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  • 【统计】回归系数与相关系数的联系与区别

    万次阅读 多人点赞 2020-03-29 16:27:15
    目录一、基础知识二、回归系数与相关系数1.定义2.二者的联系3.二者的区别 假设有两个随机变量(x,y)(x,y)(x,y),其NNN个样本组合为(x1,x2,…,xN)(x_1,x_2,\dots,x_N)(x1​,x2​,…,xN​)(y1,y2,…,yN)(y_1,y_...

    假设有两个随机变量 ( x , y ) (x,y) (x,y),其 N N N个样本组合为 ( x 1 , x 2 , … , x N ) (x_1,x_2,\dots,x_N) x1,x2,,xN ( y 1 , y 2 , … , y N ) (y_1,y_2,\dots,y_N) (y1,y2,,yN)

    一、基础知识

    单个变量 x x x的特征值为:
    标准差(standard deviation): σ x = ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) 2 N \sigma_x=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(x_{i}-\bar{x})^2}{N}} σx=Ni=1N(xixˉ)2
    方差(variance):标准差的平方,即 σ x 2 \sigma_x^2 σx2

    变量 X X X Y Y Y的特征值为:协方差(covariance): σ x y = ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) N \sigma_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^N(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{N} σxy=Ni=1N(xixˉ)(yiyˉ)

    二、回归系数与相关系数

    假设存在回归方程: y = a x + ε y y=ax+\varepsilon_y y=ax+εy,其中 ε y \varepsilon_y εy表示误差项。

    1.定义

    回归系数(regression coefficient): 度量一个变量对另一个变量的线性影响大小。如,用 y y y x x x进行线性回归,得到的 x x x的系数即为回归系数,记为 r y x r_{yx} ryx。在上式中,我们可知, r y x = a r_{yx}=a ryx=a

    相关系数(correction coefficient): 也称作Pearson相关系数,用来度量两个变量之间的相关性(或联系的紧密程度)。该系数取值为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [1,1],如果越靠近正负1,表明两个变量之间的线性关系越明显;越接近0,表明两个变量之间几乎没有线性关系。当其为0时,说明两个变量之间不存在线性关系。

    2.二者的联系

    回归系数 r r r: 令 r y x r_{yx} ryx表示用 y y y x x x作线性回归后得到的 x x x的回归系数,其计算方法为:
    r y x = ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) 2 = ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) N ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) 2 N = σ x y σ x 2 . ( 1 ) \begin{aligned} r_{yx}&=\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2}\\ &=\frac{\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{N}}{\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2}{N}}\\ &=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}. \end{aligned}(1) ryx=i=1N(xixˉ)2i=1N(xixˉ)(yiyˉ)=Ni=1N(xixˉ)2Ni=1N(xixˉ)(yiyˉ)=σx2σxy.(1)
    相关系数 ρ \rho ρ

    变量 y y y x x x的相关系数的计算方法为:
    ρ y x = ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) 2 ∑ i = 1 N ( y i − y ˉ ) 2 = ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) N ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) 2 N ∑ i = 1 N ( y i − y ˉ ) 2 N = σ x y σ x σ y . ( 2 ) \begin{aligned} \rho_{yx}&=\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^N(y_i-\bar{y})^2}}\\ &=\frac{\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{N}}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2}{N}}\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(y_i-\bar{y})^2}{N}}}\\ &=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}. \end{aligned}(2) ρyx=i=1N(xixˉ)2 i=1N(yiyˉ)2 i=1N(xixˉ)(yiyˉ)=Ni=1N(xixˉ)2 Ni=1N(yiyˉ)2 Ni=1N(xixˉ)(yiyˉ)=σxσyσxy.(2)
    所以,由上面两个式子联立可得:
    r y x = ρ y x ⋅ σ y σ x . r_{yx}=\rho_{yx}\cdot\frac{\sigma_y}{\sigma_x}. ryx=ρyxσxσy.
    类似地,拓展到多元线性回归的情况下,假设偏方差 σ y ⋅ z 2 \sigma_{y\cdot z}^2 σyz2表示固定 z z z的前提下 y y y的方差,则有偏回归系数 r y x ⋅ z r_{yx \cdot z} ryxz和偏相关系数 ρ y x ⋅ z \rho_{yx \cdot z} ρyxz之间的关系为:
    r y x ⋅ z = ρ y x ⋅ z ⋅ σ y ⋅ z σ x ⋅ z . r_{yx\cdot z}=\rho_{yx \cdot z}\cdot \frac{\sigma_{y\cdot z}}{\sigma_{x\cdot z}}. ryxz=ρyxzσxzσyz.

