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  • 2021-09-04 15:45:02

    判断题中t是true的缩写形式,意思为正确的;f是false的缩写形式,意思为错误的。

    true的意思是:adj.符合事实的;确实的;如实的;实质的,真正的(而非表面上的);名副其实的;真正的。adv.笔直地;不偏不斜地;直言相告;实话实说。n.真实;准确。

    false的意思是:adj.错误的;不正确的;不真实的;非天生的;人造的;假的;伪.造的。adv.欺.诈地;叛.卖.地。

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  • 1,T检验和F检验的由来 一般而言,为了确定从样本(sample)统计结果推论至总体时所犯错的概率,我们会利用统计学家所开发的一些统计方法,进行统计检定。 通过把所得到的统计检定值,与统计学家建立了一些随机变量...

    转自:https://www.cnblogs.com/nxld/p/6185433.html

    1,T检验和F检验的由来

    一般而言,为了确定从样本(sample)统计结果推论至总体时所犯错的概率,我们会利用统计学家所开发的一些统计方法,进行统计检定。

    通过把所得到的统计检定值,与统计学家建立了一些随机变量的概率分布(probability distribution)进行比较,我们可以知道在多少%的机会下会得到目前的结果。倘若经比较后发现,出现这结果的机率很少,亦即是说,是在机会很少、很罕有的情况下才出现;那我们便可以有信心的说,这不是巧合,是具有统计学上的意义的(用统计学的话讲,就是能够拒绝虚无假设null hypothesis,Ho)。相反,若比较后发现,出现的机率很高,并不罕见;那我们便不能很有信心的直指这不是巧合,也许是巧合,也许不是,但我们没能确定。

    F值和t值就是这些统计检定值,与它们相对应的概率分布,就是F分布和t分布。统计显著性(sig)就是出现目前样本这结果的机率。

     

    2,统计学意义(P值或sig值)

    结果的统计学意义是结果真实程度(能够代表总体)的一种估计方法。专业上,p值为结果可信程度的一个递减指标,p值越大,我们越不能认为样本中变量的关联是总体中各变量关联的可靠指标。p值是将观察结果认为有效即具有总体代表性的犯错概率。如p=0.05提示样本中变量关联有5%的可能是由于偶然性造成的。即假设总体中任意变量间均无关联,我们重复类似实验,会发现约20个实验中有一个实验,我们所研究的变量关联将等于或强于我们的实验结果。(这并不是说如果变量间存在关联,我们可得到5%或95%次数的相同结果,当总体中的变量存在关联,重复研究和发现关联的可能性与设计的统计学效力有关。)在许多研究领域,0.05的p值通常被认为是可接受错误的边界水平。 

     

    3,T检验和F检验

    至于具体要检定的内容,须看你是在做哪一个统计程序。

    举一个例子,比如,你要检验两独立样本均数差异是否能推论至总体,而行的t检验。

    两样本(如某班男生和女生)某变量(如身高)的均数并不相同,但这差别是否能推论至总体,代表总体的情况也是存在著差异呢?

    会不会总体中男女生根本没有差别,只不过是你那么巧抽到这2样本的数值不同?

    为此,我们进行t检定,算出一个t检定值。

    与统计学家建立的以「总体中没差别」作基础的随机变量t分布进行比较,看看在多少%的机会(亦即显著性sig值)下会得到目前的结果。

    若显著性sig值很少,比如<0.05(少於5%机率),亦即是说,「如果」总体「真的」没有差别,那麼就只有在机会很少(5%)、很罕有的情况下,才会出现目前这样本的情况。虽然还是有5%机会出错(1-0.05=5%),但我们还是可以「比较有信心」的说:目前样本中这情况(男女生出现差异的情况)不是巧合,是具统计学意义的,「总体中男女生不存差异」的虚无假设应予拒绝,简言之,总体应该存在著差异。

    每一种统计方法的检定的内容都不相同,同样是t-检定,可能是上述的检定总体中是否存在差异,也同能是检定总体中的单一值是否等于0或者等于某一个数值。

     

    至于F-检定,方差分析(或译变异数分析,Analysis of Variance),它的原理大致也是上面说的,但它是透过检视变量的方差而进行的。它主要用于:均数差别的显著性检验、分离各有关因素并估计其对总变异的作用、分析因素间的交互作用、方差齐性(Equality of Variances)检验等情况

