-
2021-07-01 22:37:13
初等矩阵性质：
1、设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，其结果等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，其结果等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。反之亦然。
2、方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…Pn，使得A=P1P2…Pn.
3、m×n矩阵A与B等价当且仅当存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q使得B=PAQ。更多相关内容 -
4.1-4.3 什么是矩阵 & 矩阵的基本运算及性质
2020-08-26 15:16:39什么是矩阵 Matrix 向量是对数的拓展，一个向量表示一组数。 矩阵是对向量的拓展，一个矩阵表示一组...矩阵的基本运算 矩阵的加法 A+B = ? 矩阵每一个元素进行相加。 举例：成绩表 矩阵的数量乘法 k x A = ? 用k去乘以展开全文什么是矩阵 Matrix
向量是对数的拓展，一个向量表示一组数。
矩阵是对向量的拓展，一个矩阵表示一组向量。以行来看矩阵， 以列看矩阵
行数与列数相等的矩阵 称为 方阵使用大写字母代表矩阵，用矩阵名称相对应的小写字母，并通过下标来代表每个元素。
a ij 元素，在矩阵中的第i行，第j列。
和计算机中的二维数组的表示是一样的。
例如，日常生活中的数据表格就是一个矩阵。
矩阵的基本运算
矩阵的加法
A+B = ?
矩阵每一个元素进行相加。
举例：成绩表
矩阵的数量乘法
k x A = ?
用k去乘以矩阵的每一个元素。举例：求平均分
运用在二维坐标系中
其实就是对图形进行了一个缩放，运用在很多计算机图形系统中矩阵的基本运算性质
A + B = B + A 加法交换律
（A + B）+ C = A + (B + C) 加法结合律
存在矩阵O,满足 A + O = A
存在矩阵-A,满足 A + (-A) = 0 ，-A 唯一。
（ck）A = c(kA) 乘法结合律
k x (A + B) = kA + kB 乘法分配律
(c + k) x A = cA + kA 乘法分配律基本证明思路：
-
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文章目录
1. 矩阵的逆
1.1 逆矩阵的定义
- 定义：设
A
,
B
\pmb{A},\pmb{B}
AAA,BBB 是n阶方阵，
E
\pmb{E}
EEE 是n阶单位阵，若
A
B
=
B
A
=
E
\pmb{A}\pmb{B} = \pmb{B}\pmb{A} = \pmb{E}
AAABBB=BBBAAA=EEE，则称
A
\pmb{A}
AAA 为
可逆矩阵，并称 B \pmb{B} BBB 是 A \pmb{A} AAA 的逆矩阵，并称 B \pmb{B} BBB 是 A \pmb{A} AAA 的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记作 A − 1 \pmb{A}^{-1} AAA−1。注意逆矩阵是相互的，即有
{ A − 1 = B B − 1 = A \left\{ \begin{aligned} \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} \\ \pmb{B}^{-1} = \pmb{A} \end{aligned} \right. {AAA−1=BBBBBB−1=AAA -
A
\pmb{A}
AAA 可逆的
充要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 ∣AAA∣=0，当 ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 ∣AAA∣=0 时， A \pmb{A} AAA 可逆，且
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^* AAA−1=∣AAA∣1AAA∗
其中 A ∗ \pmb{A}^* AAA∗ 是矩阵 A \pmb{A} AAA 的伴随矩阵
1.2 逆矩阵性质与重要公式
-
欲利用定义法证明 A − 1 = B \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} AAA−1=BBB，只需证明 A B = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{E} AAABBB=EEE 即可，下面用此方法证明一些常用性质和公式。设 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 是同阶可逆矩阵，则
