地点：学院大自习室；人物：小刚，小慧，小明．
讨论内容：初等矩阵与初等变换、等价与矩阵分解．
记录：
5.1 标准型
我：“研究了矩阵的加减乘逆、分块、转置等运算后，下面要研究的重点是矩阵与矩阵之间的关系，我们已经知道矩阵之间有相等的关系，只要同型矩阵的对应元素相同，则矩阵相等。那么当一个矩阵经过某种变换后，变换前后的矩阵之间有什么关系呢？”
小慧：“在第一章中我们学了矩阵的初等行变换，主要用于求解线性方程组。初等变换非常重要，初等变换是线性代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法,它贯穿于线性代数教材的始终。我们先来回顾一下关于初等变换的相关定义吧！”
【王老师】主题：初等变换的相关定义
矩阵的初等变换包括初等行变换和初等列变换，下面来看相关定义：
1. 初等行变换：只对矩阵的行进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。
2. 初等列变换: 只对矩阵的列进行对换、数乘和倍加三种变换。
3. 初等变换：初等行变换与初等列变换统称初等变换。
4. 行阶梯形矩阵
对矩阵进行初等行变换，化为如下形式:
(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方,如果有的话;
(2) 各非零行的首非零元(从左至右的一个不为零的元素)的列标随着行标的增大而严格增大.
5.行最简形: 在行阶梯形矩阵的基础上加首非零元为1和首非零元所在列其它元素为0两个条件.
6. 标准形   
标准形是对矩阵进行初等变换(一般在行最简形的基础上再进行初等列变换)将A化成如下形式：
5.2 初等矩阵
小明：“我注意到一个问题，对矩阵进行初等变换时不能用等号，我们最喜欢的是等式啊，初等变换能否用等式来表示呢？”
小慧：“是啊，怎么才能解决这个问题呢？”
我：“关于这个问题我们李老师引入的特别好。”
初等矩阵: 由单位矩阵Ｅ经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.　　　　　
显然,初等矩阵都是方阵,每类初等变换都有与之相应的初等矩阵,显然一共会有三种类型的初等矩阵，下面分别给出这三类矩阵，同时给出这些初等矩阵的表示方法．
小慧：”初等矩阵联结矩阵的乘法和初等变换，能够让我们更深入地理解矩阵乘法和初等变换，初等矩阵和分块矩阵、逆矩阵以及伴随矩阵结合在考研题目中经常出现．这节课王老师讲了几个题目，你们来学习一下．”
5.3 等价矩阵
我：“初等矩阵的引入可以将对矩阵的每一步初等变换用等式来表示，或者说初等矩阵将矩阵的初等变换和矩阵乘法联系起来了，这个问题解决了，还有一个问题：那就是矩阵与初等变换后的矩阵的关系是怎样的？如何来描述呢？”
小慧：“以前我们学过等价的线性方程组嘛，只要它们同解就是等价的，而同解变换正好对应增广矩阵的初等行变换，所以矩阵之间也借用等价来表示它们在初等变换后的关系。”
小明：“根据初等矩阵的性质，对矩阵Ａ经过一次初等变换所得矩阵Ｂ可以用初等矩阵和A的乘积来表示，那么经过多次初等变换后的矩阵应该如何表示呢？显然，同样根据初等的矩阵的性质可以得到如下定理：”
我：“这个定理的意义在于两个等价的矩阵可以用矩阵乘法来表示。另外还有一个问题，有限个初等矩阵的乘积是一个可逆矩阵，反过来一个可逆矩阵能否分解成有限个初等矩阵的乘积呢？”
小慧：“我来解答这个问题”
对可逆矩阵A进行初等变换，化为最简形F，
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矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业
1120133839
周碧莹 30011303班
矩阵的秩的性质
1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。 2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量第一文库网组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。于是它们等价。而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明 ：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，
为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式? 第一个问题：
设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn线性无关等价于AX=0只有零解。而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。B的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的`列向量的线性相关性等价!
第二个问题 以一个具体例子来说明。
例：设矩阵 ，求A的列向量组的一个极大无关组，
并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
解：对A施行初等行变换变为行阶梯最简形矩阵
显然变换后矩阵的第1、2、4列是3个线性无关向量，而加入第3、5列中任何一列即变为线性相关了，故由行变换不改变列向量的线性相关性可知α1，α2，α4是A的列向量组的极大无关组。
那么将α3由α1，α2，α4的线性表示的系数即为非齐次线性方程组 (α1，α2，α4)(x1，x2，x3)T=α3的解，故对增广矩阵进行行初等变换即为
所以α3=-α1-α2+0α4，此系数即为对A进行行初等变换后的第3列数字!
同理可得α5由α1，α2，α4线性表示的系数即为对A进行初等行变换后所得行最简形矩阵的第5列对应数字。
综上所述，对矩阵的行初等变换的理解均可以对应到以此矩阵为系数的线性方程组的同解操作，而讨论线性方程组的解时又可以利用矩阵的相关理论进行简化!
4.任一矩阵的行秩等于它的列秩。
证明：任取矩阵A，把它经过初等行变换化成阶梯型矩阵J.据(2)、(3)得出：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩。 5.设矩阵A经过初等行变换成为阶梯形矩阵J，则A的秩等于J的非零行数的。设J的主元所在的列是第j1，则A的第j1，‘’’jr列，‘’’jr列构成A的列向量组的一个极大线性无关组。
6.矩阵A的秩等于A的转置的秩。 7.矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。
8.任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数。 (任一非零矩阵A的行秩等于列秩，并且等于A的不为零子式的最高阶数。) 9.一个n级矩阵A的秩等于n当且仅当|A|≠0 (满秩矩阵)
10.设s*n矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r阶子式所在的行(列)构成A的列(行)向量组的一个极大线性无关组。
矩阵的秩与运算的关系
1.A≌B 则r(A)=r(B)
2.若PQ为可逆矩阵，则r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A) 3.r(A±B)≤r(A)+r(B)
4.对于任意n阶方阵A A*A=A A*=|A|E
5.若A可逆则A-1=A*/|A| (A*)-1=(A-1)*=A/|A| 6.(kA)*=kn-1A*(n≥2)
7.A、B为同阶方阵。(AB)*=B*A* (A*)*=|A|n-1A(n＞2)
【矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系】相关文章：

