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  • 一元方程的求根公式

    千次阅读 2019-03-10 15:12:52
    要得到一元方程的求根公式,就得先定义什么是一元方程,什么是求根公式。方程是指等式连接的两个子(相信大家都明白),一元方程是指方程中只含有一个未知数的方程。求根公式就是通过方程的系数进行有限次加减乘除...

    最近看了看方程的求解方法,感觉挺有意思的,加之最近新换了实习,又要写毕业论文,实在太忙,没时间写博客,就拿这个写一篇博客吧

    方程的求根公式

    要得到一元方程的求根公式,就得先定义什么是一元方程,什么是求根公式。方程是指等式连接的两个式子(相信大家都明白),一元方程是指方程中只含有一个未知数的方程。求根公式就是通过方程的系数进行有限次加减乘除开方运算得到的根的值的公式。重点是有限次加减乘除开方,这些运算都被定义为初等运算。

    韦恩公式

    韦恩公式指出,一元 n n n次方程有 n n n个根(有可能有重根,重根算多个),这是因为一元多次方程可以写成元和根相减相乘的形式:
    ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) ⋯ ( x − r n ) = 0 (x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)=0 (xr1)(xr2)(xrn)=0

    展开之后可以得到根的和和根的积与系数的关系。

    一元一次方程

    形如
    a x + b = 0 , a ≠ 0 ax+b=0,a \neq 0 ax+b=0,a̸=0
    的方程被称做一元一次方程,它的求根公式是
    x = − b a x=-\frac{b}{a} x=ab
    一元方程的意义是通过求解一元方程,人们知道了负数和分数。

    一元二次方程

    形如
    a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 ax^2+bx+c=0,a \neq 0 ax2+bx+c=0,a̸=0
    的方程被称做一元二次方程,求解它运用到的技巧就是配方法
    x 2 + b 2 a + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c a x^2+\frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a} x2+2ab+(2ab)2=(2ab)2ac

    ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c ( 2 a ) 2 (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{(2a)^2} (x+2ab)2=(2a)2b24ac

    x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2ab±b24ac

    二元方程的意义是通过求解一元方程,人们知道了无理数(发现二次方程求根公式时人们还不知道有虚数,因为可以通过根的判别式 Δ = b 2 − 4 a c \Delta=b^2-4ac Δ=b24ac是否大于0,来确定方程有没有实数根而避免得到复数根)。

    一元三次方程

    形如
    a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a ≠ 0 ax^3+bx^2+cx+d=0, a \neq 0 ax3+bx2+cx+d=0,a̸=0
    的方程被称做一元三次方程。一元一次二次方程求解都比较容易,三次方程求解很需要技巧了,首先我们可以通过变量代换来降低方程的复杂度,将 x = y − b 3 a x=y-\frac{b}{3a} x=y3ab来把方程的二次项消掉,然后把方程左右两边都除 a a a使得最高次项变为1,得到
    y 3 = p y + q y^3=py+q y3=py+q

    显然 p p p q q q都可以通过 a , b , c a,b,c a,b,c来表示。然后到最巧妙的地方了,因为我们知道立方展开公式:
    ( m + n ) 3 = m 3 + 3 m 2 n + 3 m b 3 + n 3 = 3 m n ( m + n ) + ( m 3 + n 3 ) (m+n)^3=m^3+3m^2n+3mb^3+n^3=3mn(m+n)+(m^3+n^3) (m+n)3=m3+3m2n+3mb3+n3=3mn(m+n)+(m3+n3)

    这样,设 y = m + n y=m+n y=m+n,那么
    p = 3 m n p=3mn p=3mn

    q = m 3 + n 3 q=m^3+n^3 q=m3+n3

    也就是说
    m 3 n 3 = q 3 27 m^3n^3=\frac{q^3}{27} m3n3=27q3

    m 3 + n 3 = q m^3+n^3=q m3+n3=q

    根据韦恩公式我们知道这就一元二次方程的两根之和以及两根之积的形式,通过一元二次方程的求根公式我们可以得到 m 3 m^3 m3 n 3 n^3 n3。但是韦恩公式也告诉我们,一元三次方程应该有3个根,这说明 x 3 = 1 x^3=1 x3=1不只有一个根1,那缺了啥根?立方差公式我们可以得
    x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) x31=(x1)(x2+x+1)