公式 证明 ( A − 1 ) − 1 = A (\pmb{A}^{-1})^{-1} = \pmb{A} (AAA−1)−1=AAA A − 1 A = E \pmb{A}^{-1}\pmb{A} = \pmb{E} AAA−1AAA=EEE ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 , k ≠ 0 (k\pmb{A})^{-1} = \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1}\space\space ,k\neq 0 (kAAA)−1=k1AAA−1 ,k=0 ( k A ) − 1 ⋅ 1 k A − 1 = E (k\pmb{A})^{-1} · \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} = \pmb{E} (kAAA)−1⋅k1AAA−1=EEE ( A B ) (\pmb{A}\pmb{B}) (AAABBB) 也可逆，且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (\pmb{A}\pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} (AAABBB)−1=BBB−1AAA−1 A B B − 1 A − 1 = A ( B B − 1 ) A − 1 = A A − 1 = E \pmb{A}\pmb{B}\pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} =\pmb{A}(\pmb{B}\pmb{B}^{-1})\pmb{A}^{-1} = \pmb{A}\pmb{A}^{-1} = \pmb{E} AAABBBBBB−1AAA−1=AAA(BBBBBB−1)AAA−1=AAAAAA−1=EEE A T \pmb{A}^T AAAT 也可逆，且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (\pmb{A}^T)^{-1} = (\pmb{A}^{-1})^T (AAAT)−1=(AAA−1)T A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E \pmb{A}^T(\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^{-1}\pmb{A})^T = \pmb{E}^T = \pmb{E} AAAT(AAA−1)T=(AAA−1AAA)T=EEET=EEE ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 , ∣ A ∣ − 1 ≠ 0 \vert\pmb{A}^{-1}\vert = \vert\pmb{A}\vert^{-1}\space\space\space,\vert\pmb{A}\vert^{-1}\neq 0 ∣AAA−1∣=∣AAA∣−1 ,∣AAA∣−1=0 ∣ A − 1 A ∣ = ∣ E ∣ ⇒ ∣ A − 1 ∣ ∣ A ∣ = 1 ⇒ ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 \vert\pmb{A}^{-1}\pmb{A}\vert = \vert\pmb{E}\vert \Rightarrow \vert\pmb{A}^{-1}\vert\vert\pmb{A}\vert = 1 \Rightarrow \vert\pmb{A}^{-1}\vert = \vert\pmb{A}\vert^{-1} ∣AAA−1AAA∣=∣EEE∣⇒∣AAA−1∣∣AAA∣=1⇒∣AAA−1∣=∣AAA∣−1
1.3 用定义求逆矩阵
- 定义法适用于求
抽象矩阵的逆矩阵方法 说明 依定义 即求一个矩阵 B \pmb{B} BBB，使得 A B = E \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{E} AAABBB=EEE，则 A \pmb{A} AAA 可逆，且 A − 1 = B \pmb{A}^{-1} = \pmb{B} AAA−1=BBB 将 A \pmb{A} AAA 分解成若干个可逆矩阵的乘积 因为两个可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，即若 A = B C \pmb{A} = \pmb{B}\pmb{C} AAA=BBBCCC，其中 B , C \pmb{B},\pmb{C} BBB,CCC 均可逆，则 A \pmb{A} AAA 可逆，且 A − 1 = ( B C ) − 1 = C − 1 B − 1 \pmb{A}^{-1} = (\pmb{B}\pmb{C})^{-1} = \pmb{C}^{-1}\pmb{B}^{-1} AAA−1=(BBBCCC)−1=CCC−1BBB−1 一些简单分块矩阵的逆 若 A , B \pmb{A},\pmb{B} AAA,BBB 均是可逆方阵，则 [ A O O B ] − 1 = [ A − 1 O O B − 1 ] , [ O A B O ] − 1 = [ O A − 1 B − 1 O ] \begin{bmatrix}\pmb{A} &\pmb{O} \\\pmb{O} &\pmb{B}\end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix}\pmb{A}^{-1} &\pmb{O} \\\pmb{O} &\pmb{B}^{-1}\end{bmatrix},\space\space\space\begin{bmatrix}\pmb{O} &\pmb{A} \\\pmb{B} &\pmb{O}\end{bmatrix}^{-1} =\begin{bmatrix}\pmb{O} &\pmb{A}^{-1} \\\pmb{B}^{-1} &\pmb{O}\end{bmatrix} [AAAOOOOOOBBB]−1=[AAA−1OOOOOOBBB−1], [OOOBBBAAAOOO]−1=[OOOBBB−1AAA−1OOO]
1.4 例题
-
A
,
B
\pmb{A},\pmb{B}
AAA,BBB 均是n阶方阵，且
A
B
=
A
+
B