关于线性代数部分基本问题参考：

 

1.二阶三阶行列式

2.行列式的性质和计算

3.矩阵的概念及矩阵的初等行变换

4.解线性方程组的消元法

5.矩阵的运算以及运算规则

6.逆矩阵

 


			
一、矩阵的加法与减法
			

			　　1、运算规则 

			　　设矩阵，，

			　　则

			　　　　　  

			　　简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！

			　　注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
		

　　2、 运算性质 （假设运算都是可行的） 

			　　满足交换律和结合律
　　交换律　 ； 
　　结合律　 ．

			 
		

			
二、矩阵与数的乘法
			
　　1、 运算规则 
　　数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．

			　　特别地，称称为的负矩阵．
　　2、 运算性质 

			　　满足结合律和分配律
　　结合律： (λμ)A=λ(μA) ； (λ+μ)A =λA+μA．
　　分配律： λ (A+B)=λA+λB．
		


			　　典型例题 

			　　例6.5.1　已知两个矩阵

			

			　　满足矩阵方程，求未知矩阵．

			　　解　由已知条件知

			　 　 

			　　　　 

			 
		

			
三、矩阵与矩阵的乘法
			
　　1、 运算规则 

			　　设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：

			　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．

			　　(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
		


			　　典型例题 

			　　例6.5.2　设矩阵

			

			　　计算 

			　　解　是的矩阵．设它为

			　　　　    


			　　　　    

			　　想一想：设列矩阵，行矩阵，和的行数和列数分别是多少呢 

			　　是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有一个元素．
		


			　　课堂练习 

			　　1、设，，求．

			　　2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．

			　　3、设列矩阵，行矩阵，求和，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？

			　　4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．
		


			　　解： 

			　　第1题
			
．
			　　第2题

			　　对于
			
，．
			　　求是有意义的，而是无意义的．
		


			　　结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．

			　　第3题

			　　是矩阵，是的矩阵．

			　　　  ．

			   

			 结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．

			　　第4题

			　　计算得：．
　　结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．

			　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．
		


			　　典型例题 

			　　例6.5.3　设，试计算和．

			　　解　 

			　　　　　　 

			　　　　　　．

			　　　　 

			　　　　　　 

			　　　　　　 
结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．
		


			　　例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组

			

			　　可以写成矩阵的形式

			
 ＝
			　　若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为

			
 ，，，
			　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：．
		


			　　2、 运算性质（假设运算都是可行的） 

			　　(1)　结合律　．

			　　(2)　分配律　（左分配律）；

			　　　　　　　　　（右分配律）．

			　　(3)　．
　　 3、 方阵的幂 

			

						
 
						

					

						
　　定义：设A是方阵，是一个正整数，规定
						
，
						显然，记号表示个A的连乘积．
						

					

						

						

					
		

			
四、矩阵的转置
			

			　　1、 定义

			

						
 
						

					

						
　　定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．
						

					

						

						

					
　　例如，矩阵的转置矩阵为．

			　　2、运算性质（假设运算都是可行的）

			　　(1)　 

			　　(2)　 

			　　(3)　 

			　　(4)　，是常数．
		


			　　典型例题 

			　　例6.5.5利用矩阵

			

			　　验证运算性质： 

			　　解　   ；

			　　而

			　　　　 

			　　所以

			　　　．
		
 
			

						
 
						

					

						
　　定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．
						

					

						

						

					
			　　对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

			 
		

			
五、方阵的行列式
			

			　　1、定义

			

						
 
						

					

						
　　定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．
						

					

						

						

					


			　　2 、运算性质 

			　　(1)  （行列式的性质）

			　　(2) ，特别地： 

			　　(3) （是常数，A的阶数为n）

			　　思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？
		

			


			　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．

			　　例如，则．

			　　于是，而 ．

			　　思考：设，有几种方法可以求？

			　　解 方法一：先求矩阵乘法，得到一个二阶方阵，再求其行列式．

			　　　　方法二：先分别求行列式，再取它们的乘积．

			
 

			
 
			
		
 

本文参考自：http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0605.html

1矩阵和行列式区别：



 1.1 加减法

 2 矩阵乘除法：



2.1 矩阵性质：



2.2 矩阵的重要概念 









2.3 矩阵的运算性质







  初等矩阵：



 矩阵的逆：

 

 

 

 

 

 

参考：

爱奇艺视频