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  • 初等行变换矩阵

    千次阅读 2015-12-19 21:15:24
    对于一个矩阵的初等行变换,有三种: 1. 交换两行。 2. 将某一行所有元素乘以一个非零实数kk。 3. 将某一行jj,加上某一行i(i≠ji(i \not = j)乘以一个非零实数kk,即Aj=Aj+Ai∗kA_j = A_j + A_i * k。可以发现...

    设要求出n阶矩阵A的逆矩阵B

    对于一个矩阵的初等行变换,有三种:
    1. 交换两行。
    2. 将某一行的所有元素乘以一个非零实数k
    3. 将某一行j,加上某一行i(ij)乘以一个非零实数k,即Aj=Aj+Aik

    可以发现的是,每种变换其实都可以等价于乘以某个矩阵,事实上称其为初等矩阵。

    那么,当我们不停地对A进行初等变换,并且用另外一个矩阵C不停地乘上这种变换对应的初等矩阵,那么当A变为I()时,C就是A的逆矩阵了。
    怎么样将A变为I?我们类似于高斯消元一样,一行一行一列一列地扫过去。由于最终要保证Ai,i=1,其他为0
    设当前扫到第i行,那么对于Ai,1i1=0。但是对于j<iAj,i可能不等于0。但我们初等变换中可以先对第i行除以Ai,i,即保证Ai,i=1,接着用i整行去消j<i。那么Aj,i就等于0了。那么我们这样一行一行地消下去即可。我们对A中做的所有操作,顺便对C同时做就好了。反正都是乘上同一个矩阵。

    一开始没有操作时C就是I

    最后我们用O(N3)的复杂度求出了逆矩阵。

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  • ```python ```def compute_inverse(A): row, col = A.shape ...从线代角度来看感觉没什么问题,但是测试时候发现对4阶以下矩阵能够正确求得其矩阵,但是高于5阶就只能偶尔正确,不知道出现了什么问题
  • 初等行变换求矩阵的逆

    千次阅读 2018-06-03 00:08:38
    高等代数的理论知识(A | E) 经过初等行变换(E | A-1)(A-1 代表A的逆)matrix_inv &lt;- function(A) { A_zhi &lt;- Matrix::rankMatrix(A)[1] n_row &lt;- dim(A)[1] n_col &lt;- dim(A)[2] ...

    高等代数的理论知识

    (A | E) 经过初等行变换(E | A-1)(A-1 代表A的逆)

    matrix_inv <- function(A)
    {
      A_zhi <- Matrix::rankMatrix(A)[1]
      n_row <- dim(A)[1]
      n_col <- dim(A)[2]
      if((n_col==n_row)&(n_row == A_zhi))
      {
        B <- diag(1,n_col)
        col_index <- 1
        for(row_index in 1:(n_row - 1))
        {
          temp_col <- A[col_index:n_row,col_index]
        
          non_zreo_row <- which(temp_col!=0)[1]
          #一定找出当前行第一个元素不为零
          temp_row <- A[col_index,]
          A[col_index,] <- 
            A[col_index + non_zreo_row - 1,]
          A[col_index + non_zreo_row - 1,] <- temp_row 
          temp_row1 <- B[col_index,]
          B[col_index,] <- 
            B[col_index + non_zreo_row - 1,]
          B[col_index + non_zreo_row - 1,] <- temp_row1
          #其余的元素化零
          for(j in (col_index + 1):n_row)
          {
            temp_number <-
              A[j,col_index]/A[col_index,col_index]
            A[j,] <- A[j,] - A[col_index,]*  temp_number
            B[j,] <- B[j,] - B[col_index,]* temp_number
          }
          col_index <- col_index + 1
        }
        #此是的A时候一个上三角,接下来化为对角矩阵
        col_index <- n_col
        for(row_index in n_row:2)
        {
          for(j in (col_index - 1):1)
          {
            temp_number <-  
              A[j,col_index]/A[col_index,col_index]
            A[j, ] <- A[j, ] - A[col_index,] *  
              temp_number
            B[j,] <- B[j,] - B[col_index,] *
              temp_number
          }
          col_index <- col_index - 1
        }
        #此是的A时候一个对角矩阵,接下来化为对角矩阵
        #标准化
        for(i in 1:n_col)
        {
          B[i,] <- B[i,]/A[i,i]
        }
        return(MASS::fractions(B))
      }
      else
      {
        print("输入的矩阵无法求逆")
      }
    }

    matrix_inv(A)
    