\pmb{A}\pmb{B} = \pmb{A}+\pmb{B}
AAABBB=AAA+BBB。证明
A
−
E
\pmb{A}-\pmb{E}
AAA−EEE 可逆，并求
(
A
−
E
)
−
1
(\pmb{A}-\pmb{E})^{-1}
(AAA−EEE)−1
思路：用定义法，找 ( A − E ) (\pmb{A}-\pmb{E}) (AAA−EEE) 乘以什么得 E \pmb{E} EEE
∵ A B = A + B ∴ A B − A − B + E = E ∴ A ( B − E ) − ( B − E ) = E ∴ ( A − E ) ( B − E ) = E ∴ ( A − E ) − 1 = B − E \begin{aligned} &\because \pmb{A}\pmb{B} = \pmb{A}+\pmb{B}\\ &\therefore \pmb{A}\pmb{B} - \pmb{A}-\pmb{B} + \pmb{E} = \pmb{E}\\ &\therefore \pmb{A}(\pmb{B} - \pmb{E})- (\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E}\\ &\therefore (\pmb{A} - \pmb{E})(\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E}\\ &\therefore (\pmb{A}-\pmb{E})^{-1} = \pmb{B} - \pmb{E} \end{aligned} ∵AAABBB=AAA+BBB∴AAABBB−AAA−BBB+EEE=EEE∴AAA(BBB−EEE)−(BBB−EEE)=EEE∴(AAA−EEE)(BBB−EEE)=EEE∴(AAA−EEE)−1=BBB−EEE
其中倒数第二个等式 ( A − E ) ( B − E ) = E (\pmb{A} - \pmb{E})(\pmb{B} - \pmb{E}) = \pmb{E} (AAA−EEE)(BBB−EEE)=EEE 成立就证明了 A − E \pmb{A}-\pmb{E} AAA−EEE 可逆。也可在此式两边取行列式，则有
∣ A − E ∣ = 1 ∣ B − E ∣ ≠ 0 ⇒ ( A − E ) 可 逆 |\pmb{A} - \pmb{E}| = \frac{1}{|\pmb{B} - \pmb{E}|} \neq 0 \Rightarrow (\pmb{A}-\pmb{E})可逆 ∣AAA−EEE∣=∣BBB−EEE∣1=0⇒(AAA−EEE)可逆 - 设
A
,
B
\pmb{A},\pmb{B}
AAA,BBB 是同阶可逆矩阵，且
A
−
1
+
B
−
1
\pmb{A}^{-1}+\pmb{B}^{-1}
AAA−1+BBB−1 是可逆矩阵，证明
A
+
B
\pmb{A}+\pmb{B}
AAA+BBB 是可逆矩阵，并求
(
A
+
B
)
−
1
(\pmb{A}+\pmb{B})^{-1}
(AAA+BBB)−1
思路：用拆分法，找出可逆矩阵 M , N \pmb{M},\pmb{N} MMM,NNN 使得 A = M N \pmb{A} = \pmb{M}\pmb{N} AAA=MMMNNN，则 A − 1 = N − 1 M − 1 \pmb{A}^{-1} = \pmb{N}^{-1}\pmb{M}^{-1} AAA−1=NNN−1MMM−1
∵ A , B 可 逆 ∴ A + B = A ( E + A − 1 B ) = A ( B − 1 + A − 1 ) B ∵ A , ( B − 1 + A − 1 ) , B 都 可 逆 ∴ ( A + B ) − 1 = B − 1 ( B − 1 + A − 1 ) − 1 A − 1 \begin{aligned} &\because \pmb{A},\pmb{B} 可逆 \\ &\therefore \pmb{A} + \pmb{B} = \pmb{A}(\pmb{E}+\pmb{A}^{-1}\pmb{B}) = \pmb{A}(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1})\pmb{B}\\ &\because \pmb{A},(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1}),\pmb{B} 都可逆 \\ &\therefore (\pmb{A} + \pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}(\pmb{B}^{-1}+\pmb{A}^{-1})^{-1}\pmb{A}^{-1} \end{aligned} ∵AAA,BBB可逆∴AAA+BBB=AAA(EEE+AAA−1BBB)=AAA(BBB−1+AAA−1)BBB∵AAA,(BBB−1+AAA−1),BBB都可逆∴(AAA+BBB)−1=BBB−1(BBB−1+AAA−1)−1AAA−1
2. 伴随矩阵
2.1 伴随矩阵的定义
- 定义：将行列式
∣
A
∣
|\pmb{A}|
∣AAA∣ 的
n
2
n^2
n2 个元素的代数余子式按照如下形式（就是第
i
i
i 行元素的代数余子式写在第
i
i
i 列）排列成的矩阵称为
A
\pmb{A}
AAA 的
伴随矩阵，记作 A ∗ \pmb{A}^* AAA∗，即
