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  • 初等矩阵的运算性质
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    2021-07-01 22:37:13

    初等矩阵性质:
    1、设A是一个m×n矩阵,对A施行一次初等行变换,其结果等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,其结果等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。反之亦然。
    2、方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…Pn,使得A=P1P2…Pn.
    3、m×n矩阵A与B等价当且仅当存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q使得B=PAQ。

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    什么是矩阵 Matrix

    向量是对数的拓展,一个向量表示一组数。
    矩阵是对向量的拓展,一个矩阵表示一组向量。

    以行来看矩阵, 以列看矩阵
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    行数与列数相等的矩阵 称为 方阵

    使用大写字母代表矩阵,用矩阵名称相对应的小写字母,并通过下标来代表每个元素。
    a ij 元素,在矩阵中的第i行,第j列。
    和计算机中的二维数组的表示是一样的。
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    例如,日常生活中的数据表格就是一个矩阵。
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    矩阵的基本运算

    矩阵的加法

    A+B = ?
    矩阵每一个元素进行相加。在这里插入图片描述

    举例:成绩表
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    矩阵的数量乘法

    k x A = ?
    用k去乘以矩阵的每一个元素。

    举例:求平均分
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    运用在二维坐标系中
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    其实就是对图形进行了一个缩放,运用在很多计算机图形系统中

    矩阵的基本运算性质

    A + B = B + A 加法交换律
    (A + B)+ C = A + (B + C) 加法结合律
    存在矩阵O,满足 A + O = A
    存在矩阵-A,满足 A + (-A) = 0 ,-A 唯一。
    (ck)A = c(kA) 乘法结合律
    k x (A + B) = kA + kB 乘法分配律
    (c + k) x A = cA + kA 乘法分配律

    基本证明思路:在这里插入图片描述

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  • 参考:张宇高等数学基础30讲 文章目录1. 矩阵的逆1.1 逆矩阵的定义1.2 逆矩阵性质与重要公式1.3 用定义求逆矩阵1.4 例题... 初等变换与初等矩阵 1. 矩阵的逆 1.1 逆矩阵的定义 定义:设 A,B\pmb{A},\pmb{B}AAA,BBB .
    • 参考:张宇高等数学基础30讲

    1. 矩阵的逆

    1.1 逆矩阵的定义

    • 定义:设 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是n阶方阵 E \pmb{E} EEE 是n阶单位阵,若 A B = B A = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{B}\pmb{A} = \pmb{E} AAABBB=BBBAAA=EEE,则称 A \pmb{A} AAA可逆矩阵,并称 B \pmb{B} BBB A \pmb{A} AAA逆矩阵,并称 B \pmb{B} BBB A \pmb{A} AAA 的逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,记作 A − 1 \pmb{A}^{-1} AAA1注意逆矩阵是相互的,即有
      { A − 1 = B B − 1 = A \left\{ \begin{aligned} \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} \\ \pmb{B}^{-1} = \pmb{A} \end{aligned} \right. {AAA1=BBBBBB1=AAA
    • A \pmb{A} AAA 可逆的充要条件 ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0,当 ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0 时, A \pmb{A} AAA 可逆,且
      A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^* AAA1=AAA1AAA
      其中 A ∗ \pmb{A}^* AAA 是矩阵 A \pmb{A} AAA 的伴随矩阵

    1.2 逆矩阵性质与重要公式

    • 欲利用定义法证明 A − 1 = B \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} AAA1=BBB,只需证明 A B = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{E} AAABBB=EEE 即可,下面用此方法证明一些常用性质和公式。设 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是同阶可逆矩阵,则

