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  • 根判别式:A=b2-3ac;B=bc-9ad;C=c2-3bd,总判别式:Δ=B2-4AC。当A=B=0时,盛金公式①:X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。当Δ=B2-4AC>0时,盛金公式②:X1=(-b-3√Y1-3√Y2)/(3a);X2,3=(-2b+3√Y1...

    可用盛金公式 方法如下

    一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。

    重根判别式:

    A=b2-3ac;

    B=bc-9ad;

    C=c2-3bd,

    总判别式:

    Δ=B2-4AC。

    当A=B=0时,盛金公式①:

    X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。

    当Δ=B2-4AC>0时,盛金公式②:

    X1=(-b-3√Y1-3√Y2)/(3a);

    X2,3=(-2b+3√Y1+3√Y2)/(6a)±(3√Y1-3√Y2)√3i/(6a);

    其中Y1,2=Ab+3a(-B±√(B2-4AC))/2,i2=-1。

    当Δ=B2-4AC=0时,盛金公式③:

    X1=-b/a+K;

    X2=X3=-K/2,

    其中K=B/A,(A≠0)。

    当Δ=B2-4AC<0时,盛金公式④:

    X1=(-b-2cos(θ/3)√A)/(3a);

    X2,3=(-b+(cos(θ/3)±sin(θ/3)√3)√A)/(3a);

    其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A√A),(A>0,-1<T<1)。检举 回答人的补充 2009-07-08 21:23

    盛金判别法

    ①:当A=B=0时,方程有一个三重实根;

    ②:当Δ=B2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;

    ③:当Δ=B2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;

    ④:当Δ=B2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。

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  • 一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程 ,通过配方可以得到 ,根据判别式 的符号,可以判断方程实根的个数,并且可以得到求根公式要么是 个不同的实根 ,要么是 个二重实根 ,...

    一元二次方程的回顾和启示

    学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程

    equation?tex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%2C~a+%5Cneq+0 ,通过配方可以得到

    equation?tex=%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5E2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-4ac%7D%7B4a%5E2%7D ,根据判别式

    equation?tex=%5CDelta%3Db%5E2-4ac 的符号,可以判断方程实根的个数,并且可以得到求根公式

    equation?tex=+x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cpm%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7B2a%7D%5C%5C

    要么是

    equation?tex=2 个不同的实根

    equation?tex=%5CDelta%3E0 ,要么是

    equation?tex=1 个二重实根

    equation?tex=%5CDelta%3D0 ,要么是

    equation?tex=1 对共轭虚根

    equation?tex=%5CDelta%3C0 ;计算重数的情况下都是

    equation?tex=2 个根。

    记两根为

    equation?tex=+x_1%3D%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D+%2C~+x_2%3D%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D+%5C%5C

    可以直接验证韦达定理:

    两根之和

    equation?tex=x_1%2Bx_2%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D+ 以及两根之积

    equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D,判别式

    equation?tex=+%5CDelta%3Da%5E2%28x_1-x_2%29%5E2 .

    求根公式看上去复杂,但如果把上述两式代入求根公式

    equation?tex=x%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5E2-%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%5Cpm%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B2%7D%5C%5C .

    注:如果

    equation?tex=x_1%2C~x_2 是共轭虚根,

    equation?tex=x_1-x_2 就是纯虚数,对负数

    equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx_1-x_2%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2 开方不能得到

    equation?tex=%5Cfrac%7B%7Cx_1-x_2%7C%7D%7B2%7D .

    几何意义:记

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D 是两根的平均值,乘积为

    equation?tex=p%3Dx_1x_2%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D . 如果

    equation?tex=x_1%2C~x_2 都是实根,则

    equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7Cx_1-x_2%7C%7D%7B2%7D%3D%5Csqrt%7Bs%5E2-p%7D 是根到平均值的距离。

    求根公式就可以改写成

    equation?tex=x%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%5E2-%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%7D%3Ds%5Cpm%5Csqrt%7Bs%5E2-p%7D%3Ds%5Cpm+d%5C%5C

    两根到平均值

    equation?tex=s 的距离

    equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7Cx_1-x_2%7C%7D%7B2%7D 还可以通过下列方式得到:

    不妨设

    equation?tex=x_1%3Ds%2Bd%2C~+x_2%3Ds-d ,用平方差公式得到

    equation?tex=%28s%2Bd%29%28s-d%29%3Ds%5E2-d%5E2%3Dp ,立即可以算出

    equation?tex=d%3D%5Csqrt%7Bs%5E2-p%7D .

    可以看到在实根的情况下

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D 是实数轴上两根的中点,而

    equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B%7Cx_2-x_1%7C%7D%7B2%7D 是两根到中点的距离。

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3C0

    equation?tex=z_1%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7B2a%7Di

    equation?tex=z_2%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7B2a%7Di 是共轭虚根,绝对值(长度)相等

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bz_1%2Bz_2%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D 在复平面上是

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 连线的中点(在实轴上),刚好对应由

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 作为两邻边的菱形对角线的交点,是菱形水平方向对角线的一半,而

    equation?tex=d%3D%5Cpm%5Cfrac%7Bz_1-z_2%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7B2a%7Di 是中点到两根的有向距离,是菱形竖直方向对角线的一半。