    4,T检验和F检验的关系

    t检验过程,是对两样本均数(mean)差别的显著性进行检验。惟t检验须知道两个总体的方差(Variances)是否相等;t检验值的计算会因方差是否相等而有所不同。也就是说,t检验须视乎方差齐性(Equality of Variances)结果。所以,SPSS在进行t-test for Equality of Means的同时,也要做Levene’s Test for Equality of Variances 。

    1.在Levene’s Test for Equality of Variances一栏中 F值为2.36, Sig.为.128,表示方差齐性检验「没有显著差异」,即两方差齐(Equal Variances),故下面t检验的结果表中要看第一排的数据,亦即方差齐的情况下的t检验的结果。

    2.在t-test for Equality of Means中,第一排(Variances=Equal)的情况:t=8.892, df=84, 2-Tail Sig=.000, Mean Difference=22.99

    既然Sig=.000,亦即,两样本均数差别有显著性意义!

    3.到底看哪个Levene’s Test for Equality of Variances一栏中sig,还是看t-test for Equality of Means中那个Sig. (2-tailed)啊?

    答案是:两个都要看。

    先看Levene’s Test for Equality of Variances,如果方差齐性检验「没有显著差异」,即两方差齐(Equal Variances),故接著的t检验的结果表中要看第一排的数据,亦即方差齐的情况下的t检验的结果。

    反之,如果方差齐性检验「有显著差异」,即两方差不齐(Unequal Variances),故接著的t检验的结果表中要看第二排的数据,亦即方差不齐的情况下的t检验的结果。

     

    4.你做的是T检验,为什么会有F值呢?

    就是因为要评估两个总体的方差(Variances)是否相等,要做Levene’s Test for Equality of Variances,要检验方差,故所以就有F值

    T检验和F检验的关系另一种解释:

    t检验有单样本t检验,配对t检验和两样本t检验

    单样本t检验:是用样本均数代表的未知总体均数和已知总体均数进行比较,来观察此组样本与总体的差异性。

    配对t检验:是采用配对设计方法观察以下几种情形,1,两个同质受试对象分别接受两种不同的处理;2,同一受试对象接受两种不同的处理;3,同一受试对象处理前后

    F检验又叫方差齐性检验。在两样本t检验中要用到F检验。

     

    从两研究总体中随机抽取样本,要对这两个样本进行比较的时候,首先要判断两总体方差是否相同,即方差齐性。若两总体方差相等,则直接用t检验,若不等,可采用t’检验或变量变换或秩和检验等方法。

    其中要判断两总体方差是否相等,就可以用F检验。

    若是单组设计,必须给出一个标准值或总体均值,同时,提供一组定量的观测结果,应用t检验的前提条件就是该组资料必须服从正态分布;若是配对设计,每对数据的差值必须服从正态分布;若是成组设计,个体之间相互独立,两组资料均取自正态分布的总体,并满足方差齐性。之所以需要这些前提条件,是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布,而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。

    简单来说就是实用T检验是有条件的,其中之一就是要符合方差齐次性,这点需要F检验来验证。 

    1、问:自由度是什么?怎样确定?

    答:(定义)构成样本统计量的独立的样本观测值的数目或自由变动的样本观测值的数目。用df表示。

    自由度的设定是出于这样一个理由:在总体平均数未知时,用样本平均数去计算离差(常用小s)会受到一个限制——要计算标准差(小s)就必须先知道样本平均数,而样本平均数和n都知道的情况下,数据的总和就是一个常数了。所以,“最后一个”样本数据就不可以变了,因为它要是变,总和就变了,而这是不允许的。至于有的自由度是n-2什么的,都是同样道理。

        在计算作为估计量的统计量时,引进一个统计量就会失去一个自由度。

        通俗点说,一个班上有50个人,我们知道他们语文成绩平均分为80,现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。你可以随便报出49个人的成绩,但是最后一个人的你不能瞎说,因为平均分已经固定下来了,自由度少一个了。

        简单点就好比你有一百块,这是固定的,已知的,假设你打算买五件东西,那么前四件你可以随便买你想买的东西,只要还有钱的话,比如说你可以吃KFC可以买笔,可以买衣服,这些花去的钱数目不等,当你只剩2块钱时,或许你最多只能买一瓶可乐了,当然也可以买一个肉松蛋卷,但无论怎么花,你都只有两块钱,而这在你花去98块那时就已经定下来了。 (这个例子举的真不错!!)