      公式证明
      ( A − 1 ) − 1 = A (\pmb{A}^{-1})^{-1} = \pmb{A} (AAA1)1=AAA A − 1 A = E \pmb{A}^{-1}\pmb{A} = \pmb{E} AAA1AAA=EEE
      ( k A ) − 1 = 1 k A − 1    , k ≠ 0 (k\pmb{A})^{-1} = \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1}\space\space ,k\neq 0 (kAAA)1=k1AAA1  ,k=0 ( k A ) − 1 ⋅ 1 k A − 1 = E (k\pmb{A})^{-1} · \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} = \pmb{E} (kAAA)1k1AAA1=EEE
      ( A B ) (\pmb{A}\pmb{B}) (AAABBB) 也可逆,且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (\pmb{A}\pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} (AAABBB)1=BBB1AAA1 A B B − 1 A − 1 = A ( B B − 1 ) A − 1 = A A − 1 = E \pmb{A}\pmb{B}\pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} =\pmb{A}(\pmb{B}\pmb{B}^{-1})\pmb{A}^{-1} = \pmb{A}\pmb{A}^{-1} = \pmb{E} AAABBBBBB1AAA1=AAA(BBBBBB1)AAA1=AAAAAA1=EEE
      A T \pmb{A}^T AAAT 也可逆,且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (\pmb{A}^T)^{-1} = (\pmb{A}^{-1})^T (AAAT)1=(AAA1)T A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E \pmb{A}^T(\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^{-1}\pmb{A})^T = \pmb{E}^T = \pmb{E} AAAT(AAA1)T=(AAA1AAA)T=EEET=EEE
      ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1     , ∣ A ∣ − 1 ≠ 0 \vert\pmb{A}^{-1}\vert = \vert\pmb{A}\vert^{-1}\space\space\space,\vert\pmb{A}\vert^{-1}\neq 0 AAA1=AAA1   ,AAA1=0 ∣ A − 1 A ∣ = ∣ E ∣ ⇒ ∣ A − 1 ∣ ∣ A ∣ = 1 ⇒ ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 \vert\pmb{A}^{-1}\pmb{A}\vert = \vert\pmb{E}\vert \Rightarrow \vert\pmb{A}^{-1}\vert\vert\pmb{A}\vert = 1 \Rightarrow \vert\pmb{A}^{-1}\vert = \vert\pmb{A}\vert^{-1} AAA1AAA=EEEAAA1AAA=1AAA1=AAA1

    1.3 用定义求逆矩阵

    • 定义法适用于求抽象矩阵的逆矩阵
      方法说明
      依定义即求一个矩阵 B \pmb{B} BBB,使得 A B = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{E} AAABBB=EEE,则 A \pmb{A} AAA 可逆,且 A − 1 = B \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} AAA1=BBB
      A \pmb{A} AAA 分解成若干个可逆矩阵的乘积因为两个可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵,即若 A = B C \pmb{A} = \pmb{B}\pmb{C} AAA=BBBCCC,其中 B , C \pmb{B},\pmb{C} BBB,CCC 均可逆,则 A \pmb{A} AAA 可逆,且 A − 1 = ( B C ) − 1 = C − 1 B − 1 \pmb{A}^{-1} = (\pmb{B}\pmb{C})^{-1} = \pmb{C}^{-1}\pmb{B}^{-1} AAA1=(BBBCCC)1=CCC1BBB1
      一些简单分块矩阵的逆 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 均是可逆方阵,则 [ A O O B ] − 1 = [ A − 1 O O B − 1 ] ,     [ O A B O ] − 1 = [ O A − 1 B − 1 O ] \begin{bmatrix}\pmb{A} &\pmb{O} \\\pmb{O} &\pmb{B}\end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix}\pmb{A}^{-1} &\pmb{O} \\\pmb{O} &\pmb{B}^{-1}\end{bmatrix},\space\space\space\begin{bmatrix}\pmb{O} &\pmb{A} \\\pmb{B} &\pmb{O}\end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix}\pmb{O} &\pmb{A}^{-1} \\\pmb{B}^{-1} &\pmb{O}\end{bmatrix} [AAAOOOOOOBBB]1=[AAA1OOOOOOBBB1],   [OOOBBBAAAOOO]1=[OOOBBB1AAA1OOO]