    如果考虑一般的复系数一元二次方程呢?任何两个复数

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 都可能是方程的两根,因为由韦达定理可以构造出

    equation?tex=z%5E2-%28z_1%2Bz_2%29z%2Bz_1z_2%3D0%5C%5C

    所以

    equation?tex=s%3D%5Cfrac%7Bz_1%2Bz_2%7D%7B2%7D 就是两根连线的中点,但不一定在实轴上,以

    equation?tex=z_1

    equation?tex=z_2 为邻边构成的是一个更一般的平行四边形,

    equation?tex=s 是对角线的交点,是其中一条对角线的一半,而

    equation?tex=d%3D%5Cpm%5Cfrac%7Bz_1-z_2%7D%7B2%7D 是交点到两根的有向距离,是另外一条对角线的一半。

    一元三次方程根的构造

    对于实系数一元三次方程

    equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%2C~a%5Cneq+0 ,自然会想能不能用配方法?

    这里不是配成完全平方而是完全立方:

    equation?tex=x%5E3%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7Dx%2B%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D%3D0%5CLeftrightarrow+x%5E3%2B3%5Cleft%28+%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29+x%5E2%3D-%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7Dx-%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D%5C%5C

    根据前两项两边同时加上

    equation?tex=3+%5Cleft%28%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%5E2x

    equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%5E3 可以把左边边成完全立方,也就是

    equation?tex=%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%5E3%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-3ac%7D%7B3a%5E2%7Dx%2B%5Cfrac%7Bb%5E3-27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D+ . 右边等于

    equation?tex=%5Cfrac%7Bb%5E2-3ac%7D%7B3a%5E2%7D%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7Bb%5E3-3abc%7D%7B9a%5E3%7D%2B%5Cfrac%7Bb%5E3-27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5E2-3ac%7D%7B3a%5E2%7D%5Cleft%28x%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D%5Cright%29%2B%5Cfrac%7B9abc-2b%5E3-27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D

    equation?tex=x 的一次项,不能像一元二次方程配方后可以直接开平方根得到方程的根。但这提示我们可以作变量替换

    equation?tex=t%3Dx%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D 把根整体平移

    equation?tex=%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D 个单位,得到

    equation?tex=t%5E3%2B%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7Dt%2B%5Cfrac%7B2b%5E3-9abc%2B27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D%3D0%5C%5C

    (或者用直接用待定系数法确定平移量)

    equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7D%2C~q%3D%5Cfrac%7B2b%5E3-9abc%2B27a%5E2d%7D%7B27a%5E3%7D

    这里就把方程化简为了

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 . 从这里可以看出,配方法能做到的只是消去比方程次数少一次的那项,结合韦达定理可以知道,只不过是找到了方程的三个根的平均值,做一个平移,让新得到的方程的三个根的平均值为0.

    这里有很多种变量替换的方法求解

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 .

    一、卡尔达诺方法(Cardano's method)

    引入两个新的变量

    equation?tex=u%2C~v

    equation?tex=t%3Du%2Bv,代入可得

    equation?tex=%28u%2Bv%29%5E3%2Bp%28u%2Bv%29%2Bq%3D0%5CLeftrightarrow+u%5E3%2Bv%5E3%2B%283uv%2Bp%29%28u%2Bv%29%2Bq%3D0%5C%5C

    equation?tex=3uv%2Bp%3D0 ,方程变为

    equation?tex=u%5E3%2Bv%5E3%2Bq%3D0 .

    只要

    equation?tex=u%2C~v 满足

    equation?tex=uv%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D

    equation?tex=u%5E3%2Bv%5E3%3D-q ,那么

    equation?tex=t%3Du%2Bv 就是

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 的根。

    由第一个方程可得

    equation?tex=v%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3u%7D ,代入第二个方程得

    equation?tex=u%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27u%5E3%7D%2Bq%3D0 .

    两边同时乘以

    equation?tex=u%5E3 可得

    equation?tex=u%5E6%2Bqu%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%3D0

    equation?tex=u%5E3 的一元二次方程,由求根公式可得

    equation?tex=u%5E3%3D-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%2C+~v%5E3%3D-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cmp%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%5C%5C

    立方根有三个,这里取其中一个

    equation?tex=u%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    equation?tex=uv%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D 得对应的

    equation?tex=v 可以表示成

    equation?tex=v%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    得到方程的一个根为

    equation?tex=t_1%3Du%2Bv%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    equation?tex=%5Comega%3De%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi+i%7D%7B3%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7Di 为单位原根满足

    equation?tex=%5Comega%5E3%3D1%2C~+%5Comega%5Cneq1 (

    equation?tex=%5Comega%5E2%2B%5Comega%2B1%3D0 ),可以得到另外两个根分别为

    equation?tex=t_2%3D%5Comega+u%2B%5Comega+%5E2v%2C~t_3%3D%5Comega%5E2u%2B%5Comega+v .