A ∗ = [ A 11 A 21 … A n 1 A 12 A 22 … A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n … A n n ] − 1 \pmb{A}^* = \begin{bmatrix} &A_{11} &A_{21} &\dots &A_{n1}\\ &A_{12} &A_{22} &\dots &A_{n2}\\ &\vdots &\vdots & &\vdots\\ &A_{1n} &A_{2n} &\dots &A_{nn}\\ \end{bmatrix}^{-1} AAA∗=⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n………An1An2⋮Ann⎦⎥⎥⎥⎤−1
2.2 伴随矩阵的定义与重要公式
-
对任意 n 阶方阵 A \pmb{A} AAA，都有伴随矩阵 A ∗ \pmb{A}^* AAA∗，且有公式
公式 证明 A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E \pmb{A}\pmb{A}^* = \pmb{A}^*\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} AAAAAA∗=AAA∗AAA=∣AAA∣EEE 可以用归纳法证明，给出一个2阶的例子，设 A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{bmatrix} AAA=[a11a21a12a22]， A ∗ = [ A 11 A 21 A 12 A 22 ] \pmb{A}^*=\begin{bmatrix}A_{11} &A_{21} \\ A_{12} &A_{22}\end{bmatrix} AAA∗=[A11A12A21A22]，则有 A A ∗ = [ a 11 A 11 + a 12 A 12 a 11 A 21 + a 12 A 22 a 21 A 11 + a 22 A 12 a 21 A 21 + a 22 A 22 ] = [ ∣ A ∣ 0 0 ∣ A ∣ ] = ∣ A ∣ E \pmb{A}\pmb{A}^* = \begin{bmatrix}&a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12} &a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}\\&a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12} &a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vert\pmb{A}\vert &0\\0 &\vert\pmb{A}\vert\end{bmatrix} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} AAAAAA∗=[a11A11+a12A12a21A11+a22A12a11A21+a12A22a21A21+a22A22]=[∣AAA∣00∣AAA∣]=∣AAA∣EEE ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \vert\pmb{A}^*\vert = \vert\pmb{A}\vert^{n-1} ∣AAA∗∣=∣AAA∣n−1 ∵ A ∗ A = ∣ A ∣ E ∴ ∣ A ∗ A ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ ∴ ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ = ∣ A ∣ n ∴ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \begin{aligned}&\because \pmb{A}^*\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\pmb{A}\vert = \vert \vert\pmb{A}\vert\pmb{E} \vert \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\vert\vert\pmb{A}\vert = \vert\pmb{A}\vert^n \\&\therefore \vert\pmb{A}^*\vert = \vert\pmb{A}\vert^{n-1}\end{aligned} ∵AAA∗AAA=∣AAA∣EEE∴∣AAA∗AAA∣=∣∣AAA∣EEE∣∴∣AAA∗∣∣AAA∣=∣AAA∣n∴∣AAA∗∣=∣AAA∣n−1 ( A + B ) ∗ ≠ A ∗ + B ∗ (\pmb{A}+\pmb{B})^* \neq \pmb{A}^* + \pmb{B}^* (AAA+BBB)∗=AAA∗+BBB∗ - -
交换律
{ A E = E A A k E = k E A A A ∗ = A ∗ A A B = B A = E ( 要 求 A − 1 = B ) \left\{ \begin{aligned} &\pmb{A}\pmb{E} = \pmb{E}\pmb{A}\\ &\pmb{A}k\pmb{E} = k\pmb{E}\pmb{A}\\ &\pmb{A}\pmb{A}^* = \pmb{A}^*\pmb{A} \\ &\pmb{A}\pmb{B} = \pmb{B}\pmb{A} = \pmb{E} \space\space(要求 \pmb{A}^{-1} = \pmb{B}) \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧AAAEEE=EEEAAAAAAkEEE=kEEEAAAAAAAAA∗=AAA∗AAAAAABBB=BBBAAA=EEE (要求AAA−1=BBB)