    1.4 例题

    1. A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 均是n阶方阵,且 A B = A + B \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{A}+\pmb{B} AAABBB=AAA+BBB。证明 A − E \pmb{A}-\pmb{E} AAAEEE 可逆,并求 ( A − E ) − 1 (\pmb{A}-\pmb{E})^{-1} (AAAEEE)1
      思路:用定义法,找 ( A − E ) (\pmb{A}-\pmb{E}) (AAAEEE) 乘以什么得 E \pmb{E} EEE
      ∵ A B = A + B ∴ A B − A − B + E = E ∴ A ( B − E ) − ( B − E ) = E ∴ ( A − E ) ( B − E ) = E ∴ ( A − E ) − 1 = B − E \begin{aligned} &\because \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{A}+\pmb{B}\\ &\therefore \pmb{A}\pmb{B} - \pmb{A}-\pmb{B} + \pmb{E} = \pmb{E}\\ &\therefore \pmb{A}(\pmb{B} - \pmb{E})- (\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E}\\ &\therefore (\pmb{A} - \pmb{E})(\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E}\\ &\therefore (\pmb{A}-\pmb{E})^{-1} = \pmb{B} - \pmb{E} \end{aligned} AAABBB=AAA+BBBAAABBBAAABBB+EEE=EEEAAA(BBBEEE)(BBBEEE)=EEE(AAAEEE)(BBBEEE)=EEE(AAAEEE)1=BBBEEE
      其中倒数第二个等式 ( A − E ) ( B − E ) = E (\pmb{A} - \pmb{E})(\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E} (AAAEEE)(BBBEEE)=EEE 成立就证明了 A − E \pmb{A}-\pmb{E} AAAEEE 可逆。也可在此式两边取行列式,则有
      ∣ A − E ∣ = 1 ∣ B − E ∣ ≠ 0 ⇒ ( A − E ) 可 逆 |\pmb{A} - \pmb{E}| = \frac{1}{|\pmb{B} - \pmb{E}|} \neq 0 \Rightarrow (\pmb{A}-\pmb{E})可逆 AAAEEE=BBBEEE1=0(AAAEEE)
    2. A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是同阶可逆矩阵,且 A − 1 + B − 1 \pmb{A}^{-1}+\pmb{B}^{-1} AAA1+BBB1 是可逆矩阵,证明 A + B \pmb{A}+\pmb{B} AAA+BBB 是可逆矩阵,并求 ( A + B ) − 1 (\pmb{A}+\pmb{B})^{-1} (AAA+BBB)1
      思路:用拆分法,找出可逆矩阵 M , N \pmb{M},\pmb{N} MMM,NNN 使得 A = M N \pmb{A} = \pmb{M}\pmb{N} AAA=MMMNNN,则 A − 1 = N − 1 M − 1 \pmb{A}^{-1} = \pmb{N}^{-1}\pmb{M}^{-1} AAA1=NNN1MMM1
      ∵ A , B 可 逆 ∴ A + B = A ( E + A − 1 B ) = A ( B − 1 + A − 1 ) B ∵ A , ( B − 1 + A − 1 ) , B 都 可 逆 ∴ ( A + B ) − 1 = B − 1 ( B − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 \begin{aligned} &\because \pmb{A},\pmb{B} 可逆 \\ &\therefore \pmb{A} + \pmb{B} = \pmb{A}(\pmb{E}+\pmb{A}^{-1}\pmb{B}) = \pmb{A}(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1})\pmb{B}\\ &\because \pmb{A},(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1}),\pmb{B} 都可逆 \\ &\therefore (\pmb{A} + \pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1})^{-1}\pmb{A}^{-1} \end{aligned} AAA,BBBAAA+BBB=AAA(EEE+AAA1BBB)=AAA(BBB1+AAA1)BBBAAA,(BBB1+AAA1),BBB(AAA+BBB)1=BBB1(BBB1+AAA1)1AAA1

    2. 伴随矩阵

    2.1 伴随矩阵的定义

    • 定义:将行列式 ∣ A ∣ |\pmb{A}| AAA n 2 n^2 n2 个元素的代数余子式按照如下形式(就是第 i i i 行元素的代数余子式写在第 i i i 列)排列成的矩阵称为 A \pmb{A} AAA伴随矩阵,记作 A ∗ \pmb{A}^* AAA,即
      A ∗ = [ A 11 A 21 … A n 1 A 12 A 22 … A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n … A n n ] − 1 \pmb{A}^* = \begin{bmatrix} &A_{11} &A_{21} &\dots &A_{n1}\\ &A_{12} &A_{22} &\dots &A_{n2}\\ &\vdots &\vdots & &\vdots\\ &A_{1n} &A_{2n} &\dots &A_{nn}\\ \end{bmatrix}^{-1} AAA=A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann1