    注意到

    equation?tex=uv%3D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D

    equation?tex=t%3Du-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3u%7D ,因此也可以用下面的替换来推导出求根公式:

    二、韦达替换(Vieta's substitution)

    equation?tex=t%3Dw-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D ,代入可得

    equation?tex=%5Cleft%28w-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D%5Cright%29%5E3%2Bp%5Cleft%28w-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D%5Cright%29%2Bq%3D0%5CLeftrightarrow+w%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27w%5E3%7D%2Bq%3D0%5C%5C

    注意到

    equation?tex=w%5E6%2Bqw%5E3-%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%3D0

    equation?tex=w%5E3 的一元二次方程,所以

    equation?tex=w%5E3%3D-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%5CRightarrow+w%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    代回可得

    equation?tex=t%3Dw-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3w%7D%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%5Cmp%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%5C%5C

    上面两种办法都通过变量替换推导求根公式,经过长期解具体方程总结得出一般规律,比如发现三次方程的根可以表示成两个立方根之和,有了这个根的形式的预判,求根公式就呼之欲出了。再后来Lagrange通过离散傅立叶变换统一求解低次方程,但这方法无法推广到5次方程。

    三、拉格朗日方法(Lagrange's Method)

    对于一般的二次方程, 根可以表示为:

    equation?tex=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B%28x_1%2Bx_2%29%2B%28x_1-x_2%29%5D%5C%5C

    equation?tex=x_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B%28x_1%2Bx_2%29-%28x_1-x_2%29%5D%5C%5C

    其中

    equation?tex=x_1%2Bx_2 是根的对称多项式,

    equation?tex=x_1-x_2 虽然本身不是,但平方后也是根的对称多项式,可以用基本对称多项式表出

    equation?tex=%28x_1-x_2%29%5E2%3D%28x_1%2Bx_2%29%5E2-4x_1x_2 . 再根据韦达定理,可以推出求根公式。

    equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%5Cpm%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2%7D%5Cright%5D%5C%5C

    对于一般的一元三次方程,记

    equation?tex=%5Comega%3De%5E%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi+i%7D%7B3%7D%7D ,根可以表示为:

    equation?tex=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28x_1%2Bx_2%2Bx_3%29%2B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%2B%28x_1%2B%5Comega%5E2x_2%2B%5Comega+x_3%29%5D

    equation?tex=x_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28x_1%2Bx_2%2Bx_3%29%2B%5Comega%5E2%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2+x_3%29%2B%5Comega%28x_1%2B%5Comega%5E2x_2%2B%5Comega+x_3%29%5D

    equation?tex=x_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B%28x_1%2Bx_2%2Bx_3%29%2B%5Comega%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%2B%5Comega%5E2%28x_1%2B%5Comega%5E2+x_2%2B%5Comega+x_3%29%5D

    equation?tex=s_1%3Dx_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2+x_3

    equation?tex=s_2%3Dx_1%2B%5Comega%5E2+x_2%2B%5Comega+x_3 本身不是对称多项式,但两者立方后得到

    equation?tex=s_1%5E3%3Dx_1%5E3%2Bx_2%5E3%2Bx_3%5E3%2B3%5Comega%28x_1%5E2x_2%2Bx_2%5E2x_3%2Bx_3%5E2x_1%29%2B3%5Comega%5E2%28x_1x_2%5E2%2Bx_2x_3%5E3%2Bx_3x_1%5E2%29%2B6x_1x_2x_3

    equation?tex=s_2%5E3%3Dx_1%5E3%2Bx_2%5E3%2Bx_3%5E3%2B3%5Comega%5E2%28x_1%5E2x_2%2Bx_2%5E2x_3%2Bx_3%5E2x_1%29%2B3%5Comega%28x_1x_2%5E2%2Bx_2x_3%5E3%2Bx_3x_1%5E2%29%2B6x_1x_2x_3

    然后两者相加可得立方和

    equation?tex=s_1%5E3%2Bs_2%5E3+%3D2%28x_1%5E3%2Bx_2%5E3%2Bx_3%5E3%29-3%28x_1%5E2+x_2%2B+x_1x_2%5E2%2Bx_2%5E2x_3%2Bx_2x_3%5E2%2Bx_3%5E2x_1%2Bx_3x_1%5E2%29%2B12x_1x_2x_3

    是根的对称多项式,乘积

    equation?tex=s_1s_2%3Dx_1%5E2%2Bx_2%5E2%2Bx_3%5E2-%28x_1x_2%2Bx_2x_3%2Bx_3x_1%29

    是根的对称多项式,乘积的立方

    equation?tex=s_1%5E3s_2%5E3%3D%28s_1s_2%29%5E3 也是根的对称多项式。

    对于一般的一元三次方程

    equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%2C~a%5Cneq+0

    对称多项式

    equation?tex=s_1%5E3%2Bs_2%5E3

    equation?tex=s_1%5E3s_2%5E3 可以由基本对称多项式

    equation?tex=%5Csigma_1%3Dx_1%2Bx_2%2Bx_3%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D

    equation?tex=%5Csigma_2%3Dx_1x_2%2Bx_2x_3%2Bx_3x_1%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D

    equation?tex=%5Csigma_3%3Dx_1x_2x_3%3D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Ba%7D

    多项式表出,因此是方程系数的多项式。

    也就是存在多项式

    equation?tex=P

    equation?tex=Q 使得

    equation?tex=s_1%5E3%2Bs_2%5E3%3DP%28a%2Cb%2Cc%2Cd%29

    equation?tex=s_1%5E3s_2%5E3%3DQ%28a%2Cb%2Cc%2Cd%29 . 容易看出

    equation?tex=s_1%5E3

    equation?tex=s_2%5E3 是一元二次方程

    equation?tex=z%5E2-Pz%2BQ%3D0 (预解式)的两根,可以用二次方程求根公式得到,再代回下列三式就可以得到三次方程的三个根:

    equation?tex=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%5Cright%5D

    equation?tex=x_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2B%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%2B%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%5Cright%5D

    equation?tex=x_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%5Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2B%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%2B%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B%28x_1%2B%5Comega+x_2%2B%5Comega%5E2x_3%29%5E3%7D%5Cright%5D