    3.二者的区别

    (1)意义上:回归系数是描述自变量如何在数值上与因变量的相关性,即 r y x r_{yx} ryx表示 x x x每增(减)1个单位, y y y平均改变 a a a个单位;而相关系数是一种统计度量方法,用于度量变量之间的相关关系的密切程度。

    (2)用途上:回归系数是为了拟合最佳模型,在已知另一个自变量的基础上预测对应的因变量;而相关系数是用来衡量变量之间的线性相关关系。

    (3)对称性:用 x x x y y y进行线性回归得到的回归系数 r x y r_{xy} rxy不等于用 y y y x x x进行线性回归得到的回归系数 r y x r_{yx} ryx;而 x x x y y y的相关系数 ρ x y \rho_{xy} ρxy等于 y y y x x x的相关系数 ρ y x \rho_{yx} ρyx

    (4)变量含义:回归系数 r y x r_{yx} ryx蕴含了自变量 x x x的单位变化对因变量 y y y的影响;相关系数 ρ y x \rho_{yx} ρyx表示自变量 x x x和因变量 y y y一起变化的程度。

    (5)取值范围:回归系数的取值范围为 [ − ∞ , ∞ ] [-\infty,\infty] [,],相关系数的取值范围为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [1,1]

    参考资料:

    1. 线性回归,维基百科.
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  • 判定系数:用于估计回归方程是否很好的拟合了样本的数据,判定系数为估计的回归方程提供了一个拟合优度的度量 1 误差平方---SSE 对于样本中的第i次的观测值,应变量的观测值应变量的预测值之间的离差为第i个...

    判定系数:用于估计回归方程是否很好的拟合了样本的数据,判定系数为估计的回归方程提供了一个拟合优度的度量

    1  误差平方和---SSE

    对于样本中的第i次的观测值,应变量的观测值y_{i}和应变量的预测值\hat{y}_{i}之间的离差为第i个残差,第i个残差表示用\hat{y}_{i}去估计y_{i}的误差,

    于是,对于第i次观测值,它的残差是y_{i} - \hat{y}_{i}这些残差或误差的平方和是一个用最小二乘来极小化的量。这个量就是误差平方和,记作SSE

    简单总结为:实际观测值与回归方程预测值之差的平方再求和

                                                                              公式:SSE = \sum (y_{i} - \hat{y}_{i})^{2}

    2  总平方和---SST

    简单总结为:样本的观测值与样本均值之差的平方再求和

    我们依然使用上一篇中披萨饼的数据例子,求得的回归方程为:\hat{y}_{i} = 60 + 5x,样本均值为 y(mean) = 130,我们把SST看作是观测值在直线y(mean) = 130周围聚集程度的度量,而把SSE看作是观测值在回归线\hat{y}_{i} = 60 + 5x周围的聚集程度的度量

                                                                            公式:SST = \sum (y_{i} - \bar{y})^{2}

    3 回归平方和---SSR

    我们依然使用上一篇中披萨饼的数据例子,求得的回归方程为:\hat{y}_{i} = 60 + 5x,样本均值为 y(mean) = 130,回归平方和用来度量:在估计的回归线上的\hat{y}_{i} 值与直线y(mean)的偏离的大小

    简单总结为:回归方程的预测值与样本均值之差的平方再求和

                                                                            公式:SSR = \sum (\hat{y} - \bar{y})^{2}                                                                        

    4  统计学中的一个重要结论:

                                                                           公式:SST = SSR + SSE

    即:总平方和  = 回归平方和  + 误差平方和

    对于这个结论的一点理解:

    如果应变量每一个值y_{i}都刚好落在估计的回归线上,那么估计的回归方程将给出一个完全的拟合,在这种情况下,对于每一个观测值,y_{i}-\hat{y}_{i}的值将等于0,即SSE=0,因为SST = SSR + SSE,我们可以看到对于一个完全的拟合,SST必然等于SSR,并且SSR/SST必然等于1。这种情况是理想情况下最好的拟合,因为SSE=0,但实际中一般不会存在这种情况。

    比较差的拟合,将导致SSE的值计较大,我们把公式变换下SSE = SST - SSR,因此当SSR=0时,SSE=SST,此时SSE的值最大,即最差的拟合

    5 判定系数

    回归平方和与总平方和的比值,这个值的取值范围在区间[0, 1]之间,SSR/SST这个值用来对估计的回归方程的拟合优度作出评估,这个比值被称为判定系数,记作r^{2}

                                                                        公式:r^{2} = SSR / SST

    判定系数的意义:如果我们用一个百分数表示判定系数,我们能把r^{2}理解为总平方和中能被估计的回归方程解释的百分比。

    例子:对于上一篇中比萨饼连锁店的例子,判定系数的值为:

                                                  r^{2}   =  SSR / SST = 14200 / 157300 = 0.9027

    在用估计的回归方程去预测季度销售收入时,我们能判定,总平方和中的90.27%能被估计的回归方程\hat{y}_{i} = 60 + 5x所解释,换句话说,季度销售收入变异性的90.27%能被学生人数和销售收入之间的线性关系所解释。

    6  相关系数

    前几篇中说过皮尔逊积相关系数,这里相关系数的另一种求法

                                                                      公式:r_{xy} = \sqrt{r^{2}}  * (b_{1}的符号)

    式中:b_{1}为估计的回归方程\hat{y} = b_{0} + b_{1}x的斜率

    r_{xy}的值,在区间[-1, 1]之间,越接近于0,x与y之间相关性越小,大于0时,表示x与y存在正相关性,小于0时,表示x与y存在负相关性。

    7 下面是披萨饼店例子中各评估数据的求取的实现,具体数据请看上一篇传送门,使用python3.6实现

        def predicate_work(self):       # 求取模型的各评估值
    
            pre_x_data = self.test_data_work(self.x_data)
            # [70.0, 90.0, 100.0, 100.0, 120.0, 140.0, 160.0, 160.0, 170.0, 190.0]
            # 这里不同于机器学习中的监督学习算法,这里是把源数据带入回归方程,得到的样本预测值
            y_mean = np.mean(self.y_data)
    
            # 计算SSE
            tem1 = np.array(self.y_data)- np.array(pre_x_data)
            tem1 = np.square(tem1)  # 求各元素平方
            sse = np.sum(tem1)      # sse= 1530.0
    
            # 计算SST
            tem2 = self.y_data - y_mean
            tem2 = np.square(tem2)
            sst = np.sum(tem2)      # sst= 15730.0
    
            # 计算SSR
            tem3 = pre_x_data - y_mean
            tem3 = np.square(tem3)
            ssr = np.sum(tem3)      # ssr= 14200.0
    
            # 证明SST = SSR + SSE
            tem4 = ssr + sse
            if sst == tem4:
                print('the SST = SSR + SSE is true')
    
            # 计算判定系数
            rr = ssr / sst     # rr= 0.9027336300063573
    
            # 计算相关系数
            tem5 = self.b1 * (1 / np.abs(self.b1))  # 取b1的正号或负号
            tem6 = np.sqrt(rr)
            r_xy = tem5 * tem6   # r_xy= 0.9501229552044079
    
            dict = {'SSE' : sse, 'SST' : 'sst', 'SSR' : 'ssr', 'pdxs' : rr, 'xgxs' : r_xy}
    
            return dict

      请在上一篇代码中,类SimpleRegress中加入上述方法,可运行得到结果

             

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  • 线性关系和相关系数

    千次阅读 2019-06-25 02:45:37
    线性关系 定义 两个变量之间存在一次函数关系,就称它们之间存在线性关系。 即如果可以用一个二元一次方程来表达两个变量之间关系的话,这两个变量之间的关系称为线性关系,因而,二元一次方程也称为线性方程...

    线性关系

    定义

    两个变量之间存在一次函数关系,就称它们之间存在线性关系。 即如果可以用一个二元一次方程来表达两个变量之间关系的话,这两个变量之间的关系称为线性关系,因而,二元一次方程也称为线性方程。 推而广之,含有n个变量的一次方程,也称为n元线性方程,不过这已经与直线没有什么关系了。

    扩展定义

    • 首先每一项(常数项除外)的次数必须是一次的(这是最重要的)。
      如果每项的次数不是一次就不是线性关系:x=y * z(这里假定y、z是变量而不是常数),那么x与y,或x与z就不是线性关系。
    • 线性关系的显著特征是图像为过原点的直线;而当图像为不过原点的直线时,函数称为直线关系。
      线性关系与直线关系是两不同的,经常被大家搞混淆。

    百科:线性关系

    相关系数

    相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标,但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。

    相关关系是一种非确定性的关系,相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同,相关系数有如下几种定义方式。

    • 如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数;
    • 将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数;
    • 将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

    百科:相关系数

    转载于:https://www.cnblogs.com/rainman/archive/2011/11/18/2254340.html

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  • 相关系数R-判定系数R方的matlab实现

    千次阅读 2019-12-25 11:55:16
    相关系数-判定系数 相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,是研究变量之间线性相关程度的量,一般用字母 r 表示。由于研究对象的不同,相关系数有多种定义方式,较为常用的是皮尔逊相关系数。 相关...