    这说明 x 2 + x + 1 x^2+x+1 x2+x+1还隐藏了两个非实数根,我们定义虚数 i = − 1 i=\sqrt{-1} i=1 ,然后通过二次方程的求根公式可以得到另外两个虚数根从而求方程的三个根。
    我们再理一下逻辑,首先通过变量代换将一般的三次方程变为没有没有二次项的三次方程,再通过立方展开公式将三次方程降次到二次方程从而可解,然后的到其中一个根(不妨设为 m 3 m^3 m3)开三次放得到三个值,然后通过 p = 3 m n p=3mn p=3mn得到对应的 n n n,然后 x = y − b 3 a = m + n − b 3 a x=y-\frac{b}{3a}=m+n-\frac{b}{3a} x=y3ab=m+n3ab得到原方程的根。

    一元四次方程

    形如
    a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ 0 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, a \neq 0 ax4+bx3+cx2+dx+e=0,a̸=0
    的方程被称做一元四次方程。和处理三次方程一样,我们可以通过变量替换法消掉立方项从而得到
    x 4 + p x 2 + q x + r = 0 x^4+px^2+qx+r=0 x4+px2+qx+r=0

    拉普拉斯给出了一个很巧妙的解法,首先,把上面的方程变为
    x 4 + p x 2 + q x + r = ( x 2 + m x + n ) ( x 2 + k x + l ) x^4+px^2+qx+r=(x^2+mx+n)(x^2+kx+l) x4+px2+qx+r=(x2+mx+n)(x2+kx+l)

    如果能找到这样的变换,二次方程我们又会解,那岂不是能得到原方程的解么。下面我们的问题就变成了求 m , n , k , l m,n,k,l m,n,k,l p , q , r p,q,r p,q,r的关系,根据对应次项的系数相等的关系可得:
    { m + k = 0 l + n + m k = p m l + k n = q l n = r \begin{cases} m+k=0 \\ l+n+mk=p \\ ml+kn=q \\ ln=r \end{cases} m+k=0l+n+mk=pml+kn=qln=r
    变换可得
    { m = − k n + l = p + k 2 n − l = q k l n = r \begin{cases} m=-k \\ n+l=p+k^2 \\ n-l=\frac{q}{k} \\ ln=r \end{cases} m=kn+l=p+k2nl=kqln=r
    把他们化成只含有 k k k的形式可得
    { m = − k n = 1 2 ( k 2 + p + q k ) l = 1 2 ( k 2 + p − q k ) ( k 2 + p + q k ) ( k 2 + p − q k ) = 4 r \begin{cases} m=-k \\ n=\frac{1}{2}(k^2+p+\frac{q}{k}) \\ l=\frac{1}{2}(k^2+p-\frac{q}{k}) \\ (k^2+p+\frac{q}{k})(k^2+p-\frac{q}{k}) =4r \end{cases} m=kn=21(k2+p+kq)l=21(k2+pkq)(k2+p+kq)(k2+pkq)=4r
    展开最后一个等式可得
    k 6 + 2 p k 4 + ( p 2 − 4 r ) k 2 − q 2 k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2 k6+2pk4+(p24r)k2q2
    这个对于 k 2 k^2 k2来说是个三次方程。我们已经知道三次方程的求根公式,继而可以得到 k k k,得到 k k k之后就可以得到 m , n , l m,n,l m,n,l,从而可以把四次方程变为两个二次方程的乘积,二次方程我们又可解,从而能得到四次方程的求根公式。

    一元五次及以上方程

    一元五次方程没有一般的求根公式,但为啥没有求根公式一直困扰着人们。直到群论的出现才使得解开了这个问题的真相。群论本科时候选数学二学位学过,研究生也选了近世代数,但是不幸的是。。。都忘光了。但是大概的意思我还记得,我就简要说一下我的理解。根据韦恩公式我们可以知道,系数其实就是根的和与积的一些组合,但是这些关系有个特点,就是有对称性,也就是说, x + y = a , x y = b x+y=a,xy=b x+y=a,xy=b,把 x , y x,y x,y的值交换并不影响等式的成立,也就是说无法通过系数直接求出每个根对应的值,如果想求出他们,就得破除这些对称性,例如得到 x − y = c x-y=c xy=c,这样才能得到对应的值,而五次方程及以没办法构造这种不对称性,所以没有一般的求根公式。

    求根公式的意义

    人们通过推导求根公式,不断扩充了数域,自然数(不算是数域,因为对于加减乘除不封闭)–>整数–>有理数域(一元一次方程)–>实数域(一元二次方程)–>复数域(一元三次方程),最后发展出了群论。感觉有空可以复习一下群论,这帮人真是太聪明了。

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  • 一元三次方程求解(求根) - 盛金公式法 一、引言 只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高次数为3(即“次”)的整式方程叫做一元三次方程(英文名:cubic equation in one unknown)。一元三次方程的...