    对于约简后的一元三次方程

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 ,和Cardano和Vieta方法殊途同归,得到相同的求根公式。

    equation?tex=t_1%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D

    equation?tex=t_2%3D%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D

    equation?tex=t_3%3D%5Comega%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D%2B%5Comega%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D

    equation?tex=p%2C~q 都用根表示代进去化简,可以得到平方根下的表达式为

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D+%3D%5Cfrac%7Bt_1%5E2t_2%5E2t_3%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B%28t_1t_2%2Bt_2t_3%2Bt_3t_1%29%5E3%7D%7B27%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7Bt_1%5E2t_2%5E2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B%5Bt_1t_2-%28t_1%2Bt_2%29%5E2%5D%5E3%7D%7B27%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B4t_1%5E3t_2%5E3%2B15t_1%5E2t_2%5E2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%2B12+t_1+t_2%28t_1%2Bt_2%29%5E4-4%28t_1%2Bt_2%29%5E6%7D%7B108%7D+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%5CDelta%3D%26%28t_1-t_2%29%5E2%28t_2-t_3%29%5E2%28t_3-t_1%29%5E2%3D%28t_1-t_2%29%5E2%282t_2%2Bt_1%29%5E2%282t_1%2Bt_2%29%5E2%5C%5C+%3D%26%5B%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1t_2%5D%5B2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%2Bt_1t_2%5D%5E2%5C%5C+%3D%26%5B%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1t_2%5D%5B4%28t_1%2Bt_2%29%5E4%2B4t_1t_2%28t_1%2Bt_2%29%5E2%2Bt_1%5E2t_2%5E2%5D%5C%5C+%3D%264%28t_1%2Bt_2%29%5E6-12t_1t_2%28t_1%2Bt_2%29%5E4-15t_1%5E2t_2%5E2%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1%5E3t_2%5E3+%5Cend%7Balign%7D

    展开后刚好是

    equation?tex=%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bp%5E3%7D%7B27%7D 的分子的相反数,也就是

    equation?tex=%5CDelta%3D-%284p%5E3%2B27q%5E2%29 ,称之为方程的判别式,可以用来判断方程是否有重根。

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3D0

    equation?tex=4p%5E3%2B27q%5E2%3D0 ,非实的复根一定成对出现,所以只可能是实根是重根,剩下一个根也不可能是非实的复根,所以三个根都是实根;最特殊的情况是1个三重实根(

    equation?tex=p%3Dq%3D0 )。

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3C0

    equation?tex=4p%5E3%2B27q%5E2%3E0 ,一定是只有1个实根,两个非实的共轭复根;

    如果

    equation?tex=%5CDelta%3E0

    equation?tex=4p%5E3%2B27q%5E2%3C0 ,一定是3个不同实根。

    对于一般的三次方程

    equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0 ,判别式

    equation?tex=%5CDelta%3Da%5E4%28x_1-x_2%29%5E2%28x_2-x_3%29%5E2%28x_3-x_1%29%5E2%3D18abcd%2Bb%5E2c%5E2-27a%5E2d%5E2-4ac%5E3-4b%5E3d

    四、三角解法 (Trigonometric Method) 和几何意义

    如果实系数方程

    equation?tex=t%5E3%2Bpt%2Bq%3D0 有三个不同的实根 (

    equation?tex=%5CDelta%3E0%2C~4p%5E3%2B27q%5E2%3D-%5CDelta%3C0 ,一定有

    equation?tex=p%3C0 ),用求根公式表示出来会有虚数

    equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bq%5E3%7D%7B27%7D%7D%3D%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B%5CDelta%7D%7B108%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bi%5Csqrt%7B3%5CDelta%7D%7D%7B18%7D%5C%5C

    但如果用三角函数表示出来,不仅可以避免复数,还可以看出三个根的分布。

    为了利用三倍角公式

    equation?tex=%5Ccos+3%5Ctheta%3D4%5Ccos%5E3%5Ctheta-3%5Ccos%5Ctheta ,待定系数可设

    equation?tex=t%3Du%5Ccos%5Ctheta

    代入可得

    equation?tex=u%5E3%5Ccos%5E3%5Ctheta%2Bpu%5Ccos%5Ctheta%2Bq%3D0

    只需要满足系数成比例,也就是

    equation?tex=%5Cfrac%7Bu%5E3%7D%7Bpu%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B-3%7D ,解得

    equation?tex=u%3D2%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%3E0 .

    原方程变为

    equation?tex=%5Ccos3%5Ctheta%3D4%5Ccos%5E3%5Ctheta-3%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B3q%7D%7B2p%7D%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7Bp%7D%7D .

    equation?tex=%5Ctheta_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Carccos%5Cleft%28%5Cfrac%7B3q%7D%7B2p%7D%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7Bp%7D%7D%5Cright%29-%5Cfrac%7B2k%5Cpi%7D%7B3%7D%2C~k%3D0%2C1%2C2 .

    当然也可以取为

    equation?tex=%5Coverline%7B%5Ctheta_k%7D%3D-%5Ctheta_k%2C+~k%3D0%2C1%2C2.

    equation?tex=t_k%3D2%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D%5Ccos%5Ctheta_k%2C+~k%3D0%2C1%2C2.

