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  • 初等行变换解三个矩阵方程
    2021-01-14 16:09:25

    以下均为个人理解,如有错误,请大佬指出,小生立马就改正。

    线性代数-矩阵的初等变换与线性方程式

    1. 矩阵的初等变换

    定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换
    ①对换两行(对换i,j两行,记作 r i ← → r j r_i←→r_j rirj);
    ②以数k(k不等于0)乘以某一行中的所有元(第i行乘以k,记作 r i ∗ k r_i*k rik
    ③把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去(第j行的k倍加到第i行上,记作 r i + k r j r_i+kr_j ri+krj

    把定义中的换成,即得到矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把r换成c)
    矩阵的初等行变换初等列变换,统称为:初等变化

    如果矩阵A有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B行等价
    如果矩阵A有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B列等价
    如果矩阵A有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价

    2. 行最简矩阵

    首非零元:略
    行阶梯矩阵:略
    行最简矩阵:如果A是行阶梯矩阵,并且满足条件①非零行的非零元为1;②首非零元所在的列的其他元均定义0;

    定理1:设A与B为m*n矩阵,那么
    ①矩阵A与矩阵B行等价的充分必要条件:存在m阶可逆矩阵P,使PA=B;
    ②矩阵A与矩阵B列等价的充分必要条件:存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B;
    ③矩阵A与矩阵B等价的充分必要条件:存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B;

    2.1 矩阵的秩

    设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D, 且所有r+1阶子式全等于0,那么D称为矩阵A的最高非零矩阵,数r称为矩阵的A的秩,记作R(A),并规定零矩阵的秩为0.

    定理1可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。
    定理2:若矩阵A与矩阵B等价,则R(A)=R(B);也就是说,等价即等秩

    3. 线性方程组的解

    { 线 性 相 关 ← → 齐 次 线 性 方 程 : A x = 0 { 0 解 ( 线 性 无 关 ) r ( A ) = n 非 0 解 ( 线 性 相 关 ) r ( A ) < n 向 量 组 b 能 由 向 量 组 a 线 性 表 示 ← → 非 齐 次 线 性 方 程 : A x = B { 无 解 r ( A ) < r ( A , B ) 有 解 { 唯 一 解 r ( A ) = r ( A , B ) = n 无 穷 解 r ( A ) = r ( A , B ) < n \left\{ \begin{aligned} &线性相关&←→&齐次线性方程:A_x=0& \left\{\begin{aligned}&0解(线性无关)&r(A)=n&\\&非0解(线性相关)&r(A)<n&\\\end{aligned}\right.& \\ &向量组b能由向量组a线性表示&←→&非齐次线性方程:A_x=B& \left\{\begin{aligned}&无解&r(A)<r(A,B)&\\&有解& \left\{\begin{aligned}&唯一解&r(A)=r(A,B)=n&\\& 无穷解&r(A)=r(A,B)<n&\\\end{aligned}\right.&&\\\end{aligned}\right.& \\ \end{aligned} \right. 线ba线线Ax=0线Ax=B{0线0线r(A)=nr(A)<nr(A)<r(A,B){r(A)=r(A,B)=nr(A)=r(A,B)<n

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    高斯消元的作用

    求解n个未知数、n个方程的方程组

     例如如下n个方程、n个未知数:

     写成n*(n+1)的矩阵:

    枚举每一列

    第一步:找到绝对值最大的一行

    第二步:将该行换到最上面

    第三步:将该行的第一个数变成1

    第四步:将下面行的此列变为0

    注意的是,换好了的行不需要动!

     举一个例子:

    求解有三个方程、三个未知数的方程组:

    写成矩阵形式:

     枚举第一列,找到最大行:

     将该行换到最上面,并将该行第一个数变为1:

     将下面行的第1列都变成0:

     枚举第二列,找到绝对值最大的一行,将该行的第一个数变成1:

     将下面行的第1列都变成0:

     遍历第三列(由于第一行和第二行都已经改变好了,不需要动了),这里直接把第三行的第一个数变为1就行了:

     最后化简为:

    由此可以依次算出:

    x3=3;

    x2=-2;

    x1=3;

    例题链接: 883. 高斯消元解线性方程组 - AcWing题库

     

    代码(详细注释):