                        一元三次方程求解(求根) - 盛金公式法

     

    一、引言

           只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高次数为3(即“次”)的整式方程叫做一元三次方程(英文名:cubic equation in one unknown)。一元三次方程的标准形式(即所有一元三次方程经整理都能得到的形式)是ax3+bx2+cx+d=0(abcd常数x为未知数,且a≠0)。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法。(--引自百度百科);

           由于卡尔丹公式法和多项式求解的方法不容易理解,不容易用程序实现,经过文献的查找了解到盛金公式求解一元三次方程,经验证求根正确可以引用。

     

    二、盛金公式简介

            80年代,中国中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索,发明了比卡尔丹公式更适用的新根公式 - 盛金公式,并建立了简明的、直观的、使用的新判别法 - 盛金判别法,同时提出了盛金定理;盛金定理清晰地回答了解一元三次方程的疑惑问题,并且很有趣味。

            盛金公式的特点是由最简重根判别式:A = b^2 - 3acB = bc - 9adC = c^2 - 3bd;和总判别式\Delta = B^2 - 4AC来构成,体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

     

    三、盛金公式表达式

    •     一元三次方程式为:

                                                               ax^3+bx^2+cx+d=0                                              (1)

    •     重根判别式为:

                                                              \left\{\begin{matrix} A = B^2 - 3ac \\ B = bc - 9ad \\ C = c^2 - 3bd \end{matrix}\right.                                                            (2)

    •     总判别式为:

                                                                \Delta = B^2 - 4AC                                                           (3)

    •     盛金判别法的结论为:

               1.  条件一: 当A = B = 0时,方程有一个三重实根

                                                x_1 = x_2 = x_3 = \frac{-b}{3a} = \frac{-c}{b} = \frac{-3d}{c}                                            (4)

     

               2.  条件二: 当\Delta = B^2 - 4AC > 0 时 ,方程有一个实根和一个共轭虚根

                                                \left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{-b - \sqrt[3]{Y_1} - \sqrt[3]{Y_2}}{3a} \\ x_{2,3} = \frac{ -2b + \sqrt[3]{Y_1} + \sqrt[3]{Y_2} \pm \sqrt{3}(\sqrt[3]{Y_1} - \sqrt[3]{Y_2})i }{6a} \end{matrix}\right.                                           (5)

                                    其中:

                                              Y_{1,2} = Ab + 3a\left ( \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC} }{2} \right ), i_2 = -1;

     

               3.  条件三:当\Delta = B^2 - 4AC = 0时,方程有三个实根,其中有一个两重根

                                                                    \left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{-b}{a} + K \\ x_2 = x_3 = -\frac{1}{2}K \end{matrix}\right.                                                      (6)

                                   其中:

                                              K = \frac{B}{A}, (A \neq 0);

     

               4.  条件四: 当\Delta = B^2 - 4AC < 0时,方程有三个不相等的实根

                                                                  \left\{\begin{matrix} x_1 = \frac{ -b - 2\sqrt{A}cos{\frac{\theta }{3}} }{3a} \\ x_{2,3} = \frac{ -b + \sqrt{A}\left ( cos{\frac{\theta}{3} \pm \sqrt{3}sin{\frac{\theta}{3}}} \right ) }{3a} \end{matrix}\right.                                        (7)

                                    其中:

                                             \theta = arccos{T}, T = \frac{2Ab - 3aB}{2\sqrt{A^3}} (A > 0, -1 < T < 1)

     

    四、盛金公式求解程序流程

     

                                                      

     

    五、java和matlab实例代码

     