     

    2、问:X方检验中自由度问题

    答:在正态分布检验中,这里的M(三个统计量)为N(总数)、平均数和标准差。

        因为我们在做正态检验时,要使用到平均数和标准差以确定该正态分布形态,此外,要计算出各个区间的理论次数,我们还需要使用到N。

        所以在正态分布检验中,自由度为K-3。(这一条比较特别,要记住!)

        在总体分布的配合度检验中,自由度为K-1。

        在交叉表的独立性检验和同质性检验中,自由度为(r-1)×(c-1)。

     

    3、问:t检验和方差分析有何区别

    答:t检验适用于两个变量均数间的差异检验,多于两个变量间的均数比较要用方差分析。

            用于比较均值的t检验可以分成三类,第一类是针对单组设计定量资料的;第二类是针对配对设计定量资料的;第三类则是针对成组设计定量资料的。后两种设计类型的区别在于事先是否将两组研究对象按照某一个或几个方面的特征相似配成对子。无论哪种类型的t检验,都必须在满足特定的前提条件下应用才是合理的。

    若是单组设计,必须给出一个标准值或总体均值,同时,提供一组定量的观测结果,应用t检验的前提条件就是该组资料必须服从正态分布;

    若是配对设计,每对数据的差值必须服从正态分布;若是成组设计,个体之间相互独立,两组资料均取自正态分布的总体,并满足方差齐性。之所以需要这些前提条件,是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布,而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。

    值得注意的是,方差分析与成组设计t检验的前提条件是相同的,即正态性和方差齐性

    t检验是目前医学研究中使用频率最高,医学论文中最常见到的处理定量资料的假设检验方法。t检验得到如此广泛的应用,究其原因,不外乎以下几点:现有的医学期刊多在统计学方面作出了要求,研究结论需要统计学支持;传统的医学统计教学都把t检验作为假设检验的入门方法进行介绍,使之成为广大医学研究人员最熟悉的方法;t检验方法简单,其结果便于解释。简单、熟悉加上外界的要求,促成了t检验的流行。但是,由于某些人对该方法理解得不全面,导致在应用过程中出现不少问题,有些甚至是非常严重的错误,直接影响到结论的可靠性。将这些问题归类,可大致概括为以下两种情况:不考虑t检验的应用前提,对两组的比较一律用t检验;将各种实验设计类型一律视为多个单因素两水平设计,多次用t检验进行均值之间的两两比较。以上两种情况,均不同程度地增加了得出错误结论的风险。而且,在实验因素的个数大于等于2时,无法研究实验因素之间的交互作用的大小。

     

    问:统计学意义(P值)

    答:结果的统计学意义是结果真实程度(能够代表总体)的一种估计方法。专业上,P值为结果可信程度的一个递减指标,P值越大,我们越不能认为样本中变量的关联是总体中各变量关联的可靠指标。P值是将观察结果认为有效即具有总体代表性的犯错概率。如P=0.05提示样本中变量关联有5%的可能是由于偶然性造成的。即假设总体中任意变量间均无关联,我们重复类似实验,会发现约20个实验中有一个实验,我们所研究的变量关联将等于或强于我们的实验结果。(这并不是说如果变量间存在关联,我们可得到5%或95%次数的相同结果,当总体中的变量存在关联,重复研究和发现关联的可能性与设计的统计学效力有关。)在许多研究领域,0.05的P值通常被认为是可接受错误的边界水平。

     

    4、问:如何判定结果具有真实的显著性

    答:在最后结论中判断什么样的显著性水平具有统计学意义,不可避免地带有武断性。换句话说,认为结果无效而被拒绝接受的水平的选择具有武断性。实践中,最后的决定通常依赖于数据集比较和分析过程中结果是先验性还是仅仅为均数之间的两两>比较,依赖于总体数据集里结论一致的支持性证据的数量,依赖于以往该研究领域的惯例。通常,许多的科学领域中产生P值的结果≤0.05被认为是统计学意义的边界线,但是这显著性水平还包含了相当高的犯错可能性。结果 0.05≥P>0.01被认为是具有统计学意义,而0.01≥P≥0.001被认为具有高度统计学意义。但要注意这种分类仅仅是研究基础上非正规的判断常规。

     

    5、问:所有的检验统计都是正态分布的吗?

