高等代数的理论知识

(A | E) 经过初等行变换（E | A-1）（A-1 代表A的逆）
matrix_inv <- function(A)
{
  A_zhi <- Matrix::rankMatrix(A)[1]
  n_row <- dim(A)[1]
  n_col <- dim(A)[2]
  if((n_col==n_row)&(n_row == A_zhi))
  {
    B <- diag(1,n_col)
    col_index <- 1
    for(row_index in 1:(n_row - 1))
    {
      temp_col <- A[col_index:n_row,col_index]
    
      non_zreo_row <- which(temp_col!=0)[1]
      #一定找出当前行第一个元素不为零
      temp_row <- A[col_index,]
      A[col_index,] <- 
        A[col_index + non_zreo_row - 1,]
      A[col_index + non_zreo_row - 1,] <- temp_row 
      temp_row1 <- B[col_index,]
      B[col_index,] <- 
        B[col_index + non_zreo_row - 1,]
      B[col_index + non_zreo_row - 1,] <- temp_row1
      #其余的元素化零
      for(j in (col_index + 1):n_row)
      {
        temp_number <-
          A[j,col_index]/A[col_index,col_index]
        A[j,] <- A[j,] - A[col_index,]*  temp_number
        B[j,] <- B[j,] - B[col_index,]* temp_number
      }
      col_index <- col_index + 1
    }
    #此是的A时候一个上三角,接下来化为对角矩阵
    col_index <- n_col
    for(row_index in n_row:2)
    {
      for(j in (col_index - 1):1)
      {
        temp_number <-  
          A[j,col_index]/A[col_index,col_index]
        A[j, ] <- A[j, ] - A[col_index,] *  
          temp_number
        B[j,] <- B[j,] - B[col_index,] *
          temp_number
      }
      col_index <- col_index - 1
    }
    #此是的A时候一个对角矩阵,接下来化为对角矩阵
    #标准化
    for(i in 1:n_col)
    {
      B[i,] <- B[i,]/A[i,i]
    }
    return(MASS::fractions(B))
  }
  else
  {
    print("输入的矩阵无法求逆")
  }
}


matrix_inv(A)

 [,1] [,2] [,3]
[1,]  1    0   -1  
[2,] -1    1    1  
[3,]  0    0    1 

设要求出$n$阶矩阵$A$的逆矩阵$B$。

对于一个矩阵的初等行变换，有三种： 

1. 交换两行。 

2. 将某一行的所有元素乘以一个非零实数$k$。 
 3. 将某一行$j$，加上某一行$i(i \not = j$)乘以一个非零实数$k$，即$A_j = A_j + A_i * k$。
 
可以发现的是，每种变换其实都可以等价于乘以某个矩阵，事实上称其为初等矩阵。
 
那么，当我们不停地对$A$进行初等变换，并且用另外一个矩阵$C$不停地乘上这种变换对应的初等矩阵，那么当$A$变为$I(单位矩阵)$时，$C$就是$A$的逆矩阵了。 
 怎么样将$A$变为$I$？我们类似于高斯消元一样，一行一行一列一列地扫过去。由于最终要保证$A_{i,i} = 1$，其他为$0$。 

设当前扫到第$i$行，那么对于$A_{i,1\sim i - 1} = 0$。但是对于$j < i，A_{j,i}$可能不等于0。但我们初等变换中可以先对第$i$行除以$A_{i,i}$，即保证$A_{i,i} = 1$，接着用$i$整行去消$j < i$。那么$A_{j,i}$就等于0了。那么我们这样一行一行地消下去即可。我们对$A$中做的所有操作，顺便对$C$同时做就好了。反正都是乘上同一个矩阵。
 
一开始没有操作时$C$就是$I$。
 
最后我们用$O(N^3)$的复杂度求出了逆矩阵。

006 逆矩阵的求法（矩阵初等行变换）

python 矩阵初等行变换，解线性方程，numpy矩阵运算，sympy矩阵运算，求过渡矩阵，求具体某一基组下的坐标，解析几何
 
1.python实现
 
注意：用 python 对矩阵做初等行变换时，numpy 是没有现成的方法类似于rref()这样。
 但是 有一个科学计算库 sympy ，它的 Matrix 类 自带方法 rref() 专门做初等行变换；
 可以把 numpy.array() 的实例化对象传给 sympy.Matrix() 来创建，再 调用rref()方法。
 
 
2.matlab实现
 
直接调用内置函数 rref() 就OK