    2.2 伴随矩阵的定义与重要公式

    1. 对任意 n 阶方阵 A \pmb{A} AAA,都有伴随矩阵 A ∗ \pmb{A}^* AAA,且有公式

      公式证明
      A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E \pmb{A}\pmb{A}^* = \pmb{A}^*\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} AAAAAA=AAAAAA=AAAEEE可以用归纳法证明,给出一个2阶的例子,设 A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{bmatrix} AAA=[a11a21a12a22] A ∗ = [ A 11 A 21 A 12 A 22 ] \pmb{A}^*=\begin{bmatrix}A_{11} &A_{21} \\ A_{12} &A_{22}\end{bmatrix} AAA=[A11A12A21A22],则有 A A ∗ = [ a 11 A 11 + a 12 A 12 a 11 A 21 + a 12 A 22 a 21 A 11 + a 22 A 12 a 21 A 21 + a 22 A 22 ] = [ ∣ A ∣ 0 0 ∣ A ∣ ] = ∣ A ∣ E \pmb{A}\pmb{A}^* = \begin{bmatrix}&a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12} &a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}\\&a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12} &a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vert\pmb{A}\vert &0\\0 &\vert\pmb{A}\vert\end{bmatrix} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} AAAAAA=[a11A11+a12A12a21A11+a22A12a11A21+a12A22a21A21+a22A22]=[AAA00AAA]=AAAEEE
      ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \vert\pmb{A}^*\vert = \vert\pmb{A}\vert^{n-1} AAA=AAAn1 ∵ A ∗ A = ∣ A ∣ E ∴ ∣ A ∗ A ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ ∴ ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ = ∣ A ∣ n ∴ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \begin{aligned}&\because \pmb{A}^*\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\pmb{A}\vert = \vert \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} \vert \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\vert\vert\pmb{A}\vert = \vert\pmb{A}\vert^n \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\vert = \vert\pmb{A}\vert^{n-1}\end{aligned} AAAAAA=AAAEEEAAAAAA=AAAEEEAAAAAA=AAAnAAA=AAAn1
      ( A + B ) ∗ ≠ A ∗ + B ∗ (\pmb{A}+\pmb{B})^* \neq \pmb{A}^* + \pmb{B}^* (AAA+BBB)=AAA+BBB-
    2. 交换律
      { A E = E A A k E = k E A A A ∗ = A ∗ A A B = B A = E    ( 要 求 A − 1 = B ) \left\{ \begin{aligned} &\pmb{A}\pmb{E} = \pmb{E}\pmb{A}\\ &\pmb{A}k\pmb{E} = k\pmb{E}\pmb{A}\\ &\pmb{A}\pmb{A}^* = \pmb{A}^*\pmb{A} \\ &\pmb{A}\pmb{B} = \pmb{B}\pmb{A} = \pmb{E} \space\space(要求 \pmb{A}^{-1} = \pmb{B}) \end{aligned} \right. AAAEEE=EEEAAAAAAkEEE=kEEEAAAAAAAAA=AAAAAAAAABBB=BBBAAA=EEE  (AAA1=BBB)

    2.3 用伴随矩阵求逆矩阵

    • 用伴随矩阵求逆矩阵,适用于求数值矩阵的逆矩阵
      1. ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0,则 A \pmb{A} AAA 可逆,且
        { A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 \left\{ \begin{aligned} &\pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^*\\ &\pmb{A}^* = |\pmb{A}|\pmb{A}^{-1}\\ \end{aligned} \right. AAA1=AAA1AAAAAA=AAAAAA1
    • 例题:已知 A = [ a b c d ] \pmb{A} = \begin{bmatrix}a &b \\c &d\end{bmatrix} AAA=[acbd],写出 A \pmb{A} AAA 可逆的一个充要条件,并求 A − 1 \pmb{A}^{-1} AAA1
      ∵ A 可 逆 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ∴ 充 要 条 件 : ∣ A ∣ = a d − b c ≠ 0 ∴ A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 a d − b c [ d − b − c a ] \begin{aligned} &\because \pmb{A}可逆 \Leftrightarrow |\pmb{A}| \neq 0 \\ &\therefore 充要条件:|\pmb{A}| = ad-bc \neq 0\\ &\therefore \pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^* = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d &-b \\-c &a\end{bmatrix} \end{aligned} AAAAAA=0AAA=adbc=0AAA1=AAA1AAA=adbc1[dcba]

