\right)
    其中
    A1=(1225),A2=(210021002)B11=(1012),B12=(1030)B21=(120100),B22=(042414) \begin{array}{l} A_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right) \\ B_{11}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{array}\right), B_{12}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{array}\right) \\ B_{21}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right), B_{22}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 2 & 4 \\ 1 & 4 \end{array}\right) \end{array}
    则1)
    A2=(A1OOA2)(A1OOA2)=(A12OOA22) A^{2}=\left(\begin{array}{ll}A_{1} & O \\ O & A_{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}A_{1} & O \\ O & A_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}A_{1}^{2} & O \\ O & A_{2}^{2}\end{array}\right)
    其中
    A12=(1225)(1225)=(5121229)A22=(210021002)(210021002)=(441044004) \quad A_{1}^{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5 & 12 \\ 12 & 29\end{array}\right)\\ A_{2}^{2}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)

    AB=(A1OOA2)(B11B12B21B22)=(A1B11A1B12A2B21A2B22) A B=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & O \\ O & A_{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A_{1} B_{11} & A_{1} B_{12} \\ A_{2} B_{21} & A_{2} B_{22}\end{array}\right)

    其中
    A1B11=(1225)(1012)=(14310) \quad A_{1} B_{11}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1 & 4 \\ -3 & 10\end{array}\right)

    A1B12=(1225)(1030)=(70170) A_{1} B_{12}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 3 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7 & 0 \\ 17 & 0\end{array}\right)

    A2B21=(210021002)(120100)=(230200) A_{2} B_{21}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2 & -3 \\ 0 & -2 \\ 0 & 0\end{array}\right)

    A2B22=(210021002)(042414)=(243428) 所以 AB=(1470310170232402340028) \begin{array}{l}A_{2} B_{22}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}0 & 4 \\ 2 & 4 \\ 1 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & -4 \\ -3 & -4 \\ -2 & -8\end{array}\right) \\ \text { 所以 } \quad A B= \left(\begin{array}{cccc}-1 & 4 & 7 & 0 \\ -3 & 10 & 17 & 0 \\ -2 & -3 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & -2 & -8\end{array}\right)\end{array}

    1. 因为 A=(A1OOA2),A=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & O \\ O & A_{2}\end{array}\right), 所以 A1=(A11OOA21)A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A_{1}^{-1} & O \\ O & A_{2}^{-1}\end{array}\right),
      A1=(1225)\quad A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right) 得到 A11=(5221)A_{1}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}5 & -2 \\ -2 & 1\end{array}\right)
      A2=(210021002)\quad A_{2}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right),得到 A21=18(421042004)A_{2 }^{-1}=-\frac{1}{8}\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)

    所以 A1=(5200021000001214180001214000012).\quad A^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}5 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right) .

    5\Large\color{violet}{例5 } 已知 A=(010001000),A=\left(\begin{array}{ccc}\mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right),AnA^{n}

    A2=A(010001000)=A(0ε1ε2)=(OAε1Aε2)=(001000000) \begin{aligned} A^{2} &=A\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=A\left(\begin{array}{lll} 0 & \varepsilon_{1} & \varepsilon_{2} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{O} & A \varepsilon_{1} & A \varepsilon_{2} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{lll} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array}\right) \end{aligned}

    A3=A2(010001000)=A2(Oε1ε2)=(OA2ε1A2ε2)=(000000000) \begin{aligned} A^{3} &=A^{2}\left(\begin{array}{ccc} \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array}\right)=\boldsymbol{A}^{2}\left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\varepsilon}_{1} & \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{lll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\varepsilon}_{1} & \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \end{array}\right) \end{aligned}

    从而 当 n3n \geq 3,An=(000000000), A^{n}=\left(\begin{array}{ccc}\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right)

    6\Large\color{violet}{例6 }A=(1000010000110011),A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right),A2016A^{2016}.
    解 记 M=(1111),M=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right),A=(EOoM)A=\left(\begin{array}{cc}E & O \\ o & M\end{array}\right)
    于是 A2016=(E201600M2016)=(EO0M2016)A^{2016}=\left(\begin{array}{cc}E^{2016} & 0 \\ 0 & M^{2016}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E & O \\ 0 & M^{2016}\end{array}\right)
    α=(11),\alpha=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right), 由于 M=(αα)=α(11)M=\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\alpha\end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{ll}1 & -1\end{array}\right)

    image-20210105112248757

    如此继续得 M2016=(2)2015M.M^{2016}=(-2)^{2015} M .
    因此 A2016=(10000100002201522015002201522015).A^{2016}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{2015} & -2^{2015} \\ 0 & 0 & -2^{2015} & 2^{2015}\end{array}\right) .

    分块矩阵的初等变换

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义2 } }} 把单位矩阵 EE 如下进行分块:
    E=(EmOOEn) E=\left(\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ O & E_{n} \end{array}\right)
    对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{分块初等矩阵}}}.

    分块初等矩阵有以下三种:

     1) 分块对换矩阵  对换两行(列)所得到 \begin{array}{ll}\color{red}{\text { 1) 分块对换矩阵 } }& \text { 对换两行(列)所得到 }\end{array}
    (OEnEmO) \left(\begin{array}{cc} O & E_{n} \\ E_{m} & O \end{array}\right)
     2) 分块倍乘矩阵  某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵 P 所得到 \begin{array}{ll}\color{red}{\text { 2) 分块倍乘矩阵 } }& \text { 某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵 } P \text { 所得到 }\end{array}
    (POOEn),(EmOOP) \left(\begin{array}{ll} P & O \\ O & E_{n} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ O & P \end{array}\right)
     3) 分块倍加矩阵  一行(列)加上另一行(列)的 P (矩阵)倍数所得到 \begin{array}{ll}\color{red}{\text { 3) 分块倍加矩阵 } }& \text { 一行(列)加上另一行(列)的 } P \text { (矩阵)倍数所得到 }\end{array}
    (EmPOEn),(EmOPEn) \left(\begin{array}{cc} E_{m} & P \\ O & E_{n} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ P & E_{n} \end{array}\right)

    分块初等矩阵的性质

    和初等矩阵与初等变换的关系一样,分块初等矩阵有与初等矩阵类似的性质:

    用分块初等矩阵左乘分块矩阵A,在保证可乘的情况下,其作用相当于对分块矩阵A进行一次相应的初等行变换;用分块初等矩阵右乘分块矩阵A,其作用相当于对分块矩阵A进行一次相应的初等列变换.