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    typedef long long ll;
    const int N=110;
    const double eps=1e-8;
    int n;
    double a[N][N];
    int gauss()// 高斯消元,答案存于a[i][n]中,0 <= i < n
    {
        int c,r;//c代表列,r代表行
        for(c=0,r=0;c<n;c++)//枚举每一列
        {
            int t=r;//存绝对值最大的行
            for(int i=r;i<n;i++)//找到绝对值最大的行
                if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])) t=i;
    
            if(fabs(a[t][c])<eps)//最大值为0
                continue;
    
            for(int i=c;i<=n;i++) swap(a[t][i],a[r][i]);// 将绝对值最大的行换到最顶端
    
    		for(int i=n;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c];//将当前行的首位变成1
    
    		for(int i=r+1;i<n;i++)// 用当前行将下面所有的列消成0
                if(fabs(a[i][c])>eps)
                    for(int j=n;j>=c;j--)
                        a[i][j]=a[i][j]-a[r][j]*a[i][c];
                r++;
        }
        if(r<n)
        {
        	for(int i=r;i<n;i++)
        		if(fabs(a[i][n])>eps) return 2;//无解
    		return 1;//多解
    	}
    	for(int i=n-1;i>=0;i--)
    		for(int j=i+1;j<n;j++)
    			a[i][n]=a[i][n]-a[i][j]*a[j][n];
    	return 0;
    }
    int main()
    {
        IOS;
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<=n;j++)
                cin>>a[i][j];
    
        int t=gauss();
    
        if(t==2) cout<<"No solution"<<endl;//无解
    
        else if(t==1) cout<<"Infinite group solutions"<<endl;//多解
    
        else//唯一解
        {
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                if(fabs(a[i][n])<eps) a[i][n]=0;//去掉输出-0.00的情况
                 printf("%.2lf\n", a[i][n]);
            }
        }
        return 0;
    }
    
    

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  • 专转本-矩阵初等变换与线性方程

    本章知识体系

    矩阵的初等变换

    1. 初等行变换
    2. 初等列变换
    3. 阶梯型矩阵——行简化阶梯型

    矩阵的秩

    1. 矩阵秩的定义
    2. 矩阵秩的性质

    线性方程组的解

    齐次线性方程组的解
    1. 零解
    2. 非零解:基础解析/通解
    非齐次线性方程组的解
    1. 无解
    2. 唯一解
    3. 无穷多解

    本章知识要点

    1. 求逆矩阵: 利用初等矩阵变换法,来求矩阵的逆矩阵【逆矩阵求法:(A|E)或者 1 ∣ A ∣ \frac{1}{|A|} A1 A*(|A|是对应的行列式的值、A*是伴随矩阵)】
    2. 求解矩阵: 给出一矩阵方程,化简该方程、表示所求方程、再利用初等变换法求行简化阶梯型
    3. 求矩阵的秩: 就是化为行简化阶梯型后非0行的个数
    4. 证明矩阵的秩: 利用矩阵的性质和线性方程组的解来证明矩阵的秩
    5. 解线性方程组的解: 包含齐次和非齐次,解齐次方程组时,利用有解和无解的条件将式子化为行简化阶梯型,得出齐次方程的基础解系,进一步的出其基础解系,非齐次的麻烦一些

    知识点归纳

    矩阵的初等变换

    一、 矩阵的初等变换

    1. 初等矩阵行变换
      1)行的对换, 记为 r i ↔ r j r_i\leftrightarrow r_j rirj
      2)行的倍乘变换,记为 k r i kr_i kri
      3)行的倍加变换,记为 r i ∗ k + r j r_i*k+r_j rik+rj
    2. 初等矩阵行变换(这个一般不用)
      1)列的对换,记为 c i ↔ c j c_i\leftrightarrow c_j cicj
      2)列的倍乘变换,记为 k c i kc_i kci
      3)列的倍加变换,记为 c i ∗ k + c j c_i*k+c_j cik+cj

    二、 矩阵的等价

    1. 定义:若矩阵A经过有限次初等变换变为B,那么称矩阵A与B等价记为A~B
    2. 等价的性质
      1)反身性
      2)对称性
      3)传递性