    答:并不完全如此,但大多数检验都直接或间接与之有关,可以从正态分布中推导出来,如t检验、F检验或卡方检验。这些检验一般都要求:所分析变量在总体中呈正态分布,即满足所谓的正态假设。许多观察变量的确是呈正态分布的,这也是正态分布是现实世界的基本特征的原因。当人们用在正态分布基础上建立的检验分析非正态分布变量的数据时问题就产生了,(参阅非参数和方差分析的正态性检验)。这种条件下有两种方法:一是用替代的非参数检验(即无分布性检验),但这种方法不方便,因为从它所提供的结论形式看,这种方法统计效率低下、不灵活。另一种方法是:当确定样本量足够大的情况下,通常还是可以使用基于正态分布前提下的检验。后一种方法是基于一个相当重要的原则产生的,该原则对正态方程基础上的总体检验有极其重要的作用。即,随着样本量的增加,样本分布形状趋于正态,即使所研究的变量分布并不呈正态。

     

    6、问:假设检验的内涵及步骤

    答:在假设检验中,由于随机性我们可能在决策上犯两类错误,一类是假设正确,但我们拒绝了假设,这类错误是“弃真”错误,被称为第一类错误;一类是假设不正确,但我们没拒绝假设,这类错误是“取伪”错误,被称为第二类错误。一般来说,在样本确定的情况下,任何决策无法同时避免两类错误的发生,即在避免第一类错误发生机率的同时,会增大第二类错误发生的机率;或者在避免第二类错误发生机率的同时,会增大第一类错误发生的机率。人们往往根据需要选择对那类错误进行控制,以减少发生这类错误的机率。大多数情况下,人们会控制第一类错误发生的概率。     发生第一类错误的概率被称作显著性水平,一般用α表示,在进行假设检验时,是通过事先给定显著性水平α的值而来控制第一类错误发生的概率。在这个前提下,假设检验按下列步骤进行:

        1)、确定假设;

        2)、进行抽样,得到一定的数据;

        3)、根据假设条件下,构造检验统计量,并根据抽样得到的数据计算检验统计量在这次抽样中的具体值;

        4)、依据所构造的检验统计量的抽样分布,和给定的显著性水平,确定拒绝域及其临界值;

        5)、比较这次抽样中检验统计量的值与临界值的大小,如果检验统计量的值在拒绝域内,则拒绝假设;

    到这一步,假设检验已经基本完成,但是由于检验是利用事先给定显著性水平的方法来控制犯错概率的,所以对于两个数据比较相近的假设检验,我们无法知道那一个假设更容易犯错,即我们通过这种方法只能知道根据这次抽样而犯第一类错误的最大概率(即给定的显著性水平),而无法知道具体在多大概率水平上犯错。计算 P值有效的解决了这个问题,P值其实就是按照抽样分布计算的一个概率值,这个值是根据检验统计量计算出来的。通过直接比较P值与给定的显著性水平α的大小就可以知道是否拒绝假设,显然这就代替了比较检验统计量的值与临界值的大小的方法。而且通过这种方法,我们还可以知道在p值小于α的情况下犯第一类错误的实际概率是多少,p=0.03<α=0.05,那么拒绝假设,这一决策可能犯错的概率是0.03。需要指出的是,如果P>α,那么假设不被拒绝,在这种情况下,第一类错误并不会发生。

     

    7、问:卡方检验的结果,值是越大越好,还是越小越好?

    答:与其它检验一样,所计算出的统计量越大,在分布中越接近分布的尾端,所对应的概率值越小。

    如果试验设计合理、数据正确,显著或不显著都是客观反映。没有什么好与不好。

     

    8、问:配对样本的T检验和相关样本检验有何差别?

    答:配对样本有同源配对(如动物实验中双胞胎)、条件配对(如相同的环境)、自身配对(如医学实验中个体的用药前后)等。(好像没有解释清楚啊,同问这个,到底什么区别呢?) 

