可用盛金公式 方法如下
一元三次方程aX3＋bX2＋cX＋d=0，(a，b，c，d∈R，且a≠0)。
重根判别式：
A=b2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c2－3bd，
总判别式：
Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC＞0时，盛金公式②：
X1=(－b－3√Y1－3√Y2)/(3a)；
X2，3=(－2b＋3√Y1＋3√Y2)/(6a)±(3√Y1－3√Y2)√3i/(6a)；
其中Y1，2=Ab＋3a(－B±√(B2－4AC))/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：
X1=－b/a＋K；
X2=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC＜0时，盛金公式④：
X1=(－b－2cos(θ/3)√A)/(3a)；
X2，3=(－b＋(cos(θ/3)±sin(θ/3)√3)√A)/(3a)；
其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A√A)，(A＞0，－1＜T＜1)。检举 回答人的补充   2009-07-08 21:23
盛金判别法
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

一元二次方程的回顾和启示
学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程
 ，通过配方可以得到 
 ，根据判别式 
 的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式
要么是
 个不同的实根 
 ，要么是 
 个二重实根 
 ，要么是 
 对共轭虚根 
 ;计算重数的情况下都是 
 个根。
记两根为
可以直接验证韦达定理：
两根之和
 以及两根之积 
，判别式 
 .
求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式
 .
注：如果
 是共轭虚根，
 就是纯虚数，对负数 
 开方不能得到 
 .
几何意义：记
 是两根的平均值，乘积为 
 . 如果 
 都是实根，则 
 是根到平均值的距离。
求根公式就可以改写成
两根到平均值
 的距离 
 还可以通过下列方式得到：
不妨设
 ，用平方差公式得到
 ，立即可以算出 
 .
可以看到在实根的情况下
 是实数轴上两根的中点，而 
 是两根到中点的距离。
如果
 ， 
 和 
 是共轭虚根，绝对值(长度)相等 
 在复平面上是 
 和 
 连线的中点(在实轴上)，刚好对应由 
 和 
 作为两邻边的菱形对角线的交点，是菱形水平方向对角线的一半，而 
 是中点到两根的有向距离，是菱形竖直方向对角线的一半。
如果考虑一般的复系数一元二次方程呢？任何两个复数
 和 
 都可能是方程的两根，因为由韦达定理可以构造出
所以
 就是两根连线的中点，但不一定在实轴上，以 
 和 
 为邻边构成的是一个更一般的平行四边形， 
 是对角线的交点，是其中一条对角线的一半，而 
 是交点到两根的有向距离，是另外一条对角线的一半。
一元三次方程根的构造
对于实系数一元三次方程
 ，自然会想能不能用配方法？
这里不是配成完全平方而是完全立方：
根据前两项两边同时加上
 和 
 可以把左边边成完全立方，也就是 
 . 右边等于
有
 的一次项，不能像一元二次方程配方后可以直接开平方根得到方程的根。但这提示我们可以作变量替换 
 把根整体平移 
 个单位，得到
(或者用直接用待定系数法确定平移量)
令
 ，
这里就把方程化简为了
 . 从这里可以看出，配方法能做到的只是消去比方程次数少一次的那项，结合韦达定理可以知道，只不过是找到了方程的三个根的平均值，做一个平移，让新得到的方程的三个根的平均值为0.
这里有很多种变量替换的方法求解
 .
一、卡尔达诺方法(Cardano's method)
引入两个新的变量
 令 
，代入可得
令
 ，方程变为 
 .
只要
 满足 
 且 
 ，那么 
 就是 
 的根。
由第一个方程可得
 ，代入第二个方程得 
 .
两边同时乘以
 可得 
 是 
 的一元二次方程，由求根公式可得
立方根有三个，这里取其中一个
由
 得对应的 
 可以表示成
得到方程的一个根为
设
 为单位原根满足 
 ( 
 )，可以得到另外两个根分别为 
 .