    三、 初等矩阵

    1. 定义
      1)经过一次初等变换得到的矩阵及称为初等矩阵
      1)行的对换, 记为 E i ↔ E j E_i\leftrightarrow E_j EiEj
      2)行的倍乘变换,记为 E ( i ( k ) ) E(i(k)) E(i(k))
      3)行的倍加变换,记为 E ( i , j ( k ) ) E(i ,j(k)) E(i,j(k))
    2. 性质
      1)左乘变行,右乘变列
      2)方阵A可逆的充要条件是有限个初等矩阵 P 1 , P 2 . . . . . . . P n P_1,P_2.......P_n P1,P2.......Pn ,
      3)推论:方阵A可逆的充要条件是A~E

    矩阵的秩

    一、矩阵秩的概念

    1. 定义:非0行的行数(列秩=行秩=矩阵的秩)
    2. 定义以及定理
      1)经过初等行(列)变换后其秩不变
      2) 满秩矩阵:当R(a)=n,就是的啦
      3)k阶子式:在m*n的矩阵中,任取k(K ≠ 0 \not =0 =0)行,k列构成的新的子式(不改变其次序),称为K
      4)若A~B,则 R(A)=R(B)
      5)若可逆矩阵P、Q,使得PAQ = B,则R(A)=R(B)

    二、 矩阵秩的性质

    1. 0 ⩽ R ( A m ∗ n ) ⩽ m i n ( m . n ) \leqslant R(A_{m*n})\leqslant min{(m.n)} R(Amn)min(m.n)
    2. R ( A T ) = R ( A ) R(A^T)=R(A) R(AT)=R(A)
    3. A~B,则R(A)=R(B)
    4. 若可逆矩阵P、Q,使得PAQ = B,则R(A)=R(B)
    5. MAX{R(A),R(B)} ⩽ \leqslant R(A)+R(B)
    6. R(AB) ⩽ \leqslant min{R(A),R(B)}
    7. A m ∗ n B n ∗ l = 0 A_{m*n}B_{n*l}=0 AmnBnl=0,则R(A)+R(B) ⩽ \leqslant n

    线性方程组的解

    一、 基本定义

    1. 齐次方程长这样  齐次方程
    2. 增广矩阵
      增广矩阵
    3. 系数矩阵
      系数矩阵
    4. 定义若 η 1 , η 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . η t η_1,η _2.....................η _t η1,η2.....................ηt为方程AX=0的基础解析,那么
      1) η 1 , η 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . η t η_1,η _2.....................η _t η1,η2.....................ηt是线性无关的
      2) η 1 , η 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . η t 是 A x = 0 的 解 η_1,η _2.....................η _t是Ax=0的解 η1,η2.....................ηtAx=0
      3)Ax=0的任一解都可以由 η 1 , η 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . η t η_1,η _2.....................η _t η1,η2.....................ηt线性表出

    二、 主要定理

    1. 线性方程组的初等变换把他的线性方程组变为其同解方程组
    2. 有唯一解:r=n,r<n时有无穷多解
    3. 齐次方程有非0解的充要条件    ⟺    \iff
      1)R(A)<N
      2)A的列向量线性相关
    4. 推论:m<n时(方程个数<未知数个数)齐次方程必有非0解
    5. 推论:m=n时齐次方程有非0解得充要条件是|A|=0
    6. 有解判定定理,R(A)=R ( A ) ‾ \overline{(A)} (A)
    7. η 1 , η 2 η_1,η _2 η1,η2是方程的解,那么 η 1 + η 2 η_1+η _2 η1+η2也是方程的解
    8. 线性方程组解得性质
      1)若α、β为Ax=b的解,则α-β也为方程Ax=b的解
      2)若α是Ax=b的解,η是导出组Ax=0的Ax=0解,则α+η也是Ax=b的解
    9. 齐次方程中,n-r(未知数个数-系数矩阵的秩)=线性无关的解向量
    10. 非齐次线性方程组无解的充要条件    ⟺    \iff
      1)R(A)+1=R ( A ) ‾ \overline{(A)} (A)
      2)b不能由A的列向量线性表出
    展开全文
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    本章内容在线性代数中是十分重要的,性质、题型也很多