    圆心在y轴上任意一点,半径为

    equation?tex=r%3D2%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7D 的圆上,三个点分别对应

    equation?tex=%5Ctheta_k%2C~k%3D0%2C1%2C2 ,三个根是这三个点在横轴上的投影。对于一般情形圆心需要平移

    equation?tex=-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3a%7D ,刚好在三次函数

    equation?tex=y%3Dax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd 图像的拐点处。

    方程有3个不同的实的单根,对应函数图像与横轴的3个交点(均斜穿过横轴);函数图像有2个转折点(turning points),对应一个局部最大和一个局部最小。

    五、三次函数的图像

    三次函数

    equation?tex=f%28x%29%3Dax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd 转折点的数量取决于其导函数

    equation?tex=f%27%28x%29%3D3ax%5E2%2B2bx%2Bc 的判别式

    equation?tex=4b%5E2-12ac .

    或者通过水平方向的平移消掉二次项和竖直方向上的拉伸压缩(或者还需要沿横轴的反射)把首项系数变为1,可以得到

    equation?tex=f%28x%29%3Dx%5E3%2Bpx%2Bq

    equation?tex=f%27%28x%29%3D3x%5E2%2Bp ,判别式是

    equation?tex=-12p ,事实上,我们有

    equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B3ac-b%5E2%7D%7B3a%5E2%7D .

    可以看出如果

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0+~%28p%3C0%29 那么函数图像一定有两个转折点(局部最大和局部最小);

    equation?tex=b%5E2-3ac%3D0 则会有一个不是转折点的临界点;

    equation?tex=b%5E2-3ac%3C0 则没有临界点(没有水平切线)。

    下面不妨记

    equation?tex=%5CDelta%3E0 为情形(1),这种情形一定有

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3C0%5CRightarrow+p%3C0%29 ,

    e.g.

    equation?tex=y%3D%28x%2B1%29%28x%2B2%29%28x-3%29%3Dx%5E3-7x-6 .

    equation?tex=%5CDelta%3C0 时,有一个实根和一对非实的共轭复根,对应函数图像与x轴的1个交点(斜穿过横轴);根据转折点的数量又分为三种情形

    情形(2):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3E0+~%5C%26+~p%3C0%29

    2个转折点,对应一个局部最大和一个局部最小,

    e.g.

    equation?tex=y%3D%28x-2%29%28x%5E2%2B2x%2B3%29%3Dx%5E3-x-6

    情形(3):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3D0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3E0~%5C%26+~p%3D0%29

    1个非转折点的临界点,函数在定义域

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 上单调,e.g.

    equation?tex=y%3D%28x%2B1%29%28x%5E2-x%2B1%29%3Dx%5E3%2B1

    equation?tex=y%3D%28x-1%29%28x%5E2%2Bx%2B1%29%3Dx%5E3-1 .

    情形(4):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3C0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3E0~%5C%26~p%3E0%29

    0个临界点,函数在定义域

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 上单调,e.g.

    equation?tex=y%3Dx%28x%5E2%2B1%29%3Dx%5E3%2Bx .

    equation?tex=%5CDelta%3D0 时,又对应两种情况:

    情形(5):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3E0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3D0+~%5C%26+~p%3C0%29

    1个二重实根和1个实单根,函数图像在二重根处与横轴相切不穿过,在单根处斜穿过,一定有两个转折点,对应一个局部最大和一个局部最小,e.g.

    equation?tex=y%3D%28x-1%29%5E2%28x%2B2%29%3Dx%5E3-3x%2B2 .

    情形(6):

    equation?tex=b%5E2-3ac%3D0~%284p%5E3%2B27q%5E2%3D0+~%5C%26+~p%3D0%29

    1个三重实根,函数图像在三重实根处与x轴相切穿过,没有转折点,函数在定义域

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D 上单调,e.g.

    equation?tex=y%3Dx%5E3 .

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  • 东 莞 理 工 学 院本 科 毕 业 论 文(2015届)题 目: 多项式方程的判别式求根公式学生姓名:学 号: 201141410230院(系): 计算机学院专业班级: 信息与计算科学(2)班指导教师:起止时间: 2015年1月—2015年5月多项式...

    东 莞 理 工 学 院

    本 科 毕 业 论 文

    (2015届)

    题 目: 多项式方程的判别式与求根公式

    学生姓名:

    学 号: 201141410230

    院(系): 计算机学院

    专业班级: 信息与计算科学(2)班

    指导教师:

    起止时间: 2015年1月—2015年5月

    多项式方程的判别式与求根公式

    摘 要: 近代数学史甚至能说是一部求解多项式方程的历史。对于高次方程的数值根求解法,人们从很早就开始并一直探求这样的问题。而且在古代,很多人都想出了一个办法来解决各种各样的多项式方程。如卡尔米诺的《大术》,贾宪的《黄帝九章算法细草》,秦九韶的《数书九章》等等。? 在目前,有关问题求解多项式方程根的在工程实践中占有举足轻重的地位。如在人类的生活过程中,经济建设和科学技术的发展过程中,计算一直起着非常重要的作用。当人们在进行科学或者工程计算时,求解多项式方程组更是非常容易遇到的问题之一。许多领域如自然生活和工程科学最终都可以归结为求解多项式方程组的问题。这个时候人们就通常需要处理求解代数方程组的问题,如果当项较简单或变元较少时,计算过程就好相对来说简单一些;但是当项非常复杂或变元非常多的时候,那么其求解的过程中往往会遇到比较多的困难。

    对多项式方程的判别式和求根公式的研究,在理论研究和实际工程计算中,具有十分重要的意义。

    关键词: Discriminant and seek the root of polynomial equations

    Abstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.