     [,1] [,2] [,3]
    [1,]  1    0   -1  
    [2,] -1    1    1  
    [3,]  0    0    1 

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  • 006 矩阵求法(矩阵初等行变换

    006 逆矩阵的求法(矩阵初等行变换)






    展开全文
  • package gaodai.matrix;import gaodai.determinant.DeterminantCalculation;import java.util.ArrayList;import java.util.List;.../*** 矩阵求(初等行变换)* @author 邱万迟**/public class InverseOfM...

    package gaodai.matrix;

    import gaodai.determinant.DeterminantCalculation;

    import java.util.ArrayList;

    import java.util.List;

    import java.util.Scanner;

    /**

    * 矩阵求逆(初等行变换)

    * @author 邱万迟

    *

    */

    public class InverseOfMatrix {

    private List> matrix;

    private int lineNum;

    private int columnNum;

    public InverseOfMatrix(List> data){

    matrix = data;

    lineNum = data.size();

    columnNum = data.get(0).size();

    }

    public void caculate() throws Exception{

    //1.非方正不能求逆

    //2.方正的行列式值为零不能求逆

    if( lineNum != columnNum){

    throw new Exception("此矩阵不能求逆>>>>>>>>>>>>>>>>>");

    }

    List> tempList = new ArrayList>();

    for(List l : matrix){

    List newList = new ArrayList();

    newList.addAll(l);

    tempList.add(newList);

    }

    DeterminantCalculation d = new DeterminantCalculation(tempList);

    d.chang2UpperTriangle();

    double result = d.getValue();

    if(result == 0){

    throw new Exception("此矩阵不能求逆>>>>>>>>>>>>>>>>>");

    }

    //增加单位矩阵

    for(int i = 0; i < lineNum; i++){

    List list = matrix.get(i);

    for(int j = 0; j < columnNum; j++){

    if(i == j){

    list.add(1.0);

    }else{

    list.add(0.0);

    }

    }

    }

    print();

    chang2UpperTriangle();//化为上三角

    changeReducedMatrix();//化为约化矩阵

    print();

    }

    public void getValue(){

    boolean flag = true;

    for(int i = 0; i < lineNum; i++){

    if(matrix.get(i).get(i) == 0){

    flag = false;

    }

    if(!flag){

    break;

    }

    }

    if(!flag){

    System.out.println("此矩阵不可逆>>>>>>>>>>>>>>");

    }else{

    for(int i = 0; i < lineNum; i++){

    List list = matrix.get(i);

    for(int j = 0; j < columnNum; j++){

    list.remove(0);

    }

    }

    System.out.println("逆矩阵为>>>>>>>>>>>>>>>>>");

    print();

    }

    }

    /**

    * 打印

    */

    public void print() {

    int i = 0, j = 0;

    for (List line : matrix) {

    for (double element : line) {

    System.out.print(element);

    System.out.print("(" + i + "," + j + ") ");

    System.out.print(" ");

    j++;

    }

    System.out.println();

    i++;

    j = 0;

    }

    System.out.println();

    }

    /**

    * 校验是否是上三角,不是就的继续计算

    *

    * @return

    */

    public boolean isCaculate() {

    boolean hasCaculate = false;

    for (int i = 0; i < matrix.size(); i++) {

    for (int j = 0; j < i; j++) {

    if (matrix.get(i).get(j) != 0.0) {

    System.out.println("(" + (i + 1) + "," + (j + 1) + ")元素值不为零");

    hasCaculate = true;

    break;