注意到
 ， 
 ，因此也可以用下面的替换来推导出求根公式：
二、韦达替换(Vieta's substitution)
令
 ，代入可得
注意到
 是 
 的一元二次方程，所以
代回可得
上面两种办法都通过变量替换推导求根公式，经过长期解具体方程总结得出一般规律，比如发现三次方程的根可以表示成两个立方根之和，有了这个根的形式的预判，求根公式就呼之欲出了。再后来Lagrange通过离散傅立叶变换统一求解低次方程，但这方法无法推广到5次方程。
三、拉格朗日方法(Lagrange's Method)
对于一般的二次方程， 根可以表示为：
其中
 是根的对称多项式， 
 虽然本身不是，但平方后也是根的对称多项式，可以用基本对称多项式表出 
 . 再根据韦达定理，可以推出求根公式。
对于一般的一元三次方程，记
 ，根可以表示为：
 和 
 本身不是对称多项式，但两者立方后得到
然后两者相加可得立方和
是根的对称多项式，乘积
是根的对称多项式，乘积的立方
 也是根的对称多项式。
对于一般的一元三次方程
 ，
对称多项式
 和 
 可以由基本对称多项式
多项式表出，因此是方程系数的多项式。
也就是存在多项式
 和 
 使得 
 和  
 . 容易看出 
 和 
 是一元二次方程 
 (预解式)的两根，可以用二次方程求根公式得到，再代回下列三式就可以得到三次方程的三个根：
对于约简后的一元三次方程
 ，和Cardano和Vieta方法殊途同归，得到相同的求根公式。
把
 都用根表示代进去化简，可以得到平方根下的表达式为
展开后刚好是
 的分子的相反数，也就是 
 ，称之为方程的判别式，可以用来判断方程是否有重根。
如果
 ， 
 ，非实的复根一定成对出现，所以只可能是实根是重根，剩下一个根也不可能是非实的复根，所以三个根都是实根；最特殊的情况是1个三重实根( 
 )。
如果
 ， 
 ，一定是只有1个实根，两个非实的共轭复根；
如果
 ， 
 ，一定是3个不同实根。
对于一般的三次方程
 ，判别式
四、三角解法 (Trigonometric Method) 和几何意义
如果实系数方程
 有三个不同的实根 ( 
 ，一定有 
 )，用求根公式表示出来会有虚数
但如果用三角函数表示出来，不仅可以避免复数，还可以看出三个根的分布。
为了利用三倍角公式
 ，待定系数可设 
 ，
代入可得
 ，
只需要满足系数成比例，也就是
 ，解得 
 .
原方程变为
 .
 .
当然也可以取为
圆心在y轴上任意一点，半径为
 的圆上，三个点分别对应 
 ，三个根是这三个点在横轴上的投影。对于一般情形圆心需要平移 
 ，刚好在三次函数 
 图像的拐点处。
方程有3个不同的实的单根，对应函数图像与横轴的3个交点(均斜穿过横轴)；函数图像有2个转折点(turning points)，对应一个局部最大和一个局部最小。
五、三次函数的图像
三次函数
 转折点的数量取决于其导函数 
 的判别式 
 .
或者通过水平方向的平移消掉二次项和竖直方向上的拉伸压缩(或者还需要沿横轴的反射)把首项系数变为1，可以得到
 ， 
 ，判别式是 
 ，事实上，我们有 
 .
可以看出如果
 那么函数图像一定有两个转折点(局部最大和局部最小)； 
 则会有一个不是转折点的临界点； 
 则没有临界点(没有水平切线)。
下面不妨记
 为情形(1)，这种情形一定有 
 ,
e.g.
 .
当
 时，有一个实根和一对非实的共轭复根，对应函数图像与x轴的1个交点(斜穿过横轴)；根据转折点的数量又分为三种情形
情形(2)：
2个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，
e.g.
 ；
情形(3)：
1个非转折点的临界点，函数在定义域
 上单调，e.g. 
 ， 
 .
情形(4)：
0个临界点，函数在定义域
 上单调，e.g. 
 .
当
 时，又对应两种情况：
情形(5)：
1个二重实根和1个实单根，函数图像在二重根处与横轴相切不穿过，在单根处斜穿过，一定有两个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，e.g.
 .