     

    9、问:在比较两组数据的率是否相同时,二项分布和卡方检验有什么不同?

    答:卡方分布主要用于多组多类的比较,是检验研究对象总数与某一类别组的观察频数和期望频数之间是否存在显著差异,要求每格中频数不小于5,如果小于5则合并相邻组。二项分布则没有这个要求。

    如果分类中只有两类还是采用二项检验为好。

    如果是2*2表格可以用fisher精确检验,在小样本下效果更好。

     

    10、问:如何比较两组数据之间的差异性

    答:从四个方面来回答,

        1).设计类型是完全随机设计两组数据比较,不知道数据是否是连续性变量?

        2).比较方法:如果数据是连续性数据,且两组数据分别服从正态分布&方差齐(方差齐性检验),则可以采用t检验,如果不服从以上条件可以采用秩和检验。

        3).想知道两组数据是否有明显差异?不知道这个明显差异是什么意思?是问差别有无统计学意义(即差别的概率有多大)还是两总体均数差值在哪个范围波动?如果是前者则可以用第2步可以得到P值,如果是后者,则是用均数差值的置信区间来完成的。当然两者的结果在SPSS中均可以得到。

     

    11、问:回归分析和相关分析的联系和区别

    答:主要联系有:回归分析和相关分析是互相补充、密切联系的,相关分析需要回归分析来表明现象数量关系的具体形式,而回归分析则应该建立在相关分析的基础上。

    主要区别有:

    一,在回归分析中,不仅要根据变量的地位,作用不同区分出自变量和因变量,把因变量置于被解释的特殊地位,而且以因变量为随机变量,同时总假定自变量是非随机的可控变量.  在相关分析中,变量间的地位是完全平等的,不仅无自变量和因变量之分,而且相关变量全是随机变量.

    二,相关分析只限于描述变量间相互依存关系的密切程度,至于相关变量间的定量联系关系则无法明确反映.  而回归分析不仅可以定量揭示自变量对应变量的影响大小,还可以通过回归方程对变量值进行预测和控制.

    相关分析与回归分析均为研究2个或多个变量间关联性的方法,但2种数理统计方法存在本质的差别,即它们用于不同的研究目的。

    相关分析的目的在于检验两个随机变量的共变趋势(即共同变化的程度),回归分析的目的则在于试图用自变量来预测因变量的值。

    在相关分析中,两个变量必须同时都是随机变量,如果其中的一个变量不是随机变量,就不能进行相关分析,这是相关分析方法本身所决定的。

    对于回归分析,其中的因变量肯定为随机变量(这是回归分析方法本身所决定的),而自变量则可以是普通变量(有确定的取值)也可以是随机变量。 

     对于此二者的区别,我想通过下面这个比方很容易理解:

       对于两个人关系,相关关系只能知道他们是恋人关系,至于他们谁是主导者,谁说话算数,谁是跟随者,一个打个喷嚏,另一个会有什么反应,相关就不能胜任,而回归分析则能很好的解决这个问题

        回归未必有因果关系。回归的主要有二:一是解释,一是预测。在于利用已知的自变项预测未知的依变数。相关系数,主要在了解两个变数的共变情形。如果有因果关系,通常会进行路径分析(path analysis)或是线性结构关系模式。

          我觉得应该这样看,我们做回归分析是在一定的理论和直觉下,通过自变量和因变量的数量关系探索是否有因果关系。楼上这位仁兄说“回归未必有因果关系……如果有因果关系,通常进行路径分析或线性结构关系模式”有点值得商榷吧,事实上,回归分析可以看成是线性结构关系模式的一个特例啊。

        我觉得说回归是探索因果关系的并没错,因为实际上最后我们并不是完全依据统计的结果来判断因果性,只有在统计结果和理论及现实比较吻合的基础上我们才肯定这种因果关系。任何统计方法只是一种工具,但是不能完全依赖于这种工具。即使是SEM,我们也不能说完全认定其准确性,因为即使方法是好的,但是变量的复杂关系呈现的方式也是多种多样的,可能统计只能告诉你一个方向上的最优解,可未必是最符合实际的,更何况抽样数据的质量好坏也会使得结果不符合事实,从而导致人们怀疑统计方法的准确性。

      统计只说明统计关联。 不证明因素关系。

     回归有因果关系,相关未必。

        回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。此类问题很普遍,如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系,人的体表面积与身高、体重有关系;等等。回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系

       任何事物的存在都不是孤立的,而是相互联系、相互制约的。身高与体重、体温与脉搏、年龄与血压等都存在一定的联系。说明客观事物相互间关系的密切程度并用适当的统计指标表示出来,这个过程就是相关分析.