    In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, its solving process is often more difficult.

    The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineerin

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  • 设: 代入方程 并整理,我们有: 在 中,令: 即是: 与: 此时,有: 再由 得: 联立 可知, 是如下三次方程的解: 亦即是: 利用卡尔丹公式,我们有: 和 即是卡尔丹公式里的参数。令: 那么 变为: 计算方程 ...

    6a1ba6d49a57398d67fa4acabc71eb4e.gif

    仿照《方程式论》(

    伯恩赛德班登 著),我们设四次方程的一般形式为:

    方程两边同除以

    ,然后作代换:

    我们有:

    令:

    那么有:

    我们假设

    ,然后求解方程

    设:

    代入方程

    并整理,我们有:

    式中,令:

    即是:

    与:

    此时,有:

    再由

    式得:

    联立

    可知,
    是如下三次方程的解:

    亦即是:

    利用卡尔丹公式,我们有:

    即是卡尔丹公式里的参数。令:

    那么

    变为:

    计算方程

    的卡尔丹判别式,它是:

    令:

    变为:

    接下来分四种情况讨论。

    亦即

    ,利用卡尔丹公式解之,并考虑到
    的顺序,我们有:

    为方便计算,令:

    这时

    变为:

    所以:

    接下来,假设

    。这时有
    ,所以我们可以设:

    一个复数的平方根有两个值,这里选择

    都为正的一个,这时的
    是:

    变为:

    另外,由

    式可知

    下面选取合适的

    的值。根据
    式得:

    时,因为
    ,所以
    式小于零,这时在
    中只有如下两种可能:

    详细列表,有如下四种取值情况:

    再由

    式,我们得到了方程
    的根:

    时,因为
    ,所以
    式大于零,仿上推导,我们有结论:

    为了将两种情况的公式统一,我们引入

    函数。根据此函数定义,有:

    所以

    可统一表示为:

    公式

    是在
    的前提下推导出来的,当
    时,得出的结论在形式上与公式
    相同,只是在
    时,有
    ,这时应该设:

    之值不变,而相应的
    值略微改变,剩余步骤相同,在此省略。

    现在计算

    的值。根据
    式可得:

    由此解得:

    又因为:

    将之代入

    的表达式可得:

    最后,将

    代入公式
    ,再由
    式,我们有:

    至此,

    ,也就是
    时的公式推导完毕。

    亦即

    ,因为
    的符号原因,下分
    两种情况讨论。

    首先假设

    ,同样利用卡尔丹公式解之,有:

    其中:

    令:

    则有:

    所以:

    接下来的一个必要的问题是讨论

    的符号问题。

    根据

    式,有
    成立,如果三个实数乘积为正,要么这三个数全为正数,要么一者为正,两者为负,据此可以列表如下:

    又因为当

    时,有
    ,所以根据余弦函数的单调性,必有
    成立,所以上述列表中的后两种情况可以排除,即是只有如下两种情况:

    所以接下来还需要再分这两种情况讨论。

    ① 当

    时。

    时,因为
    ,所以
    式小于零,而三个实数乘积为负,要么三者同为负,要么一者为负,两者为正,据此在
    中选取合适的
    列表并排序整理,结果如下:

    再由

    式,我们便得到了方程
    的解:

    同理,当

    时,结果为:

    将两种情况合并到一起,我们有:

    至此,情况①讨论完毕。

    ② 当

    时。

    同样根据

    式,当
    时,
    式小于零,此时
    有如下两种取值可能:

    详细列表得:

    所以这时,方程

    的解为:

    同理可得

    时方程
    的解,它是:

    将两种情况合并,有:

    至此,情况②讨论完毕。

    为了将公式

    和公式
    合并,我们引入一个参数
    ,并令:
    ,这样就可以将它们合并为:

    再由

    式,我们便得到了方程
    的解,也就是求根公式:

    再看当

    时的情况。这时我们令:

    其中:

    仿照

    时的推导,最后的结论与
    时的公式在形式上一致。这时的
    还有
    亦可统一如下:

    至此,

    ,也就是
    的公式推导完毕。

    亦即

    ,此时方程的根可由
    时的公式解得,原因是:当卡尔丹判别式等于零时的三次方程的解可由卡尔丹判别式小于零的公式求解———此结论在之前推导卡尔丹公式的时候已经证明过了,所以推导
    时的求根公式相当于把推导
    时的公式的步骤重复一遍———这当然是没必要的。

    基于同样的理由,这种情况下的方程的根也可由

    时的公式求解。但为了方便讨论根的判别法则,我们还是以
    时的公式计算为好。

    亦即

    ,此时方程
    有一个三重实根,仿照之前求根公式的推导,我们有如下结论:当
    时,方程
    有一个三重实根:
    和一个单重实根:

    (其实,我们只要稍微费一点功夫就能证明这种情况下的方程的解也能由

    时的公式求解,不过这么简单的问题肯定不会难倒看这篇文章的各位,所以我就把这个证明省略了)