2.3 用伴随矩阵求逆矩阵
- 用伴随矩阵求逆矩阵，适用于求
数值矩阵的逆矩阵- 若
∣
A
∣
≠
0
|\pmb{A}| \neq 0
∣AAA∣=0，则
A
\pmb{A}
AAA 可逆，且
{ A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 \left\{ \begin{aligned} &\pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^*\\ &\pmb{A}^* = |\pmb{A}|\pmb{A}^{-1}\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧AAA−1=∣AAA∣1AAA∗AAA∗=∣AAA∣AAA−1
- 若
∣
A
∣
≠
0
|\pmb{A}| \neq 0
∣AAA∣=0，则
A
\pmb{A}
AAA 可逆，且
- 例题：已知
A
=
[
a
b
c
d
]
\pmb{A} = \begin{bmatrix}a &b \\c &d\end{bmatrix}
AAA=[acbd]，写出
A
\pmb{A}
AAA 可逆的一个充要条件，并求
A
−
1
\pmb{A}^{-1}
AAA−1
∵ A 可 逆 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ∴ 充 要 条 件 ： ∣ A ∣ = a d − b c ≠ 0 ∴ A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 a d − b c [ d − b − c a ] \begin{aligned} &\because \pmb{A}可逆 \Leftrightarrow |\pmb{A}| \neq 0 \\ &\therefore 充要条件：|\pmb{A}| = ad-bc \neq 0\\ &\therefore \pmb{A}^{-1} = \frac{1}{|\pmb{A}|}\pmb{A}^* = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d &-b \\-c &a\end{bmatrix} \end{aligned} ∵AAA可逆⇔∣AAA∣=0∴充要条件：∣AAA∣=ad−bc=0∴AAA−1=∣AAA∣1AAA∗=ad−bc1[d−c−ba]
3. 转置、伴随、逆矩阵、取行列式公式小结
- 现有n阶方阵 A \pmb{A} AAA ，设以下公式中所需条件（比如要求 A ≠ 0 \pmb{A}\neq 0 AAA=0）均满足
3.1 嵌套
- 相同操作嵌套小结
公式 证明 ∣ ∣ A ∣ ∣ = ∣ A ∣ \vert\vert\pmb{A}\vert\vert = \vert\pmb{A}\vert ∣∣AAA∣∣=∣AAA∣ 取一次行列式就变成一个数了，第二次操作失效 ( A T ) T = A (\pmb{A}^T)^T = \pmb{A} (AAAT)T=AAA - ( A − 1 ) − 1 = A (\pmb{A}^{-1})^{-1} = \pmb{A} (AAA−1)−1=AAA - ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A (\pmb{A}^*)^* = \vert\pmb{A}\vert^{n-2}\pmb{A} (AAA∗)∗=∣AAA∣n−2AAA ∵ A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ E ∴ ( A ∗ ) − 1 A ∗ ( A ∗ ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ∣ A ∗ ∣ E ∴ ( A ∗ ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 ∣ A ∣ n − 1 E ∵ ( A ∗ ) − 1 = ( ∣ A ∣ A − 1 ) − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∴ ( A ∗ ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A ∣ A ∣ n − 1 E = ∣ A ∣ n − 2 A \begin{aligned}&\because \pmb{A}^*(\pmb{A}^*)^* = \vert\pmb{A}^*\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^*)^{-1}\pmb{A}^*(\pmb{A}^*)^* = (\pmb{A}^*)^{-1}\vert\pmb{A}^*\vert\pmb{E}\\&\therefore (\pmb{A}^*)^* = (\pmb{A}^*)^{-1}\vert\pmb{A}\vert^{n-1}\pmb{E} \\&\because (\pmb{A}^*)^{-1} = (\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1})^{-1} = \frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}\\&\therefore (\pmb{A}^*)^* =\frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}\vert\pmb{A}\vert^{n-1}\pmb{E} = \vert\pmb{A}\vert^{n-2}\pmb{A} \\\end{aligned} ∵AAA∗(AAA∗)∗=∣AAA∗∣EEE∴(AAA∗)−1AAA∗(AAA∗)∗=(AAA∗)−1∣AAA∗∣EEE∴(AAA∗)∗=(AAA∗)−1∣AAA∣n−1EEE∵(AAA∗)−1=(∣AAA∣AAA−1)−1=∣AAA∣1AAA∴(AAA∗)∗=∣AAA∣1AAA∣AAA∣n−1EEE=∣AAA∣n−2AAA