    相关系数-判定系数

    相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,是研究变量之间线性相关程度的量,一般用字母 r
    表示。由于研究对象的不同,相关系数有多种定义方式,较为常用的是皮尔逊相关系数。
    相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向,但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算,同样以两变量与各自平均值的离差为基础,通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度;着重研究线性的单相关系数。
    需要说明的是,皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数,但是最常见的相关系数,以下解释都是针对皮尔逊相关系数。
    依据相关现象之间的不同特征,其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数(相关系数的平方称为判定系数);将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数;将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

    matlab编程实现

    这里用的是三个实际风速和三个模拟风速,平均值分别为8m/s,12m/s,18m/s。通过技术相关系数,获得模拟风速与实际风速的符合程度。

    首先读取excel表中的数据:

    clc
    clear
    DATA = xlsread('T81218');
    y8 = DATA(:,2);
    s8 = DATA(:,4);
    y12 = DATA(:,6);
    s12 = DATA(:,8);
    y18 = DATA(:,10);
    s18 = DATA(:,12);
    

    这里标号y代表实际值,s代表模拟值。
    采用corrcoef函数,计算y和s的相关系数,得到的结果是一个2*2矩阵,其中对角线上的元素分别表示y和s的自相关(通常为1),非对角线上的元素分别表示y与s的相关系数和s与y的相关系数(这是我们想要的)。

    R8 = corrcoef(y8,s8);
    

    结果比较坑爹R8为

    NaNNaN
    NaN1

    查找原因,发现源数据出现了问题,y8的有效值只有12001个,而s8有30002个。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    源数据的总时间长度是一样的,那就是采样时间间隔不一样,打开源数据表,果然,一个是0.05s,一个是0.02s。这种情况有两种解决方案:(1)重新计算,更新源数据,使数据间隔一致;(2)对数据进一步处理,比如先求0.1s的平均值,让数据统一维度。
    这里就重新计算一遍吧。
    在这里插入图片描述
    注意:计算R2时候,我们需要的结果是矩阵里每个元素的平方,特别留意公式中的下标.点
    数据修正后的计算结果如下:

    R8R82R12R122R18R182
    0.82520.68640.95230.90690.90080.8114

    相关系数大小对两列数据相关度的判断,目前没有统一定论,可以结合自己的专业情况制定标准,下表采用判定系数,仅供参考。

    判定系数R2相关度
    0~0.1弱相关
    0.1~0.6一般相关
    0.6~1强相关
    展开全文
  • 第七章.线性相关系数的计算

    千次阅读 2019-11-23 15:32:42
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  • 9.回归中的相关决定系数

    千次阅读 2018-11-02 21:21:23
    起步 ...皮尔逊相关系数( Pearson correlation coefficient),是用于度量两个变量 X Y 之间的相关(线性相关),其值介于 -1 与 1 之间。 在说皮尔逊相关系数之前,要先理解协方差( Covarian...
  • 多元线性回归分析理论详解及SPSS结果分析

    万次阅读 多人点赞 2017-05-17 16:23:23
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  • 相关系数与决定系数

    千次阅读 2020-03-05 14:11:33
    皮尔逊相关系数 也称为简单相关系数,用于研究变量之间 线性相关的程度。相关系数可以用简写 cccccc 表示,不过通常还是会用 rrr 来表示。 NOTE:皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数,但是最常见...
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  • 皮尔逊Person相关系数

    千次阅读 2020-12-11 16:54:10
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  • 拟合程度的评估--判定系数

    千次阅读 2017-08-17 00:31:00
    d、在一元线性回归模型中,判定系数是单相关系数 r 的平方 转载于:https://my.oschina.net/u/1785519/blog/1511505
  • 用方差比广义方差比作为判定数据对Minimax线性估计影响的标准,建立了剔除一组数据时的方差比与相关系数的关系,找到了剔除多组数据时的广义方差比与Hotelling广义相关系数的联系,并讨论了剔除一组数据与剔除二组...
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  • 相关系数与相关指数区别

    千次阅读 2020-06-26 16:27:30
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  • 相关系数与决定系数的关系

    万次阅读 2016-10-20 21:58:42
    相关系数是用来描述两个变量之间的线性关系的,但决定系数的适用范围更广,可以用于描述非线性或者有两个及两个以上自变量的相关关系。 决定系数的意义是变量A可以解释变量B方差的多少。 因此,相关系数的意义...
  • (statistic)三种线性相关系数

    千次阅读 2014-04-29 22:54:33
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  • 线性回归:衡量两个变量之间线性关系的一种建模技术一元线性模型:y = α + βx + ε, 其中ε 是均值为0,方差为固定常数,满足正态分布,与自变量x相互独立的白噪音。β:回归系数,即斜率;α:截距回归系数的...

空空如也

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判定系数和线性相关系数