    转自于:http://www.cdadata.com/9116

    即使只是凡世中一颗小小的尘埃,命运也要由自己主宰,像向日葵般,迎向阳光、勇敢盛开

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  • 有很多统计推断是基于正态分布的假设,以标准正态分布变量为基石...这三大抽样分布即为著名的卡方分布,t分布和F分布。 1 卡方分布 1.1 定义 1.2 性质 2 t分布 2.1 定义 2.2 性质 3 F分布 3.1 定义 3.2 性质 4...

    有很多统计推断是基于正态分布的假设,以标准正态分布变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用,这是因为这三个统计量不仅有明确背景,而且其抽样分布的密度函数有显式表达式,它们被称为统计中的“三大抽样分布”。这三大抽样分布即为著名的卡方分布,t分布F分布

    1 卡方分布

    1.1 定义

    1.2 性质

    2 t分布

    2.1 定义

    2.2 性质

    3 F分布

    3.1 定义

    3.2 性质

    4 正态总体样本均值和样本方差的分布

    4.1 正态变量线性函数的分布​

    4.2 正态变量样本均值和样本方差的分布

    5 几个重要推论

    6 总结

     



    1 卡方分布

    1.1 定义

    设随机变量 X 是自由度为 n 的 χ2 随机变量, 则其概率密度函数为

    \Gamma(\cdot )表示的是一个gamma函数,它是整数k的封闭形式。gamma函数的介绍如下伽马函数的总结

    \chi _{n}^{2} 的密度函数 g_{n}(x) 形状如下图

    \chi _{n}^{2}密度函数的支撑集 (即使密度函数为正的自变量的集合) 为(0, +∞), 从上图可见当自由度 n 越大, \chi _{n}^{2} 的密度曲线越趋于对称, n
    越小, 曲线越不对称. 当 n = 1, 2 时曲线是单调下降趋于 0. 当 n ≥ 3时曲线有单峰, 从 0 开始先单调上升, 在一定位置达到峰值, 然后单下降趋向于 0。

    若 X ∼ \chi _{n}^{2}, 记 P(x> c)=\alpha,则 c=\chi _{n}^{2}(\alpha ) 称为 \chi _{n}^{2} 分布的上侧 \alpha 分位数, 如下图所示。当\alphan 给定时可查表求出 \chi _{n}^{2}(a) 之值,如\chi _{10}^{2}(0.01)=23.209\chi _{5}^{2}(0.05)=12.592 等。

    1.2 性质

    χ2 变量具有下列性质:


    2 t分布

    说起t分布,首先要提一句u分布,正态分布(normal distribution)是许多统计方法的理论基础。正态分布的两个参数μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便,常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u,以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0,σ=1的标准正态分布(standard normaldistribution),亦称u分布。根据中心极限定理,通过抽样模拟试验表明,在正态分布总体中以固定 n 抽取若干个样本时,样本均数的分布仍服从正态分布,即N(μ,σ)。所以,对样本均数的分布进行u变换,也可变换为标准正态分布N (0,1)

    由于在实际工作中,往往σ(总体方差)是未知的,常用s(样本方差)作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换统计量t 值的分布称为t分布

    2.1 定义

    设随机变量 T ∼ t_{n}, 则其密度函数为

    该密度函数的图形如下

    t_{n}的密度函数与标准正态分布 N(0, 1) 密度很相似, 它们都是关于原点对称, 单峰偶函数, 在 x = 0 处达到极大. 但 t_{n} 的峰值低于
    N(0, 1) 的峰值, t_{n} 的密度函数尾部都要比 N(0, 1) 的两侧尾部粗一些. 容易证明:

    此处 \varphi (x)N(0, 1) 变量的密度函数。

    若T ∼ t_{n},记P(\left | T \right |> c)=\alpha,则c={t_{n}}(\alpha /2)为自由度为nt分布的双侧\alpha分位数(如上图所示). 当给定 \alpha 时, {t_{n}}(\alpha ), {t_{n}}(\alpha /2)
    等可通过查表求出. 例如 {t_{12}}(0.05)=1.782 ,{t_{9}}(0.025)=2.262等。

    t 分布是英国统计学家 W.S. Gosset 在 1908 年以笔名 Student发表的论文中提出的, 故后人称为 “学生氏 (Student) 分布” 或 “t
    布”。

    2.2 性质

    t 变量具有下列的性质:


    3 F分布

    3.1 定义

    若随机变量 Z ∼F_{m,n}, 则其密度函数为

    自由度为 m, n F 分布的密度函数如下图:

     

    注意 F 分布的自由度 m n 是有顺序的, 当 m\neq n时, 若将自由度 m n 的顺序颠倒一下, 得到的是两个不同的 F 分布. 从上图
    可见对给定 m = 10, n 取不同值时f_{m,n}(x) 的形状, 我们看到曲线是偏态的, n 越小偏态越严重。

    若 F ∼ F_{m,n}, 记 P(F> c)=\alpha, 则 c=F_{m,n}(\alpha ) 称为 F 分布的上侧 \alpha 分位数 (见上图). 当 m, n\alpha 给定时, 可以通过查表求出
    F_{m,n}(\alpha )之值, 例如F_{4,10}(0.05)=3.48,F_{10,15}(0.01)=3.80 等. 在区间估计和假设检验问题中常常用到.

    3.2 性质

    F 变量具有下列的性质:

    以上性质中 (1) 和 (2) 是显然的, (3) 的证明不难. 尤其性质 (3)在求区间估计和假设检验问题时会常常用到. 因为当 α 为较小的数,
    如 α = 0.05 或 α = 0.01, m, n 给定时, 从已有的 F 分布表上查不到 F_{m,n}(1-0.05)F_{m,n}(1-0.01) 之值, 但它们的值可利用性质(3) 求得, 因为 F_{n,m}(0.05)F_{n,m}(0.01) 是可以通过查 F 分布表求得的.


    4 正态总体样本均值和样本方差的分布

    为方便讨论正态总体样本均值和样本方差的分布, 我们先给出正态随机变量的线性函数的分布.

    4.1 正态变量线性函数的分布

    4.2 正态变量样本均值和样本方差的分布

    下述定理给出了正态变量样本均值和样本方差的分布和它们的独立性.


    5 几个重要推论

    下面几个推论在正态总体区间估计和假设检验问题中有着重要应用.


    6 总结

    数据在使用前要注意采用有效的方法收集数据, 如设计好抽样方案, 安排好试验等等. 只有有效的收集了数据, 才能有效地使用数据,开展统计推断工作.获得数据后, 根据问题的特点和抽样方式确定抽样分布, 即统计模型. 基于统计模型, 统计推断问题可以按照如下的步骤进行:

    1. 确定用于统计推断的合适统计量;
    2. 寻求统计量的精确分布; 在统计量的精确分布难以求出的情形,可考虑利用中心极限定理或其它极限定理找出统计量的极限分布.
    3. 基于该统计量的精确分布或极限分布, 求出统计推断问题的精确解或近似解.
    4. 根据统计推断结果对问题作出解释

    其中第二步是最重要, 但也是最困难的一步. 统计三大分布及正态总体下样本均值和样本方差的分布, 在寻求与正态变量有关的统计量精确分布时, 起着十分重要作用. 尤其在求区间估计和假设检验问题时可以看得十分清楚

     

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    应用不同的假设检验的依据,是不同的数据条件。

    数据条件包括了实验设计方案(完全随机设计、配对设计或者单样本设计等)、样本量、独立性、正态性、方差齐性等,由于数据条件和实验需求的不同,选择不同的检验方法。

    一、t 检验的应用

    • 应用条件:
    计量资料
    小样本
    独立性、正态性、方差齐性

    t检验基于t分布的函数图像,用于小样本的检验。

    为什么小样本用t检验?