3.2 数乘
-
k
k
k 为任意常数，有
公式 证明 ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ \vert k\pmb{A}\vert = k^n\vert\pmb{A}\vert ∣kAAA∣=kn∣AAA∣ - ( k A ) T = k A T (k\pmb{A})^T = k\pmb{A}^T (kAAA)T=kAAAT - ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (k\pmb{A})^{-1} = \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} (kAAA)−1=k1AAA−1 ( k A ) 1 k A − 1 = E (k\pmb{A}) \frac{1}{k}\pmb{A}^{-1} =\pmb{E} (kAAA)k1AAA−1=EEE ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (k\pmb{A})^* = k^{n-1}\pmb{A}^* (kAAA)∗=kn−1AAA∗ ∵ ( k A ) ( k A ) ∗ = ∣ k A ∣ E ∴ ( k A ) ∗ = ∣ k A ∣ ( k A ) − 1 = k n − 1 ∣ A ∣ A − 1 = k n − 1 A ∗ \begin{aligned}&\because (k\pmb{A})(k\pmb{A})^* =\vert k\pmb{A}\vert \pmb{E} \\&\therefore (k\pmb{A})^* = \vert k\pmb{A}\vert(k\pmb{A})^{-1} = k^{n-1}\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1} = k^{n-1}\pmb{A}^*\end{aligned} ∵(kAAA)(kAAA)∗=∣kAAA∣EEE∴(kAAA)∗=∣kAAA∣(kAAA)−1=kn−1∣AAA∣AAA−1=kn−1AAA∗
3.3 穿脱原则
- 穿脱原则就是展开前后排列顺序相反
公式 证明 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ B ∣ ∣ A ∣ \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert = \vert\pmb{A}\vert\vert\pmb{B}\vert = \vert\pmb{B}\vert\vert\pmb{A}\vert ∣AAABBB∣=∣AAA∣∣BBB∣=∣BBB∣∣AAA∣ - ( A B ) T = B T A T (\pmb{A}\pmb{B})^T = \pmb{B}^T\pmb{A}^T (AAABBB)T=BBBTAAAT - ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (\pmb{A}\pmb{B})^{-1} = \pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} (AAABBB)−1=BBB−1AAA−1 - ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ (\pmb{A}\pmb{B})^* = \pmb{B}^*\pmb{A}^* (AAABBB)∗=BBB∗AAA∗ ∵ ( A B ) ( A B ) ∗ = ∣ A B ∣ E ∴ ( A B ) ∗ = ∣ A B ∣ ( A B ) − 1 ∴ ( A B ) ∗ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ B − 1 A − 1 ∴ ( A B ) ∗ = ( ∣ B ∣ B − 1 ) ( ∣ A ∣ A − 1 ) = B ∗ A ∗ \begin{aligned}&\because (\pmb{A}\pmb{B})(\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert \pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\pmb{B}\vert(\pmb{A}\pmb{B})^{-1} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = \vert\pmb{A}\vert\vert\pmb{B}\vert\pmb{B}^{-1}\pmb{A}^{-1} \\&\therefore (\pmb{A}\pmb{B})^* = (\vert\pmb{B}\vert\pmb{B}^{-1})(\vert\pmb{A}\vert\pmb{A}^{-1}) = \pmb{B}^*\pmb{A}^*\end{aligned} ∵(AAABBB)(AAABBB)∗=∣AAABBB∣EEE∴(AAABBB)∗=∣AAABBB∣(AAABBB)−1∴(AAABBB)∗=∣AAA∣∣BBB∣BBB−1AAA−1∴(AAABBB)∗=(∣BBB∣BBB−1)(∣AAA∣AAA−1)=BBB∗AAA∗