情形(6)：
1个三重实根，函数图像在三重实根处与x轴相切穿过，没有转折点，函数在定义域
 上单调，e.g. 
 .

发个整理的【一元二次方程的判别式及根与一元二次方程的解法（在最后）】
资料如果能帮到你，希望你可以帮忙点赞-感谢-收藏支持一下！
若你需要下载word来打印，可以查看我的个人简介，上面有资料下载方式.
（资料整理不易，真心求一个三连，这将是支持我继续更新的动力）
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解+巩固练习
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解+巩固练习
一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解+巩固练习
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一元二次方程的回顾和启示
学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程 
 ，通过配方可以得到 
 ，根据判别式 
 的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式
要么是 
 个不同的实根 
 ，要么是 
 个二重实根 
 ，要么是 
 对共轭虚根 
 ;计算重数的情况下都是 
 个根。
记两根为
可以直接验证韦达定理：
两根之和 
 以及两根之积 
，判别式 
 .
求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式
 .
注：如果 
 是共轭虚根，
 就是纯虚数，对负数 
 开方不能得到 
 .
几何意义：记 
 是两根的平均值，乘积为 
 . 如果 
 都是实根，则 
 是根到平均值的距离。
求根公式就可以改写成
两根到平均值 
 的距离 
 还可以通过下列方式得到：
不妨设 
 ，用平方差公式得到
 ，立即可以算出 
 .
可以看到在实根的情况下 
 是实数轴上两根的中点，而 
 是两根到中点的距离。
如果 
 ， 
 和 
 是共轭虚根，绝对值（长度）相等 
 在复平面上是 
 和 
 连线的中点（在实轴上），刚好对应由 
 和 
 作为两邻边的菱形对角线的交点，是菱形水平方向对角线的一半，而 
 是中点到两根的有向距离，是菱形竖直方向对角线的一半。
如果考虑一般的复系数一元二次方程呢？任何两个复数 
 和 
 都可能是方程的两根，因为由韦达定理可以构造出
所以 
 就是两根连线的中点，但不一定在实轴上，以 
 和 
 为邻边构成的是一个更一般的平行四边形， 
 是对角线的交点，是其中一条对角线的一半，而 
 是交点到两根的有向距离，是另外一条对角线的一半。
一元三次方程根的构造
对于实系数一元三次方程 
 ，自然会想能不能用配方法？
这里不是配成完全平方而是完全立方：
根据前两项两边同时加上 
 和 
 可以把左边边成完全立方，也就是 
 . 右边等于
有 
 的一次项，不能像一元二次方程配方后可以直接开平方根得到方程的根。但这提示我们可以作变量替换 
 把根整体平移 
 个单位，得到
（或者用直接用待定系数法确定平移量）
令 
 ，
这里就把方程化简为了 
 . 从这里可以看出，配方法能做到的只是消去比方程次数少一次的那项，结合韦达定理可以知道，只不过是找到了方程的三个根的平均值，做一个平移，让新得到的方程的三个根的平均值为0. 
这里有很多种变量替换的方法求解 
 .
一、卡尔达诺方法(Cardano's method)
引入两个新的变量 
 令 
，代入可得
令  
 ，方程变为 
 .
只要 
 满足 
 且 
 ，那么 
 就是 
 的根。
由第一个方程可得 
 ，代入第二个方程得 
 .
两边同时乘以 
 可得 
 是 
 的一元二次方程，由求根公式可得
立方根有三个，这里取其中一个
由 
 得对应的 
 可以表示成
得到方程的一个根为
设 
 为单位原根满足 
 ( 
 )，可以得到另外两个根分别为 
 .