    3. 转置、伴随、逆矩阵、取行列式公式小结

    • 现有n阶方阵 A \pmb{A} AAA ,设以下公式中所需条件(比如要求 A ≠ 0 \pmb{A}\neq 0 AAA=0)均满足

    3.1 嵌套

    • 相同操作嵌套小结
      公式证明
      ∣ ∣ A ∣ ∣ = ∣ A ∣ \vert\vert\pmb{A}\vert\vert = \vert\pmb{A}\vert AAA=AAA取一次行列式就变成一个数了,第二次操作失效
      ( A T ) T = A (\pmb{A}^T)^T = \pmb{A} (AAAT)T=AAA-
      ( A − 1 ) − 1 = A (\pmb{A}^{-1})^{-1} = \pmb{A} (AAA1)1=AAA-
      ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A (\pmb{A}^*)^* = \vert\pmb{A}\vert^{n-2}\pmb{A} (AAA)=AAAn2AAA ∵ A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ E ∴ ( A ∗ ) − 1 A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ∣ A ∗ ∣ E ∴ ( A ∗ ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ∣ A ∣ n − 1 E ∵ ( A ∗ ) − 1 = ( ∣ A ∣ A − 1 ) − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∴ ( A ∗ ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A ∣ A ∣ n − 1 E = ∣ A ∣ n − 2 A \begin{aligned}&\because \pmb{A}^*(\pmb{A}^*)^* = \vert\pmb{A}^*\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^*)^{-1}\pmb{A}^*(\pmb{A}^*)^* = (\pmb{A}^*)^{-1}\vert\pmb{A}^*\vert\pmb{E}\\&\therefore (\pmb{A}^*)^* = (\pmb{A}^*)^{-1}\vert\pmb{A}\vert^{n-1}\pmb{E} \\&\because (\pmb{A}^*)^{-1} = (\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1})^{-1} = \frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}\\&\therefore (\pmb{A}^*)^* =\frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}\vert\pmb{A}\vert^{n-1}\pmb{E} = \vert\pmb{A}\vert^{n-2}\pmb{A} \\\end{aligned} AAA(AAA)=AAAEEE(AAA)1AAA(AAA)=(AAA)1AAAEEE(AAA)=(AAA)1AAAn1EEE(AAA)1=(AAAAAA1)1=AAA1AAA(AAA)=AAA1AAAAAAn1EEE=AAAn2AAA

    3.2 数乘

    • k k k 为任意常数,有
      公式证明
      ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ \vert k\pmb{A}\vert = k^n\vert\pmb{A}\vert kAAA=knAAA-
      ( k A ) T = k A T (k\pmb{A})^T = k\pmb{A}^T (kAAA)T=kAAAT-
      ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (k\pmb{A})^{-1} = \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} (kAAA)1=k1AAA1 ( k A ) 1 k A − 1 = E (k\pmb{A}) \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} =\pmb{E} (kAAA)k1AAA1=EEE
      ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (k\pmb{A})^* = k^{n-1}\pmb{A}^* (kAAA)=kn1AAA ∵ ( k A ) ( k A ) ∗ = ∣ k A ∣ E ∴ ( k A ) ∗ = ∣ k A ∣ ( k A ) − 1 = k n − 1 ∣ A ∣ A − 1 = k n − 1 A ∗ \begin{aligned}&\because (k\pmb{A})(k\pmb{A})^* =\vert k\pmb{A}\vert \pmb{E} \\&\therefore (k\pmb{A})^* = \vert k\pmb{A}\vert(k\pmb{A})^{-1} = k^{n-1}\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1} = k^{n-1}\pmb{A}^*\end{aligned} (kAAA)(kAAA)=kAAAEEE(kAAA)=kAAA(kAAA)1=kn1AAAAAA1=kn1AAA

    3.3 穿脱原则

    • 穿脱原则就是展开前后排列顺序相反
      公式证明
      ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ B ∣ ∣ A ∣ \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert = \vert\pmb{A}\vert\vert\pmb{B}\vert = \vert\pmb{B}\vert\vert\pmb{A}\vert AAABBB=AAABBB=BBBAAA-
      ( A B ) T = B T A T (\pmb{A}\pmb{B})^T = \pmb{B}^T\pmb{A}^T (AAABBB)T=BBBTAAAT-
      ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (\pmb{A}\pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} (AAABBB)1=BBB1AAA1-
      ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ (\pmb{A}\pmb{B})^* = \pmb{B}^*\pmb{A}^* (AAABBB)=BBBAAA ∵ ( A B ) ( A B ) ∗ = ∣ A B ∣ E ∴ ( A B ) ∗ = ∣ A B ∣ ( A B ) − 1 ∴ ( A B ) ∗ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ B − 1 A − 1 ∴ ( A B ) ∗ = ( ∣ B ∣ B − 1 ) ( ∣ A ∣ A − 1 ) = B ∗ A ∗ \begin{aligned}&\because (\pmb{A}\pmb{B})(\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert \pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert(\pmb{A}\pmb{B})^{-1} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\vert\vert\pmb{B}\vert\pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = (\vert\pmb{B}\vert\pmb{B}^{-1})(\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1}) = \pmb{B}^*\pmb{A}^*\end{aligned} (AAABBB)(AAABBB)=AAABBBEEE(AAABBB)=AAABBB(AAABBB)1(AAABBB)=AAABBBBBB1AAA1(AAABBB)=(BBBBBB1)(AAAAAA1)=BBBAAA