    矩阵的初等变换⭐

    第一小节的理论性较强,要耐心看下去,找了一个有动图解释的,可以辅助理解性质和定理
    

    关于第一节细节可查看此博文

    1. 初等行变换
      (i)对换两行(对换 i, j 两行,记作 ri <-> rj)
      (ii)以数 k ≠ 0乘某一行中的所有元(第 i 行乘 k,记作 ri × k)
      (iii)把某一行所有元的 k 倍加到另一行对应的元上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj)
    初等列变换将 "行" 改为 "列", "r" 改为 "c"
    矩阵的初等行变换与初等列变换,统称初等变换
    初等变换是可逆的
    
    1. 矩阵等价概念
      如果矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 行等价
      如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 列等价
      如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 等价,记作(A ~ B)

    2. 矩阵等价关系性质
      (i)反身性 A ~ A
      (ii)对称性 若 A ~ B,则 B ~ A
      (iii)传递性 若 A ~ B, B ~ C,则 A ~ C

    3. 行阶梯形矩阵
      非零矩阵若满足:
      (i)非零行在零行的上面
      (ii)非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面
      则称此矩阵为行阶梯形矩阵
      在这里插入图片描述

    4. 最简行阶梯形矩阵
      若 A 是行阶梯形矩阵,并满足:
      (i)非零行的首非零元为1
      (ii)首非零元所在列的其他元均为0
      则称 A 为行最简形矩阵
      在这里插入图片描述

    对于任何非零矩阵 Am×n,总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵
    
    1. 标准形
      在这里插入图片描述
      标准形特点:左上角是一个单位矩阵,其余元全为0
      对于 m × n 矩阵 A,总可经过初等变换(行变换或列变换)把它化为标准形
      在这里插入图片描述
      此标准形由 m、n、r 三个数完全决定,其中 r 就是行阶梯形矩阵中的非零行的行数

    在这里插入图片描述

    由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
    初等矩阵都是可逆的
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    矩阵的初等变换应用

    求最简形矩阵

    在这里插入图片描述

    求可逆矩阵 P,使得 PA 为最简形矩阵

    在这里插入图片描述

    在进行初等变换时得到的逆矩阵不是唯一的
    

    求逆矩阵

    在这里插入图片描述

    求线性方程组的解

    在这里插入图片描述

    矩阵的秩

    1. 矩阵的 k 阶子式
      在 m × n 矩阵 A 中,任取 k行与 k 列(k ≤ m, k ≤ n),位于这些行列交叉处的 k²个元素,不改变他们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式,称为矩阵的 k 阶子式
    • m × n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Ckm * Ckn

    在这里插入图片描述
    2. 矩阵的秩的定义
    在这里插入图片描述

    定义5很重要,要理解什么是秩,最高阶非零子式的阶数,记为 R(A)
    零矩阵的秩等于 0
    可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数
    可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵又称降秩矩阵
    
    • 定理2 若 A ~ B,则 R(A) = R(B)
      推论 若可逆矩阵 P、Q 使 PAQ = B,则 R(A) = R(B)

    求矩阵的秩

    在这里插入图片描述

    矩阵的秩的性质⭐

    ① 0 ≤ R(Am✖n) ≤ min{m, n}
    ② R(AT) = R(A)
    ③ 若 A ~ B,则 R(A) = R(B)
    ④ 若 P、Q 可逆,则 R(PAQ) = R(A)
    ⑤ max{R(A), R(B)} ≤ R(A, B) ≤ R(A) + R(B)
    ⑥ R(A + B) ≤ R(A) + R(B)
    ⑦ R(AB) ≤ min{R(A), R(B)}
    ⑧ 若 Am✖nBn✖m = 0,则 R(A) + R(B) ≤ n

    矩阵 A 的秩等于它的列数,称为列满秩矩阵
    矩阵乘法的消去律:若 AB = 0,若 A 为列满秩矩阵,则 B = 0
    

    线性方程组的解

    线性方程组有解,称它是相容;无解,称它是不相容
    
    • 定理3 n 元线性方程组 Ax = b
      (i) 无解的充分必要条件是 R(A) < R(B)
      (ii) 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n
      (iii) 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n

    • 定理4 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) < n

    • 定理5 线性方程组 Ax = b 有非零解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b)

    • 定理6 矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B)