    •  matlab代码

    function x = solve3Polynomial(a, b, c, d)
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    %
    %  funtion x = solve3Polynomial(a, b, c, d)
    %
    %> @brief 利用盛金公式求解三阶多项式的解.
    %>
    %> @details 输入三阶多项式系数,求解ax^3 + bx^2 + cx^1 + d = 0的根
    %>          参考文献:范盛金. 一元三次方程的新求根公式与新判别法[J]. 海南师范学院学报,1989,2(2):91-98.
    %>
    %> @param[out]   x      求解完成的三个根x1,x2,x3
    %> @param[in]    a      三次项系数
    %> @param[in]    b      二次项系数
    %> @param[in]    c      一次项系数
    %> @param[in]    d      零次项系数
    %
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    
    %% 重根判别式
        A = b*b - 3*a*c;   if abs(A) < 1e-14;    A = 0;  end
        B = b*c - 9*a*d;   if abs(B) < 1e-14;    B = 0;  end
        C = c*c - 3*b*d;   if abs(C) < 1e-14;    C = 0;  end  
        
    %% 总判别式
        DET = B*B - 4*A*C; if abs(DET) < 1e-14;  DET = 0;  end  
        
    %% 条件一
        if (A == 0) && (B == 0)
            x1 = -c/b;      x2 = x1 ;    x3 = x1;
        end
        
    %% 条件二
        if DET > 0
            Y1 = A*b + 1.5*a*(-B + sqrt(DET));
            Y2 = A*b + 1.5*a*(-B - sqrt(DET));
            y1 = nthroot(Y1,3);  y2 = nthroot(Y2,3);
            x1 = (-b-y1-y2)/(3*a);
            vec1 = (-b + 0.5*(y1 + y2))/(3*a);  
            vec2 = 0.5*sqrt(3)*(y1 - y2)/(3*a);
            x2 = complex(vec1, vec2);
            x3 = complex(vec1, -vec2);
            clear Y1 Y2 y1 y2 vec1 vec2;
        end
    %% 条件三
        if DET == 0 && (A ~= 0) && (B ~= 0)
            K = (b*c-9*a*d)/(b*b - 3*a*c); K = round(K,14);
            x1 = -b/a + K;   x2 = -0.5*K;   x3 = x2;
        end
        
    %% 条件四
        if DET < 0
            sqA = sqrt(A);
            T = (A*b - 1.5*a*B)/(A*sqA);
            theta = acos(T);
            csth  = cos(theta/3);
            sn3th = sqrt(3)*sin(theta/3);
            x1 = (-b - 2*sqA*csth)/(3*a);
            x2 = (-b + sqA*(csth + sn3th))/(3*a);
            x3 = (-b + sqA*(csth - sn3th))/(3*a);
            clear sqA T theta csth sn3th;
        end
        x = [x1;  x2;  x3];
    end

     

    • java代码 

     public double solve3Polynomial(double a, double b, double c, double d)
        {
        	double x1 = 0.0, x2 = 0.0, x3 = 0.0;
        	double A = 0.0, B = 0.0 , C =0.0 , DET = 0.0;
        	
        	// 1. 计算重根判别式
        	A = b*b - 3*a*c;
        	if(Math.abs(A) < 1e-14)
        	{
        		A = 0.0;
        	}
        	
        	B = b*c - 9*a*d;
        	if(Math.abs(B) < 1e-14)
        	{
        		B = 0.0;
        	}
        	
        	C = c*c - 3*b*d;
        	if(Math.abs(C) < 1e-14)
        	{
        		C = 0.0;
        	}
    
        	// 2. 计算总判别式
        	DET = B*B - 4*A*C;
        	if(Math.abs(DET) < 1e-14)
        	{
        		DET = 0;
        	}
        	
        	// 3. 条件一,计算根
        	if((A == 0) && (B == 0))
        	{
        		x1 = (-1*c)/b;
        		x2 = x1;
        		x3 = x1;
        		//Log.i("roots", "条件一:" + x1 );
        	}
        	
        	// 4. 条件二,计算根
        	if(DET > 0)
        	{
        		double Y1 = A*b + 1.5*a*(-1*B + Math.sqrt(DET));
        		double Y2 = A*b + 1.5*a*(-1*B - Math.sqrt(DET));
        		//Log.i("SQSddd", "Y1: " + Y1 + " Y2: " + Y2);
        		double y1 = getCubeRoot(Y1);
        		double y2 = getCubeRoot(Y2);
        		x1 = (-1.0*b-(y1+y2))/(3.0*a);				// 一个实根
        		double vec1 = (-1*b + 0.5*(y1 + y2))/(3*a);
        		double vec2 = 0.5*Math.sqrt(y1 - y2)/(3*a);
    //    		x2 = Math.									
        		double x3_real = 0.0, x2_real = 0.0;		// 实部
        		x2_real = (-b + getCubeRoot(Y1)) / (3 * a);
        		x3_real = x2_real;
                double x2_virtual = 0.0, x3_virtual = 0.0;  // 虚部
                x2_virtual = ((Math.sqrt(3) / 2) * (y1 - y2 )) / (3 * a);
                x3_virtual = -x2_virtual;
                //Log.i("roots", "条件二:" + x1 );
        	}
        	