    3.4 交换操作顺序

    • 求逆、求转置、求伴随,任意两个可以交换执行顺序
      公式证明
      ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^T)^{-1} (AAA1)T=(AAAT)1 ∵ A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E ∴ ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T \begin{aligned}&\because \pmb{A}^T(\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^{-1}\pmb{A})^T = \pmb{E}^T = \pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^T)^{-1} = (\pmb{A}^{-1})^T\end{aligned} AAAT(AAA1)T=(AAA1AAA)T=EEET=EEE(AAAT)1=(AAA1)T
      ( A − 1 ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 (\pmb{A}^{-1})^* = (\pmb{A}^*)^{-1} (AAA1)=(AAA)1 ∵ ( A − 1 ) ( A − 1 ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ E ∴ ( A − 1 ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ A = ∣ A ∣ − 1 A = ( A ∗ ) − 1 \begin{aligned}&\because (\pmb{A}^{-1})(\pmb{A}^{-1})^* =\vert\pmb{A}^{-1}\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^{-1})^* = \vert\pmb{A}^{-1}\vert\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert^{-1}\pmb{A} = (\pmb{A}^*)^{-1}\end{aligned} (AAA1)(AAA1)=AAA1EEE(AAA1)=AAA1AAA=AAA1AAA=(AAA)1
      ( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ (\pmb{A}^*)^T = (\pmb{A}^T)^* (AAA)T=(AAAT) ∵ ( A T ) ( A T ) ∗ = ∣ A T ∣ E ∴ ( A T ) ∗ = ∣ A T ∣ ( A T ) − 1 = ∣ A ∣ ( A − 1 ) T = ∣ A ∣ ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) T = ( A ∗ ) T \begin{aligned}&\because (\pmb{A}^T)(\pmb{A}^T)^* =\vert\pmb{A}^T\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^T)^* =\vert\pmb{A}^T\vert(\pmb{A}^T)^{-1} = \vert\pmb{A}\vert(\pmb{A}^{-1})^T = \vert\pmb{A}\vert( \frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}^*)^T =(\pmb{A}^*)^T\end{aligned} (AAAT)(AAAT)=AAATEEE(AAAT)=AAAT(AAAT)1=AAA(AAA1)T=AAA(AAA1AAA)T=(AAA)T

    3.5 操作后取行列式

    • 在转置、求逆、求伴随后取行列式
      { ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \left\{ \begin{aligned} &|\pmb{A}^T| = |\pmb{A}| \\ &|\pmb{A}^{-1}| = |\pmb{A}|^{-1} \\ &|\pmb{A}^*| = |\pmb{A}|^{n-1} \end{aligned} \right. AAAT=AAAAAA1=AAA1AAA=AAAn1

    3.6 只有转置可以直接去括号

    • 取行列式、求逆、求伴随都不能直接去括号
      { ( A + B ) T = A T + B T ∣ A + B ∣ ≠ ∣ A ∣ + ∣ B ∣ ( A + B ) − 1 ≠ A − 1 + B − 1 ( A + B ) ∗ ≠ A ∗ + B ∗ \left\{ \begin{aligned} &(\pmb{A}+\pmb{B})^T = \pmb{A}^T + \pmb{B}^T \\ &|\pmb{A}+\pmb{B}| \neq |\pmb{A}| + |\pmb{B}| \\ &(\pmb{A}+\pmb{B})^{-1} \neq \pmb{A}^{-1} + \pmb{B}^{-1} \\ &(\pmb{A}+\pmb{B})^* \neq \pmb{A}^* + \pmb{B}^* \end{aligned} \right. (AAA+