    • 定理7 设 AB = C,则 R© ≤ min{R(A), R(B)}

    求方程组的解的个数

    有唯一解、无解、有无限多解
    
    其实解法大同小异:(1)求行阶梯形矩阵(2)对比秩的情况(3)得出解的情况
    矩阵的秩在后续的学习中是一个承上启下的作用,有时间可以把教材的习题练练手
    

    在这里插入图片描述

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  • AI笔记: 数学基础之矩阵初等变换

    千次阅读 2020-07-10 11:59:44
    应对n这变量,可以使用矩阵初等变换来求解矩阵的可逆矩阵 矩阵初等变换 1) 消元法线性方程组 先来看下这例子,从x1∼x4x_1 \sim x_4x1​∼x4​ 和 4个方程,求解线性方程组 有这样一个方程组 {2x1−x2...
  • 文章目录引 入初等变换与高斯消元法阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵行阶梯形状与方程的关系相抵参考 引 入 代数重要研究对象: mmm 个方程 nnn 变元的方程组. {a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯...
  • 真是非常不情愿啊,之前刚刚把矩阵变化讲得非常“玄幻”,但是马上又要转到枯燥的计算上来了。 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。啥意思呢,举栗子: ...1. 矩阵初等变换 线性方程组的...
  • 线代:1.4矩阵初等变换

    千次阅读 2019-12-12 11:18:11
    文章目录任务详解:1....主要介绍了矩阵初等变换,逆矩阵的另外一种求法,矩阵的秩,线性方程组的等知识点。 掌握目标: 1、了解由高斯消元法引入矩阵初等变换 2、掌握矩阵种初等变...
  • §3.1 矩阵初等变换 §3.2 矩阵的秩 §3.3 线性方程组的 3.1 矩阵初等变换 矩阵的初等变换: 1.对调两(对调 i i i , j j j 两,记为 r i ↔ r j r_{i} \leftrightarrow r_{j} r i ​ ↔ r j ​ ...
  • 文章目录初等变换的概念初等变换初等列变换初等变换矩阵等价性质求解线性方程种初等矩阵(对应初等变换)性质定理应用 初等变换的概念 初等变换 对调两(对调i、j两,记作ri↔rj) 以数k≠0乘某一...
  • 求解矩阵方程AX=B, 其中 A=(21−312−2−132),B=(1−120−25)A =\left (\begin{array}{cccc}2 & 1 & -3 \\1 & 2 & -2 \\-1 & 3 & 2\end{array} \right ), B =\left (\begin{array}{cccc}1 &...
  • 矩阵初等行变换 行列的性质

    万次阅读 2013-12-01 00:54:51
    第一章讲的矩阵初等行变换的背景是线性方程组(矩阵就是线性方程组的系数)。矩阵初等行变换之所以成立是因为初中学习的方程组的消元法的成立。消元法的本质其实是利用了等式的性质。对于线性方程组来说,摒弃...
  • 矩阵初等变换与线性方程组 习题
  • 第一节 矩阵初等变换 ...本节的重点是用矩阵初等变换矩阵化为(列)阶梯形矩阵、最简型矩阵和标准形矩阵(列)阶梯形矩阵对于我们下节学习矩阵的秩是至关重要的,最简形矩阵对于今后学习方程组求解是非
  • 线性方程组的消元和回代过程。
  • 矩阵初等变换与秩数的概念

    千次阅读 2019-12-27 17:16:05
    矩阵初等变换矩阵的一种十分重要的运算,它在线性方程组,求逆矩阵矩阵理论的探讨中都可起到重要的作用。 为了引进矩阵初等变换,先来分析用消元法线性方程组的例子: 引例: {2x1−x2−x3+x4=2,x1+x2−...
  • 前言: 前言:在进一步深入线性代数和其衍生的相关理论实践的时候,越来越多的参考来自英文的书籍和论文。如果要迅速了解和读取这些知识,不仅需要对线性代数的理论...Matrix Notation 摈弃了之前对线性方程组的笨重.
  • 矩阵的秩,初等变换

    千次阅读 2020-04-28 19:07:18
    根据线性方程组的消元法,引入矩阵初等变换: 包括初等变换 初等列变换 等价:并不是相等,而是一种关系 等价的性质: 最后那个是标准型矩阵,先用变换,再用列变换 矩阵的深入: 矩阵的秩,方阵的行列,...
  • 求解矩阵的逆: 接着https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14280299.html继续往下学习,在上一次中学习了线性系统以及它的求解, 在之前https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14271706.html的学习矩阵的逆时遗留了一...

空空如也

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初等行变换解三个矩阵方程