    至此,

    之情况讨论完毕。

    最后,当

    时,方程
    变为:

    这是一个双二次方程,利用二次方程求根公式和

    式,我们有:

    至此,公式推导完毕。

    下面我们证明实系数四次方程根的判别法则。在此之前,先做一点准备工作。

    为了方便讨论,我们令

    ,这时方程
    变为:

    并且我们有以下结论:

    • 定理
      :如果方程
      有两个互异正根,那么方程
      有四个互异实根。
    • 定理
      :如果方程
      有两个互异负根,那么方程
      有两对互异的共轭虚根。
    • 定理
      :如果方程
      的根为一正一负,那么方程
      有两个互异实根和一对共轭虚根。
    • 定理
      :如果方程
      有一对共轭虚根,那么方程
      有两对互异的共轭虚根。
    • 定理
      :如果方程
      有一个两重正根,那么方程
      有两个互异的两重实根。
    • 定理
      :如果方程
      有一个两重负根,那么方程
      有一对两重共轭虚根。
    • 定理
      :如果方程
      有一个正根和一个零根,那么方程
      有一个两重实根和两个单重实根。
    • 定理
      :如果方程
      有一个负根和一个零根,那么方程
      有一个两重实根和一对共轭虚根。
    • 定理
      :如果方程
      有一个两重零根,那么方程
      有一个四重实根。

    上述九个定理是当

    时得到的,当
    时,我们有下述六个定理:
    • 定理
      :如果方程
      有一个正根和一对共轭虚根,那么方程
      有两个互异实根和一对共轭虚根。
    • 定理
      :如果方程
      有三个互异正根,那么方程
      有四个互异实根。
    • 定理
      :如果方程
      有一个正根和两个互异负根,那么方程
      有两对互异的共轭虚根。
    • 定理
      :如果方程
      有一个三重正根,那么方程
      有一个三重实根。
    • 定理
      :如果方程
      有一个单重正根和一个两重正根,那么方程
      有一个两重实根和两个单重实根。
    • 定理
      :如果方程
      有一个单重正根和一个两重负根,那么方程
      有一个两重实根和一对共轭虚根。

    这就是我们做的准备工作,这些定理显而易见的正确,并且利用反证法可以知道,它们的逆命题也是对的,但我打算省略证明,毕竟我不觉得这些证明会对看这篇文章的各位造成什么困扰。现在,我们可以开始证明根的判别法则了。

    • ㈠ 方程有两个互异实根和一对共轭虚根的充要条件是

    证明:如上所述,这种根的情形在

    时都存在,所以我们需要分这两种情况证明。
    时。由
    时的公式的推导可知充分性成立。然后由定理
    的逆定理可知必要性成立。
    时。先证充分性:由
    可得:

    展开并整理:

    将其当成一个关于

    的三次不等式,然后借助卡尔丹公式,我们发现它可以因式分解:

    所以有

    成立,所以在方程
    中,有
    成立。根据二次方程根与系数的关系可知,方程
    的两个根一正一负,由定理
    可知,方程
    有两个互异实根和一对共轭虚根。充分性成立。

    再证必要性:由定理
    的逆定理可知,当
    时,如果方程
    有两个互异实根和一对共轭虚根,那么方程
    的两个根必为一正一负,此时有
    成立,亦即
    成立,由此可得:

    而:

    所以此时有

    。必要性成立。证毕。
    • ㈡ 方程有四个互异实根的充要条件是

    证明:我们同样分

    这两种情况证明。

    时。先证充分性:当
    时,由
    可得
    ,再由
    可得:

    根据余弦函数的单调性,我们有:

    所以:

    所以此时有

    ,又由公式的推导知
    同号,所以
    ,所以方程
    有四个互异实根,充分性成立。

    再证必要性:由定理

    的逆定理可知,当方程
    有四个互异实根时,方程
    必有三个互异正根,应用公式里的参数,即是
    所以此时有
    ,再由公式的推导可知
    恒为正,所以由
    同号且同为正可得
    ,继而有
    。必要性成立。

    时。先证充分性:由
    可得:
    ,所以
    ,再加上条件
    可知方程
    有两个互异正根,因此由定理
    可知方程
    有四个互异实根,充分性成立。

    再证必要性:由定理

    的逆定理可知,当
    时,如果方程
    有四个互异实根,那么方程
    有两个互异正根,所以有
    成立,而由
    可得:

    再由:

    可知

    ,必要性成立。证毕。
    • ㈢ 方程有两对互异的共轭虚根的充要条件是
      不全为正。

    证明:我们同样分

    来讨论,并且在
    时也需要分两种情况,所以总共需要分三种情况讨论。

    时。先证充分性:当
    时,如果
    ,那么
    ,所以
    ,所以此时方程
    有两对互异共轭虚根;如果
    ,那么有
    ,此时也有
    成立,因此方程
    有两对互异的共轭虚根。充分性成立。

    再证必要性:由定理

    的逆定理可知,当方程
    有两对互异的共轭虚根时,方程
    必有一个正根和两个互异负根,应用公式里的参数,即是
    ,所以此时有
    ,因为
    恒为正,所以由
    同号且同为负可得
    ,由此即得
    。必要性成立。

    时。先证充分性:由
    可得
    。这时如果加上条件
    ,那么方程
    有两个互异负根,由定理
    可知,方程
    有两对互异的共轭虚根;如果加上条件
    ,那么方程
    有一对共轭虚根,再由定理
    可知,方程
    也有两对互异的共轭虚根。充分性成立。