    例如,设有如下分块矩阵
    (ABCD) \left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right)
    分别用三种分块初等矩阵左乘它,其结果如下:
    (OEnEmO)(ABCD)=(CDAB)(POOEn)(ABCD)=(PAPBCD)(EmOPEn)(ABCD)=(ABC+PAD+PB) \begin{array}{l} \left(\begin{array}{cc} O & E_{n} \\ E_{m} & O \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} C & D \\ A & B \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{cc} P & O \\ O & E_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} P A & P B \\ C & D \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ P & E_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C+P A & D+P B \end{array}\right) \end{array}

     (EmOPEn)(ABCD)=(ABC+PAD+PB) \text { }\left(\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ P & E_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C+P A & D+P B \end{array}\right)
    中,适当选择 P,P, 可使 C+PA=O.C+P A=O . \quad 例如 AA 可逆时, 选 P=CA1P=-C A^{-1},则 C+PA=O.C+P A=O . 于是上式右端成为
    (ABODCA1B) \left(\begin{array}{cc} A & B \\ O & D-C A^{-1} B \end{array}\right)
    这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其他问题时是比较方便的,因此这种运算非常有用.

    1\Large\color{violet}{例1 }T=(AOCD)T=\left(\begin{array}{ll} A & O \\ C & D \end{array}\right),其中 A,DA, D 可逆,求 T1T^{-1}.

    【解 】\quad 因为
    (EmOCA1En)(AOCD)=(AOOD) \left(\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ -C A^{-1} & E_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} A & O \\ C & D \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} A & O \\ O & D \end{array}\right)
    (AOOD)1=(A1OOD1)\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & D\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & O \\ O & D^{-1}\end{array}\right) ,所以
    T1=(A1OOD1)(EmOCA1En)=(A1OD1CA1D1) \begin{aligned}\quad T^{-1} &=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & O \\ O & D^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}E_{m} & O \\ -C A^{-1} & E_{n}\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & O \\ -D^{-1} C A^{-1} & D^{-1}\end{array}\right) \end{aligned}

    2\Large\color{violet}{例2 }T1=(ABCD)T_{1}=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),其中 T1,DT_{1}, D 可逆,试证 (ABD1C)1\left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} 存在,并求 T11T_{1}^{-1}.

    【证明 】\quad 因为
    (EmBD1OEn)(ABCD)=(ABD1COCD) \begin{aligned} &\left(\begin{array}{cc} E_{m} & -B D^{-1} \\ O & E_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cc} A-B D^{-1} C & O \\ C & D \end{array}\right) \end{aligned}

    因为 T1T_{1} 可逆,对它进行初等变换后仍可逆,即
    (ABD1COCD) \left(\begin{array}{cc} A-B D^{-1} C & O \\ C & D \end{array}\right)
    可逆,故 (ABD1C)1\left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} 存在. 由
    (EmBD1OEn)T1=(ABD1COCD) \left(\begin{array}{cc} E_{m} & -B D^{-1} \\ O & E_{n} \end{array}\right) T_{1}=\left(\begin{array}{cc} A-B D^{-1} C & O \\ C & D \end{array}\right)
    解得 T11=(ABD1COCD)1(EmBD1OEn)T_{1}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A-B D^{-1} C & O \\ C & D\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc}E_{m} & -B D^{-1} \\ O & E_{n}\end{array}\right)

    再由例 1,得
    T11=(ABD1COCD)1(EmBD1OEn)=((ABD1C)1OD1C(ABD1C)1D1)(EmBD1OEn)=((ABD1C)1(ABD1C)1BD1D1C(ABD1C)1D1C(ABD1C)1BD1+D1) \begin{array}{c} T_{1}^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A-B D^{-1} C & O \\ C & D \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} E_{m} & -B D^{-1} \\ O & E_{n} \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc} \left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} & O \\ -D^{-1} C\left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} & D^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} E_{m} & -B D^{-1} \\ O & E_{n} \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc} \left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} & -\left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} B D^{-1} \\ -D^{-1} C\left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} & D^{-1} C\left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} B D^{-1}+D^{-1} \end{array}\right) \end{array}

    参考

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

    展开全文
  • 文章目录1 线性系统与矩阵的逆2 初等矩阵3 从初等矩阵到矩阵的逆4 为什么矩阵的逆这么重要5 矩阵的LU分解6 非方阵的LU分解,矩阵的LDU分解和PLU分解7 矩阵的PLUP分解和再看矩阵的乘法参考资料 注:转载请标明原文...

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    注:转载请标明原文出处链接:https://xiongyiming.blog.csdn.net/article/details/103909277


    1 线性系统与矩阵的逆

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    下面举例求解矩阵的逆

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    2 初等矩阵

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    3 从初等矩阵到矩阵的逆

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    4 为什么矩阵的逆这么重要

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    下面对几个命题进行证明

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    5 矩阵的LU分解

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    6 非方阵的LU分解,矩阵的LDU分解和PLU分解

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    7 矩阵的PLUP分解和再看矩阵的乘法

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