    联系前文,从抽样研究所得的样本均数特点来看,只要样本量>60,(无论总体是否服从正态分布)抽样研究的样本均数服从或者近似服从正态分布;而如果样本量较小(参考样本量<100),抽样分布随着样本量的减小,与正态分布的差别越来越大。此时需要用小样本理论来解释样本均数的分布——之前学习过的t分布就是小样本理论的代表。

    因此,小样本的检验需要用到t检验。

    当样本含量越来越大时,依据t分布函数变化规律,样本含量越大则函数曲线越接近正态分布曲线,即t值近似u值,属于t检验的特殊情况。

    ——满足以上三个条件可以考虑运用t检验,而课本中介绍了 t 检验三种不同情况,具体什么满足什么条件可以运用哪一种呢?
    • t 检验的分类

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    t检验分为三种不同方法,在应用时,依据各种方法的用途、适用条件选择不同的检验方法。

    1. 单样本t检验
    2. 配对样本t检验
    3. 两样本t检验
    • 单样本t检验用于样本和总体均数的比较,其应用条件需要满足:计量资料、小样本、正态分布。(两小样本比较时还要求方差齐性,但因单样本t检验中不存在两个小样本,故无法检验方差齐性。)
    方差齐性:两小样本所对应的 两总体方差相等
    • 配对样本t检验,其应用条件需要满足:计量资料、配对设计、小样本、正态分布。其实质与单样本t检验相同,都是一个样本均数所代表的的未知总体均数与一个已知总体均数的比较。
    • 两样本t检验,适用于完全随机设计的两样本均数的比较,也就是前文提到的两小样本比较。因此,其应用条件除了满足:计量资料、小样本、正态性之外,还需要方差齐性。如果方差齐,可进行两样本t检验,如果方差不齐,则需要其他的检验方法。

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    方差不齐时可选的检验方法

    值得注意的是,两个样本均数的比较在满足情况的条件下可以用两样本t检验,多个样本均数的比较则需要用方差分析。


    一个示例:两独立样本t检验

    1. 建立假设检验,确定检验水准

    AB两组药物施加作用效果相同。

    AB两组药物施加作用效果不同。(双侧检验)

    = 0.05

    2. 计算检验统计量

    SPSS软件实现步骤

    数据的正态性检验:P>
    ,不拒绝
    ,尚不能认为样本均数总体不符合正态分布。

    2dfb80d8f3d09f4fe68d63eb67fb49b1.png
    两独立样本t检验:在spss中,不需要专门分步骤来进行方差齐性检验,在两独立样本t检验的结果中已经出示了假定方差齐和假定方差不齐两种结果。可直接通过独立样本t检验结果显示表格来判断方差齐与不齐。

    59670d17c9ecb5774a0d33069ce315c3.png

    3. 确定P值,作出推断结论

    由结果显示:P=0.389,可作出结论:P >

    ,按检验水准
    ,不拒绝
    ,差异无统计学意义。尚不能认为两组药物施加效果有差异。

    二、F检验的应用

    在上文示例,spss所呈现的独立样本检验结果有"F"一值,所代表的的是F检验。

    F检验:判断两总体方差是否不等的判断。图表中的Levene方差等同性检验结果,其F值和sig值(显著性)可用来判断两样本资料是否具有方差齐性。

    其具体假设检验过程可写作如下形式:

    1. 建立假设检验,确定检验水准

    两组数据总体方差相等。

    两组数据总体方差不等。

    = 0.05

    2. 计算检验统计量

    用上例数据,F = 0.812 , P = 0.378

    3. 确定P值,作出推断结论

    若P >

    ,则结论为按检验水准
    ,不拒绝
    ,差异无统计学意义。尚不能认为l两组数据总体方差不等。

    因此,在两独立样本t检验中,Levene检验的sig值大于

    ,我们判读为两组样本数据方差齐。

    总结:

    关于SPSS结果图表的判读,以上图为例:

    53e8c6799fe67ed5fd9ec00a1cceb523.png

    在leneve方差等同性检验中,F值及其显著性(sig值)判断数据是否方差齐;在右侧t检验中,sig值用来判断两组数据是否有差异。

    在正态性和方差齐性检验中,P>

    ,判读为数据符合正态分布和方差齐。
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