        	// 5. 条件三,计算根
        	if(DET == 0 && A != 0 && B != 0)
        	{
        		double K = (b*c - 9*a*d)/(b*b -3*a*c);
        		K = Math.round(K);
        		x1 = (-1.0*b)/a + K;
        		x2 = -1*0.5*K;
        		x3 = x2;
        		//Log.i("roots", "条件三:" + x1 );
        	}
        	
        	// 6.条件四,计算根
        	if(DET < 0)
        	{
        		double sqA = Math.sqrt(A);
        		double T = (A*b - 1.5*a*B)/(A*sqA);
        		double theta = Math.acos(T);
        		double csth = Math.cos(theta/3);
        		double sn3th = Math.sqrt(3)*Math.sin(theta/3);
        		x1 = (-1*b - 2*sqA*csth)/(3*a);
        		x2 = (-1*b + sqA*(csth + sn3th))/(3*a);
        		x3 = (-1*b + sqA*(csth - sn3th))/(3*a);
        		//Log.i("SQSd", "条件四:" + x1 );
        	}
        	
        	// 7. 返回计算结果
        	return x1;
        }
        
        public double getCubeRoot(double value) {
            if (value < 0) {
                return -Math.pow(-value, 1.0/3.0);
            } else if (value == 0) {
                return 0;
            } else {
                return Math.pow(value, 1.0/3.0);
            }
            
        }

     

     

     

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  • 公式法与判别式[汇编].pdf
  • 一元二次方程求根公式小结

    千次阅读 2020-10-03 10:54:15
    一元二次方程的解 小结 一、一元二次方程的解 含义及特点 ...二、一元二次方程求根公式小结 叮嘟!这里是小啊呜的学习课程资料整理。好记性不如烂笔头,今天也是努力进步的一天。一起加油进阶吧!


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    一、一元二次方程的解 含义及特点

    (1)一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一般情况下,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)

    (2)由代数基本定理,一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算),根的情况由判别式决定 。
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    判别式

    利用一元二次方程根的判别式( )可以判断方程的根的情况 [5] 。
    一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系:

    ①当 判别式 > 0时,方程有两个不相等的实数根

    ②当 判别式 = 0 时,方程有两个相等的实数根

    ③当 判别式 < 0时,方程无实数根,但有2个共轭复根

    上述结论反过来也成立。

    韦达定理

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    二、一元二次方程求根公式小结

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    Ending!
    更多课程知识学习记录随后再来吧!

    就酱,嘎啦!
    

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    注:
    1、人生在勤,不索何获。
    2、一元二次方程详细参见百度百科:

    https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/7231190?fr=aladdin
    
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  • 一元三次方程求根公式

    千次阅读 2020-03-15 21:56:44
    标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a,b,c,d∈R,且a≠0),其解法有:1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法;2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。 两种公式法都可以解标准型的一元三次...

           标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a,b,c,d∈R,且a≠0),其解法有:1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法;2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。

           两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。用卡尔丹公式解题方便,相比之下,盛金公式虽然形式简单,但是整体较为冗长,不方便记忆,但是实际解题更为直观。

     

    一、卡丹公式法的特殊情况

    一元三次方程都可化为x³+px+q=0。它的解是:

    其中 。根与系数的关系为

    判别式为 。当 时,有一个实根和两个复根;  时,有三个实根,当 时,有一个三重零根, 时,三个实根中有两个相等; 时,有三个不等实根。三个根的三角函数表达式(仅当 时)为

    其中

     

    二、卡丹公式法的一般情况

    一般的一元三次方程可写成 的形式。上式除以 ,并设 ,则可化为如下形式:

    ,其中

    可用特殊情况的公式解出 ,则原方程的三个根为

    三个根与系数的关系为

     

    三、通用求根公式

    当一元三次方程 的系数是复数时,直接使用卡丹公式求解,有时会出现问题。此时,可使用下面的公式:

     

     

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空空如也

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判别式求根公式