3.4 交换操作顺序
- 求逆、求转置、求伴随，任意两个可以交换执行顺序
公式 证明 ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^T)^{-1} (AAA−1)T=(AAAT)−1 ∵ A T ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E ∴ ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T \begin{aligned}&\because \pmb{A}^T(\pmb{A}^{-1})^T = (\pmb{A}^{-1}\pmb{A})^T = \pmb{E}^T = \pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^T)^{-1} = (\pmb{A}^{-1})^T\end{aligned} ∵AAAT(AAA−1)T=(AAA−1AAA)T=EEET=EEE∴(AAAT)−1=(AAA−1)T ( A − 1 ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 (\pmb{A}^{-1})^* = (\pmb{A}^*)^{-1} (AAA−1)∗=(AAA∗)−1 ∵ ( A − 1 ) ( A − 1 ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ E ∴ ( A − 1 ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ A = ∣ A ∣ − 1 A = ( A ∗ ) − 1 \begin{aligned}&\because (\pmb{A}^{-1})(\pmb{A}^{-1})^* =\vert\pmb{A}^{-1}\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^{-1})^* = \vert\pmb{A}^{-1}\vert\pmb{A} = \vert\pmb{A}\vert^{-1}\pmb{A} = (\pmb{A}^*)^{-1}\end{aligned} ∵(AAA−1)(AAA−1)∗=∣AAA−1∣EEE∴(AAA−1)∗=∣AAA−1∣AAA=∣AAA∣−1AAA=(AAA∗)−1 ( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ (\pmb{A}^*)^T = (\pmb{A}^T)^* (AAA∗)T=(AAAT)∗ ∵ ( A T ) ( A T ) ∗ = ∣ A T ∣ E ∴ ( A T ) ∗ = ∣ A T ∣ ( A T ) − 1 = ∣ A ∣ ( A − 1 ) T = ∣ A ∣ ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) T = ( A ∗ ) T \begin{aligned}&\because (\pmb{A}^T)(\pmb{A}^T)^* =\vert\pmb{A}^T\vert\pmb{E} \\&\therefore (\pmb{A}^T)^* =\vert\pmb{A}^T\vert(\pmb{A}^T)^{-1} = \vert\pmb{A}\vert(\pmb{A}^{-1})^T = \vert\pmb{A}\vert( \frac{1}{\vert\pmb{A}\vert}\pmb{A}^*)^T =(\pmb{A}^*)^T\end{aligned} ∵(AAAT)(AAAT)∗=∣AAAT∣EEE∴(AAAT)∗=∣AAAT∣(AAAT)−1=∣AAA∣(AAA−1)T=∣AAA∣(∣AAA∣1AAA∗)T=(AAA∗)T
3.5 操作后取行列式
- 在转置、求逆、求伴随后取行列式
{ ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \left\{ \begin{aligned} &|\pmb{A}^T| = |\pmb{A}| \\ &|\pmb{A}^{-1}| = |\pmb{A}|^{-1} \\ &|\pmb{A}^*| = |\pmb{A}|^{n-1} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∣AAAT∣=∣AAA∣∣AAA−1∣=∣AAA∣−1∣AAA∗∣=∣AAA∣n−1
3.6 只有转置可以直接去括号
- 取行列式、求逆、求伴随都不能直接去括号
{ ( A + B ) T = A T + B T ∣ A + B ∣ ≠ ∣ A ∣ + ∣ B ∣ ( A + B ) − 1 ≠ A − 1 + B − 1 ( A + B ) ∗ ≠ A ∗ + B ∗ \left\{ \begin{aligned} &(\pmb{A}+\pmb{B})^T = \pmb{A}^T + \pmb{B}^T \\ &|\pmb{A}+\pmb{B}| \neq |\pmb{A}| + |\pmb{B}| \\ &(\pmb{A}+\pmb{B})^{-1} \neq \pmb{A}^{-1} + \pmb{B}^{-1} \\ &(\pmb{A}+\pmb{B})^* \neq \pmb{A}^* + \pmb{B}^* \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧(AAA+