    再证必要性:定理

    和定理
    的逆定理告诉我们,在
    时,如果方程
    有两对互异的共轭虚根,那么方程
    要么有两个互异负根,要么有一对共轭虚根。如果方程
    有两个互异负根,那么有
    成立,而由
    可得
    ;如果方程
    有一对共轭虚根,那么有
    成立,同样由
    可得
    ,所以必要性成立。证毕。
    • ㈣ 方程有一个两重实根和两个单重实根的充要条件是

    证明:我们继续分

    讨论。

    时。先证充分性:当
    时,由
    可得
    ,而由
    时的公式可知,当
    时,方程
    有重根。

    时,
    ,由三次方程的韦达定理可知
    恒为正,所以这时,方程
    有两个互异实根和两个单重实根。

    时,我们有结论:当
    时,方程有一个两重实根和两个单重实根,因为这时有
    ,因此在这种情况下,方程
    恒有一个两重实根和两个单重实根。但为了和
    时的法则统一,我们将其写为
    时的样子,毕竟
    也能得出
    ,所以充分性成立。

    再证必要性:由定理

    的逆定理知,如果方程
    有两个互异实根和两个单重实根,那么方程
    必有一个单重正根和一个两重正根。当
    时,应用公式里的参数,即是
    ,而这时当然有
    成立,因为
    恒为正,所以由
    可得
    ,由此可得
    ;当
    时,再次应用公式里的参数,我们有
    ,这时也有
    成立,并且由
    可得
    ,必要性成立。

    时。先证充分性:由
    可得:
    ,现在加上条件
    ,那么我们有
    ,再加上条件
    可知,此时方程
    有一个零根和一个正根,由定理
    可知,方程
    有一个两重实根和两个单重实根,充分性成立。

    再证必要性:当

    时,由定理
    的逆定理可知,若方程
    有一个两重实根和两个单重实根,那么方程
    必有一个零根和一个正根,由此可得
    ,即
    。又由
    可得
    ,所以:

    所以必要性成立,证毕。

    • ㈤ 方程有一个两重实根和一对共轭虚根的充要条件是
      不全为正。

    证明:我们同样分

    这两种情况证明。

    。根据之前的讨论,这种根的情形只会在
    并且
    时存在,此时当然有
    ,又因为
    恒为正,所以当
    时,有
    成立,因此由定理
    可知,方程
    有一个两重实根和一对共轭虚根,充分性成立。

    再证必要性:由定理

    的逆定理可知,当
    时,若方程
    有一个两重实根和一对共轭虚根,则方程
    必有一个单重正根和一个两重负根,此时有
    ,并且
    ,由此即得
    。必要性成立。

    时。先证充分性:就像 ㈣ 那样,由
    可得
    。现在加上条件
    ,我们有
    ,再加上条件
    可知,方程
    有一个零根和一个负根,再由定理
    可知方程
    有一个两重实根和一对共轭虚根。充分性成立。

    再证必要性:根据定理

    的逆定理,当
    时,若方程
    有一个两重实根和一对共轭虚根,则方程
    必有一个负根和一个零根,这时有
    成立,亦即
    成立。必要性成立,证毕。
    • ㈥ 方程有一个三重实根和一个单重实根的充要条件是

    证明:由公式的推导可知充分性成立,再由定理

    的逆定理可知必要性成立。证毕。
    • ㈦ 方程有两个互异的两重实根的充要条件是

    证明:根据我们做的准备工作可以知道,这种根的情形只会在

    时存在,这时,由
    可知方程
    有一个两重正根,再由定理
    可得,方程
    有两个互异的两重实根,充分性成立。再根据定理
    的逆定理,当
    时,如果方程
    有两个互异的两重实根,那么方程
    必有一个两重正根,所以有
    。必要性成立,证毕。
    • ㈧ 方程有一对两重共轭虚根的充要条件是

    证明:和 ㈦ 的证明完全类似,这里省略。

    • ㈨ 方程一个四重实根的充要条件是

    证明:这种根的情形同样只在

    存在,并且充分性显然成立,而由
    和定理
    的逆定理可知必要性成立,证毕。

    现在,让我们把分散在这篇文章各处的结论汇总一下。先来求根公式。

    设实系数四次方程的一般形式为:

    令:

    那么有如下求根公式:

    ㈠ 当

    时。

    ,则方程的根为:

    其中:

    ,下同。

    ,则方程的根为:

    其中:

    ,则方程有一个三重实根:
    和一个单重实根:

    ㈡ 当

    时。这时方程的根为:

    公式总结完毕,再来判别法则:

    对于实系数四次方程:

    令:

    那么有如下根的判别法则:

    ㈠ 当

    时,方程有两个互异实根和一对共轭虚根。

    ㈡ 当

    时,方程有四个互异实根。

    ㈢ 当

    时,方程有两对互异的共轭虚根。

    ㈣ 当

    时,方程有一个两重实根和两个单重实根。

    ㈤ 当

    时,方程有一个两重实根和一对共轭虚根。

    ㈥ 当

    时,方程有一个三重实根和一个单重实根。

    ㈦ 当

    时,方程有两个互异的两重实根。

    ㈧ 当

    时,方程有一对两重共轭虚根。

    ㈨ 当

    时,方程有一个四重实根。
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