    }

    }

    if (hasCaculate) {

    break;

    }

    }

    return hasCaculate;

    }

    private int caculateTimes;

    /**

    * 化为上三角

    * @throws Exception

    */

    public void chang2UpperTriangle() throws Exception {

    if (!isCaculate()) {

    return;

    }

    int min = lineNum;

    caculateTimes++;

    System.out.println("--------------第" + caculateTimes + "次计算--------------");

    for (int i = 0; i < min; i++) {

    for (int j = i + 1; j < min; j++) {

    double multiplyNum = -1 * matrix.get(j).get(i) / matrix.get(i).get(i);

    if (multiplyNum == 0) {

    continue;

    }

    this.lineMultiplyNumAdd2OtherLine(multiplyNum, (i + 1), (j + 1));

    print();

    }

    }

    print();

    chang2UpperTriangle();

    }

    /**

    * 变为约化矩阵

    */

    public void changeReducedMatrix() throws Exception{

    for(int i = 0; i < lineNum; i++){//行

    if(i == 0){

    //continue;

    }

    List temp = matrix.get(i);

    for(Double d : temp){

    if(d == 0){

    continue;

    }

    double multiplyNum = 1.0 / d;

    for(int a = 0; a < temp.size(); a++){

    temp.set(a, temp.get(a) * multiplyNum);

    }

    break;

    }

    print();

    for(int j = 0; j <= columnNum; j++){//列

    if(temp.get(j) != 0){//这个数不为零 ,此数为第 i行第j列

    for(int t = 0; t < lineNum; t++){//行

    if(t == i || matrix.get(t).get(j) == 0){//本列的其他行

    continue;

    }

    double multiplyNum = -1 * matrix.get(t).get(j) / temp.get(j);

    this.lineMultiplyNumAdd2OtherLine(multiplyNum, (i + 1), (t + 1));

    print();

    }

    break;

    }

    }

    }

    }

    /**

    * 第a行乘以number 加到第b行上

    * @param number 乘以的数

    * @param a行号

    * @param b行号

    * @throws Exception

    */

    public void lineMultiplyNumAdd2OtherLine(double number, int a, int b) throws Exception {

    if (a < 1 || a > matrix.size() || b < 1 || b > matrix.size()) {

    throw new Exception("输入的行号不合法");

    }

    List aLine = matrix.get(a - 1);

    List bLine = matrix.get(b - 1);

    for (int i = 0; i < bLine.size(); i++) {

    double temp = bLine.get(i) + aLine.get(i) * number;

    bLine.set(i, temp);

    }

    System.out.println("第" + a + "行乘以" + number + "加到第" + b + "行:");

    }

    public static void main(String[] args) {

    Scanner scanner = new Scanner(System.in);

    System.out.println("请输入矩阵的行数与列数,用逗号分隔:");

    String sn = scanner.next();

    String[] snArr = sn.split(",");

    int lineNum = Integer.valueOf(snArr[0]);

    int columnNum = Integer.valueOf(snArr[1]);

    List> matrix = new ArrayList>();

    for(int i = 0; i < lineNum; i++){

    System.out.println("请输入第" + (i + 1) + "行的数,用逗号分隔:");

    String lineData = scanner.next();

    String[] lineDataArr = lineData.split(",");

    List line = new ArrayList();

    matrix.add(line);

    for(int j = 0; j < columnNum; j++){

    line.add(Double.valueOf(lineDataArr[j]));

    }

    }

    InverseOfMatrix m = new InverseOfMatrix(matrix);

    m.print();

    try {

    m.caculate();

    m.getValue();

    } catch (Exception e) {

    e.printStackTrace();

    }

    }

    }

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    千次阅读 2021-02-22 23:16:47
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    2018-06-08 13:14:18
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初等行变换的逆变换