注意到 
 ， 
 ，因此也可以用下面的替换来推导出求根公式：
二、韦达替换(Vieta's substitution)
令 
 ，代入可得
注意到 
 是 
 的一元二次方程，所以
代回可得
上面两种办法都通过变量替换推导求根公式，经过长期解具体方程总结得出一般规律，比如发现三次方程的根可以表示成两个立方根之和，有了这个根的形式的预判，求根公式就呼之欲出了。再后来Lagrange通过离散傅立叶变换统一求解低次方程，但这方法无法推广到5次方程。
三、拉格朗日方法(Lagrange's Method)
对于一般的二次方程， 根可以表示为：
其中 
 是根的对称多项式， 
 虽然本身不是，但平方后也是根的对称多项式，可以用基本对称多项式表出 
 . 再根据韦达定理，可以推出求根公式。
对于一般的一元三次方程，记 
 ，根可以表示为：
 和 
 本身不是对称多项式，但两者立方后得到
然后两者相加可得立方和
是根的对称多项式，乘积
是根的对称多项式，乘积的立方 
 也是根的对称多项式。
对于一般的一元三次方程 
 ，
对称多项式 
 和 
 可以由基本对称多项式
多项式表出，因此是方程系数的多项式。
也就是存在多项式 
 和 
 使得 
 和  
 . 容易看出 
 和 
 是一元二次方程 
 （预解式）的两根，可以用二次方程求根公式得到，再代回下列三式就可以得到三次方程的三个根：
对于约简后的一元三次方程 
 ，和Cardano和Vieta方法殊途同归，得到相同的求根公式。
把 
 都用根表示代进去化简，可以得到平方根下的表达式为
展开后刚好是 
 的分子的相反数，也就是 
 ，称之为方程的判别式，可以用来判断方程是否有重根。
如果 
 ， 
 ，非实的复根一定成对出现，所以只可能是实根是重根，剩下一个根也不可能是非实的复根，所以三个根都是实根；最特殊的情况是1个三重实根（ 
 ）。
如果 
 ， 
 ，一定是只有1个实根，两个非实的共轭复根；
如果 
 ， 
 ，一定是3个不同实根。
对于一般的三次方程 
 ，判别式
四、三角解法 (Trigonometric Method) 和几何意义
如果实系数方程 
 有三个不同的实根 ( 
 ，一定有 
 )，用求根公式表示出来会有虚数
但如果用三角函数表示出来，不仅可以避免复数，还可以看出三个根的分布。
为了利用三倍角公式 
 ，待定系数可设 
 ，
代入可得 
 ，
只需要满足系数成比例，也就是 
 ，解得 
 . 
原方程变为 
 .
 . 
当然也可以取为 
圆心在y轴上任意一点，半径为 
 的圆上，三个点分别对应 
 ，三个根是这三个点在横轴上的投影。对于一般情形圆心需要平移 
 ，刚好在三次函数 
 图像的拐点处。
方程有3个不同的实的单根，对应函数图像与横轴的3个交点（均斜穿过横轴）；函数图像有2个转折点(turning points)，对应一个局部最大和一个局部最小。
五、三次函数的图像
三次函数 
 转折点的数量取决于其导函数 
 的判别式 
 . 
或者通过水平方向的平移消掉二次项和竖直方向上的拉伸压缩（或者还需要沿横轴的反射）把首项系数变为1，可以得到 
 ， 
 ，判别式是 
 ，事实上，我们有 
 .
可以看出如果 
 那么函数图像一定有两个转折点（局部最大和局部最小）； 
 则会有一个不是转折点的临界点； 
 则没有临界点（没有水平切线）。
下面不妨记 
 为情形(1)，这种情形一定有 
 , 
e.g. 
 .
当 
 时，有一个实根和一对非实的共轭复根，对应函数图像与x轴的1个交点（斜穿过横轴）；根据转折点的数量又分为三种情形
情形(2)： 
2个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，
e.g. 
 ；
情形(3)： 
1个非转折点的临界点，函数在定义域 
 上单调，e.g. 
 ， 
 .
情形(4)： 
0个临界点，函数在定义域 
 上单调，e.g. 
 .
当 
 时，又对应两种情况：
情形(5)： 
1个二重实根和1个实单根，函数图像在二重根处与横轴相切不穿过，在单根处斜穿过，一定有两个转折点，对应一个局部最大和一个局部最小，e.g. 
 .
情形(6)： 
1个三重实根，函数图像在三重实根处与x轴相切穿过，没有转折点，函数在定义域 
 上单调，e.g. 
 .